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文檔簡介

拂曉 高中初中學(xué)習(xí)群237098752 涼回線性規(guī)劃問題1.二元一次不等式表示的區(qū)域1.1不等式表示的區(qū)域1.2不等式表示的區(qū)域1.3動(dòng)點(diǎn)所在的區(qū)域2.最值問題的求解策略2.1截距法判定平移方向2.2曲線型目標(biāo)函數(shù)的最值問題2.3旋轉(zhuǎn)法處理最優(yōu)解唯一的問題2.4平移法處理最優(yōu)解無數(shù)多的問題3.目標(biāo)函數(shù)的幾何意義3.1求的最值3.2方程的幾何意義3.3求的最值3.4求的最值4.數(shù)列、向量中的線性規(guī)劃4.1線性規(guī)劃視角下的平面向量問題4.2線性規(guī)劃視角下的數(shù)列問題1.二元一次不等式表示的區(qū)域1.1不等式表示的區(qū)域【典例1】若平面區(qū)域夾在兩條斜率為1的平行直線之間,則這兩條平行直線間的距離的最小值是()A. B. C. D.【解析】畫出不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示.由得,由得,由題意可知,當(dāng)斜率為1的兩條直線分別過點(diǎn)A和點(diǎn)B時(shí),兩直線的距離最小,即,故選B.【感悟】判斷二元一次不等式所表示的區(qū)域,較為安全的方法是將區(qū)域邊界所在直線方程用斜截式形式表示,即滿足的點(diǎn)在直線上方,滿足的點(diǎn)在直線下方,滿足的點(diǎn)在直線上.【挑戰(zhàn)1】1.點(diǎn)在直線上方,則實(shí)數(shù)的范圍是________.2.點(diǎn)在直線上方,則實(shí)數(shù)的范圍是________.3.已知,兩點(diǎn)分別在直線的兩側(cè),則實(shí)數(shù)的取值范圍為.4.已知圓C的方程為,若,兩點(diǎn)一個(gè)在圓C的內(nèi)部,一個(gè)在圓C的外部,則實(shí)數(shù)的取值范圍是________.5.已知,,若直線與線段有公共點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍為.【典例2】在平面上,過點(diǎn)作直線的垂線所得垂足稱為點(diǎn)在直線上的投影.由區(qū)域中的點(diǎn)在直線上的投影構(gòu)成的線段記為,則________.A.B.4C.D.【解析】如圖及其內(nèi)部為可行域,可行域內(nèi)的點(diǎn)在直線上的投影構(gòu)成了線段,即,而,由得,由得,所以.故選C.【感悟】解決此類問題,首先是畫出不等式組表示的平面區(qū)域,其次作區(qū)域圖形在已知直線上的投影時(shí),只需要作可行域的頂點(diǎn)在已知直線上的垂線并找到垂足,最后把距離最遠(yuǎn)的垂足連接即得投影構(gòu)成的線段.【挑戰(zhàn)2】1.在平面上,過點(diǎn)P作直線l的垂線所得的垂足稱為點(diǎn)P在直線l上的投影.由區(qū)域中的點(diǎn)在軸上的投影構(gòu)成的線段記為,則________.2.在平面上,過點(diǎn)P作直線l的垂線所得垂足稱為點(diǎn)P在直線l上的投影.由區(qū)域中的點(diǎn)在直線上的投影構(gòu)成的線段記為,則.3.在平面上,過點(diǎn)P作直線l的垂線所得垂足稱為點(diǎn)P在直線l上的投影.由區(qū)域中的點(diǎn)在直線上的投影構(gòu)成的線段記為,則________.1.2不等式表示的區(qū)域【典例】若變量滿足約束條件作圖表示該可行域.【解析】可化為作出可行域,如圖中平行四邊形ABCD的內(nèi)部及其邊界.【感悟】滿足的點(diǎn)的區(qū)域是兩條平行線及內(nèi)部(帶狀區(qū)域),滿足的點(diǎn)的區(qū)域也是兩條平行線及內(nèi)部,且邊界分別為,,因此滿足的區(qū)域一般是平行四邊形.【挑戰(zhàn)】1.不等式組所圍成的平面區(qū)域的面積是________.2.若x,y滿足x+1≤y≤2x,則2y–x的最小值是__________.【答案】32.【解析】由得,可行域如圖所示.令轉(zhuǎn)化為在點(diǎn)(1,2)處取得最小值,即最小值為3.1.3動(dòng)點(diǎn)所在的區(qū)域【典例*】在平面直角坐標(biāo)系中,已知平面區(qū)域且,求平面區(qū)域的面積.【解析】設(shè),則,,由得作出該不等式組表示的平面區(qū)域如圖.所以面積.【感悟】求點(diǎn)區(qū)域,就要通過換元轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)滿足的約束條件.【挑戰(zhàn)】1.在平面直角坐標(biāo)系中,平面區(qū)域,求平面區(qū)域的面積.2.已知點(diǎn)滿足,則點(diǎn)所在的平面區(qū)域的面積等于_______.2.最值問題的求解策略2.1截距法判定平移方向【典例1】已知滿足約束條件,求的最大值.【解析】作出可行域如圖中的陰影部分.因?yàn)橹本€的斜率為.目標(biāo)函數(shù)中的隨直線向上平移而增大,過點(diǎn)時(shí)取得最大值,最大值為.【感悟】將函數(shù)轉(zhuǎn)化為直線的斜截式,當(dāng)截距取得最大值時(shí),間接求出取得最大值;當(dāng)截距取得最小值時(shí),間接求出取得最小值.【挑戰(zhàn)1】1.設(shè)滿足,則最大值為________.2.設(shè)滿足,則的最大值為________.【典例2】若變量滿足約束條件則的最小值等于________.【解析】指數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞增,所以最小等價(jià)于最小,因此目標(biāo)函數(shù)變形為,畫出可行域.故將直線移到到過點(diǎn)時(shí),當(dāng)直線的縱截距最大,取最小值,最小值為.所以的最小值等于.【感悟】將函數(shù)轉(zhuǎn)化為直線的斜截式,當(dāng)截距取得最大值時(shí),間接求出取的最小值;當(dāng)截距取得最小值時(shí),間接求出取的最大值.【挑戰(zhàn)2】1.已知變量滿足約束條件,則的最大值為________.2.已知變量滿足約束條件,則的最大值為________.3.已知變量滿足約束條件,則的最小值為________.【典例3】若變量滿足約束條件則的最小值等于________.【解析】畫出可行域,目標(biāo)函數(shù)變形為,當(dāng)最小時(shí),直線的縱截距最小,故將直線移到過點(diǎn)時(shí),取到最小值,最小值為.【感悟】將函數(shù)轉(zhuǎn)化為直線的斜截式,當(dāng)截距取得最大值時(shí),間接求出取的最大值;當(dāng)截距取得最小值時(shí),間接求出取的最小值.【挑戰(zhàn)3】1.若變量滿足約束條件,則的最大值等于.2.若變量滿足約束條件,則的最大值等于.3.若變量滿足約束條件,則的最小值等于.【典例4】若變量滿足約束條件,則的最小值等于.【解析】畫出可行域,目標(biāo)函數(shù)變形為,當(dāng)最小時(shí),直線的縱截距最大,故將直線移到過點(diǎn)時(shí),取到最小值,最小值為.【感悟】將函數(shù)轉(zhuǎn)化為直線的斜截式,當(dāng)截距取得最大值時(shí),間接求出取的最小值;當(dāng)截距取得最小值時(shí),間接求出取的最大值.【挑戰(zhàn)4】1.已知實(shí)數(shù)滿足條件,且的最大值點(diǎn)有無窮多個(gè),則為_______.2.設(shè)滿足約束條件,則的最小值為________.2.2曲線型目標(biāo)函數(shù)的最值問題【典例】設(shè)實(shí)數(shù),滿足,則的最大值為()A.B.C.12D.14【解析】作出可行域如圖中陰影部分所示,,,.結(jié)合圖形可知,當(dāng)動(dòng)點(diǎn)在線段或上時(shí),取得最大值.當(dāng)動(dòng)點(diǎn)在線段上時(shí),此時(shí),又,當(dāng)時(shí),取得最大值.當(dāng)動(dòng)點(diǎn)在線段上時(shí),,,又,當(dāng)時(shí),取得最大值12.因?yàn)?,故的最大值為,所以選A.【感悟】曲線型的目標(biāo)函數(shù)的最值問題可利用①平移法:當(dāng)所求的最值是圓錐曲線上點(diǎn)到某直線的距離最值時(shí),可以通過作與這條直線平行的圓錐曲線的切線,則兩平行線間的距離就是所求的最值,切點(diǎn)就是曲線上取的最值的點(diǎn).②代數(shù)法:借助函數(shù)求最值得方法。運(yùn)用代數(shù)法,首先要建立“目標(biāo)函數(shù)”的特點(diǎn),靈活運(yùn)用求最值得方法.③配方法:若給定的“目標(biāo)函數(shù)”是二次函數(shù),可先對目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行配方,結(jié)合所給定的區(qū)間求解最值.【挑戰(zhàn)】1*.設(shè)二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域?yàn)?,使函?shù)且的圖象過區(qū)域的的取值范圍是()A. B.C. D.2.已知不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)镈,若函數(shù)的圖象上存在區(qū)域D上的點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A.B.C.D.3.已知,則的最大值是__.4*.設(shè)不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)镈,若函數(shù)且的圖象上存在區(qū)域上的點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是________.2.3旋轉(zhuǎn)法處理最優(yōu)解唯一的問題【典例1】已知滿足,且目標(biāo)函數(shù)僅在點(diǎn)處取得最小值,則實(shí)數(shù)的取值范圍是________.【解析】作出可行域?yàn)榧捌鋬?nèi)部.目標(biāo)函數(shù)僅在點(diǎn)處取得最小值,當(dāng)時(shí)顯然滿足條件.將直線繞著點(diǎn)逆時(shí)針轉(zhuǎn)到無限接近直線但不重合是滿足題意的;順時(shí)針轉(zhuǎn)到無限接近直線但不重合是滿足題意的.又直線的斜率為,結(jié)合圖形知,解得,故實(shí)數(shù)的取值范圍是.【感悟】(1)不論的正負(fù),其截距都是,在這種條件下,從過該點(diǎn)的直線進(jìn)行旋轉(zhuǎn)嘗試,不難發(fā)現(xiàn),目標(biāo)函數(shù)都取最小值.(2)區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)均在直線上方,這是截距能取到最小值的有利條件,也是依此為基準(zhǔn)旋轉(zhuǎn)和嘗試的基礎(chǔ).簡單地說,可行域內(nèi)的點(diǎn)都應(yīng)該在目標(biāo)函數(shù)線的上方,截距才能最小.【挑戰(zhàn)1】1.已知滿足,且目標(biāo)函數(shù)僅在點(diǎn)處取得最小值,則實(shí)數(shù)的取值范圍是________.2.已知滿足,且目標(biāo)函數(shù)僅在點(diǎn)處取得最小值,則實(shí)數(shù)的取值范圍是________.3.已知滿足,且目標(biāo)函數(shù)僅在點(diǎn)處取得最大值,則實(shí)數(shù)的取值范圍是________.4.已知滿足,且目標(biāo)函數(shù)僅在點(diǎn)處取得最大值,則實(shí)數(shù)的取值范圍是________.【典例2】已知滿足,且目標(biāo)函數(shù)僅在點(diǎn)處取得最大值,則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________.【解析】作出可行域?yàn)榧捌鋬?nèi)部,如圖.目標(biāo)函數(shù)僅在點(diǎn)處取得最大值,當(dāng)時(shí)顯然滿足條件.將直線繞著點(diǎn)逆時(shí)針轉(zhuǎn)到無限接近直線但不重合,截距最大;順時(shí)針轉(zhuǎn)到無限接近直線但不重合,截距最大.結(jié)合圖形知,解得,故實(shí)數(shù)的取值范圍是.【感悟】(1)不論是正是負(fù),其截距都是,在這種條件下,從過點(diǎn)的直線進(jìn)行旋轉(zhuǎn)嘗試,不難發(fā)現(xiàn),此類目標(biāo)函數(shù)都取最大值.提醒注意,此處直線繞著點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)不能超過垂直方向,否則其截距變得最小而不是最大.(2)選取截距最大,那么區(qū)域內(nèi)的所有的點(diǎn)都應(yīng)該在目標(biāo)函數(shù)線下,再嘗試旋轉(zhuǎn)才能得到最大截距.【挑戰(zhàn)2】1.已知滿足,且目標(biāo)函數(shù)僅在點(diǎn)處取得最大值,則實(shí)數(shù)的取值范圍是________.2.已知滿足,且目標(biāo)函數(shù)僅在點(diǎn)處取得最小值,則實(shí)數(shù)的取值范圍是________.3.已知滿足,且目標(biāo)函數(shù)僅在點(diǎn)處取得最小值,則實(shí)數(shù)的取值范圍是________.2.4平移法處理最優(yōu)解無數(shù)多的問題【典例】滿足約束條件,若取得最大值的最優(yōu)解不唯一,則實(shí)數(shù)的值為________.【解析】作出可行域.目標(biāo)函數(shù)線為,是的縱截距.令知,中的隨著直線向上平移而截距的值越大.又取得最大值的最優(yōu)解不唯一,直線與或與直線重合,故或.【感悟】最優(yōu)解的個(gè)數(shù)有無數(shù)個(gè),只能是目標(biāo)函數(shù)線最終和線性區(qū)域的邊界重合,其次平移的方向仍然需要依靠的幾何意義來判斷.【挑戰(zhàn)】1.已知滿足,且取得最小值的最優(yōu)解有無數(shù)多個(gè),則實(shí)數(shù)的取值是________.2.已知滿足,且取得最大值的最優(yōu)解有無數(shù)多個(gè),則實(shí)數(shù)的取值范圍是________.3.若滿足約束條件且取得最小值的最優(yōu)解不唯一,則實(shí)數(shù)的值為____.4.若滿足約束條件且取得最大值的最優(yōu)解不唯一,則實(shí)數(shù)的值為____.5.若滿足約束條件且取得最小值的最優(yōu)解不唯一,則實(shí)數(shù)的值為____.3.目標(biāo)函數(shù)的幾何意義3.1求的最值【典例】(1)已知滿足,求的最小值.(2)已知實(shí)數(shù)滿足則的取值范圍是________.【解析】(1)表示可行域內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離.假設(shè)垂足為,因?yàn)樗源棺銘?yīng)在線段的延長線上,點(diǎn)到點(diǎn)的距離應(yīng)該最短,,點(diǎn)自點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)的過程中是增大的,故的最小值為.圖(1)圖(1)(2)表示點(diǎn)(0,2)到點(diǎn)的距離的平方,作圖如圖(2)(0,2)到的距離最小為點(diǎn)(0,2)到直線的距離1,(0,2)到的距離最大為點(diǎn)(0,2)到點(diǎn)(1,6)的距離,故取值范圍是[1,17].【感悟】表示可行域內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離,D到可行域中的頂點(diǎn)處距離往往是最大或最小,如題(1).但是,本題(1)為什么還要判斷斜率呢?原因是最小距離不一定在可行域的頂點(diǎn)處取得,它有可能是定點(diǎn)到一條邊界線的距離,如題(2),本題(1)僅從圖形難以判斷的最小值是還是DH.此時(shí)我們可以求出垂足H的坐標(biāo),判斷垂足H是否在邊界AC上;也可以比較DC和DH的斜率,再結(jié)合圖形來判斷,當(dāng)然后者較為簡單.【挑戰(zhàn)】1.已知實(shí)數(shù)滿足則的最小值是______.的最小值是______.2.已知實(shí)數(shù)滿足,則的取值范圍是.的取值范圍是____.3.在平面直角坐標(biāo)系中,為不等式組所表示的區(qū)域上一動(dòng)點(diǎn),則的最小值是__.4.已知為某一直角三角形的三邊長,為斜邊,若點(diǎn)在直線l:上,則的最小值為________.5*.已知實(shí)數(shù)滿足則的最小值是________.6*.已知滿足求的最大值和最小值.7*.已知實(shí)數(shù)滿足則的最小值是________.3.2方程的幾何意義 【典例*】點(diǎn)到兩條直線的距離之和為3,求的最大值是.【解析】(法1)即和,點(diǎn)到兩條互相垂直的直線之間距離之和為3,即,分類討論取絕對值后發(fā)現(xiàn)點(diǎn)形成的區(qū)域是一個(gè)中心在原點(diǎn),以為對稱軸且對角線的一半長為3的正方形.的最大值就是正方形頂點(diǎn)到原點(diǎn)距離平方,即最大值是9.(法2)特殊化,落在直線上,所有的距離集中在一起,可得到該點(diǎn)P到原點(diǎn)距離為3,即最大值是9.(法3)由于兩條直線互相垂直,這與兩條互相垂直的坐標(biāo)軸是一樣,因此,點(diǎn)到兩條直線的距離之和為3,等價(jià)于點(diǎn)到兩坐標(biāo)軸的距離之和為3,所以,的最大值就是正方形頂點(diǎn)到原點(diǎn)距離平方,即最大值是9.【感悟】可以看成區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)到坐標(biāo)軸的距離之和,那么點(diǎn)到兩條互相垂直的直線之間距離之和也有類似性質(zhì).【挑戰(zhàn)】1.設(shè)變量,滿足,則的最大值為_____.2.點(diǎn)到兩條直線的距離之和為,則的最小值為.3.實(shí)數(shù)滿足等式,則的最小值是________.4.實(shí)數(shù)滿足等式,則的最大值是________.5.實(shí)數(shù)滿足不等式,則的最大值為;最小值為.6.實(shí)數(shù)滿足不等式,則的最大值是.3.3*求的最值【典例*】已知實(shí)數(shù)滿足求的最大值.【解析】作出可行域如圖中的陰影部分(含邊界).目標(biāo)函數(shù)的幾何意義為求可行域內(nèi)的點(diǎn)到直線距離.觀察圖形知點(diǎn)到直線的距離最大,.【感悟】(1)對于形如形式,將問題轉(zhuǎn)歸為可行域內(nèi)的點(diǎn)到直線距離的最值問題;(2)的最值問題除了轉(zhuǎn)化為,還可以直接求的取值范圍,再取絕對值求最值.【挑戰(zhàn)】1*.若P是滿足不等式組表示的平面區(qū)域內(nèi)的任意一點(diǎn),點(diǎn)P到直線3x+4y-12=0的距離為d,則實(shí)數(shù)d的取值范圍是________.2*.已知實(shí)數(shù)滿足則的最小值________.3.若點(diǎn)在圓的內(nèi)部及圓上,則的最小值為________.4.若點(diǎn)在圓的內(nèi)部及圓上,則的最小值為________.5*.已知整數(shù)滿足不等式,則的最大值是________.6*.已知整數(shù)滿足不等式,則的最小值是________.3.4*求的最值【典例1*】設(shè)滿足則的最小值為________.【解析】作出可行域如圖中的陰影部分,設(shè),因?yàn)橹本€的斜率為,目標(biāo)函數(shù)中的隨直線向上平移而增大,過點(diǎn)時(shí)取得最大值,;過點(diǎn)時(shí)取得最小值,.所以的最小值為0.典例典例1圖【感悟】形如目標(biāo)函數(shù)的最值其實(shí)就是的取值范圍的絕對值,若,其中,則最小值是;若,則最小值是0;若,,則最小值是.【挑戰(zhàn)1】1*.已知使?jié)M足約束條件則的最大值是.2*.若變量滿足約束條件,則的最小值等于________.3*.設(shè)滿足約束條件,則的最大值為________.【典例2】若點(diǎn)在圓的內(nèi)部及圓上,求的最小值.【解析】如圖,直線與圓有兩個(gè)交點(diǎn)和,直線在圓右上方,當(dāng)時(shí)無法形成可行域,故==當(dāng)時(shí),設(shè),直線恰好過點(diǎn)時(shí),最小,;當(dāng)時(shí),設(shè),直線恰好過點(diǎn)時(shí),最小,.綜上,的最小值是3.典例典例2圖【感悟】目標(biāo)函數(shù)帶絕對值號的一類特殊線性規(guī)劃問題可化為一般的線性規(guī)劃問題來求解,一般可根據(jù)點(diǎn)線距離型目標(biāo)函數(shù)的最值問題,有時(shí)也需要根據(jù)絕對值內(nèi)的式子進(jìn)行分類討論得出最值.【挑戰(zhàn)2】1*.已知實(shí)數(shù)滿足則的最小值________.2.若點(diǎn)在圓的內(nèi)部及圓上,則的最小值為________.3.若點(diǎn)在圓的內(nèi)部及圓上,則的最小值為________.4.數(shù)列、向量中的線性規(guī)劃4.1線性規(guī)劃視角下的平面向量問題【典例】完成下列各題:(1)已知向量,且.若滿足不等式,則的取值范圍為() A. B. C. D. (2)已知點(diǎn)滿足,則的取值范圍是.(3)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,正方形的邊長為1,為的中點(diǎn),若為正方形內(nèi)(含邊界)任意一點(diǎn),則的最大值為__________.【解析】(1),且,,即.又表示的區(qū)域?yàn)閳D中陰影部分,當(dāng)過點(diǎn)時(shí),,當(dāng)過點(diǎn)時(shí),,(2)根據(jù)向量夾角的公式表示向量與夾角的余弦值,即,根據(jù)圖形可知,,,所以的取值范圍是.典例(2)圖典例(2)圖(3)因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn),正方形的邊長為1,所以,得,又為正方形內(nèi)(含邊界)任意一點(diǎn),設(shè)則,滿足,又,故當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)處時(shí),的最大值為.【感悟】線性規(guī)劃問題,要確定目標(biāo)函數(shù)的幾何意義,是求橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)、直線的截距、兩點(diǎn)間距離的平方、直線的斜率、還是點(diǎn)到直線的距離等等,這里即,此時(shí)的幾何意義就是直線在上的截距.當(dāng)然,在很多問題中,從表面上也許看不出是線性規(guī)劃問題,但是只要稍微轉(zhuǎn)化就會(huì)露出“廬山真面目”,如(1)由題得,即,可見本題就是簡單的線性規(guī)劃問題;(3)只有得到,才能感覺到線性規(guī)劃的存在.問題(2)從條件看很容易聯(lián)想到是線性規(guī)劃問題。根據(jù)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),聯(lián)想到兩個(gè)向量的夾角公式和三角函數(shù)的定義。法1中的最小值是0,而不是,所以的最小值不在邊界處取得.【挑戰(zhàn)】1.在直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn),點(diǎn)在三邊圍成的區(qū)域(含邊界)上.設(shè),用表示,并求的最大值.2.已知點(diǎn)滿足,則的取值范圍是.3.已知正方形的邊長為2,為的中點(diǎn),若為正方形內(nèi)(含邊界)任意一點(diǎn),則的最大值為__________.4.已知點(diǎn)和圓,是圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),且,則(為坐標(biāo)原點(diǎn))的取值范圍是4.2線性規(guī)劃視角下的數(shù)列問題【典例1】(1)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,已知,,則的最大值是.(2)各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中,若,,,則的取值范圍是.【解析】(1)(法1):,即,得,,所以,最大值為.(法2):,即,轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題,得最大值為.(2)【解析】各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中,,,,設(shè),滿足,如圖,則=,直線過點(diǎn)P截距最小,過A截距最大。因此,,所以,所以的取值范圍是?!靖形颉坑龅蕉淮尾坏仁浇M的問題以及求目標(biāo)函數(shù)的最值時(shí),都可以考慮用線性規(guī)劃.只是變量名的轉(zhuǎn)化而已.【挑戰(zhàn)】1.設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,若,則的取值范圍是______2.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為,,則的最大值是.3.等差數(shù)列中,已知,,則的取值范圍是.4.設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)及公差分別為,,前項(xiàng)和為,且則的最大值是.1二元一次不等式表示的區(qū)域1.1不等式表示的區(qū)域【挑戰(zhàn)1】1.【解析】在直線上方的點(diǎn)滿足不等式,所以.2.【解析】在直線上方的點(diǎn)滿足不等式,所以.3.【解析】,即.4.【解析】由,解得.5.【解析】由,解得或.【挑戰(zhàn)2】1.4【解析】畫出可行域如圖中及其內(nèi)部,,,.第1、2題圖第1、2題圖2.【解析】畫出可行域如圖中及其內(nèi)部,,,,可行域內(nèi)的點(diǎn)在直線上的投影構(gòu)成了線段即,易得,.3.2【解析】線段AB的長應(yīng)等于圓的直徑,所以AB=2.1.2不等式表示的區(qū)域【挑戰(zhàn)】1.2【解析】根據(jù)題意作出不等式組所表示的平面區(qū)域,該區(qū)域?yàn)檎叫螀^(qū)域,其中該正方形的邊長為,所以該平面區(qū)域的面積為.1.3動(dòng)點(diǎn)所在的區(qū)域【挑戰(zhàn)】1.2【解析】令,則點(diǎn),滿足在平面內(nèi)畫出點(diǎn)所構(gòu)成的平面區(qū)域,易得其面積為2.2.4【解析】設(shè),解得即所以點(diǎn)滿足易知點(diǎn)所表示的平面區(qū)域是一個(gè)三角形,其面積為4.2最值問題的求解策略2.1截距法判定平移方向【挑戰(zhàn)1】1.18【解析】當(dāng)目標(biāo)函數(shù)所表示的直線經(jīng)過B(0,3)時(shí),取最大值為18.2.5【解析】作出可行域如圖中的陰影部分.因?yàn)橹本€的斜率為,目標(biāo)函數(shù)中的隨直線向上平移而增大,過點(diǎn)時(shí)取得最大值,.【挑戰(zhàn)2】1.1【解析】作出可行域如圖所示.由得,平移直線可知過點(diǎn)時(shí),直線在軸上的截距最小,此時(shí)最大為1.2.4【解析】畫出可行域.對于目標(biāo)函數(shù)可化為,平移直線,可知過點(diǎn)時(shí),直線在軸上的截距最小,此時(shí)的最大值為4.3.【解析】畫出可行域.可化為將直線進(jìn)行平移可知當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí),取得最小值為.【挑戰(zhàn)3】1.0【解析】畫出可行域,目標(biāo)函數(shù)變形為,當(dāng)最大時(shí),直線的縱截距最大,故將直線移到過點(diǎn)時(shí),取到最大值,最大值為0.2.5【解析】畫出可行域,目標(biāo)函數(shù)變形為,平移直線.可知直線過點(diǎn)時(shí),直線在軸上截距最大,取到最大值,的最大值為5.3.-7【解析】畫出可行域,目標(biāo)函數(shù)變形為,平移直線.可知直線過點(diǎn)時(shí),直線在軸上截距最小,取到最小值,的最小值為-7.【挑戰(zhàn)4】1.【解析】將轉(zhuǎn)化為,由目標(biāo)函數(shù)最大值點(diǎn)有無窮多個(gè)可知,.2.【解析】將轉(zhuǎn)化為,平移函數(shù)可知,當(dāng)函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)時(shí),取得最小值為.2.2曲線型目標(biāo)函數(shù)的最值問題【挑戰(zhàn)】1.C【解析】作出平面區(qū)域?yàn)榧捌鋬?nèi)部.聯(lián)立得,.當(dāng)過點(diǎn)時(shí),函數(shù)為;當(dāng)過點(diǎn)時(shí),,,函數(shù)為,結(jié)合圖形可知,使函數(shù)(,)的圖象過區(qū)域的的取值范圍是,故選C.2.D【解析】不等式組表示的平面區(qū)域圖所示的及其內(nèi)部.沿直線上下平移函數(shù)的圖象.由圖可知,當(dāng)圖象過點(diǎn)時(shí),取最大值,代入即可求出,當(dāng)圖象過點(diǎn)時(shí),代入即可求出;所以實(shí)數(shù)的取之范圍為.故選D.3.5【解析】令,則可知當(dāng)時(shí),,故應(yīng)填.4.【解析】畫出可行域,如圖所示.當(dāng)時(shí),過可行域的最低點(diǎn).當(dāng)時(shí),在第四象限的圖象更高些,經(jīng)過可行域;當(dāng)時(shí),過可行域的最高點(diǎn);當(dāng)時(shí),在第一象限的圖象更低些,經(jīng)過可行域.故的取值范圍是.2.3旋轉(zhuǎn)法處理最優(yōu)解唯一的問題【挑戰(zhàn)1】1.【解析】作出可行域?yàn)榧捌鋬?nèi)部.目標(biāo)函數(shù)僅在點(diǎn)處取得最小值,將直線從繞著點(diǎn)逆時(shí)針轉(zhuǎn)到無限接近直線但不重合,其截距都最小,結(jié)合圖形知,故實(shí)數(shù)的取值范圍是.第1-4題圖2.【解析】作出可行域?yàn)榧捌鋬?nèi)部.目標(biāo)函數(shù)僅在點(diǎn)處取得最小值,將直線繞著點(diǎn)順時(shí)針轉(zhuǎn)到無限接近直線但不重合,目標(biāo)函數(shù)的值最小,結(jié)合圖形知,解得,故實(shí)數(shù)的取值范圍是.3.【解析】作出可行域?yàn)榧捌鋬?nèi)部.目標(biāo)函數(shù)僅在點(diǎn)處取得最大值,將直線繞著點(diǎn)逆時(shí)針轉(zhuǎn)到無限接近直線但不重合,其截距都最小,結(jié)合圖形知,故實(shí)數(shù)的取值范圍是.4.【解析】作出可行域?yàn)榧捌鋬?nèi)部.目標(biāo)函數(shù)僅在點(diǎn)處取得最大值,將直線繞著點(diǎn)順時(shí)針轉(zhuǎn)到無限接近直線但不重合,目標(biāo)函數(shù)的值最大,結(jié)合圖形知,故實(shí)數(shù)的取值范圍是.【挑戰(zhàn)2】1.【解析】作出可行域?yàn)榧捌鋬?nèi)部.目標(biāo)函數(shù)僅在點(diǎn)處取得最大值,將直線從繞著點(diǎn)順時(shí)針轉(zhuǎn)到無限接近直線但不重合,其截距都最大,結(jié)合圖形知,,故實(shí)數(shù)的取值范圍是.2.【解析】作出可行域?yàn)榧捌鋬?nèi)部.目標(biāo)函數(shù)僅在點(diǎn)處取得最小值,將直線繞著點(diǎn)順時(shí)針轉(zhuǎn)到無限接近直線但不重合,其截距都最大,最小,結(jié)合圖形知,故實(shí)數(shù)的取值范圍是.3.【解析】作出可行域?yàn)榧捌鋬?nèi)部.目標(biāo)函數(shù)僅在點(diǎn)處取得最小值,將直線繞著點(diǎn)逆時(shí)針轉(zhuǎn)到無限接近直線但不重合,目標(biāo)函數(shù)線的截距最大,最小,結(jié)合圖形知.故實(shí)數(shù)的取值范圍是.2.4平移法處理最優(yōu)解無數(shù)多的問題【挑戰(zhàn)】1.或-2【解析】當(dāng)直線與直線或重合時(shí),在無數(shù)個(gè)點(diǎn)處取得最小值,所以或,即或.2.【解析】當(dāng)直線與直線重合時(shí),在無數(shù)個(gè)點(diǎn)處取得最大值,所以,即.3.【解析】如圖,直線與重合,故.4.【解析】如第3題圖.直線與重合,故.5.2或-1【解析】如第3題圖.直線與直線或重合時(shí),在無數(shù)個(gè)點(diǎn)處取得最小值,所以或3目標(biāo)函數(shù)的幾何意義3.1求的最值1.52【解析】因?yàn)?,表示點(diǎn)(x,y)到的距離的平方如下圖,第1題圖第1題圖因?yàn)椋硎军c(diǎn)(x,y)到(3,0)的距離的平方.(此時(shí)).第1題圖第1題圖2.【解析】如圖,表示可行域內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)到原點(diǎn)O的距離OP.OP的最小值是原點(diǎn)到直線AC:的距離,.又.所以的取值范圍是.表示可行域內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離,又所以,且,所以過D作AC垂線的垂足在可行域外,所以,,所以的取值范圍是3.【解析】如圖,所示陰影部分為可行域,第3題第3題圖數(shù)形結(jié)合可知,原點(diǎn)到直線的垂線段長是的最小值,所以.4.4【解析】點(diǎn)P在直線上,為直線l上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的平方.當(dāng)OP⊥l時(shí),距離最?。剩?.10【解析】因?yàn)楸硎军c(diǎn)到原點(diǎn)的距離的平方與5的和.如圖.第5題圖第5題圖6.【解析】如圖,作出可行域?yàn)榧捌鋬?nèi)部,,,.設(shè)可行域內(nèi),,則點(diǎn)在直線()的左下方的區(qū)域內(nèi),.點(diǎn)到直線的距離為,,數(shù)形結(jié)合知,.7.5【解析】作出不等式組表示的平面區(qū)域,表示點(diǎn)(0,2)到(x,y)的距離的平方再加1,故的最小值是5.3.2方程的幾何意義 【挑戰(zhàn)】1.2【解析】的圖形是正方形的四條邊,如圖,所以的最大值為2.2.1【解析】點(diǎn)形成的區(qū)域是一個(gè)中心在原點(diǎn),以為對稱軸且對角線的一半長為的正方形.原點(diǎn)到正方形的邊的距離為最小距離,所以的最小值是1.3.【解析】滿足的點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)正方形區(qū)域,的最小值為.4.10【解析】令,,轉(zhuǎn)化為已知,求的最大值.表示正方形區(qū)域

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