第五節

對數函數要點梳理·基礎落實考綱點擊一、對數的定義1．對數的定義(1)請根據下圖的提示填寫與對數有關的概念：知識掃描指數對數冪真數底數(2)其中a的取值范圍是：

．2．兩種常見對數對數形式特點記法常用對數底數為________自然對數底數為_______a>0，且a≠110lgNelnN二、對數的性質、換底公式與運算性質01NlogaM＋logaNlogaM－logaNnlogaM[辨析]1．“log2x2＝2log2x”對任意的x∈R都成立嗎？提示不是，只有x>0時才成立．三、對數函數的定義、圖像與性質定義函數

(a＞0且a≠1)叫做對數函數圖像a＞10＜a＜1y＝logax性質定義域：___________值域：__當x＝1時，y＝0，即過定點______當0＜x＜1時，y<0；當x＞1時，_____當0＜x＜1時，y>0；當x＞1時，____在(0，＋∞)上是_______在(0，＋∞)上是_______(0，＋∞)R(1，0)y>0y<0增函數減函數四、反函數指數函數y＝ax(a＞0且a≠1)與對數函數_______

(a＞0且a≠1)互為反函數，它們的圖像關于直線_____對稱．y＝logaxy＝x[辨析]2．函數y＝lg[(x＋3)(x－3)]與y＝lg(x＋3)＋lg(x－3)的定義域相同嗎？1．函數y＝log2|x|的圖象大致是解析函數y＝log2|x|為偶函數，作出x＞0時，y＝log2x的圖象，又y＝log2|x|的圖象關于y軸對稱，故選C.答案C小題熱身2．(2014·陜西)已知4a＝2，lgx＝a，則x＝________．3．(2014·天津)函數f(x)＝lgx2的單調遞減區間是________．解析函數f(x)＝lgx2的單調遞減區間需滿足x2>0且y＝x2單調遞減，故x∈(－∞，0)．答案(－∞，0)5．已知a＝log23.6，b＝log43.2，c＝log43.6，則a，b，c的大小關系為________．解析a＝log23.6＝log43.62，又∵函數y＝log4x在(0，＋∞)上單調遞增，且3.62>3.6>3.2，故a>c>b.答案a>c>b

(1)(2014·四川)已知b>0，log5b＝a，lgb＝c，5d＝10，則下列等式一定成立的是A．d＝ac

B．a＝cd

C．c＝ad

D．d＝a＋c【解析】

因為5d＝10，所以d＝log510，所以cd＝lgb·log510＝log5b＝a，故選B.【答案】

B考點突破·規律總結考點一對數式的化簡與求值例1[規律方法]

對數運算的一般思路(1)首先利用冪的運算把底數或真數進行變形，化成分數指數冪的形式，使冪的底數最簡，然后正用對數運算性質化簡合并．(2)將對數式化為同底數對數的和、差、倍數運算，然后逆用對數的運算性質，轉化為同底對數真數的積、商、冪的運算．◎變式訓練

(1)(2014·山東)已知函數y＝loga(x＋c)(a，c為常數，其中a>0，a≠1)的圖象如圖所示，則下列結論成立的是A．a>1，x>1B．a>1，0<c<1C．0<a<1，c>1D．0<a<1，0<c<1考點二對數函數的圖象及應用例2【解析】

由該函數的圖象通過第一、二、四象限，得該函數是減函數，∴0<a<1.∵圖象與x軸的交點在區間(0，1)之間，∴該函數的圖象是由函數y＝logax的圖象向左平移不到1個單位后得到的，∴0<c<1.【答案】

D【解析】

據題意，作出函數f(x)的圖象如圖所示．【答案】C[規律方法]

利用對數函數的圖象可求解的兩類熱點問題(1)對一些可通過平移、對稱變換作出其圖象的對稱型函數，在求解其單調性(單調區間)、值域(最值)、零點時，常利用數形結合思想求解．(2)一些對數型方程、不等式問題常轉化為相應的函數圖象問題，利用數形結合法求解．2．(2015·金山模擬)已知偶函數y＝f(x)(x∈R)滿足：f(x＋2)＝f(x)，并且當x∈[0，1]時，f(x)＝x，函數y＝f(x)(x∈R)與函數y＝|log3|x||的交點個數是________．◎變式訓練解析根據函數的周期性和奇偶性，在同一坐標系內作出函數y＝f(x)和y＝|log3|x||的圖象，如圖所示，由圖可知，兩函數圖象的交點個數為6.答案6考點三對數函數的性質及應用例3【答案】

①③④[規律方法]

研究對數型函數性質的注意點(1)注意函數的定義域；(2)注意底數與1的大小關系；(3)注意復合函數的構成，即它是由哪些基本初等函數復合而成．◎變式訓練創新設計·素能培優[思想方法引領]

3.數形結合思想在解決恒成立

問題中的應用數形結合的數學思想：包含“以形助數”和“以數助形”兩個方面，其應用大致可以分為兩種情形：一是借助形的生動性和直觀性來闡明數之間的聯系，即以形作為手段，數作為目的，比如應用函數的圖象來直觀地說明函數的性質；二是借助于數的精確性和規范嚴密性來闡明形的某些屬性，即以數作為手段，形作為目的，如應用曲線的方程來精確地闡明曲線的幾何性質．典例【答案】

B【點評】

(1)應用數形結合的思想方