-.z.二次根式的概念與性質

編稿：莊永春審稿：邵劍英責編：張楊

一、目標認知1.學習目標：

理解二次根式的概念，了解被開方數是非負數的理由；理解并掌握以下結論：，，，并利用它們進展計算和化簡．

2.重點：；，及其運用．

3.難點：

利用，，解決具體問題.

二、知識要點梳理知識點一：二次根式的概念

一般地，我們把形如(a≥0)的式子叫做二次根式，"〞稱為二次根號．

要點詮釋：

二次根式的兩個要素：①根指數為2；②被開方數為非負數.

知識點二：二次根式的性質

1.；

2.；

3.；

4.積的算術平方根的性質：；

5.商的算術平方根的性質：.

要點詮釋：

二次根式(a≥0)的值是非負數，其性質可以正用亦可逆用，正用時去掉根號起到化簡的作用；逆用時可以把一個非負數寫成完全平方的形式，有利于在實數范圍內進展因式分解.

知識點三：代數式

形如5，a，a+b，ab，，*3，這些式子，用根本的運算符號(根本運算包括加、減、乘、除、乘方、開方)把數和表示數的字母連接起來的式子，我們稱這樣的式子為代數式(algebraice*pression).

三、規律方法指導

1.如何判斷一個式子是否是二次根式？

(1)必須含有二次根號，即根指數為2；

(2)被開方數可以是數也可以是代數式但必須是非負的，否則在實數范圍內無意義.

2.如何確定二次根式在實數范圍內有意義？

要使二次根式在實數范圍內有意義必須滿足被開方數為非負數.要確定被開方數中所含字母的取值范圍，可根據題意列出不等式，通過解不等式確定字母的取值范圍.當二次根式作為分母時要注意分母不能為零.經典例題透析

類型一：二次根式的概念

1、以下式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：

、、、(*＞0)、、、、、(*≥0，y≥0)．

思路點撥：二次根式應滿足兩個條件：第一，有二次根號"〞；第二，被開方數是正數或0．

解：二次根式有：、(*＞0)、、、(*≥0，y≥0)；

不是二次根式的有：、、、．

2、當*是多少時，在實數范圍內有意義？

思路點撥：由二次根式的定義可知，被開方數一定要大于或等于0，所以3*-1≥0，才能有意義．

解：由3*-1≥0，得：*≥

當*≥時，在實數范圍內有意義．

總結升華：要使二次根式在實數范圍內有意義，必須滿足被開方數是非負數．

舉一反三

【變式1】*是怎樣的實數時，以下各式實數范圍內有意義？

(1)；(2)；

解：(1)由≥0，解得：*取任意實數

∴當*取任意實數時，二次根式在實數范圍內都有意義.

(2)由*-1≥0，且*-1≠0，解得：*＞1

∴當*＞1時，二次根式在實數范圍內都有意義.

【變式2】當*是多少時，+在實數范圍內有意義？

思路點撥：要使+在實數范圍內有意義，

必須同時滿足中的2*+3≥0和中的*+1≠0．

解：依題意，得

由①得：*≥-

由②得：*≠-1

當*≥-且*≠-1時，+在實數范圍內有意義．

類型二：二次根式的性質

3、計算：

(1)(2)(3)(4)

(5)(b≥0)(6)

思路點撥：我們可以直接利用(a≥0)的結論解題．

解：

(1)(2)=；(3)；

(4)=；(5)；

(6)．

舉一反三

【變式1】計算：

(1)；(2)；

(3)；(4).

思路點撥：(1)因為*≥0，所以*+1＞0；(2)a2≥0；

(3)a2+2a+1=(a+1)2≥0；(4)4*2-12*+9=(2*)2-2·2*·3+32=(2*-3)2≥0．

所以上面的4題都可以運用的重要結論解題．

解：(1)因為*≥0，所以*+1＞0

；

(2)∵a2≥0，∴；

(3)∵a2+2a+1=(a+1)2

又∵(a+1)2≥0，∴a2+2a+1≥0，∴=a2+2a+1；

(4)∵4*2-12*+9=(2*)2-2·2*·3+32=(2*-3)2

又∵(2*-3)2≥0

∴4*2-12*+9≥0，∴=4*2-12*+9.

4、化簡:

(1)；(2)；(3)；(4).

思路點撥：因為(1)9=32，(2)(-4)2=42，(3)25=52，(4)(-3)2=32，所以都可運用去化簡．

解：(1)==3；(2)==4；

(3)==5；(4)==3.

5、填空：當a≥0時，=____；當a＜0時，=______，并根據這一性質答復以下問題．

(1)假設=a，則a可以是什么數？

(2)假設=-a，則a可以是什么數？

(3)＞a，則a可以是什么數？

思路點撥：

∵=a(a≥0)，

∴要填第一個空格可以根據這個結論，第二空格就不行，應變形，使"()2〞中的數是正數，

因為，當a≤0時，=，則-a≥0．

(1)根據結論求條件；(2)根據第二個填空的分析，逆向思想；(3)根據(1)、(2)可知，而要大于a，只有什么時候才能保證呢？

解：(1)因為，所以a≥0；

(2)因為，所以a≤0；

(3)因為當a≥0時，要使，即使a＞a所以a不存在；當a＜0時，，

要使，即使-a＞a，即a＜0；綜上，a＜0.

類型三：二次根式性質的應用

6、當*=-4時，求二次根式的值.

思路點撥：二次根式也是一種代數式，求二次根式的值和求其他代數式的值方法一樣.

解：將*=-4代入二次根式，得=.

7、(1)y=++5，求的值．

(2)假設+=0，求的值．

解：(1)由可得，，

(2)

8、在實數范圍內分解因式：

(1)*2-5；(2)*3-2*；

解:(1)原式

.

(2)原式

.學習成果測評

根底達標

一、選擇題

1.以下式子中，不是二次根式的是()

A．B．C．D．

2.一個正方形的面積是5，則它的邊長是()

A．5B．C．D．以上皆不對

3.(福建省福州市)假設代數式在實數范圍內有意義，則*的取值范圍為()

A．*＞0B．*≥0C．*≠0D．*≥0且*≠1

4．的值是()

A．0B．C．4D．以上都不對

5．a≥0時，、、，比較它們的結果，下面四個選項中正確的選項是()

A．B．

C．D．

6.(遼寧省大連市)如圖，數軸上點N表示的數可能是()

A．B．

C．D．

二、填空題

1.假設，則*=____________.

2.假設有意義，則的取值范圍是____________.

3．-=________．

4.=____________.

5.=____________.

6.假設，則____________.

7.假設，則____________；假設，則____________.

8.化簡：=__________.

9.計算：(1)=_______；

(2)=________；

(3)=________。

10.(內蒙古鄂爾多斯市)如圖，在數軸上，A、B兩點之間表示整數的點有_______個．

三、解答題

1.求以下二次根式中字母a的取值范圍：

(1)，(2)；(3).

2.*工廠要制作一批體積為1m3的產品包裝盒，其高為0.2m，按設計需要，底面應做成正方形，試問底面邊長應是多少？

能力提升

一、選擇題

1.使式子有意義的未知數*有()個

A．0B．1C．2D．無數

2.(山西省臨汾市)假設，則與3的大小關系是()

A．B．C．D．

3.以下計算正確的選項是()

A．B．C．D．

4.(福建省廈門市)以下四個結論中，正確的選項是()

A.B.C.D.

二、填空題

1.假設，則____________.

2．假設是一個正整數，則正整數m的最小值是________．

3.實數在數軸上的對應點如下列圖，則____________.

三、解答題

1.當*是多少時，+*2在實數范圍內有意義？

2.假設+有意義，求的值.

3.(北京市海淀區)實數*，y滿足，求代數式的值.

4.，求*+y的值.

綜合探究

1.(福建省南安市)觀察分析以下數據，尋找規律：0，，，3，2，，3，……則第10個數據應是____________.

2.(江蘇省蘇州市)等式中的括號應填入____________.

3．先化簡再求值：當a=9時，求a+的值，甲乙兩人的解答如下：

甲的解答為：原式=a+=a+(1-a)=1；

乙的解答為：原式=a+=a+(a-1)=2a-1=17．

兩種解答中，_______的解答是錯誤的，錯誤的原因是__________．

4.假設時，試化簡.

5．在實數范圍內分解以下因式:

(1)；(2).

答案與解析

根底達標

一、1.D2.B3.D4.C5.A6.B

二、1.162.3.-0.024.5.2-*

6.7.8.9.(1)；(2)6；(3)-610.4

三、

1.解：(1)由a+1≥0，得a≥-1

∴字母a的取值范圍是大于或等于-1的實數。

(2)＞0，得1-2a＞0，即a＜

∴字母a的取值范圍是小于的實數。

(3)因為無論a取何值，都有，所以a取值范圍是全體實數。

2.解：設底面邊長為*，則0.2