第2章限制系統數學模型的建立

2.1概述2.2限制系統微分方程的建立2.3傳遞函數2.4限制系統的結構圖2.5限制系統的信號流圖2.6限制系統的傳遞函數1自動限制原理2.1概述數學模型:描述系統各變量之間關系的數學表達式叫做系統的數學模型。動態模型：描述系統動態過程的方程式稱為動態模型。如微分方程、偏微分方程、差分方程等。建立系統數學模型時，應留意：（1）依據探討目的和精確性要求，忽視一些次要因素，使系統數學模型簡化，便于數學上的處理。（2）依據所接受的分析方法，建立相應形式的數學模型(微分方程、傳遞函數等)，有時還要考慮便于計算機求解。建立系統數學模型的途徑：理論推導法（演繹法）——通過系統本身機理(物理、化學規律)分析確定模型結構和參數，推導出系統的數學模型。試驗測試法（歸納法）——依據對系統的視察，由測量得到的大量輸入、輸出數據，推斷出被探討系統的數學模型。2自動限制原理建立系統(或部件)微分方程式的一般步驟：(1)在條件許可下，適當簡化，忽視一些次要因素；(2)依據物理或化學定律，列出部件的原始方程式；(3)列出原始方程式中中間變量與其它變量的關系式；(4)從全部方程式中消去中間變量，僅保留系統的輸入變量和輸出變量；(5)最終，將微分方程表示成標準形式，即輸出變量在左，輸入變量在右，導數階次從高到低排列。2.2限制系統微分方程的建立3自動限制原理舉例1R-L-C電路

要求：列出uc(t)與ur(t)的關系方程式

（1）依據克希霍夫定律可寫出原始方程式（2）消去中間變量i后，得輸入輸出微分方程式

或（線性定常二階微分方程式）2.2.1典型限制系統舉例4自動限制原理舉例2彈簧—質量—阻尼器系統

（1）列出原始方程式。依據牛頓其次定律，有要求：寫出系統在外力f(t)作用下的運動方程式（2）消去中間變量

B——阻尼系數

f2(t)=Ky(t)

K——彈性系數

代入上式并整理（線性定常二階微分方程式）5自動限制原理舉例3電樞限制的直流電動機電樞電壓限制的直流電動機線路原理圖和結構圖（1）列寫原始方程式。電樞回路方程式：

輸入—電樞電壓ua輸出—軸角位移q

或角速度w擾動—負載轉矩ML依據剛體旋轉定律，寫出運動方程式：（2）Md和ia是中間變量。由于電動機轉矩與電樞電流和氣隙磁通的乘積成正比，又因磁通恒定，有

，聯立求解，整理后得

6自動限制原理（續上頁）若輸出為電動機軸的轉角q，則有

（三階線性定常微分方程）——機電時間常數(秒)

——電動機電樞回路時間常數(秒)，一般比Tm小或7自動限制原理舉例4磁場限制的直流電動機設電樞電流Ia=常數,氣隙磁通F(t)=Kfif(t),激磁回路電感Lf為常值。（1）激磁回路方程式：或（2）轉矩平衡方程式：（3）消去中間變量j,Md

：，8自動限制原理舉例5電動機轉速限制系統電動機轉速限制系統原理圖及結構圖w為輸出，ur為參考輸入，ML為擾動輸入（1）列各部件方程式：（2）消去中間變量，得：9自動限制原理舉例6流體過程

輸入量Qi（供水量）

輸出量H（液面高度）（一階非線性微分方程式）

（1）設流體是不行壓縮的。依據物質守恒定律，可得

（2）求出中間變量Qo與其他變量關系（3）消去中間變量Qo，就得輸入輸出關系式10自動限制原理直流電動機轉速自動鎮靜系統圖設各處信號(變量)均在工作點旁邊不大范圍內變動。列原始方程（1）激磁回路（j與if是非線性關系）（2）電樞回路（非線性方程）

（3）電動機（非線性方程）

2.2.2非線性微分方程的線性化（4）放大器

（5）測速發電機

（6）比較器11自動限制原理忽視二次以上高次項，得：，，j與if是之間的非線性關系設j的工作點為j0，if的工作點為if0，在工作點的鄰域內，j對if的各階導數存在，它可綻開成泰勒級數：

2.2.2非線性微分方程的線性化（續）寫成偏量線性化方程式：所以激磁回路偏量線性化方程為：

12自動限制原理同理，設各處信號(變量)均在工作點旁邊不大范圍內變動，它們的偏量方程式可求之如下：電樞回路

電動機，

2.2.2非線性微分方程的線性化（續）放大器

測速發電機

比較器

e=ur-ut，因為Δur=0，故消去中間變量，得擾動輸入ΔML下的線性化方程：13自動限制原理

2.3傳遞函數

2.3.1傳遞函數的概念RC電路如下：依據克希霍夫定律，可列寫微分方程消去中間變量i(t)，得對上式進行拉氏變換

求出Uc(s)的表達式若uc(0)=0

或式中T=RC

14自動限制原理若線性定常系統由下述n階微分方程描述令C(s)=L[c(t)]，R(s)=L[r(t)]，在初始條件為零時，進行拉氏變換，可得到s的代數方程

傳遞函數定義:

線性(或線性化)定常系統在零初始條件下，輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比稱為傳遞函數。

線性定常系統的傳遞函數為

2.3.1傳遞函數的概念(續)15自動限制原理2.3.1傳遞函數的性質

(1)傳遞函數是復變量s的有理真分式函數，分子的階數m一般低于或等于分母的階數n，即m≤n，且全部系數均為實數。(2)傳遞函數只取決于系統和元件的結構和參數，與外作用及初始條件無關。(3)確定的傳遞函數有確定的零、極點分布圖與之對應，因此傳遞函數的零、極點分布圖也表征了系統的動態性能。(5)

傳遞函數只能表示輸入與輸出的函數關系，至于系統中的中間變量無法反映出來。(4)

若下式中s=0，則

稱為傳遞系數(或靜態放大系數)。

(6)一個傳遞函數只能表示一個輸入對一個輸出的函數關系。16自動限制原理2.3.1典型環節及其傳遞函數（1）比例環節G(s)=K

（3）積分環節

T——慣性環節時間常數

當積分環節的輸入信號為單位階躍函數時，則輸出為t/T，它隨著時間直線增長。

（2）慣性環節17自動限制原理（4）微分環節G(s)=Ts（志向微分環節）（實際微分環節）

（5）比例—微分環節

wn=1/T為無阻尼自然振蕩頻率

z為阻尼比，0＜z＜1（6）振蕩環節（7）延滯環節2.3.1典型環節及其傳遞函數(續)18自動限制原理2.4限制系統的結構圖2.4.1結構圖的概念拉氏變換

RC網絡的微分方程式為19自動限制原理限制系統結構圖的建立步驟（1）建立限制系統各元部件的微分方程。在建立微分方程時，應分清輸入量、輸出量，同時應考慮相鄰元件之間是否有負載效應。（2）對各元件或部件的微分方程進行拉氏變換，并作出各元件的結構圖。（3）依據系統中各變量的傳遞依次，依次將各部件結構圖連接起來，置系統輸入變量于左端，輸出變量于右端。20自動限制原理例1

繪制無源電路的結構圖。ur為網絡輸入，uc為網絡輸出。

因為(ur－uc)為R1與C并聯支路的端電壓，i1+i2=i，R2i=uc，所以2.4.2限制系統結構圖的建立21自動限制原理例2

兩級RC網絡的結構圖

（2）連接相關信號線，得到最終結構圖（1）依據原始方程建立局部結構圖由于后一級RC電路是前一級的負載，所以在結構圖中它們相互影響。22自動限制原理為了消退負載效應，可以在兩級RC電路之間插入隔離放大器。帶有隔離放大器的兩級RC網絡23自動限制原理例3位置隨動限制系統系統各部分微分方程經拉普拉斯變換后的關系式及相應的局部結構圖如下

24自動限制原理將每個子方程的結構圖依據相互關系，正確地連接起來，得到下圖例3位置隨動限制系統（續）25自動限制原理2.4.3結構圖的等效變換

(1)結構圖的基本組成形式

1）串聯連接

2）并聯連接26自動限制原理3）反饋連接

依據信號傳遞的關系可寫出：消去E(s)和B(s)，得因此此處的加號對應于負反饋；減號對應于正反饋。2.4.3結構圖的等效變換(續)

27自動限制原理(2)綜合點與引出點的移動

1)綜合點的前后移動a.綜合點前移的等效變換b.綜合點后移的等效變換2)相鄰綜合點之間的移動

2.4.3結構圖的等效變換(續)

28自動限制原理3)引出點的前后移動

b.引出點前移的等效變換

4)相鄰引出點之間的移動a.引出點后移的等效變換

2.4.3結構圖的等效變換(續)

29自動限制原理(3)結構圖變換舉例

例1位置隨動系統2.4.3結構圖的等效變換(續)

30自動限制原理

例2簡化結構圖，并求系統傳遞函數C(s)/R(s)

。2.4.3結構圖的等效變換(續)

31自動限制原理例3化簡兩級RC網絡結構圖，并求出傳遞函數Uc(s)/Ur(s)。

2.4.3結構圖的等效變換(續)

32自動限制原理簡化結構圖求總傳遞函數的一般步驟(1)確定輸入量與輸出量，假如作用在系統上的輸入量有多個(分別作用在系統的不同部位)，則必需分別對每個輸入量逐個進行結構變換，求得各自的傳遞函數。對于有多個輸出量的狀況，也應分別處理。(2)若結構圖中有交叉關系，應運用等效變換法則，首先將交叉消退，化為無交叉的單回路結構。(3)對于回路可由里向外變換，直至變換為一個等效的方框，即得到所求的傳遞函數。33自動限制原理2.5限制系統的信號流圖2.5.1信號流圖定義：由節點和支路組成的信號傳遞網絡信號流圖的常用術語：節點：在圖中用小圓圈表示，表示變量（或信號）支路：是連接相鄰兩個節點之間的定向線段，它有確定的增益(即傳遞函數)，稱為支路增益輸入節點：只有輸出支路沒有輸入支路的節點稱為輸入節點輸出節點：只有輸入支路沒有輸出支路的節點稱為輸出節點混合節點：既有輸入支路又有輸出支路的節點稱為混合節點通路：從某一節點起先沿支路箭頭方向經過各相連支路到另一節點所構成的路徑稱為通路前向通路：是指從輸入節點起先并終止于輸出節點且與其它節點相交不多于一次的通路回路：假如通路的終點就是通路的起點，并且與任何其它節點相交不多于一次的通路稱為回路不接觸回路：假如一信號流圖有多個回路，各回路之間沒有任何公共節點，則稱為不接觸回路34自動限制原理2.5.2由系統結構圖繪制信號流圖例試將下圖所示系統的結構圖轉化為信號流圖。35自動限制原理2.5.3用梅遜公式求傳遞函數梅遜公式式中，P——信號流圖的總增益；Δ——稱為特征式，∑Li——全部回路的回路增益之和；∑LiLj——全部兩兩互不接觸回路的回路增益乘積之和；∑LiLjLk——全部三個互不接觸回路的回路增益乘積之和；n——從輸入節點到輸出節點全部前向通路的條數；Pk——從輸入節點到輸出節點第k條前向通路的增益；Dk——在Δ中，將與第k條前向通路相接觸的回路增益除去后所余下的部分，稱為余子式。36自動限制原理應用舉例一37自動限制原理4個回路：1個兩兩互不接觸回路：3條前向通路和相應余子式：總增益：應用舉例二38自動限制原理應用舉例三

要求：繪制三級RC網絡結構圖，并求其傳遞函數Uc/Ur。（1）繪制結構圖。用復阻抗與電壓、電流關系，可以干脆繪出網絡的結構圖：（2）求傳遞函數。該結構圖有5個反饋回路，回路傳遞函數均相同，即有6組兩兩互不接觸