拂曉 高中初中學習群237098752 涼回線性規劃問題1.二元一次不等式表示的區域1.1不等式表示的區域1.2不等式表示的區域1.3動點所在的區域2.最值問題的求解策略2.1截距法判定平移方向2.2曲線型目標函數的最值問題2.3旋轉法處理最優解唯一的問題2.4平移法處理最優解無數多的問題3.目標函數的幾何意義3.1求的最值3.2方程的幾何意義3.3求的最值3.4求的最值4.數列、向量中的線性規劃4.1線性規劃視角下的平面向量問題4.2線性規劃視角下的數列問題1.二元一次不等式表示的區域1.1不等式表示的區域【典例1】若平面區域夾在兩條斜率為1的平行直線之間，則這兩條平行直線間的距離的最小值是（）A. B. C. D.【解析】畫出不等式組表示的平面區域如圖所示.由得,由得，由題意可知，當斜率為1的兩條直線分別過點A和點B時，兩直線的距離最小，即，故選B.【感悟】判斷二元一次不等式所表示的區域，較為安全的方法是將區域邊界所在直線方程用斜截式形式表示，即滿足的點在直線上方，滿足的點在直線下方，滿足的點在直線上.【挑戰1】1.點在直線上方，則實數的范圍是________．2.點在直線上方，則實數的范圍是________．3.已知，兩點分別在直線的兩側，則實數的取值范圍為．4.已知圓C的方程為，若，兩點一個在圓C的內部，一個在圓C的外部，則實數的取值范圍是________．5.已知，，若直線與線段有公共點，則實數的取值范圍為．【典例2】在平面上，過點作直線的垂線所得垂足稱為點在直線上的投影．由區域中的點在直線上的投影構成的線段記為，則________．A．B．4C．D．【解析】如圖及其內部為可行域，可行域內的點在直線上的投影構成了線段，即，而，由得，由得，所以．故選C．【感悟】解決此類問題，首先是畫出不等式組表示的平面區域，其次作區域圖形在已知直線上的投影時，只需要作可行域的頂點在已知直線上的垂線并找到垂足，最后把距離最遠的垂足連接即得投影構成的線段.【挑戰2】1.在平面上，過點P作直線l的垂線所得的垂足稱為點P在直線l上的投影．由區域中的點在軸上的投影構成的線段記為，則________．2.在平面上，過點P作直線l的垂線所得垂足稱為點P在直線l上的投影．由區域中的點在直線上的投影構成的線段記為，則．3.在平面上，過點P作直線l的垂線所得垂足稱為點P在直線l上的投影．由區域中的點在直線上的投影構成的線段記為，則________．1.2不等式表示的區域【典例】若變量滿足約束條件作圖表示該可行域.【解析】可化為作出可行域，如圖中平行四邊形ABCD的內部及其邊界.【感悟】滿足的點的區域是兩條平行線及內部(帶狀區域)，滿足的點的區域也是兩條平行線及內部，且邊界分別為，，因此滿足的區域一般是平行四邊形.【挑戰】1.不等式組所圍成的平面區域的面積是________．2.若x，y滿足x+1≤y≤2x，則2y–x的最小值是__________．【答案】32.【解析】由得，可行域如圖所示.令轉化為在點（1，2）處取得最小值，即最小值為3.1.3動點所在的區域【典例*】在平面直角坐標系中，已知平面區域且，求平面區域的面積.【解析】設，則，，由得作出該不等式組表示的平面區域如圖.所以面積．【感悟】求點區域，就要通過換元轉化為求點滿足的約束條件.【挑戰】1.在平面直角坐標系中，平面區域，求平面區域的面積.2.已知點滿足，則點所在的平面區域的面積等于_______.2.最值問題的求解策略2.1截距法判定平移方向【典例1】已知滿足約束條件，求的最大值.【解析】作出可行域如圖中的陰影部分.因為直線的斜率為.目標函數中的隨直線向上平移而增大，過點時取得最大值，最大值為．【感悟】將函數轉化為直線的斜截式，當截距取得最大值時，間接求出取得最大值；當截距取得最小值時，間接求出取得最小值.【挑戰1】1.設滿足，則最大值為________．2.設滿足，則的最大值為________．【典例2】若變量滿足約束條件則的最小值等于________．【解析】指數函數在上單調遞增，所以最小等價于最小，因此目標函數變形為，畫出可行域.故將直線移到到過點時，當直線的縱截距最大，取最小值，最小值為．所以的最小值等于.【感悟】將函數轉化為直線的斜截式，當截距取得最大值時，間接求出取的最小值；當截距取得最小值時，間接求出取的最大值.【挑戰2】1.已知變量滿足約束條件，則的最大值為________．2.已知變量滿足約束條件，則的最大值為________．3.已知變量滿足約束條件，則的最小值為________．【典例3】若變量滿足約束條件則的最小值等于________．【解析】畫出可行域，目標函數變形為，當最小時，直線的縱截距最小，故將直線移到過點時，取到最小值，最小值為．【感悟】將函數轉化為直線的斜截式，當截距取得最大值時，間接求出取的最大值；當截距取得最小值時，間接求出取的最小值.【挑戰3】1.若變量滿足約束條件，則的最大值等于．2.若變量滿足約束條件，則的最大值等于．3.若變量滿足約束條件，則的最小值等于．【典例4】若變量滿足約束條件，則的最小值等于．【解析】畫出可行域，目標函數變形為，當最小時，直線的縱截距最大，故將直線移到過點時，取到最小值，最小值為．【感悟】將函數轉化為直線的斜截式，當截距取得最大值時，間接求出取的最小值；當截距取得最小值時，間接求出取的最大值.【挑戰4】1.已知實數滿足條件，且的最大值點有無窮多個，則為_______．2.設滿足約束條件，則的最小值為________．2.2曲線型目標函數的最值問題【典例】設實數，滿足，則的最大值為（）A.B.C.12D.14【解析】作出可行域如圖中陰影部分所示，，，.結合圖形可知，當動點在線段或上時，取得最大值.當動點在線段上時，此時，又，當時，取得最大值.當動點在線段上時，，，又，當時，取得最大值12.因為，故的最大值為，所以選A.【感悟】曲線型的目標函數的最值問題可利用①平移法：當所求的最值是圓錐曲線上點到某直線的距離最值時，可以通過作與這條直線平行的圓錐曲線的切線，則兩平行線間的距離就是所求的最值，切點就是曲線上取的最值的點.②代數法：借助函數求最值得方法。運用代數法，首先要建立“目標函數”的特點，靈活運用求最值得方法.③配方法：若給定的“目標函數”是二次函數，可先對目標函數進行配方，結合所給定的區間求解最值.【挑戰】1*.設二元一次不等式組所表示的平面區域為，使函數且的圖象過區域的的取值范圍是（）A． B．C． D．2.已知不等式組表示的平面區域為D，若函數的圖象上存在區域D上的點，則實數的取值范圍是（）A．B．C．D．3.已知，則的最大值是__．4*.設不等式組表示的平面區域為D，若函數且的圖象上存在區域上的點，則實數的取值范圍是________．2.3旋轉法處理最優解唯一的問題【典例1】已知滿足，且目標函數僅在點處取得最小值，則實數的取值范圍是________．【解析】作出可行域為及其內部．目標函數僅在點處取得最小值，當時顯然滿足條件．將直線繞著點逆時針轉到無限接近直線但不重合是滿足題意的；順時針轉到無限接近直線但不重合是滿足題意的.又直線的斜率為，結合圖形知，解得，故實數的取值范圍是．【感悟】（1）不論的正負，其截距都是，在這種條件下，從過該點的直線進行旋轉嘗試，不難發現,目標函數都取最小值．（2）區域內的點均在直線上方，這是截距能取到最小值的有利條件，也是依此為基準旋轉和嘗試的基礎.簡單地說，可行域內的點都應該在目標函數線的上方，截距才能最小.【挑戰1】1.已知滿足，且目標函數僅在點處取得最小值，則實數的取值范圍是________．2.已知滿足，且目標函數僅在點處取得最小值，則實數的取值范圍是________．3.已知滿足，且目標函數僅在點處取得最大值，則實數的取值范圍是________．4.已知滿足，且目標函數僅在點處取得最大值，則實數的取值范圍是________．【典例2】已知滿足，且目標函數僅在點處取得最大值，則實數的取值范圍是_________．【解析】作出可行域為及其內部，如圖．目標函數僅在點處取得最大值，當時顯然滿足條件．將直線繞著點逆時針轉到無限接近直線但不重合，截距最大；順時針轉到無限接近直線但不重合，截距最大.結合圖形知，解得，故實數的取值范圍是．【感悟】（1）不論是正是負，其截距都是，在這種條件下，從過點的直線進行旋轉嘗試，不難發現,此類目標函數都取最大值．提醒注意，此處直線繞著點順時針旋轉不能超過垂直方向，否則其截距變得最小而不是最大.（2）選取截距最大，那么區域內的所有的點都應該在目標函數線下，再嘗試旋轉才能得到最大截距.【挑戰2】1.已知滿足，且目標函數僅在點處取得最大值，則實數的取值范圍是________．2.已知滿足，且目標函數僅在點處取得最小值，則實數的取值范圍是________．3.已知滿足，且目標函數僅在點處取得最小值，則實數的取值范圍是________．2.4平移法處理最優解無數多的問題【典例】滿足約束條件，若取得最大值的最優解不唯一，則實數的值為________．【解析】作出可行域.目標函數線為，是的縱截距.令知，中的隨著直線向上平移而截距的值越大.又取得最大值的最優解不唯一，直線與或與直線重合，故或．【感悟】最優解的個數有無數個，只能是目標函數線最終和線性區域的邊界重合，其次平移的方向仍然需要依靠的幾何意義來判斷.【挑戰】1.已知滿足，且取得最小值的最優解有無數多個，則實數的取值是________．2.已知滿足，且取得最大值的最優解有無數多個，則實數的取值范圍是________．3.若滿足約束條件且取得最小值的最優解不唯一，則實數的值為____．4.若滿足約束條件且取得最大值的最優解不唯一，則實數的值為____．5.若滿足約束條件且取得最小值的最優解不唯一，則實數的值為____．3.目標函數的幾何意義3.1求的最值【典例】（1）已知滿足，求的最小值．（2）已知實數滿足則的取值范圍是________．【解析】（1）表示可行域內的動點到定點的距離．假設垂足為，因為所以垂足應在線段的延長線上，點到點的距離應該最短，，點自點運動到點的過程中是增大的，故的最小值為．圖（1）圖（1）（2）表示點（0,2）到點的距離的平方，作圖如圖（2）（0,2）到的距離最小為點(0，2)到直線的距離1，（0,2）到的距離最大為點(0，2)到點（1,6）的距離，故取值范圍是[1，17].【感悟】表示可行域內的動點到點的距離，D到可行域中的頂點處距離往往是最大或最小，如題（1）．但是，本題（1）為什么還要判斷斜率呢？原因是最小距離不一定在可行域的頂點處取得，它有可能是定點到一條邊界線的距離，如題（2），本題（1）僅從圖形難以判斷的最小值是還是DH.此時我們可以求出垂足H的坐標，判斷垂足H是否在邊界AC上；也可以比較DC和DH的斜率，再結合圖形來判斷，當然后者較為簡單.【挑戰】1.已知實數滿足則的最小值是______．的最小值是______．2.已知實數滿足，則的取值范圍是.的取值范圍是____．3.在平面直角坐標系中，為不等式組所表示的區域上一動點，則的最小值是__．4.已知為某一直角三角形的三邊長，為斜邊，若點在直線l:上，則的最小值為________．5*.已知實數滿足則的最小值是________．6*.已知滿足求的最大值和最小值.7*.已知實數滿足則的最小值是________．3.2方程的幾何意義 【典例*】點到兩條直線的距離之和為3，求的最大值是．【解析】（法1）即和，點到兩條互相垂直的直線之間距離之和為3，即，分類討論取絕對值后發現點形成的區域是一個中心在原點，以為對稱軸且對角線的一半長為3的正方形.的最大值就是正方形頂點到原點距離平方，即最大值是9．（法2）特殊化，落在直線上，所有的距離集中在一起，可得到該點P到原點距離為3，即最大值是9．（法3）由于兩條直線互相垂直，這與兩條互相垂直的坐標軸是一樣，因此，點到兩條直線的距離之和為3，等價于點到兩坐標軸的距離之和為3，所以，的最大值就是正方形頂點到原點距離平方，即最大值是9．【感悟】可以看成區域內的點到坐標軸的距離之和，那么點到兩條互相垂直的直線之間距離之和也有類似性質．【挑戰】1.設變量，滿足，則的最大值為_____．2.點到兩條直線的距離之和為,則的最小值為．3.實數滿足等式，則的最小值是________．4.實數滿足等式，則的最大值是________．5.實數滿足不等式，則的最大值為；最小值為.6.實數滿足不等式，則的最大值是.3.3*求的最值【典例*】已知實數滿足求的最大值．【解析】作出可行域如圖中的陰影部分（含邊界）．目標函數的幾何意義為求可行域內的點到直線距離．觀察圖形知點到直線的距離最大，．【感悟】（1）對于形如形式，將問題轉歸為可行域內的點到直線距離的最值問題；（2）的最值問題除了轉化為，還可以直接求的取值范圍，再取絕對值求最值．【挑戰】1*.若P是滿足不等式組表示的平面區域內的任意一點，點P到直線3x＋4y－12＝0的距離為d，則實數d的取值范圍是________．2*.已知實數滿足則的最小值________．3.若點在圓的內部及圓上，則的最小值為________．4.若點在圓的內部及圓上，則的最小值為________．5*.已知整數滿足不等式，則的最大值是________．6*.已知整數滿足不等式，則的最小值是________．3.4*求的最值【典例1*】設滿足則的最小值為________．【解析】作出可行域如圖中的陰影部分，設，因為直線的斜率為，目標函數中的隨直線向上平移而增大，過點時取得最大值，；過點時取得最小值，．所以的最小值為0.典例典例1圖【感悟】形如目標函數的最值其實就是的取值范圍的絕對值，若，其中，則最小值是；若，則最小值是0；若，，則最小值是.【挑戰1】1*.已知使滿足約束條件則的最大值是.2*.若變量滿足約束條件，則的最小值等于________．3*.設滿足約束條件，則的最大值為________．【典例2】若點在圓的內部及圓上，求的最小值．【解析】如圖，直線與圓有兩個交點和，直線在圓右上方，當時無法形成可行域，故==當時，設，直線恰好過點時，最小，；當時，設，直線恰好過點時，最小，．綜上，的最小值是3.典例典例2圖【感悟】目標函數帶絕對值號的一類特殊線性規劃問題可化為一般的線性規劃問題來求解，一般可根據點線距離型目標函數的最值問題，有時也需要根據絕對值內的式子進行分類討論得出最值.【挑戰2】1*.已知實數滿足則的最小值________．2.若點在圓的內部及圓上，則的最小值為________．3.若點在圓的內部及圓上，則的最小值為________.4.數列、向量中的線性規劃4.1線性規劃視角下的平面向量問題【典例】完成下列各題：（1）已知向量,且.若滿足不等式,則的取值范圍為（） A. B. C. D. （2）已知點滿足，則的取值范圍是.（3）如圖,在平面直角坐標系中,正方形的邊長為1,為的中點,若為正方形內（含邊界）任意一點,則的最大值為__________.【解析】（1），且，，即.又表示的區域為圖中陰影部分，當過點時，，當過點時，,（2）根據向量夾角的公式表示向量與夾角的余弦值,即,根據圖形可知，,，所以的取值范圍是.典例（2）圖典例（2）圖（3）因為為的中點，正方形的邊長為1，所以，得，又為正方形內（含邊界）任意一點，設則，滿足，又，故當點運動到點處時，的最大值為.【感悟】線性規劃問題,要確定目標函數的幾何意義,是求橫坐標或縱坐標、直線的截距、兩點間距離的平方、直線的斜率、還是點到直線的距離等等,這里即,此時的幾何意義就是直線在上的截距.當然，在很多問題中，從表面上也許看不出是線性規劃問題，但是只要稍微轉化就會露出“廬山真面目”，如（1）由題得，即，可見本題就是簡單的線性規劃問題；（3）只有得到，才能感覺到線性規劃的存在.問題（2）從條件看很容易聯想到是線性規劃問題。根據的結構特點,聯想到兩個向量的夾角公式和三角函數的定義。法1中的最小值是0，而不是,所以的最小值不在邊界處取得.【挑戰】1.在直角坐標系中,已知點,點在三邊圍成的區域（含邊界）上.設,用表示,并求的最大值.2.已知點滿足,則的取值范圍是.3.已知正方形的邊長為2,為的中點,若為正方形內（含邊界）任意一點，則的最大值為__________.4.已知點和圓，是圓上的兩個動點，且，則（為坐標原點）的取值范圍是4.2線性規劃視角下的數列問題【典例1】（1）等差數列的前項和為，已知，，則的最大值是.（2）各項均為正數的等比數列中，若，，，則的取值范圍是.【解析】（1）（法1）：，即，得，，所以，最大值為.（法2）：，即，轉化為線性規劃問題，得最大值為.（2）【解析】各項均為正數的等比數列中，，，，設，滿足，如圖，則=，直線過點P截距最小，過A截距最大。因此，，所以，所以的取值范圍是。【感悟】遇到二元一次不等式組的問題以及求目標函數的最值時，都可以考慮用線性規劃.只是變量名的轉化而已.【挑戰】1.設等差數列的前項和為,若，則的取值范圍是______2.等差數列的前n項和為，，則的最大值是．3.等差數列中，已知，，則的取值范圍是．4.設等差數列的首項及公差分別為,,前項和為，且則的最大值是.1二元一次不等式表示的區域1.1不等式表示的區域【挑戰1】1.【解析】在直線上方的點滿足不等式，所以.2.【解析】在直線上方的點滿足不等式，所以.3.【解析】，即.4.【解析】由，解得.5.【解析】由，解得或.【挑戰2】1.4【解析】畫出可行域如圖中及其內部，，，.第1、2題圖第1、2題圖2.【解析】畫出可行域如圖中及其內部，，，，可行域內的點在直線上的投影構成了線段即，易得，.3.2【解析】線段AB的長應等于圓的直徑，所以AB=2.1.2不等式表示的區域【挑戰】1.2【解析】根據題意作出不等式組所表示的平面區域，該區域為正方形區域，其中該正方形的邊長為，所以該平面區域的面積為.1.3動點所在的區域【挑戰】1.2【解析】令，則點，滿足在平面內畫出點所構成的平面區域，易得其面積為2.2.4【解析】設，解得即所以點滿足易知點所表示的平面區域是一個三角形，其面積為4.2最值問題的求解策略2.1截距法判定平移方向【挑戰1】1.18【解析】當目標函數所表示的直線經過B(0,3)時,取最大值為18.2.5【解析】作出可行域如圖中的陰影部分.因為直線的斜率為，目標函數中的隨直線向上平移而增大，過點時取得最大值，．【挑戰2】1.1【解析】作出可行域如圖所示.由得，平移直線可知過點時，直線在軸上的截距最小，此時最大為1.2.4【解析】畫出可行域.對于目標函數可化為，平移直線，可知過點時，直線在軸上的截距最小，此時的最大值為4.3.【解析】畫出可行域.可化為將直線進行平移可知當直線過點時，取得最小值為.【挑戰3】1.0【解析】畫出可行域，目標函數變形為，當最大時，直線的縱截距最大，故將直線移到過點時，取到最大值，最大值為0．2.5【解析】畫出可行域，目標函數變形為，平移直線.可知直線過點時，直線在軸上截距最大，取到最大值，的最大值為5．3.-7【解析】畫出可行域，目標函數變形為，平移直線.可知直線過點時，直線在軸上截距最小，取到最小值，的最小值為-7.【挑戰4】1.【解析】將轉化為，由目標函數最大值點有無窮多個可知，.2.【解析】將轉化為，平移函數可知，當函數經過點時,取得最小值為.2.2曲線型目標函數的最值問題【挑戰】1.C【解析】作出平面區域為及其內部．聯立得,．當過點時，函數為；當過點時，，，函數為，結合圖形可知，使函數（，）的圖象過區域的的取值范圍是，故選C．2.D【解析】不等式組表示的平面區域圖所示的及其內部．沿直線上下平移函數的圖象.由圖可知，當圖象過點時，取最大值，代入即可求出，當圖象過點時，代入即可求出；所以實數的取之范圍為．故選D．3.5【解析】令，則可知當時，，故應填．4.【解析】畫出可行域，如圖所示.當時，過可行域的最低點.當時，在第四象限的圖象更高些，經過可行域；當時，過可行域的最高點；當時，在第一象限的圖象更低些，經過可行域.故的取值范圍是．2.3旋轉法處理最優解唯一的問題【挑戰1】1.【解析】作出可行域為及其內部．目標函數僅在點處取得最小值，將直線從繞著點逆時針轉到無限接近直線但不重合，其截距都最小，結合圖形知，故實數的取值范圍是．第1-4題圖2.【解析】作出可行域為及其內部．目標函數僅在點處取得最小值，將直線繞著點順時針轉到無限接近直線但不重合，目標函數的值最小，結合圖形知，解得，故實數的取值范圍是．3.【解析】作出可行域為及其內部．目標函數僅在點處取得最大值，將直線繞著點逆時針轉到無限接近直線但不重合，其截距都最小，結合圖形知，故實數的取值范圍是．4.【解析】作出可行域為及其內部．目標函數僅在點處取得最大值，將直線繞著點順時針轉到無限接近直線但不重合，目標函數的值最大，結合圖形知，故實數的取值范圍是．【挑戰2】1.【解析】作出可行域為及其內部．目標函數僅在點處取得最大值，將直線從繞著點順時針轉到無限接近直線但不重合，其截距都最大，結合圖形知，，故實數的取值范圍是.2.【解析】作出可行域為及其內部.目標函數僅在點處取得最小值，將直線繞著點順時針轉到無限接近直線但不重合，其截距都最大，最小，結合圖形知，故實數的取值范圍是．3.【解析】作出可行域為及其內部．目標函數僅在點處取得最小值，將直線繞著點逆時針轉到無限接近直線但不重合，目標函數線的截距最大，最小，結合圖形知.故實數的取值范圍是．2.4平移法處理最優解無數多的問題【挑戰】1.或-2【解析】當直線與直線或重合時，在無數個點處取得最小值，所以或，即或.2.【解析】當直線與直線重合時，在無數個點處取得最大值，所以，即.3.【解析】如圖，直線與重合，故．4.【解析】如第3題圖.直線與重合，故．5.2或-1【解析】如第3題圖.直線與直線或重合時，在無數個點處取得最小值，所以或3目標函數的幾何意義3.1求的最值1.52【解析】因為，表示點（x,y)到的距離的平方如下圖，第1題圖第1題圖因為，表示點（x,y)到（3,0）的距離的平方.(此時).第1題圖第1題圖2.【解析】如圖，表示可行域內的動點到原點O的距離OP.OP的最小值是原點到直線AC：的距離，.又.所以的取值范圍是.表示可行域內的動點到點的距離，又所以,且，所以過D作AC垂線的垂足在可行域外，所以,,所以的取值范圍是3.【解析】如圖，所示陰影部分為可行域，第3題第3題圖數形結合可知，原點到直線的垂線段長是的最小值，所以.4.4【解析】點P在直線上，為直線l上的點到原點的距離的平方．當OP⊥l時，距離最小．故，所以5.10【解析】因為表示點到原點的距離的平方與5的和.如圖.第5題圖第5題圖6.【解析】如圖，作出可行域為及其內部，，，．設可行域內，，則點在直線（）的左下方的區域內，．點到直線的距離為，，數形結合知，．7.5【解析】作出不等式組表示的平面區域,表示點（0,2）到（x,y)的距離的平方再加1，故的最小值是5.3.2方程的幾何意義 【挑戰】1.2【解析】的圖形是正方形的四條邊，如圖，所以的最大值為2.2.1【解析】點形成的區域是一個中心在原點，以為對稱軸且對角線的一半長為的正方形.原點到正方形的邊的距離為最小距離，所以的最小值是1．3.【解析】滿足的點構成一個正方形區域，的最小值為.4.10【解析】令，，轉化為已知，求的最大值.表示正方形區域