.z.第14章主成分分析1概述1.1基本概念1.1.1定義主成分分析是根據原始變量之間的相互關系，尋找一組由原變量組成、而彼此不相關的綜合變量，從而濃縮原始數據信息、簡化數據結構、壓縮數據規模的一種統計方法。1.1.2舉例為什么叫主成分，下面通過一個例子來說明。假定有N個兒童的兩個指標*1與*2，如身高和體重。*1與*2有顯著的相關性。當N較大時，N觀測量在平面上形成橢圓形的散點分布圖，每一個坐標點即為個體*1與*2的取值，如果把通過該橢圓形的長軸取作新坐標軸的橫軸Z1，在此軸的原點取一條垂直于Z1的直線定為新坐標軸的Z2，于是這N個點在新坐標軸上的坐標位置發生了改變；同時這N個點的性質也發生了改變，他們之間的關系不再是相關的。很明顯，在新坐標上Z1與N個點分布的長軸一致，反映了N個觀測量個體間離差的大部分信息，若Z1反映了原始數據信息的80%，則Z2只反映總信息的20%。這樣新指標Z1稱為原指標的第一主成分，Z2稱為原指標的第二主成分。所以如果要研究N個對象的變異，可以只考慮Z1這一個指標代替原來的兩個指標（*1與*2），這種做法符合PCA提出的基本要求，即減少指標的個數，又不損失或少損失原來指標提供的信息。1.1.3函數公式通過數學的方法可以求出Z1和Z2與*1與*2之間的關系。Z1=l11*1+l12*2Z2=l21*1+l22*2即新指標Z1和Z2是原指標*1與*2的線性函數。在統計學上稱為第一主成分和第二主成分。若原變量有3個，且彼此相關，則N個對象在3維空間成橢圓球分布，見圖14-1。通過旋轉和改變原點（坐標0點），就可以得到第一主成分、第二主成分和第三主成分。如果第二主成分和第三主成分與第一主成高度相關，或者說第二主成分和第三主成分相對于第一主成分來說變異很小，即N個對象在新坐標的三維空間分布成一長桿狀時，則只需用一個綜合指標便能反映原始數據中3個變量的基本特征。1.2PCA滿足條件1.2.1一般條件一般來說，N個對象觀察p個指標，可以得到N*p個數據（矩陣）。只要p個指標之間存在有相關關系，就可以通過數學的方法找到一組新的指標，它們需要滿足的條件如下。Zi是原指標的線性函數，且它們相互垂直；各個Zi互不相關；各個Zi加起來提供原指標所含的全部的信息，且Z1提供信息最多，Z2次之，依次類推。1.2.2PCA的一般步驟輸入或打開數據文件；數據進行標準化處理；計算矩陣的相關系數；求相關矩陣的特征根λ1、λ2、λ3，并將它們按大小排序。求特征向量和各主成分；計算各主成分的貢獻率；解釋各主成分的含義上述的步驟大部分由SPSS執行，用戶需要選擇觀測對象、選擇變量，收集數據，將數據輸入SPSS程序，最后選擇需要多少個主成分，解釋各主成分的實際意義。1.3SPSS運行主要選擇項1.3.1操作步驟Analyzes/datareduction/factor/openfactoranalyzes/對話框，主要有5個對話框，下面簡要介紹。因子分析主對話框。主要用來選擇變量、選擇輸出結果內容和多少、選擇PCA有關數學處理如是否旋轉，提取多少個因子數，是否保存各個因子得分等。FactorAnalysis：因子分析；Descriptive：描述性統計選項；E*traction：提取因子選項；Rotation：旋轉選擇；Scores：因子得分選項；Option：其它選項。1.3.2主對話框1.3.3Descriptive對話框Statistics：統計數據Univariatedescriptive：單變量描述性統計；Initialsolution：初始解的統計量。Correlationmatri*：相關矩陣Coeffcients：相關系數矩陣。Inverse：相關系數矩陣逆矩陣。Significancelevels：相關系數顯著性水平。Reproduced：再生相關矩陣。給出因子分析后的相關矩陣。1.3.4E*tractionmethod提取公因子方法Method：方法Principalponentsanalyze：主成分分析Unweightleastsquares：未加權最小二乘法Generalizedleastsquares：廣義最小二乘法Analysis：分析Coeffcientsmatri*：相關系數矩陣。Covariancematri*：協方差矩陣。Display：顯示Unrotatedfactorsolution：非旋轉因子解。Screenplotoftheeigenvalues：特征值碎石圖。E*tract：提取。Eigenvaluesover1：系統默認值是1，表示提取特征值大于1的因子。Numberoffactor2：提取公因子的個數。理論上有多少個因子1.3.5Rotationmethod旋轉方法對話框Method：方法None：不進行旋轉Quartima*：四分位最大正交旋轉Varima*：方差最大正交旋轉。Equama*：相等最大正交旋轉。Display：顯示Rotationsolution：旋轉解。Loadingplots：旋轉因子空間的載荷圖。1.3.6Scores因子得分對話框Saveasvariables：將因子得分數據存入為新變量。Regression：用回歸法計算因子得分。Bartlett：巴特尼特法計算因子得分。Anderso-rubin，Anderso-rubin：法計算因子得分。Dispalyfactorscorecoefficientmatr*，顯示因子得分系數矩陣。1.3.7Option對話框MissingValues：缺失值處理E*cludecaseslistwise：刪除全部缺省值的個案。E*cludecasespairwise：成對刪除含有缺省值的個案。Replacewithmean：用均值替代缺省值。Coefficientdisplayformat因子得分系數矩陣的顯示格式。Sortedbysize：按大小排列。回到主對話框上。Variables：選擇左邊變量欄中的變量，用箭頭鍵將要分析的變量移入右邊的變