現代控制理論.(穩定性)第一頁，共五十六頁，2022年，8月28日第三章控制系統的李亞普諾夫

穩定性§3.1李亞普諾夫第二法概述§3.2李亞普諾夫意義下的穩定性§3.3李亞普諾夫穩定性定理§3.4線性系統的李亞普諾夫穩定性分析第二頁，共五十六頁，2022年，8月28日§3.1李亞普諾夫第二法的概述一、物理基礎一個自動控制系統要能正常工作，必須首先是一個穩定的系統，即當系統受到外界干擾后，顯然它的平衡狀態被破壞，但在外擾去掉以后，它仍有能力自動地在平衡狀態下繼續工作，系統的這種性能，通常叫做穩定性，它是系統的一個動態屬性。第三頁，共五十六頁，2022年，8月28日舉例說明：

1.電壓自動調節系統--保持電機電壓恒定

2.電機自動調速系統--保持電機轉速一定

3.火箭飛行系統--保持航向為一定具有穩定性的系統稱為穩定系統。不具有穩定性的系統稱為不穩定系統。第四頁，共五十六頁，2022年，8月28日穩定性概念

系統的穩定性--系統在受到外界干擾后，系統偏差量（被調量偏離平衡位置的數值）過渡過程的收斂性，

用數學方法表示就是：第五頁，共五十六頁，2022年，8月28日現代控制理論的優點線性定常系統穩定性判斷—1.勞斯-赫爾維茨判劇2.奈奎斯特穩定判劇現代控制系統—結構復雜，非線性或時變,上述穩定判劇難以勝任;通用的方法是李亞普諾夫第二法.第六頁，共五十六頁，2022年，8月28日李亞普諾夫穩定性判據1982年，李亞普諾夫歸納出兩種方法

李亞普諾夫第一法:解系統的微分方程，然后根據解的性質來判斷系統的穩定性。如果特征方程的根全部具有負實部，則系統在工作點附近是穩定的.李亞普諾夫第二法（也稱直接法）:不必求解系統的微分方程式，就可以對系統的穩定性進行分析判斷，而且給出的穩定信息不是近似的。它提供了判別所有系統穩定性的方法。第七頁，共五十六頁，2022年，8月28日

李亞普諾夫第二法建立的物理事實：

如果一個系統的某個平衡狀態是漸近穩定的，即:

那么隨著系統的運動，其貯存的能量將隨著時間的增長而衰減，直至趨于平衡狀態而能量趨于極小值。第八頁，共五十六頁，2022年，8月28日

對系統而言，并沒有這樣的直觀性，因此，李亞普諾夫引入了“廣義能量函數”，稱之為李亞普諾夫函數，表示為,它是狀態和時間t的函數。

如果動態系統是穩定的，則僅當存在依賴于狀態變量的李亞普諾夫函數對任意（平衡點）時，成立，且對時，才有。第九頁，共五十六頁，2022年，8月28日

李亞普諾夫第二法可歸結為:1.在不直接求解的前提下，

2.通過李亞普諾夫函數的符號

3.及其對時間的一次導數的符號

就可給出系統平衡狀態穩定性的信息。

應用李亞普諾夫穩定理論的關鍵:能否找到一個合適的李亞普諾夫函數!

--尚未有一個簡便的、一般性的方法！第十頁，共五十六頁，2022年，8月28日*由于系統的結構日益復雜，對李亞普諾夫穩定理論的研究和應用受到人們的重視；*特別是在從典型的數學函數及非線性特性出發尋求李亞普諾夫函數方面頒有進展。*李亞普諾夫函數是對前述的不具有直觀性的物理事實的表現，這個“廣義能量”概念與能量概念又不完全相同。

李亞普諾夫函數的選取不是唯一的！很多情況下李亞普諾夫函數可取為二次型二次型及其定號性，是該理論的數學基礎。第十一頁，共五十六頁，2022年，8月28日二、數學基礎(二次型及其定號性)

1．二次型n個變量的二次齊次多項式:

稱為二次型。式中，是二次型的系數。設，既對稱且均為實數。第十二頁，共五十六頁，2022年，8月28日用矩陣表示二次型較為方便，即必須指出，二次型是一個標量，最基本的特性就是它的定號性，也就是V(X)在坐標原點附近的特性。第十三頁，共五十六頁，2022年，8月28日定號性

(1)正定性當且僅當X=0時，才有V(X)=0；對任意非零X，恒有V(X)＞0，則V(X)為正定。

(2)負定性當且僅當X＝0時．才有V(X)＝0；對任意非零X，恒有V(X)＜0，則V(X)為負定。

(3)正半定性與負半定性如果對任意X≠0，恒有V(X)≥0，則V(X)為正半定。如果對任意X≠0，恒有V(X)≤0，則V(X)為負半定。

(4)不定性如果無論取多么小的零點的某個鄰域,V(X)可為正值也可為負值．則V(X)為不定。第十四頁，共五十六頁，2022年，8月28日賽爾維斯特準則①二次型或對稱矩陣P為正定的充要條件是P的主子行列式均為正，即如果則P為正定，即V(X)正定。②二次型或對稱陣P為負定的充要條件是：

P的主子行列式滿足(為奇數)；(為偶數)=1,2,…,。

返回第十五頁，共五十六頁，2022年，8月28日§3.2李亞普諾夫意義下的穩定性研究系統的穩定性問題，實質上是研究系統平衡狀態的情況。一般說來，系統可描述為

式中X為n維狀態向量。當在任意時間都能滿足(3.1)時，稱為系統的平衡狀態。凡滿足式(3.1)的一切X值均是系統的平衡點，對于線性定常系統

，A為非奇異時,X=0是其唯一的平衡狀態，如果A是奇異的．則式(3.1)有無窮多解，系統有無窮多個平衡狀態。對于非線性系統，有一個或多個平衡狀態。第十六頁，共五十六頁，2022年，8月28日由式(3.1)可知，在系統的平衡點，狀態變量的變化率為0，由古典控制理論知道，該點即為奇點，因此，系統微分方程式的奇點代表的就是系統在運動過程中的平衡點。任何彼此孤立的平衡點，均可以通過坐標的變換，將其移到坐標原點，這就是經常以坐標原點作為平衡狀態來研究的原因，因此常用的連續系統的平衡狀態表達式為對同一問題用不同理論去研究．會得到不同含義的結果與解釋。如非線性系統中的自由振蕩，古典的穩定性理論認為是不穩定的，而李亞普諾夫穩定性理論則認為是穩定的。第十七頁，共五十六頁，2022年，8月28日因此，明確李亞普諾夫意義下的穩定定義是重要的。

系統的狀態方程為

設且系統的平衡狀態為。有擾動使系統在時的狀態為，產生初始偏差，則后系統的運動狀態從開始隨時間發生變化。

由數學中數的概念知道，表示初始偏差都在以為半徑，以平衡狀態為中心的閉球域S()里，其中稱為范數，分別為與的分量。第十八頁，共五十六頁，2022年，8月28日同樣表示平衡狀態偏差都在以為半徑，以平衡狀態為中心的閉球域:S()里。式中范數

為X的分量。第十九頁，共五十六頁，2022年，8月28日下面用二維空間圖3.1來說明李亞普諾夫定義下的穩定性。

第二十頁，共五十六頁，2022年，8月28日1．穩定與一致穩定設為動力學系統的一個孤立平衡狀態。如果對球域S()或任意正實數＞0，都可找到另一個正實數或球域S()，當初始狀態滿足時，對由此出發的X

的運動軌跡有，則此系統為李亞普諾夫意義下的穩定。如果與初始時刻無關，則稱平衡狀態為一致穩定。

第二十一頁，共五十六頁，2022年，8月28日2．漸近穩定和一致漸近穩定設為動力學系統的一個孤立平衡狀態，如果是穩定的，且從充分靠近的任一初始狀態出發的運動軌跡

有或即收斂于平衡狀態，則稱平衡狀態為漸近穩定。如果與初始時刻無關，則稱平衡狀態為一致漸近穩定。漸近穩定性等價于工程意義上的穩定性。第二十二頁，共五十六頁，2022年，8月28日如果對狀態空間中的任意點，不管初始偏差有多大，都有漸近穩定特性。即對所有點都成立，稱平衡狀態為大范圍漸近穩定。可見，這樣的系統只能有一個平衡狀態。由于線性定常系統有唯一解，所以如果線性定常系統是漸近穩定的，則它一定也是大范圍內漸近穩定的。第二十三頁，共五十六頁，2022年，8月28日在控制工程中．確定大范圍內漸近穩定的范圍是很重要的，因為漸近穩定性是個局部概念，知道漸近穩定的范圍，才能明確這一系統的抗干擾程度、從而可設法抑制干擾，使它滿足系統穩定性的要求。古典理論的穩定性概念，只牽涉到小的擾動，沒有涉及大范圍擾動的問題，因此它是有局限性的。第二十四頁，共五十六頁，2022年，8月28日3．不穩定

如果平衡狀態既不是漸近穩定的，也不是穩定的，當并無限增大時，從出發的運動軌跡最終超越域，則稱平衡狀態為不穩定的。

返回第二十五頁，共五十六頁，2022年，8月28日§3.3李亞普諾夫穩定性定理

定理3.1

設系統的狀態方程為式中，如果有連續一階偏導數的標量函數存在，并且滿足以下條件：是正定的；是負定的。則在原點處的平衡狀態是漸近穩定的。如果隨著有，則在原點處的平衡狀態是在大范圍內漸近穩定的。第二十六頁，共五十六頁，2022年，8月28日例3.1設系統方程為

試確定其平衡狀態的穩定性。第二十七頁，共五十六頁，2022年，8月28日解:很明顯，原點是給定系統的唯一平衡狀態，選取一個正定的標量函數為則將系統方程代人上式得

（V(X)為正定）又由于時，，因此系統在平衡點(0，0)是大范圍漸近穩定的。第二十八頁，共五十六頁，2022年，8月28日定理3.2設系統的狀態方程為式中，。如果存在一標量函數，它有連續的一階偏導數，且滿足以下條件：是正定的；是負半定的；對任意和任意在時不恒等于零。則在原點處的平衡狀態是漸近穩定的。如果還有時，，則為大范圍漸近穩定。式中表示時從出發的解軌跡。第二十九頁，共五十六頁，2022年，8月28日由于不是負定的，而只是負半定的，則典型點的軌跡可能與某個特定的曲面相切。然而，由于對于任意和任意在時不恒等于零，所以典型點就不可能保持在切點處(在切點上），而必須運動到原點。第三十頁，共五十六頁，2022年，8月28日例3.2設系統方程為確定系統平衡狀態的穩定性。

解:顯然，原點(0，0)為給定系統的唯一平衡狀態。選取標準型二次函數為李氏函數，即

（V(X)為正定）當時，因此是負半定的。第三十一頁，共五十六頁，2022年，8月28日下面我們進一步分析的定號性，即當時，是否恒等于零。由于恒等于零，必需要求在時恒等于零，而恒等于零又必需要求恒等于零。但從狀態方程來看，在時，要使和，必需滿足等于零的條件。這表明只可能在原點處恒等于零，因此系統在原點處的平衡狀態是漸近穩定的。又由于時,有，所以系統在原點處的平衡狀態是大范圍漸近穩定的。第三十二頁，共五十六頁，2022年，8月28日若在例中選取如下正定函數為李氏函數，即則是負定的。而且當時，有所以系統在原點處的平衡狀態是大范圍漸近穩定的。由以上分析看出，選取不同的李氏函數，可能使問題分析得出不同的結果。上面第二種情況下的選擇，消除了進一步對判別的必要性。第三十三頁，共五十六頁，2022年，8月28日定理3.3設系統方程為式中，。如果存在一標量函數，它具有連續的一階偏導數，且滿足以下條件：是正定的；是負半定的，但在某一X值恒為零。則系統在原點處的平衡狀態在李亞普諾夫定義下是穩定的。但非漸近穩定。這時系統可以保持在一個穩定的等幅振蕩狀態上。第三十四頁，共五十六頁，2022年，8月28日例3.3系統方程為

試確定系統平衡狀態的穩定性。

解顯然，原點為平衡狀態。選取正定函數為李氏函數，即則由上式可見，在任意X值上均可保持為零，則系統在李亞普諾夫定義下是穩定的．但不是漸近穩定的。第三十五頁，共五十六頁，2022年，8月28日定理3.4設系統的狀態方程為式中，。如果存在一標量函數，它具有連續的一階偏導數，且滿足以下條件：在原點的某一領域內是正定的；在同樣的領域內是正定的；則在原點處的平衡狀態是不穩定的。第三十六頁，共五十六頁，2022年，8月28日例3.4設時變系統的狀態方程為顯然坐標原點為其平衡狀態。試判斷系統在坐標原點處平衡狀態的穩定性。第三十七頁，共五十六頁，2022年，8月28日解

可以找一個函數為顯然，為一變量函數，在平面上的第一、三象限內，有是正定的。在此區域內取的全導數得所以當時，因此根據定理4可知，系統在坐標原點處的平衡狀態是不穩定的。

返回第三十八頁，共五十六頁，2022年，8月28日§3.4線性系統的李亞普諾夫穩定性分析

由李亞普諾夫穩定理論可知，在尋求函數時，要使

和具有定號性，兩者的符號相反，表示穩定；兩者的符號相同，表示不穩定；或者希望或中至少有一個是定號的，才能對穩定性進行判斷。因此在構造函數時，或者先試構造出是正定的，然后考察的符號；或者先給出是負定的，然后確定是否為正定；或者使為正定，從系統穩定性要求出發，推導出對于系統的限制。由上一節例題可見，對于某些簡單系統，特別是線性系統或近似線性系統，通常可取為X的二次型。第三十九頁，共五十六頁，2022年，8月28日一、線性定常系統的穩定性分析設線性定常系統為(3.2)式中，為維狀態向量，是X常系數矩陣，假設是非奇異矩陣。因為判定系統的穩定性，主要取決自由響應，所以令控制作用=0，由系統狀態方程知，系統唯一的平衡狀態是原點。對于式(3.2)確定的系統，選取如下形式的正定無限大

函數，即式中，P是一個正定的赫米特矩陣(即復空間內的二次型，如果X是一個實向量．則可取正定的實對稱矩陣)。沿軌跡的導數為第四十頁，共五十六頁，2022年，8月28日第四十一頁，共五十六頁，2022年，8月28日對于系統在大范圍內漸近穩定性來說，要求是負定的，因此必須有為負定。式中(3.3)由上式可知，在已知P是正定的條件下，找到滿足式(3.3)的一個赫米特矩陣(或實對稱短陣)Q是正定的，則由式(3.2)描述的系統在原點處的平衡狀態，必是大范圍內漸近穩定的。這樣得到如下定理。第四十二頁，共五十六頁，2022年，8月28日定理3.5設系統狀態方程為式中，是維狀態向量，是×常系數矩陣，且是非奇異的。若給定一個正定的赫米特矩陣(包括實對稱矩陣)Q

，存在一個正定的赫米特矩陣(或實對稱矩陣)P，使得滿足如下矩陣方程則系統在X＝0處的平衡狀態是大范圍內漸近穩定的，而標量函數就是系統的李亞普諾夫函數。對該定理需要說明如下幾點。第四十三頁，共五十六頁，2022年，8月28日①如果沿任意一條軌跡不恒等于零，則Q可取做半正定矩陣。②該定理闡述的條件，是充分且必要的。

③因為正定對稱矩陣Q的形式可任意給定，且最終的判斷結果將和Q的不同形式選擇無關，所以通常取Q＝I(單位陣)較為方便。這樣線性系統平衡狀態X＝0為漸近穩定的充要條件為：存在一個正定對稱矩陣P，滿足矩陣方程④將上述定理同從的特征值分布來分析系統穩定性聯系起來看，它實際上就是中矩陣的特征值均具有負實部的充要條件。第四十四頁，共五十六頁，2022年，8月28日可以證明，要求特征值均具有小于某一數

值的負實部，即的充要條件

(即考慮衰減程度)是：對任意給定的正定對稱矩陣Q，存在正

定對稱陣P，它為矩陣方程的解。第四十五頁，共五十六頁，2022年，8月28日證明用上述定理考察系統，若特征值均具有負實部(充要條件是對任意正定對稱矩陣Q，存在正定對稱矩陣P，滿足)，對系統作平移變換,將代替上式中的A，則有即:第四十六頁，共五十六頁，2022年，8月28日例3.5

設系統的狀態方程為顯然，坐標原點是系統的一個平衡狀態，試確定系統在這一平衡狀態下的漸近穩定性條件，并求出系統的李亞普諾夫函數。第四十七頁，共五十六頁，2022年，8月28日解設系統的李亞普諾夫函數為式中P由下式決定取Q=I，得展開得解上式得第四十八頁，共五十六頁，2022年，8月28日式中，叫作系統方程中矩陣A的跡(代表矩陣A的主對角線