第5節拋物線

靈活方醫方致偎影

課時作業

三選題明細表

知識點、方法基礎鞏固練綜合運用練應用創新練

拋物線的定義2,5,6,7

拋物線的標準方程3,8

拋物線的幾何性質1,411

直線與拋物線的

910,12,13,14,15,1617,18

綜合

A級基礎鞏固練

1.拋物線y=8x2的焦點坐標是（A）

A.（0,或）B.（0,爸C.（0,2）D.（0,4）

解析：因為拋物線的標準方程為x2=1y,

所以焦點坐標為（0,或）.

故選A.

2.若拋物線x2=16y上一點（X。,y。）到焦點的距離是該點到x軸距離的3

倍，則y°等于（D）

A.-B.V2C.1D.2

2

2

解析:拋物線x=16y上一點（x°,y0）到焦點的距離是該點到x軸距離的

3倍,可得yo+^=3yo,所以yo=^=^=2.故選D.

244

3.點M（5,3）到拋物線丫=2*2（270）的準線的距離為6,那么拋物線的方

程是（D）

A.y=12x2

B.y=12x2或y=-36x2

C.y=-36x2

D.y=—x"或y=--x2

1236

解析:分兩類a>0,a<0,可得yjx?或故選D.

4.已知P為拋物線ygx之上的動點，點p在x軸上的射影為點M,點A

的坐標是(6,5)，則|PA|+|PM|的最小值是(B)

1921

A.8B.—C.10D.—

22

解析:依題意可知焦點F(0,5,準線方程為y=W，延長PM交準線于點

H(圖略).

則|PF|=|PH|,|PM|=|PF|g,

|PM|+|PA|=|PF|+|PA|-1,

即求IPF|+|PA|的最小值.

因為|PF|+|PA|?|FA|,

又|FA|=j62+(千92=io.

所以|PM|+|PA|^10-|=y.

故選B.

5.0為坐標原點,F為拋物線C:y2=4&x的焦點,P為C上一點,若

|PF|=4/,則APOF的面積為(C)

A.2B.2V2C.2V3D.4

解析:設P(XR,yP)(yP>0),

由拋物線定義知,XP+V2=4V2,

所以XP=3V2,外力4近x3或=2跖

因此SAP0F=|X2V6XV2=2V3.

故選C.

6.（2021?廣西名校模擬）已知點M是拋物線x?=4y上的一動點,F為拋

物線的焦點,A是圓C（x-L）2+（y-4）2=1上一動點,則|MA|+|MF|的最小

值為（B）

A.3B.4C.5D.6

解析:過M作MP垂直于準線,垂足為P（圖略），利用拋物線的定義知

|MP|=|MF|,

當M,A,P三點共線時，|MA|+|MF|的值最小，且最小值為

|CP|-r=|CP|-l.

因為拋物線的準線方程y=T,圓心C（l,4）,

所以|CP|=4+1=5,

所以（|MA|十|MF|）M=5-L=4.

故選B.

7.已知拋物線C:y2=2x,過原點作兩條互相垂直的直線分別交C于A,B

兩點（A,B均不與坐標原點重合），則拋物線的焦點F到直線AB的距離

的最大值為（C）

A.2B.3C.-D.4

2

解析:設直線AB的方程為x=my+t,A（xbyj,B（x2,y2）.

j%=my+t,?

由_2X=y_2my_2t=0=yjy2=-2t,

由0A_1_OBnxiXz+y邙2)-+yiy2=0oy皿=-4,

=“4、

所以t=2,即直線AB過定點(2,0).

所以拋物線的焦點F到直線AB的距離的最大值為2-1=|.故選C.

8.如圖是拋物線形拱橋,當水面在1時,拱頂離水面2m,水面寬4m.

水位下降1m后,水面寬m.

解析:建立如圖所示的平面直角坐標系,

設拋物線方程為x2=-2py(p>0),

由題意將點A(2,-2)代入xJ-2py,得p=l,

故x2=-2y.

設B(x,-3),代入x2=-2y中，得x=V6,

故水面寬為2V6m.

答案：2在

9.已知F是拋物線C:y2=16x的焦點,過F的直線1與直線x+V3y-l=0

垂直,且直線1與拋物線C交于A,B兩點,則|AB|=.

解析：因為F是拋物線C:y2=16x的焦點，

所以F(4,0).

又過F的直線1與直線x+V3y-l=0垂直，

所以直線1的方程為y=V3(x-4),

代入拋物線C:y2=16x,

易得3x-40x+48=0.

設A(XI,yi),B(X2,y2),

貝!Jx1+x2=y,X1X2=16,

所以AB|=V1+3?J+%2)2-4%i%2=g.

答案號

B級綜合運用練

10.(多選題)已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F,直線1字母的斜

率為8,且經過點F,直線1與拋物線C交于A,B兩點(點A在第一象

限)，與拋物線的準線交于點D,若|AF|=4,則以下結論正確的是

(ABC)

A.p=2B.F為AD中點

C.|BD|=2|BF|D.|BF|=2

解析：由題意0),直線1的斜率為百,

則直線方程為y=K(x《),

y2=2px,

聯立

=遮(％-§),

yz

得12x2-20px+3P2=0.

解得x,\=|p,XB=%,

由|AF|=|p+￡=2p=4,得p=2,

所以拋物線的方程為y=4x,

所以XB亡p二二,貝ijIBF|=+1=]

6333

所以|BD|=2|BF|.

又|BD|+1BF|竊=4,

則F為AD中點.

所以運算結論正確的是ABC.故選ABC.

11.(2021?江蘇常州高三一模)過拋物線y2=2x上一點P作圓C:

x2+(y-6)2=l的切線,切點為A,B,則當四邊形PACB的面積最小時,P點

的坐標是(C)

A.(1,V2)B.(|,V3)

C.⑵2)D.(|,V5)

解析：由題意可設P0a；a),

當四邊形PACB的面積最小時，

點P到圓心C(0,6)的距離最小,

即IPCa?/+(6-a)2=ia+a2-12a+36,

可令f(a)=-a'+a2-12a+36,

4

則f(a)=a3+2a-12=(a-2)(a2+2a+6),

則當f'(a)=0時，a=2,

此時取得最小值，四邊形PACB的面積為

2X|X1XJ|PC|2-1=^22+(6-2)2-1個國，所以P(2,2).故選C.

2

12.在平面直角坐標系xOy中，設拋物線y=2pix(p!>0)與x?=2p2y(p2>0)

在第一象限的交點為A,若0A的斜率為2,則絲=_______.

P1

解析：設A(x,y),

由y2=2pQ符,

則T-導X=4P2,

y=Pi，

故A(4p2,pi),

代入拋物線得洸=2P??4p2="=1

Pl8

答案芻

13.設F為拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點,過F作傾斜角為60°的直線

交拋物線C于AB兩點，若|AF|-|BF|=4,則|AB|=.

解析:設A(xi,yi),B(x2,y2)(X1>O,x2>0),則

直線AB的方程為y=V3(x-^),

.h(y=

田j乙

爐=2px,

得3x2-5px+-p2=0,

4

2

所以X1+x2=|p,x,x2=ip,

所以(%1-％2)2=(%1+%2)2-4X1X2與p二4；

因為P>0,

所以p-3,

所以|AB|=xi+x2+p=1p=8,

答案：8

14.已知點M（xo,y。）（yo>O）是拋物線C:y?=4x上一點，以M為圓心,r為

半徑的圓M與拋物線C的準線相切,且與x軸的兩個交點的橫坐標之

積為5,則圓M的方程為,若過拋物線C的焦點F

作圓M的切線交拋物線于A,B兩點，則|AF|?|BF|=.

解析:設圓M與拋物線的準線相切于點D,與x軸交于P,Q兩點,如圖

所示.

因為|MP|=|MD|=r,

所以P為拋物線的焦點F,則P(l,0),

又因為XP?XQ=5,

所以Q(5,0).

因為|MP|=|MQ|=r,

===

所以x0-1-3,y()=V4x32V3,

M(3,2V3),

r=J(3-1產+(2V3-0)2=4,

所以圓M:(x-3)2+(y-2V3)2=16.

設A(xi,設，B(X2,y2),如圖所示.

所以kAB=-y,lAB：y=-y(xT),

聯立卜=一曰d=x2-14x+l=0,

y2=4x

得XI+X2=14,XIX2=1,

2

所以IAF|?|BF|+資?J(x2-1)+yl

=J之+4石?J(久2-1)2+4%2

2

=j(x1+I)?J(%2+1)2

=(X1+1)?(x2+l)

=XIX2+X1+X2+1

=16.

答案：(x-3)2+(y-2H)J1616

15.如圖，已知點P(t,5)(t>0),拋物線x2=2py的焦點是F(0,1),A,B是

拋物線上兩點，四邊形FAPB是矩形.

⑴求拋物線的方程；

（2）求矩形FAPB的面積.

解：（1）因為拋物線x2=2py的焦點是為0,1）,

所以

解得P=2,

所以拋物線的方程為x2=4y.

⑵設A（2ti,片），B（2tz,抬），

因為四邊形FAPB是矩形，

所以％"+第8_町+町匕4+丫8_丫尸+丫」

22'22'

且贏?FB=Q,

即2%+2t21此+狀_1+5_3

22，22'

且2ti?2t2+（tf-l）（^-1）=0,

所以ti+t2=[,城2=，-3,

2o

且14T6t2-512=0,

所以#-32）#+16）=0,

解得t2=32,tit2=l,

由拋物線的定義得|FA|=^+L|FB|=t>l,

所以矩形FAPB的面積為

S=|FA|*|FB|=（及+1）（行+1）

=存狀+片+玲+1

=1+6+1

=8,

所以矩形FAPB的面積為8.

16.在平面直角坐標系xOy中，拋物線C:x?=2py(p>0)的焦點為F,點A

在拋物線C上，若|AO|=|AF|=*

(1)求拋物線C的方程；

⑵設直線1與拋物線C交于P,Q兩點,若線段PQ的中點的縱坐標為

1,求△OPQ的面積的最大值.

解：(1)因為點A在拋物線C上，|A01=|AF|4,所以點A的縱坐標為與，

所以耳心三，

422

所以p=2,

所以拋物線C的方程為x?=4y.

(2)由題意知直線1的斜率存在，

設直線1的方程為y=kx+b(b>0),

代入拋物線方程,可得x2-4kx-4b=0.

設P(xbyi),Q(X2,y2),

則xi+x2=4k,XiX2=-4b,

2

所以yi+y2=4k+2b,

因為線段PQ的中點的縱坐標為1,

所以2k2+b=l,

即2k=l-b^0,

所以(KbWl,

2

SA0PQ=|b|X-X21=|bj(%!+X2)-4X1X2

2

=2-bV16/c+16b

=bV2+2b

=V2?Vfe3+b2(0<b^l),

設y=b3+b2,y'=3b2+2b>0,函數單調遞增，

所以當b=l時,AOPQ的面積最大,最大值為2.

C級應用創新練

17.(2021?遼寧沈陽高三一模)已知拋物線x?=4y,點M(t,-2),t￡

[T,1],過M作拋物線的兩條切線MA,MB,其中A,B為切點,直線AB與

y軸交于點P,則黑的取值范圍是_______.

PB

解析：設切點A(xi,yi),B(X2,y2),由拋物線y=：x；y'=；x,

所以切線MA:xix=2yi+2y,

同理切線MB:x2x=2y2+2y,

又點M是兩條切線的交點，

所以Xit=2y,-4,x2t=2y2-4.

所以直線AB的方程為tx=-4+2y,

此直線恒過P(。,2)，則翳益萬人f2/

聯立V一5'消去y,得x2-2tx-8=0,

X2=4y,

所以x,+x2=2t,XIX2=-8,

所以（…VW這+2=±.

久1%2%2久12

因為tG[-1,1],

所以-[一/°]，

即\建+2W0,

x

2x2i

令m=—,則-餐111+工+2或0,

x22m

（ii

--<mH------1-2,

即《2徵

mH------1-2<0,

Im

解得-2WmW-,

所以上￡[-2,-；],

%22

即旦=T1W[1,2].

PBx22

答案：[I，2]

18.（2021?浙江臨海高三模擬）如圖，直線y=2x-2與拋物線x2=

2py（p〉0）交于Ml,M2兩點,直線y=：與y軸交于點F,且直線y音恰好平

分NMFNL

（1）求p的值;

⑵設A是直線y音上一點，直線AM2交拋物線于另一點M3,直線MM3交

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