拂曉 高中初中學(xué)習(xí)群237098752 涼回線性規(guī)劃問題1.二元一次不等式表示的區(qū)域1.1不等式表示的區(qū)域1.2不等式表示的區(qū)域1.3動(dòng)點(diǎn)所在的區(qū)域2.最值問題的求解策略2.1截距法判定平移方向2.2曲線型目標(biāo)函數(shù)的最值問題2.3旋轉(zhuǎn)法處理最優(yōu)解唯一的問題2.4平移法處理最優(yōu)解無數(shù)多的問題3.目標(biāo)函數(shù)的幾何意義3.1求的最值3.2方程的幾何意義3.3求的最值3.4求的最值4.數(shù)列、向量中的線性規(guī)劃4.1線性規(guī)劃視角下的平面向量問題4.2線性規(guī)劃視角下的數(shù)列問題1.二元一次不等式表示的區(qū)域1.1不等式表示的區(qū)域【典例1】若平面區(qū)域夾在兩條斜率為1的平行直線之間，則這兩條平行直線間的距離的最小值是（）A. B. C. D.【解析】畫出不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示.由得,由得，由題意可知，當(dāng)斜率為1的兩條直線分別過點(diǎn)A和點(diǎn)B時(shí)，兩直線的距離最小，即，故選B.【感悟】判斷二元一次不等式所表示的區(qū)域，較為安全的方法是將區(qū)域邊界所在直線方程用斜截式形式表示，即滿足的點(diǎn)在直線上方，滿足的點(diǎn)在直線下方，滿足的點(diǎn)在直線上.【挑戰(zhàn)1】1.點(diǎn)在直線上方，則實(shí)數(shù)的范圍是________．2.點(diǎn)在直線上方，則實(shí)數(shù)的范圍是________．3.已知，兩點(diǎn)分別在直線的兩側(cè)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．4.已知圓C的方程為，若，兩點(diǎn)一個(gè)在圓C的內(nèi)部，一個(gè)在圓C的外部，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________．5.已知，，若直線與線段有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．【典例2】在平面上，過點(diǎn)作直線的垂線所得垂足稱為點(diǎn)在直線上的投影．由區(qū)域中的點(diǎn)在直線上的投影構(gòu)成的線段記為，則________．A．B．4C．D．【解析】如圖及其內(nèi)部為可行域，可行域內(nèi)的點(diǎn)在直線上的投影構(gòu)成了線段，即，而，由得，由得，所以．故選C．【感悟】解決此類問題，首先是畫出不等式組表示的平面區(qū)域，其次作區(qū)域圖形在已知直線上的投影時(shí)，只需要作可行域的頂點(diǎn)在已知直線上的垂線并找到垂足，最后把距離最遠(yuǎn)的垂足連接即得投影構(gòu)成的線段.【挑戰(zhàn)2】1.在平面上，過點(diǎn)P作直線l的垂線所得的垂足稱為點(diǎn)P在直線l上的投影．由區(qū)域中的點(diǎn)在軸上的投影構(gòu)成的線段記為，則________．2.在平面上，過點(diǎn)P作直線l的垂線所得垂足稱為點(diǎn)P在直線l上的投影．由區(qū)域中的點(diǎn)在直線上的投影構(gòu)成的線段記為，則．3.在平面上，過點(diǎn)P作直線l的垂線所得垂足稱為點(diǎn)P在直線l上的投影．由區(qū)域中的點(diǎn)在直線上的投影構(gòu)成的線段記為，則________．1.2不等式表示的區(qū)域【典例】若變量滿足約束條件作圖表示該可行域.【解析】可化為作出可行域，如圖中平行四邊形ABCD的內(nèi)部及其邊界.【感悟】滿足的點(diǎn)的區(qū)域是兩條平行線及內(nèi)部(帶狀區(qū)域)，滿足的點(diǎn)的區(qū)域也是兩條平行線及內(nèi)部，且邊界分別為，，因此滿足的區(qū)域一般是平行四邊形.【挑戰(zhàn)】1.不等式組所圍成的平面區(qū)域的面積是________．2.若x，y滿足x+1≤y≤2x，則2y–x的最小值是__________．【答案】32.【解析】由得，可行域如圖所示.令轉(zhuǎn)化為在點(diǎn)（1，2）處取得最小值，即最小值為3.1.3動(dòng)點(diǎn)所在的區(qū)域【典例*】在平面直角坐標(biāo)系中，已知平面區(qū)域且，求平面區(qū)域的面積.【解析】設(shè)，則，，由得作出該不等式組表示的平面區(qū)域如圖.所以面積．【感悟】求點(diǎn)區(qū)域，就要通過換元轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)滿足的約束條件.【挑戰(zhàn)】1.在平面直角坐標(biāo)系中，平面區(qū)域，求平面區(qū)域的面積.2.已知點(diǎn)滿足，則點(diǎn)所在的平面區(qū)域的面積等于_______.2.最值問題的求解策略2.1截距法判定平移方向【典例1】已知滿足約束條件，求的最大值.【解析】作出可行域如圖中的陰影部分.因?yàn)橹本€的斜率為.目標(biāo)函數(shù)中的隨直線向上平移而增大，過點(diǎn)時(shí)取得最大值，最大值為．【感悟】將函數(shù)轉(zhuǎn)化為直線的斜截式，當(dāng)截距取得最大值時(shí)，間接求出取得最大值；當(dāng)截距取得最小值時(shí)，間接求出取得最小值.【挑戰(zhàn)1】1.設(shè)滿足，則最大值為________．2.設(shè)滿足，則的最大值為________．【典例2】若變量滿足約束條件則的最小值等于________．【解析】指數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以最小等價(jià)于最小，因此目標(biāo)函數(shù)變形為，畫出可行域.故將直線移到到過點(diǎn)時(shí)，當(dāng)直線的縱截距最大，取最小值，最小值為．所以的最小值等于.【感悟】將函數(shù)轉(zhuǎn)化為直線的斜截式，當(dāng)截距取得最大值時(shí)，間接求出取的最小值；當(dāng)截距取得最小值時(shí)，間接求出取的最大值.【挑戰(zhàn)2】1.已知變量滿足約束條件，則的最大值為________．2.已知變量滿足約束條件，則的最大值為________．3.已知變量滿足約束條件，則的最小值為________．【典例3】若變量滿足約束條件則的最小值等于________．【解析】畫出可行域，目標(biāo)函數(shù)變形為，當(dāng)最小時(shí)，直線的縱截距最小，故將直線移到過點(diǎn)時(shí)，取到最小值，最小值為．【感悟】將函數(shù)轉(zhuǎn)化為直線的斜截式，當(dāng)截距取得最大值時(shí)，間接求出取的最大值；當(dāng)截距取得最小值時(shí)，間接求出取的最小值.【挑戰(zhàn)3】1.若變量滿足約束條件，則的最大值等于．2.若變量滿足約束條件，則的最大值等于．3.若變量滿足約束條件，則的最小值等于．【典例4】若變量滿足約束條件，則的最小值等于．【解析】畫出可行域，目標(biāo)函數(shù)變形為，當(dāng)最小時(shí)，直線的縱截距最大，故將直線移到過點(diǎn)時(shí)，取到最小值，最小值為．【感悟】將函數(shù)轉(zhuǎn)化為直線的斜截式，當(dāng)截距取得最大值時(shí)，間接求出取的最小值；當(dāng)截距取得最小值時(shí)，間接求出取的最大值.【挑戰(zhàn)4】1.已知實(shí)數(shù)滿足條件，且的最大值點(diǎn)有無窮多個(gè)，則為_______．2.設(shè)滿足約束條件，則的最小值為________．2.2曲線型目標(biāo)函數(shù)的最值問題【典例】設(shè)實(shí)數(shù)，滿足，則的最大值為（）A.B.C.12D.14【解析】作出可行域如圖中陰影部分所示，，，.結(jié)合圖形可知，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)在線段或上時(shí)，取得最大值.當(dāng)動(dòng)點(diǎn)在線段上時(shí)，此時(shí)，又，當(dāng)時(shí)，取得最大值.當(dāng)動(dòng)點(diǎn)在線段上時(shí)，，，又，當(dāng)時(shí)，取得最大值12.因?yàn)?，故的最大值為，所以選A.【感悟】曲線型的目標(biāo)函數(shù)的最值問題可利用①平移法：當(dāng)所求的最值是圓錐曲線上點(diǎn)到某直線的距離最值時(shí)，可以通過作與這條直線平行的圓錐曲線的切線，則兩平行線間的距離就是所求的最值，切點(diǎn)就是曲線上取的最值的點(diǎn).②代數(shù)法：借助函數(shù)求最值得方法。運(yùn)用代數(shù)法，首先要建立“目標(biāo)函數(shù)”的特點(diǎn)，靈活運(yùn)用求最值得方法.③配方法：若給定的“目標(biāo)函數(shù)”是二次函數(shù)，可先對目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行配方，結(jié)合所給定的區(qū)間求解最值.【挑戰(zhàn)】1*.設(shè)二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域?yàn)?，使函?shù)且的圖象過區(qū)域的的取值范圍是（）A． B．C． D．2.已知不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)镈，若函數(shù)的圖象上存在區(qū)域D上的點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．D．3.已知，則的最大值是__．4*.設(shè)不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)镈，若函數(shù)且的圖象上存在區(qū)域上的點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________．2.3旋轉(zhuǎn)法處理最優(yōu)解唯一的問題【典例1】已知滿足，且目標(biāo)函數(shù)僅在點(diǎn)處取得最小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________．【解析】作出可行域?yàn)榧捌鋬?nèi)部．目標(biāo)函數(shù)僅在點(diǎn)處取得最小值，當(dāng)時(shí)顯然滿足條件．將直線繞著點(diǎn)逆時(shí)針轉(zhuǎn)到無限接近直線但不重合是滿足題意的；順時(shí)針轉(zhuǎn)到無限接近直線但不重合是滿足題意的.又直線的斜率為，結(jié)合圖形知，解得，故實(shí)數(shù)的取值范圍是．【感悟】（1）不論的正負(fù)，其截距都是，在這種條件下，從過該點(diǎn)的直線進(jìn)行旋轉(zhuǎn)嘗試，不難發(fā)現(xiàn),目標(biāo)函數(shù)都取最小值．（2）區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)均在直線上方，這是截距能取到最小值的有利條件，也是依此為基準(zhǔn)旋轉(zhuǎn)和嘗試的基礎(chǔ).簡單地說，可行域內(nèi)的點(diǎn)都應(yīng)該在目標(biāo)函數(shù)線的上方，截距才能最小.【挑戰(zhàn)1】1.已知滿足，且目標(biāo)函數(shù)僅在點(diǎn)處取得最小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________．2.已知滿足，且目標(biāo)函數(shù)僅在點(diǎn)處取得最小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________．3.已知滿足，且目標(biāo)函數(shù)僅在點(diǎn)處取得最大值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________．4.已知滿足，且目標(biāo)函數(shù)僅在點(diǎn)處取得最大值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________．【典例2】已知滿足，且目標(biāo)函數(shù)僅在點(diǎn)處取得最大值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________．【解析】作出可行域?yàn)榧捌鋬?nèi)部，如圖．目標(biāo)函數(shù)僅在點(diǎn)處取得最大值，當(dāng)時(shí)顯然滿足條件．將直線繞著點(diǎn)逆時(shí)針轉(zhuǎn)到無限接近直線但不重合，截距最大；順時(shí)針轉(zhuǎn)到無限接近直線但不重合，截距最大.結(jié)合圖形知，解得，故實(shí)數(shù)的取值范圍是．【感悟】（1）不論是正是負(fù)，其截距都是，在這種條件下，從過點(diǎn)的直線進(jìn)行旋轉(zhuǎn)嘗試，不難發(fā)現(xiàn),此類目標(biāo)函數(shù)都取最大值．提醒注意，此處直線繞著點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)不能超過垂直方向，否則其截距變得最小而不是最大.（2）選取截距最大，那么區(qū)域內(nèi)的所有的點(diǎn)都應(yīng)該在目標(biāo)函數(shù)線下，再嘗試旋轉(zhuǎn)才能得到最大截距.【挑戰(zhàn)2】1.已知滿足，且目標(biāo)函數(shù)僅在點(diǎn)處取得最大值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________．2.已知滿足，且目標(biāo)函數(shù)僅在點(diǎn)處取得最小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________．3.已知滿足，且目標(biāo)函數(shù)僅在點(diǎn)處取得最小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________．2.4平移法處理最優(yōu)解無數(shù)多的問題【典例】滿足約束條件，若取得最大值的最優(yōu)解不唯一，則實(shí)數(shù)的值為________．【解析】作出可行域.目標(biāo)函數(shù)線為，是的縱截距.令知，中的隨著直線向上平移而截距的值越大.又取得最大值的最優(yōu)解不唯一，直線與或與直線重合，故或．【感悟】最優(yōu)解的個(gè)數(shù)有無數(shù)個(gè)，只能是目標(biāo)函數(shù)線最終和線性區(qū)域的邊界重合，其次平移的方向仍然需要依靠的幾何意義來判斷.【挑戰(zhàn)】1.已知滿足，且取得最小值的最優(yōu)解有無數(shù)多個(gè)，則實(shí)數(shù)的取值是________．2.已知滿足，且取得最大值的最優(yōu)解有無數(shù)多個(gè)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________．3.若滿足約束條件且取得最小值的最優(yōu)解不唯一，則實(shí)數(shù)的值為____．4.若滿足約束條件且取得最大值的最優(yōu)解不唯一，則實(shí)數(shù)的值為____．5.若滿足約束條件且取得最小值的最優(yōu)解不唯一，則實(shí)數(shù)的值為____．3.目標(biāo)函數(shù)的幾何意義3.1求的最值【典例】（1）已知滿足，求的最小值．（2）已知實(shí)數(shù)滿足則的取值范圍是________．【解析】（1）表示可行域內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離．假設(shè)垂足為，因?yàn)樗源棺銘?yīng)在線段的延長線上，點(diǎn)到點(diǎn)的距離應(yīng)該最短，，點(diǎn)自點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)的過程中是增大的，故的最小值為．圖（1）圖（1）（2）表示點(diǎn)（0,2）到點(diǎn)的距離的平方，作圖如圖（2）（0,2）到的距離最小為點(diǎn)(0，2)到直線的距離1，（0,2）到的距離最大為點(diǎn)(0，2)到點(diǎn)（1,6）的距離，故取值范圍是[1，17].【感悟】表示可行域內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離，D到可行域中的頂點(diǎn)處距離往往是最大或最小，如題（1）．但是，本題（1）為什么還要判斷斜率呢？原因是最小距離不一定在可行域的頂點(diǎn)處取得，它有可能是定點(diǎn)到一條邊界線的距離，如題（2），本題（1）僅從圖形難以判斷的最小值是還是DH.此時(shí)我們可以求出垂足H的坐標(biāo)，判斷垂足H是否在邊界AC上；也可以比較DC和DH的斜率，再結(jié)合圖形來判斷，當(dāng)然后者較為簡單.【挑戰(zhàn)】1.已知實(shí)數(shù)滿足則的最小值是______．的最小值是______．2.已知實(shí)數(shù)滿足，則的取值范圍是.的取值范圍是____．3.在平面直角坐標(biāo)系中，為不等式組所表示的區(qū)域上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是__．4.已知為某一直角三角形的三邊長，為斜邊，若點(diǎn)在直線l:上，則的最小值為________．5*.已知實(shí)數(shù)滿足則的最小值是________．6*.已知滿足求的最大值和最小值.7*.已知實(shí)數(shù)滿足則的最小值是________．3.2方程的幾何意義 【典例*】點(diǎn)到兩條直線的距離之和為3，求的最大值是．【解析】（法1）即和，點(diǎn)到兩條互相垂直的直線之間距離之和為3，即，分類討論取絕對值后發(fā)現(xiàn)點(diǎn)形成的區(qū)域是一個(gè)中心在原點(diǎn)，以為對稱軸且對角線的一半長為3的正方形.的最大值就是正方形頂點(diǎn)到原點(diǎn)距離平方，即最大值是9．（法2）特殊化，落在直線上，所有的距離集中在一起，可得到該點(diǎn)P到原點(diǎn)距離為3，即最大值是9．（法3）由于兩條直線互相垂直，這與兩條互相垂直的坐標(biāo)軸是一樣，因此，點(diǎn)到兩條直線的距離之和為3，等價(jià)于點(diǎn)到兩坐標(biāo)軸的距離之和為3，所以，的最大值就是正方形頂點(diǎn)到原點(diǎn)距離平方，即最大值是9．【感悟】可以看成區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)到坐標(biāo)軸的距離之和，那么點(diǎn)到兩條互相垂直的直線之間距離之和也有類似性質(zhì)．【挑戰(zhàn)】1.設(shè)變量，滿足，則的最大值為_____．2.點(diǎn)到兩條直線的距離之和為,則的最小值為．3.實(shí)數(shù)滿足等式，則的最小值是________．4.實(shí)數(shù)滿足等式，則的最大值是________．5.實(shí)數(shù)滿足不等式，則的最大值為；最小值為.6.實(shí)數(shù)滿足不等式，則的最大值是.3.3*求的最值【典例*】已知實(shí)數(shù)滿足求的最大值．【解析】作出可行域如圖中的陰影部分（含邊界）．目標(biāo)函數(shù)的幾何意義為求可行域內(nèi)的點(diǎn)到直線距離．觀察圖形知點(diǎn)到直線的距離最大，．【感悟】（1）對于形如形式，將問題轉(zhuǎn)歸為可行域內(nèi)的點(diǎn)到直線距離的最值問題；（2）的最值問題除了轉(zhuǎn)化為，還可以直接求的取值范圍，再取絕對值求最值．【挑戰(zhàn)】1*.若P是滿足不等式組表示的平面區(qū)域內(nèi)的任意一點(diǎn)，點(diǎn)P到直線3x＋4y－12＝0的距離為d，則實(shí)數(shù)d的取值范圍是________．2*.已知實(shí)數(shù)滿足則的最小值________．3.若點(diǎn)在圓的內(nèi)部及圓上，則的最小值為________．4.若點(diǎn)在圓的內(nèi)部及圓上，則的最小值為________．5*.已知整數(shù)滿足不等式，則的最大值是________．6*.已知整數(shù)滿足不等式，則的最小值是________．3.4*求的最值【典例1*】設(shè)滿足則的最小值為________．【解析】作出可行域如圖中的陰影部分，設(shè)，因?yàn)橹本€的斜率為，目標(biāo)函數(shù)中的隨直線向上平移而增大，過點(diǎn)時(shí)取得最大值，；過點(diǎn)時(shí)取得最小值，．所以的最小值為0.典例典例1圖【感悟】形如目標(biāo)函數(shù)的最值其實(shí)就是的取值范圍的絕對值，若，其中，則最小值是；若，則最小值是0；若，，則最小值是.【挑戰(zhàn)1】1*.已知使?jié)M足約束條件則的最大值是.2*.若變量滿足約束條件，則的最小值等于________．3*.設(shè)滿足約束條件，則的最大值為________．【典例2】若點(diǎn)在圓的內(nèi)部及圓上，求的最小值．【解析】如圖，直線與圓有兩個(gè)交點(diǎn)和，直線在圓右上方，當(dāng)時(shí)無法形成可行域，故==當(dāng)時(shí)，設(shè)，直線恰好過點(diǎn)時(shí)，最小，；當(dāng)時(shí)，設(shè)，直線恰好過點(diǎn)時(shí)，最小，．綜上，的最小值是3.典例典例2圖【感悟】目標(biāo)函數(shù)帶絕對值號的一類特殊線性規(guī)劃問題可化為一般的線性規(guī)劃問題來求解，一般可根據(jù)點(diǎn)線距離型目標(biāo)函數(shù)的最值問題，有時(shí)也需要根據(jù)絕對值內(nèi)的式子進(jìn)行分類討論得出最值.【挑戰(zhàn)2】1*.已知實(shí)數(shù)滿足則的最小值________．2.若點(diǎn)在圓的內(nèi)部及圓上，則的最小值為________．3.若點(diǎn)在圓的內(nèi)部及圓上，則的最小值為________.4.數(shù)列、向量中的線性規(guī)劃4.1線性規(guī)劃視角下的平面向量問題【典例】完成下列各題：（1）已知向量,且.若滿足不等式,則的取值范圍為（） A. B. C. D. （2）已知點(diǎn)滿足，則的取值范圍是.（3）如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,正方形的邊長為1,為的中點(diǎn),若為正方形內(nèi)（含邊界）任意一點(diǎn),則的最大值為__________.【解析】（1），且，，即.又表示的區(qū)域?yàn)閳D中陰影部分，當(dāng)過點(diǎn)時(shí)，，當(dāng)過點(diǎn)時(shí)，,（2）根據(jù)向量夾角的公式表示向量與夾角的余弦值,即,根據(jù)圖形可知，,，所以的取值范圍是.典例（2）圖典例（2）圖（3）因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，正方形的邊長為1，所以，得，又為正方形內(nèi)（含邊界）任意一點(diǎn)，設(shè)則，滿足，又，故當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)處時(shí)，的最大值為.【感悟】線性規(guī)劃問題,要確定目標(biāo)函數(shù)的幾何意義,是求橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)、直線的截距、兩點(diǎn)間距離的平方、直線的斜率、還是點(diǎn)到直線的距離等等,這里即,此時(shí)的幾何意義就是直線在上的截距.當(dāng)然，在很多問題中，從表面上也許看不出是線性規(guī)劃問題，但是只要稍微轉(zhuǎn)化就會(huì)露出“廬山真面目”，如（1）由題得，即，可見本題就是簡單的線性規(guī)劃問題；（3）只有得到，才能感覺到線性規(guī)劃的存在.問題（2）從條件看很容易聯(lián)想到是線性規(guī)劃問題。根據(jù)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),聯(lián)想到兩個(gè)向量的夾角公式和三角函數(shù)的定義。法1中的最小值是0，而不是,所以的最小值不在邊界處取得.【挑戰(zhàn)】1.在直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn),點(diǎn)在三邊圍成的區(qū)域（含邊界）上.設(shè),用表示,并求的最大值.2.已知點(diǎn)滿足,則的取值范圍是.3.已知正方形的邊長為2,為的中點(diǎn),若為正方形內(nèi)（含邊界）任意一點(diǎn)，則的最大值為__________.4.已知點(diǎn)和圓，是圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，則（為坐標(biāo)原點(diǎn)）的取值范圍是4.2線性規(guī)劃視角下的數(shù)列問題【典例1】（1）等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，，則的最大值是.（2）各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若，，，則的取值范圍是.【解析】（1）（法1）：，即，得，，所以，最大值為.（法2）：，即，轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題，得最大值為.（2）【解析】各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，，，，設(shè)，滿足，如圖，則=，直線過點(diǎn)P截距最小，過A截距最大。因此，，所以，所以的取值范圍是?！靖形颉坑龅蕉淮尾坏仁浇M的問題以及求目標(biāo)函數(shù)的最值時(shí)，都可以考慮用線性規(guī)劃.只是變量名的轉(zhuǎn)化而已.【挑戰(zhàn)】1.設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,若，則的取值范圍是______2.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，則的最大值是．3.等差數(shù)列中，已知，，則的取值范圍是．4.設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)及公差分別為,,前項(xiàng)和為，且則的最大值是.1二元一次不等式表示的區(qū)域1.1不等式表示的區(qū)域【挑戰(zhàn)1】1.【解析】在直線上方的點(diǎn)滿足不等式，所以.2.【解析】在直線上方的點(diǎn)滿足不等式，所以.3.【解析】，即.4.【解析】由，解得.5.【解析】由，解得或.【挑戰(zhàn)2】1.4【解析】畫出可行域如圖中及其內(nèi)部，，，.第1、2題圖第1、2題圖2.【解析】畫出可行域如圖中及其內(nèi)部，，，，可行域內(nèi)的點(diǎn)在直線上的投影構(gòu)成了線段即，易得，.3.2【解析】線段AB的長應(yīng)等于圓的直徑，所以AB=2.1.2不等式表示的區(qū)域【挑戰(zhàn)】1.2【解析】根據(jù)題意作出不等式組所表示的平面區(qū)域，該區(qū)域?yàn)檎叫螀^(qū)域，其中該正方形的邊長為，所以該平面區(qū)域的面積為.1.3動(dòng)點(diǎn)所在的區(qū)域【挑戰(zhàn)】1.2【解析】令，則點(diǎn)，滿足在平面內(nèi)畫出點(diǎn)所構(gòu)成的平面區(qū)域，易得其面積為2.2.4【解析】設(shè)，解得即所以點(diǎn)滿足易知點(diǎn)所表示的平面區(qū)域是一個(gè)三角形，其面積為4.2最值問題的求解策略2.1截距法判定平移方向【挑戰(zhàn)1】1.18【解析】當(dāng)目標(biāo)函數(shù)所表示的直線經(jīng)過B(0,3)時(shí),取最大值為18.2.5【解析】作出可行域如圖中的陰影部分.因?yàn)橹本€的斜率為，目標(biāo)函數(shù)中的隨直線向上平移而增大，過點(diǎn)時(shí)取得最大值，．【挑戰(zhàn)2】1.1【解析】作出可行域如圖所示.由得，平移直線可知過點(diǎn)時(shí)，直線在軸上的截距最小，此時(shí)最大為1.2.4【解析】畫出可行域.對于目標(biāo)函數(shù)可化為，平移直線，可知過點(diǎn)時(shí)，直線在軸上的截距最小，此時(shí)的最大值為4.3.【解析】畫出可行域.可化為將直線進(jìn)行平移可知當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，取得最小值為.【挑戰(zhàn)3】1.0【解析】畫出可行域，目標(biāo)函數(shù)變形為，當(dāng)最大時(shí)，直線的縱截距最大，故將直線移到過點(diǎn)時(shí)，取到最大值，最大值為0．2.5【解析】畫出可行域，目標(biāo)函數(shù)變形為，平移直線.可知直線過點(diǎn)時(shí)，直線在軸上截距最大，取到最大值，的最大值為5．3.-7【解析】畫出可行域，目標(biāo)函數(shù)變形為，平移直線.可知直線過點(diǎn)時(shí)，直線在軸上截距最小，取到最小值，的最小值為-7.【挑戰(zhàn)4】1.【解析】將轉(zhuǎn)化為，由目標(biāo)函數(shù)最大值點(diǎn)有無窮多個(gè)可知，.2.【解析】將轉(zhuǎn)化為，平移函數(shù)可知，當(dāng)函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)時(shí),取得最小值為.2.2曲線型目標(biāo)函數(shù)的最值問題【挑戰(zhàn)】1.C【解析】作出平面區(qū)域?yàn)榧捌鋬?nèi)部．聯(lián)立得,．當(dāng)過點(diǎn)時(shí)，函數(shù)為；當(dāng)過點(diǎn)時(shí)，，，函數(shù)為，結(jié)合圖形可知，使函數(shù)（，）的圖象過區(qū)域的的取值范圍是，故選C．2.D【解析】不等式組表示的平面區(qū)域圖所示的及其內(nèi)部．沿直線上下平移函數(shù)的圖象.由圖可知，當(dāng)圖象過點(diǎn)時(shí)，取最大值，代入即可求出，當(dāng)圖象過點(diǎn)時(shí)，代入即可求出；所以實(shí)數(shù)的取之范圍為．故選D．3.5【解析】令，則可知當(dāng)時(shí)，，故應(yīng)填．4.【解析】畫出可行域，如圖所示.當(dāng)時(shí)，過可行域的最低點(diǎn).當(dāng)時(shí)，在第四象限的圖象更高些，經(jīng)過可行域；當(dāng)時(shí)，過可行域的最高點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，在第一象限的圖象更低些，經(jīng)過可行域.故的取值范圍是．2.3旋轉(zhuǎn)法處理最優(yōu)解唯一的問題【挑戰(zhàn)1】1.【解析】作出可行域?yàn)榧捌鋬?nèi)部．目標(biāo)函數(shù)僅在點(diǎn)處取得最小值，將直線從繞著點(diǎn)逆時(shí)針轉(zhuǎn)到無限接近直線但不重合，其截距都最小，結(jié)合圖形知，故實(shí)數(shù)的取值范圍是．第1-4題圖2.【解析】作出可行域?yàn)榧捌鋬?nèi)部．目標(biāo)函數(shù)僅在點(diǎn)處取得最小值，將直線繞著點(diǎn)順時(shí)針轉(zhuǎn)到無限接近直線但不重合，目標(biāo)函數(shù)的值最小，結(jié)合圖形知，解得，故實(shí)數(shù)的取值范圍是．3.【解析】作出可行域?yàn)榧捌鋬?nèi)部．目標(biāo)函數(shù)僅在點(diǎn)處取得最大值，將直線繞著點(diǎn)逆時(shí)針轉(zhuǎn)到無限接近直線但不重合，其截距都最小，結(jié)合圖形知，故實(shí)數(shù)的取值范圍是．4.【解析】作出可行域?yàn)榧捌鋬?nèi)部．目標(biāo)函數(shù)僅在點(diǎn)處取得最大值，將直線繞著點(diǎn)順時(shí)針轉(zhuǎn)到無限接近直線但不重合，目標(biāo)函數(shù)的值最大，結(jié)合圖形知，故實(shí)數(shù)的取值范圍是．【挑戰(zhàn)2】1.【解析】作出可行域?yàn)榧捌鋬?nèi)部．目標(biāo)函數(shù)僅在點(diǎn)處取得最大值，將直線從繞著點(diǎn)順時(shí)針轉(zhuǎn)到無限接近直線但不重合，其截距都最大，結(jié)合圖形知，，故實(shí)數(shù)的取值范圍是.2.【解析】作出可行域?yàn)榧捌鋬?nèi)部.目標(biāo)函數(shù)僅在點(diǎn)處取得最小值，將直線繞著點(diǎn)順時(shí)針轉(zhuǎn)到無限接近直線但不重合，其截距都最大，最小，結(jié)合圖形知，故實(shí)數(shù)的取值范圍是．3.【解析】作出可行域?yàn)榧捌鋬?nèi)部．目標(biāo)函數(shù)僅在點(diǎn)處取得最小值，將直線繞著點(diǎn)逆時(shí)針轉(zhuǎn)到無限接近直線但不重合，目標(biāo)函數(shù)線的截距最大，最小，結(jié)合圖形知.故實(shí)數(shù)的取值范圍是．2.4平移法處理最優(yōu)解無數(shù)多的問題【挑戰(zhàn)】1.或-2【解析】當(dāng)直線與直線或重合時(shí)，在無數(shù)個(gè)點(diǎn)處取得最小值，所以或，即或.2.【解析】當(dāng)直線與直線重合時(shí)，在無數(shù)個(gè)點(diǎn)處取得最大值，所以，即.3.【解析】如圖，直線與重合，故．4.【解析】如第3題圖.直線與重合，故．5.2或-1【解析】如第3題圖.直線與直線或重合時(shí)，在無數(shù)個(gè)點(diǎn)處取得最小值，所以或3目標(biāo)函數(shù)的幾何意義3.1求的最值1.52【解析】因?yàn)?，表示點(diǎn)（x,y)到的距離的平方如下圖，第1題圖第1題圖因?yàn)椋硎军c(diǎn)（x,y)到（3,0）的距離的平方.(此時(shí)).第1題圖第1題圖2.【解析】如圖，表示可行域內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)到原點(diǎn)O的距離OP.OP的最小值是原點(diǎn)到直線AC：的距離，.又.所以的取值范圍是.表示可行域內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離，又所以,且，所以過D作AC垂線的垂足在可行域外，所以,,所以的取值范圍是3.【解析】如圖，所示陰影部分為可行域，第3題第3題圖數(shù)形結(jié)合可知，原點(diǎn)到直線的垂線段長是的最小值，所以.4.4【解析】點(diǎn)P在直線上，為直線l上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的平方．當(dāng)OP⊥l時(shí)，距離最?。剩?.10【解析】因?yàn)楸硎军c(diǎn)到原點(diǎn)的距離的平方與5的和.如圖.第5題圖第5題圖6.【解析】如圖，作出可行域?yàn)榧捌鋬?nèi)部，，，．設(shè)可行域內(nèi)，，則點(diǎn)在直線（）的左下方的區(qū)域內(nèi)，．點(diǎn)到直線的距離為，，數(shù)形結(jié)合知，．7.5【解析】作出不等式組表示的平面區(qū)域,表示點(diǎn)（0,2）到（x,y)的距離的平方再加1，故的最小值是5.3.2方程的幾何意義 【挑戰(zhàn)】1.2【解析】的圖形是正方形的四條邊，如圖，所以的最大值為2.2.1【解析】點(diǎn)形成的區(qū)域是一個(gè)中心在原點(diǎn)，以為對稱軸且對角線的一半長為的正方形.原點(diǎn)到正方形的邊的距離為最小距離，所以的最小值是1．3.【解析】滿足的點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)正方形區(qū)域，的最小值為.4.10【解析】令，，轉(zhuǎn)化為已知，求的最大值.表示正方形區(qū)域