2013年下半年中學教師資格認定考試（高級數學學科知識與教學能力）真題試卷（總分：34.00，做題時間：90分鐘）一、單項選擇題（總題數：8,分數：16.00）.設a=n2-9n-100（n=1，2,3…），則數列｛a｝中取值最小的項為（）。n nA.第4項B.第5項C.第6項D.第4和第5項V解析：解析：將數列an看做一個一元二次多項式，開口向上在對稱軸n=4.5處取得最小值，但是數列中n為正整數，故在其附近找最小值。當n=4時，a"=-120；當n=5時，a"=-120。故取最小值的項為第4項和第5項。故選D。 n n.已知a>1,0<x<y<1,則下列關系式正確的是（）。A.ax>ayB.xa>yaA.|M+N|=|M|+|N|B.|MN|=|NM|VC.(MN)‘=M'N‘D.(M+N)2=M2+2MN+N2解析：4.已知隨機變量X服從正態分布N(3,1)且P(2WxW4)=0.6826,則P(X>4)=()。A.0.1585B.0.1586C.0.1587VB.0<f'(3)<f(3)-f(2)<f'(2)VC.0<f,(3)<f,(2)<f(3)-f(2)D.0<f(3)-f(2)<f'(2)<f'(3)

解析：解析：從圖形看可以看做拋物線：y2=2px(x〉0,y〉0)o由于是選擇題，為了方便令p=1,則y=f(x)=由于光滑則可導得到解析：解析：從圖形看可以看做拋物線：y2=2px(x〉0,y〉0)o由于是選擇題，為了方便令p=1,則y=f(x)=由于光滑則可導得到。故選Bo結合選項，先求出則通過計算可以得到f'(2)〉f'(3),6.已知正方形ABCD的邊長為1,點E是AB邊上的動點，則A.大于1B.小于1C.等于1V的值()A.算法是現代數學的最重要組成部分B.算法內容可以提高學生的邏輯思維能力C.順序結構、選擇結構、循環結構是算法程序框圖的三種基本結構D.由于算法思想和計算機關系密切，所以我國古代沒有算法思想V解析：解析：中國古代數學以實用為目的，直觀性和機械化、程序化是它的的算法特點。所以中國古代是有算法思想的。故選Do8.下列哪位數學家不是微積分的創始人()。A.伽羅華VB.牛頓C.費爾馬D.萊布尼茨解析：解析：費爾馬是微積分的先驅者，早在牛頓、萊布尼茨之前，他就提出用微分子法求極大、極小的步驟，并給出求曲線圍成圖形的面積的方法。埃瓦里斯特.伽羅華(?varisteGalois,公元1811年?公元1832年。從民國起至今，其中文譯名為伽羅瓦的情況更多)是法國對函數論、方程式論和數論作出重要貢獻的數學家。曲線的切線問題和函數的極大、極小值問題是微積分的起源之一。費馬建立了求切線、求極大值和極小值以及定積分方法，對微積分做出了重大貢獻。故選Ao二、簡答題(總題數：5,分數：10.00)9.設⑴求9.設⑴求f(x)的反函數f-1(x)；f(x)的圖象和f-1(x)的圖象關于哪條直線對稱？(2)點P在f(x)的圖象上，點Q在f-1(x)的圖象上，求PQ的最小值。正確答案：(正確答案：(1)令故f-1(x)=ln2x(x〉0),關于y=x對稱。線y=x的距離為勾則o所以PQ正確答案：(正確答案：(1)令故f-1(x)=ln2x(x〉0),關于y=x對稱。線y=x的距離為勾則o所以PQ取最小值時，應該是PO與直線y=x垂直(2)設點P到直則,令D'=O求得x=ln2在此處取得最小值。則最后求得的最小值帶入上式中得到:解析：10.已知矩陣求曲線y2-x+y=0在矩陣M-1對應的線性變換作用下得到的曲線方程。正確答案：（正確答案：由f（x）是區間［a,b］上的連續函數，故存在最大值M正確答案：（正確答案：由f（x）是區間［a,b］上的連續函數，故存在最大值M和最小值m,使得mWf（x）W肘，所以有由于b-a〉0,故有由中值定理存在￡金［a,b］,使得解析:.設f（x）是區間［a,b］上的連續函數，證明：存在￡&［a,b］,使得立。）解析：.數學新課程提倡教師要成為學生數學學習活動的組織者、引導者與合作者，請解釋教師的引導作用主要體現在那些方面？正確答案：（正確答案：學生是學習的主體，而教師是數學學習的組織者、引導者和合作者。在每節課的教學中教師應從學生熟悉的生活經驗中尋找有意義的生活素材，創設有助于學生自主學習的問題情境，引導學生通過實踐、思考、探索、交流，獲得知識、形成技能、發展思維、學會學習，促使學生在教師指導下生動活潑地、主動富有個性地學習。在數學課堂教學中教師應從以下方面去引導探究學習知識。一、創設豐富有趣的數學情境。興趣是學生探索新知的直接動力，興趣高，學生才能學得積極主動，思維才會敏捷靈活。恰當、適時的導入新課，它可以激發學生的學習興趣和強烈的求知欲，使學生一上課就有了明確的探索目標和正確的思考方向。二、充分發揮課堂教學作用。課堂教學應當使學生掌握數學知識，達到教學目標，獲得一種基本技能、數學思想以及數學活動的經驗。教師也可以通過課堂的教學，可以根據自己在教學中的行為總結教學優點以及不足，為以后能夠更好地實施課堂教學工作經驗積累。在教師指導下，讓學生主動的獲取知識、應用知識，解決問題。讓學生享受參與的快樂，面對一個未知領域，學生充滿了強烈的好奇，非常希望去嘗試一番，希望自己是一個發現者、研究者、探索者。對自己親自實踐得到的知識，會理解的更加深刻。教師要順應學生的這種需求，讓學生品嘗參與的樂趣，強化獲取知識的主動性。在課堂上讓學生充分感受到了自己是這節課的主人，要用智慧和知識解決問題，體驗了主動參與的快樂，使學習成為學生生活中重要的感情經歷。在學生不斷的探索、學習中，教師要注意根據不同的教學內容，采取不同的方法進行引導：有關概念的概括,注意引導學生從諸多有關因素中，抽取出體現其本質特征的因素進行概括；對有關計算法則引導學生根據計算的過程及步驟去歸納概括。對于有些計算公式，引導學生參與公式的推導過程，老師有意識地引導學生經歷由操作思維到形象思維最后到抽象思維的過程，使學生不僅知其然，而且知其所以然，知識理解深、記得牢、用得活。同時，還使學生初步掌握了一些歸納、概括數學知識的基本方法，提高了他們學習數學知識的能力。通過歸納小結讓學生從總體上理解和掌握知識及其應用，教學中要有目的、有意識、有計劃地指導學生在學習過程中領悟并及時提示他們掌握相應的學習方法，使他們逐步由“學會”到“會學”，不斷提高數學學習能力，培養了學生的合作精神，歸納概括的能力。三、加強知識的應用。練習輔導是課堂教學的一個重要環節，是實現因材施教、提高教學質量的重要措施。在練習輔導中，滿足不同層次的學生的不同要求，為培養優秀尖子人才創造條件。對學習成績較差的學生應給予耐心細致、不厭其煩地個別輔導，給他們機會、口答問題，板演練習等，并經常給予鼓勵、表揚，在練習輔導中靈活的運用個別輔導和集體輔導藝術，及時反饋及時糾錯。既能彌補學生掌握知識的不足，又可以發現教師課堂教學的欠缺，有利于及時總結經驗，不斷的改進教學工作。）解析：.分別解釋學習心理學中“同化”與“順應”的含義，并舉例說明“同化”在數學概念學習中的作用？正確答案：（正確答案：同化是指有機體面對一個新的刺激情景時，把刺激整合到已有的圖式或認知結構中。順應是指當有機體不能利用原有圖式接受和解釋新刺激時，其認知結構發生改變來適應刺激的影響。同化論，強調新舊知識的相互作用涉及上位學習、下位學習、并列結合學習三種形式；強調概念和命題的不斷分化和綜合貫通；強調原有知識的鞏固及教材由一般到個別的循序組織。實際應用中，要了解學生對新舊知識的掌握程度及接受能力，用耳熟能詳的“已知”內容去教導“未知”內容。比如我們在學習橢圓的時候，可以從圓類比著來學習。）解析：三、解答題（總題數：1,分數：2.00）

TOC\o"1-5"\h\z.設a,a,a是復平面上的三個數，a+a+a=0,且滿足等式a2+a2+a2=aa+a1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2a+aa。證明(1)(z-a)(z-a)(z-a)=z3-aaa； (2)以a,a,a為頂點的23 31 1 2 3 123 1 2 3三角形為正三角形。正確答案：(正確答案：(1)證明：(z-a)(z-a)(z-a)=z3-z2(a+a+a)+z(aa+aa1 2 3 1 2 3 1 2 2 3+aa)-aaa由a+a+a=0，因止匕+aa)-aaa由a+a+a=0，-a2)+a3(-a-a)=-(a2+a2+a2-a2)+a3(-a-a)=-(a2+a2+a232 1 2 3)-(a1a2+42a3+a3a1)=-2(a1a②+a②a3+a3a-aaa3 1 2 3a2+a2a3+a3⑵證明：以a1a)=0所以aa+aa+aa=0因此(z-a)(z-a，a2，a3為頂點的三角形為正三角形等價于向量 1即)(z-a)=z平方得a2+a2+a2=a1231a2+a2a3+a3a1解析:四、論述題(總題數：1，分數：2.00)并說明高中學術新課程中引入二分法的意義。.闡述用二分法求解方程近似解的適用范圍及步驟，正確答案：(正確答案：二分法求解方程近似解的適用范圍：對于函數y=f(x)在區間[a，b]上連續不斷，且滿足f(a)-f(b)<0的函數。步驟：給定精度￡，用二分法求函數f(x)的零點近似值的步驟如下：(1)確定區間[a，b]，驗證f(a)?(f(b)<0，給定精度￡；(2)求區間(a，b)的中點x1；(3)計算f(xj：①若f(x])=0，貝Ux1就是函數的零點；②若f(a)?f(x])<0，則令b=x](此時零點x0金(a，xj)；③若f(x：)-f(b)<0，則令a=x](此時零點x0e(x1，b))；(4)判斷是否達到精度￡°；即若|；4|<￡，則得到零點值a(或b)；否則重復步驟⑵:(4)「高中數學新課程中引入二分法的意義：首先，“二分法”簡便而又應用廣泛，它對函數沒有要求，任何方程都可以用“二分法”求近似解，這就為教材后面函數知識的應用提供了一個很好的、必需的工具。其次。它體現現代而又根植傳統，算法作為一種計算機時代最重要的數學思想方法，將作為新課程新增的內容安排在數學必修1中進行教學，“二分法”是數學教學的一個前奏和準備，它所涉及的主要是函數知識，其理論依據是“函數零點的存在性(定理)”。再次，并說明高中學術新課程中引入二分法的意義。“二分法”樸素而又寓意深刻，體現了數學逼近的過程，二分法雖然簡單，但包含了許多以后可以在算法以及其他地方運用和推廣的樸素的思想，可以讓學生感受“整體一局部”、“定性一定量”、“精確一近似”、“計算一技術”、“技法一算法”這些數學思想發展的過程，具有萌發數學思想萌芽的數學教育的價值。)解析：五、案例分析題(總題數：1，分數：2.00)16.案例：題目：如圖2，在4ABC中，已知AB=2,師：請大家仔細讀題，(幾分鐘后)說說你的想法。學生1：16.案例：題目：如圖2，在4ABC中，已知AB=2,師：請大家仔細讀題，(幾分鐘后)說說你的想法。學生1：設BC=x，求4ABC面積的最大值。學環節一教由可得一個關于x的函數表達式，于是轉化成函數最值問題。學生2：設bC=x，可得到用x表示的S△.，我發現它可以利

用基本不等式求解。學生3：以線段AB中點為原點，以AB所在直線為x軸建立直角坐標系，從解析幾何角度尋找最大值。教師引導學生評價各種結題想法。教學環節二教師：這個問題大家有各自的想法，請按自己的想法解出答案。請同學1和同學3板演。學生1：設BC=x，所以當x2=12,即S△謝船有最大值，最大值為角坐標系，點按自己的想法解出答案。請同學1和同學3板演。學生1：設BC=x，所以當x2=12,即S△謝船有最大值，最大值為角坐標系，點A、B的坐標分別為(-1，0)，(1，0)，學生3：建立直設點C的坐標為(x，y)，則化簡得點C的軌跡為圓：(x-3)2+y2=8(yW0)，易知，當點C坐標為學環節三教師引導學生比較不同解法，進行解題反思。問題：(1)你認為教學環節三中，教師可以從哪幾方面引導學生進行解題反思？（2）學生1和學生3的解法體現了數學解題中的兩種通性通法，他們是什么？（3）上面的教學過程，對你以后的教學工作有哪些啟發？正確答案：（正確答案：（1）引導學生剖析錯解，引發反思意識；引導學生反思分析挫折的經歷，積累解題經驗；引導學生反恩解題過程，變式推廣問題；引導學生反思解題結果，引申已有結論。（2）求最值，待定系數法。（3）對我的啟發很大，首先我認為，教師要成為學生數學學習活動的組織者、引導者與合作者，作為一名新課改的合格老師應做到以下：①數學課程應致力于實現義務教育階段的培養目標，要面向全體學生，適應學生個性發展的需要，使得：人人都能獲得良好的數學教育，不同的人在數學上得到不同的發展。②課程內容要反映社會的需要、數學的特點，要符合學生的認知規律。它不僅包括數學的結果.也包括數學結果的形成過程和蘊涵的數學思想方法。課程內容的選擇要貼近學生的實際，有利于學生體驗與理解、思考與探索。課程內容的組織要重視過程，處理好過程與結果的關系；要重視直觀，處理好直觀與抽象的關系；要重視直接經驗，處理好直接經驗與間接經驗的關系。課程內容的呈現應注意層次性和多樣性。③教學活動是師生積極參與、交往互動、共同發展的過程。有效的教學活動是學生學與教師教的統一，學生是學習的主體，教師是學習的組織者、引導者與合作者。數學教學活動應激發學生興趣，調動學生積極性，引發學生的數學思考，鼓勵學生的創造性思維；要注重培養學生良好的數學學習習慣，使學生掌握恰當的數學學習方法。學生學習應當是一個生動活潑的、主動的和富有個性的過程。除接受學習外，動手實踐、自主探索與合作交流同樣是學習數學的重要方式。學生應當有足夠的時間和空間經歷觀察、實驗、猜測、計算、推理、驗證等活動過程。教師教學應該以學生的認知發展水平和已有的經驗為基礎，面向全體學生，注重啟發式和因材施教。教師要發揮主導作用，處理好講授與學生自主學習的關系，引導學生獨立思考、主動探索、合作交流，使學生理解和掌握基本的數學知識與技能、數學思想和方法，獲得基本的數學活動經驗。）解析：六、教學設計題（總題數：1,分數：2.00）17.高中“函數概念"（第一節課）設定的教學目標如下：①通過豐富實例，進一步體會函數是描繪變量之間的依賴關系的重要數學模型，體會數學應用的廣泛性；體會函數的實質是兩個集合間的特殊對應關系；②理解函數表達形式的多樣性③理解函數的定義。完成下列設計，并且回答問題：（1）根據教學目標①②，至少設計三個實例，并說明設計意圖。（2）根據教學目標③，至少設計兩個例題，并說明設計意圖。（3）本節函數概念教學與初中函數概念教學有什么不同?本節課教學的重點、難點各是什么？請說明理由。正確答案：（正確答案：（1）實例一：自由落體運動鐵球從500米高處自由落體，距離地面高度h隨時間t變化的規律是（g=10m2變化的規律是（g=10m2/s）。這里，鐵球落地時間t的變化范圍是數集A={t|0WtW10},鐵球距艮據圖中曲線可知，時刻。在數集B中都有唯一確定的氣溫與之對應。實例三：恩格爾系數變化表:以上三個艮據圖中曲線可知，時刻。在數集B中都有唯一確定的氣溫與之對應。實例三：恩格爾系數變化表:以上三個地面的高度h的變化范圍是數集B={h|0WhW500}。實例二：氣溫變化圖間的變化范圍是八=代|14七412},氣溫的變化范圍是B={s|-15WsW30},并且對于數集A