規范答題示例9函數的單一性、極值與最值問題典例9(12分)已知函數f(x)＝lnx＋a(1－x)．議論f(x)的單一性；(2)當f(x)有最大值，且最大值大于2a－2時，求a的取值范圍．審題路線圖議論f′x求f′x――――――→fx單一性―→fx最大值―→解fx>2a－2.的符號max規范解答·分步得分建立答題模板1解(1)f(x)的定義域為(0，＋∞)，f′(x)＝x－a(x>0)．若a≤0，則f′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)上單一遞加．若a>0，則當∈0，1時，′()>0；當x∈1，＋∞時，xafxaf′(x)<0.所以f(x)在110，a上單一遞加，在a，＋∞上單一遞減.5分所以當a≤0時，f(x)在(0，＋∞)上單一遞加，當a>0時，f(x)在0，1上單一遞加，在1，＋∞上單一遞減.6aa分由(1)知，當a≤0時，f(x)在(0，＋∞)上無最大值，不合題意；1當a>0時，f(x)在x＝a處獲得最大值，111最大值為fa＝lna＋a1－a＝－lna＋a－1.1所以fa>2a－2等價于lna＋a－1<0.9分令g(a)＝lna＋a－1，則g(a)在(0，＋∞)上單一遞加，g(1)＝0.于是，當0<a<1時，g(a)<0；當a>1時，g(a)>0.所以，a的取值范圍是(0,1).12分

第一步求導數：寫出函數的定義域，求函數的導數．第二步定符號：經過議論確立′(x)的符號．第三步寫區間：利用f′(x)的符號確立函數的單一性．第四步求最值：依據函數單一性求出函數最值.評分細則(1)函數求導正確給1分；(2)分類議論，每種狀況給2分，結論1分；求出最大值給2分；(4)結構函數g(a)＝lna＋a－1給2分；(5)經過分類議論得出a的范圍，給2分．2追蹤操練9(2018·天津)已知函數f(x)＝ax，g(x)＝logax，此中a>1.求函數h(x)＝f(x)－xlna的單一區間；若曲線y＝f(x)在點(x1，f(x1))處的切線與曲線y＝g(x)在點(x2，g(x2))處的切線平行，證明x1＋g(x2)＝－2lnlnalna；1(3)證明當a≥ee時，存在直線l，使l是曲線y＝f(x的切線，也是曲線y＝gx的切線．)()解由已知得h(x)＝ax－xlna，則h′(x)＝axlna－lna.令h′(x)＝0，解得x＝0.由a>1，可知當x變化時，h′(x)，h(x)的變化狀況以下表：x(－∞，0)0(0，＋∞)h′(x)－0＋h(x)極小值所以函數()的單一遞減區間為(－∞，0)，單一遞加區間為(0，＋∞)．hx(2)證明xlna，可得曲線y＝f(x)在點(x，f(x))處的切線斜率為ax1lna．由111a，可得曲線y＝g(x)在點(x2，g(x2))處的切線斜率為x21a.由于這兩條切線g′(x)＝xlnln平行，所以有ax1ln1a＝x2lna，即x2ax1(lna)2＝1，兩邊取以a為底的對數，得logax2＋x1＋2logalna＝0，所以x1＋g(x2)2lnlna＝－lna.(3)證明曲線y＝f(x)在點(x1，ax1)處的切線為l1y－ax1＝ax1lnaxx1y＝：·(－)．曲線g(x)在點(x，logx)處的切線為l1xlna2a22a221要證明當a≥ee時，存在直線l，使l是曲線y＝f(x)的切線，也是曲線y＝g(x)的切線，只1需證明當a≥e121與l2重合．e時，存在x∈(－∞，＋∞)，x∈(0，＋∞)，使得l1即只要證明當a≥ee時，下邊的方程組有解ax1lna＝1，①xln2ax1－x1ax1lna＝logax2－1，②lna3由①得，x2＝1，代入②，ax1lna2得ax1－x1ax1lna＋x1＋1＋2lnlna＝0.③lnalna1所以，只要證明當a≥ee時，對于x1的方程③存在實數解．設函數()＝x－xlna＋＋1＋2lnlna，uxaxaxlnalna1即要證明a≥ee時，函數u(x)存在零點．u′(x)＝1－(lna)2xax，可知當x∈(－∞，0)時，u′(x)>0；當x∈(0，＋∞)時，u′(x)11單一遞減，又u′(0)＝1>0，u′＝1－a(lna)2ln2<0，故存在獨一的x0，且x0>0，使得u′(x0)a＝0，即1－(lna)2x0ax0＝0.由此可得u(x)在(－∞，x0)上單一遞加，在(x0，＋∞)上單一遞減．u(x)在x＝x0處獲得極大值u(x0)．1由于a≥ee，所以lnlna≥－，1所以u(x0)＝ax0－x0ax0lna＋x0＋12lnlnalna＋lna＝12lnlna2＋2lnlnax0lna2＋x0＋lna≥lna≥0.下邊證明存在實數t，使得(t)<0.u由(1)可得ax≥1＋xlna，1時，有u(x)≤(1＋xlna)(1－xln12lnlna22當x>aa)＋x＋＋＝－(lna)x＋x＋1＋lnlnalna12ln