實驗三連續時間傅立葉級數成諧波關系的復指數信號就是它們的頻率互為整數倍的信號，傅立葉級數將周期信號表示成諧波關系的復指數信號的加權和,如（3.1）和（3.2）式。因為復指數信號是LTI系統的特征函數。所以這種表示能夠直接計算在一給定周期輸入下一個系統的輸出.（3.1）（3.2）§3.1連續時間傅立葉級數的性質目的本練習要檢驗連續時間傅立葉級數（CTFS）的性質。相關知識考慮信號，式中。為了用MATLAB對該信號求值，利用時間向量>>t=linspace(-1,1,1000);它創建了在范圍內1000個時間樣本的向量。中等題滿足的最小周期T是多少？利用這個Ｔ值，用解析法求的CTFS系數。代碼如下：x=sym('cos(2*pi*t)+sin(4*pi*t)');//構造x1（t）的表達式t=linspace(-1,1,1000);//在范圍內1000個時間樣本的向量subplot(1,2,1);//畫出x1（t）的圖形ezplot(x,[-1,1]);gridon;title（’函數波形’）；k=[-5:5];symst;f=x*exp(-i*2*pi*t*k);Fn=int(f,t,0,1)//傅里葉級數的指數形式F=abs(Fn)//求模subplot(1,2,2);//畫傅里葉級數的幅頻特性stem(k,F);title（‘幅頻特性’）；運行后的傅里葉級數系數：F=[0,0,0,1/2,1/2,0,1/2,1/2,0,0,0]圖形如下：考慮信號，利用CTFS的時間倒置和共軛性質求的CTFS系數。代碼如下：x=sym('cos(2*pi*t)+sin(4*pi*t)');t=linspace(-1,1,1000);k=[-5:5];symst;f=x*exp(-i*2*pi*t*k);Fn=int(f,t,0,1);Fn1=fliplr(Fn);%利用時間倒置函數求x(-t)的傅里葉級數Fn2=Fn+Fn1;F=abs(Fn2)stem(k,F);title('y的幅頻特性');運行后的傅里葉級數系數：F=[0,0,0,0,1,0,1,0,0,0,0]圖形如下：在上畫出信號。能預計出什么樣的對稱性？能夠利用CTFS的對稱性說明它嗎？代碼如下；symst;x=sym('cos(2*pi*t)+sin(4*pi*t)');%構造x1（t）表達式y1=subs(x,-t,t);%求x1（-t）y=y1+x;%求y（t）ezplot(y,[-1,1]);%畫圖gridon;title('y(t)');分析：由以下圖形可知，y（t）是一個偶函數，因為才x(t)與x(-t)相加之后正弦部分抵消，因此，傅里葉級數中不含有正現象。圖形：考慮信號。利用CTFS的時間倒置和共軛性質求的CTFS系數。代碼：x=sym('cos(2*pi*t)+sin(4*pi*t)');%構造表達式t=linspace(-1,1,1000);%創建了在【-1，1】范圍內1000個時間樣本的向量k=[-5:5];symst;f=x*exp(-i*2*pi*t*k);Fn=int(f,t,0,1);%傅里葉級數Fn1=fliplr(Fn);Fn2=conj(Fn1);%求共軛Fn3=Fn-Fn2F=abs(Fn3)運行結果：Fn3=[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0]F=[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0]分析：利用了時間轉置函數fliplr和虛數函數conj；由于兩個式子是實數，因此求共軛相減之后為0.5．用信號重復1～4。本題的代碼跟上面四個差不多，只需將構造的表達式改為x2(t)即可。§3.2連續時間傅立葉級數中的能量關系目的分別在時域和頻域求信號能量，驗證帕斯瓦爾定理。相關知識一個硬限幅器是一種器件，其輸出是即時輸入信號符號的函數，具體說就是當輸入信號是正時，輸出信號等于1；而當是負時，輸出信號等于－1。調頻（FM）的某些實現或雷達系統中都常用硬限幅器處理某一即時輸入信號的相位，而不管任何可能的幅度失真。在本練習中要考慮將信號通過硬限幅器產生的問題。中等題1．求信號的CTFS表示。提示：利用CTFS性質，并根據周期為T的對稱方波具有CTFS系數為的知識。分析：w=pi。信號通過硬限幅器產生y(t)，只需將上面的s(t)翻轉再向右平移1/2T，同時將其與s(t)相加，因而的傅里葉級數系數為ak(1-exp(-i.*(k+eps)*pi)，最后得到的傅里葉系數是呈抽樣函數的形狀。代碼如下：symst;k=[-20:20];ak=(sin((k+eps)*pi/2)./((k+eps)*pi))fk=ak.*(1-exp(-i.*(k+eps)*pi))subplot(2,1,1)stem(k,fk);title('fk');f=fk.*exp(i.*(k+eps)*pi*t);f1=simple(sum(f))subplot(2,1,2)ezplot(t,f1);title('f1');圖形：2．一個周期信號的基波分量的能量可以定義為，其中是該信號的CTFS。試計算輸出和輸入中的基波分量的能量，能量有增益或損失嗎？能說明能量變化的原因嗎？代碼：x=sym('cos(pi*t)^2');ex=int(x,0,2);%求一個周期內原函數的能量ey1=((sin(pi/2)./(pi)).*(1-exp(-i*pi)))^2;ey_1=((sin(pi/2)./(pi)).*(1-exp(i*pi)))^2;ey=ey1+ey_1;%求近似后基波分量的能量error=abs(ex-ey);formatshortexeyer=single(error)%求損失的能量運行結果：ex=1ey=0.8106er=0.18943．利用帕斯瓦爾定理求該信號一個周期內的總能量，利用前100個頻率，即近似這個和式，這個和式收斂到何值？代碼：clear;clc;e(1)=0;fork=-100:100a(k+101)=(sin(pi*k/2)/((k+eps)*pi))^2;e(k+102)=a(k+101)+e(k+101);ende運行結果：e=0.2490分析：這個和式收斂于0.25。4．為了觀察該能量估計值收斂得有多快，試畫出該信號能量估計值作為在和式中所用項數個數的函數圖。會發現函數cumsum有助于創建下面部分和式的向量：代碼：clear;clc;e(1)=0;fork=-100:100a(k+101)=(sin(pi*k/2)/((k+eps)*pi))^2;e(k+102)=a(k+101)+e(k+101);endplot(e)title('能量分布')grid運行結果：深入題5．利用該信號能量的解析式求下面和式的閉式表達式：提示：利用帕斯瓦爾定理將總能量的時域和頻域表達式聯系起來。代碼：clear;clc;symst;k=[-100:100];ak=1./(2.*k+1).^2;%每一項的表達式ft=ak.*exp(i.*k*pi*t);f=sum(ft);ezplot(t,f)gridon;title('和式閉式表達式');運行結果：

§3.3用傅立葉級數綜合連續時間信號目的學習CTFS系數的連續時間信號的傅立葉分析與綜合。相關知識一大類連續時間周期信號可以表示成如下和式式中是連續時間傅立葉級數（CTFS）。本練習要綜合具有較少非零系數個數的信號，將考慮具有無限個非零CTFS系數的連續時間信號的傅立葉分析與綜合。基本題對于這些習題要用少數幾個非零的傅立葉級數系數構造周期信號的符號表達式。3個信號的基波周期和非零的CTFS系數給出如下：對每一信號創建連續時間信號的符號表達式，并用ezplot畫出信號的兩個周期。若已知的圖，如何能由兩個信號的傅立葉級數系數預計的圖？如何本來就能根據傅立葉系數預計出3個信號中每一個都應該是實信號？代碼：symst;%構造表達式并化簡x1=simple(5*(exp(i*2*pi*t)+exp(-i*2*pi*t))+2*(exp(i*6*pi*t)+exp(-i*6*pi*t)))x2=simple(i*(exp(i*pi*t)-exp(-i*pi*t))-1/2*i*(exp(i*2*pi*t)-exp(-i*2*pi*t))+1/4*i*(exp(i*3*pi*t)-exp(-i*3*pi*t))-1/8*i*(exp(i*4*pi*t)-exp(-i*4*pi*t)))x3=simple(i*(exp(i*1/2*pi*t)-exp(-i*1/2*pi*t))+1/2*i*(exp(i*pi*t)-exp(-i*pi*t))+1/4*i*(exp(i*3/2*pi*t)-exp(-i*3/2*pi*t))+1/8*i*(exp(i*2*pi*t)-exp(-i*2*pi*t)))subplot(2,2,1)ezplot(t,sym(x1))axis([0,2,-10,10])subplot(2,2,2)ezplot(t,sym(x2))axis([0,4,-5,5])subplot(2,2,3)ezplot(t,sym(x3))axis([0,8,-5,5])運行結果：分析：若已知的圖，的傅立葉系數是傅立葉系數的共扼；體現在頻域中幅頻特性相同，相位不同。而在時域中，兩個圖的形狀大概一致。中等題定義并考慮具有下面基波周期T和傅立葉級數系數的信號：4．5．6．對每一信號K＝1，3和9。對每個K值，創建對的符號表達式，并用ezplot畫出各信號的兩個周期。如果信號為復數，要單獨分開畫出它們的實部和虛部。代碼：symstk=[-1:1];ak4=1./(k.^2+1)*x4=ak4.*(exp(i*2*pi/5.*k*t))subplot(3,2,1)ezplot(sum(x4),[-5,5])gridontitle('k=1,x(4)')ak5=sign(k)./(-2).^abs(k)x5=ak5.*(exp(i*pi/10.*k*t))h1=sum(x5);re=real(x5)im=imag(x5)subplot(3,2,3)ezplot(t,sum(re),[-20,20])axis([-20,20,-1.5,1.5]);gridontitle('k=1,x(5)real')subplot(3,2,4)ezplot(t,sum(im),[-20,20])axis([-20,20,-1.5,1.5]);gridontitle('k=1,x(5)imag')ak6=1./2.^abs(k+2)x6=ak6.*(exp(i*2*pi/5.*k*t))h2=sum(x6);re1=real(x6)im1=imag(x6)subplot(3,2,5)ezplot(t,sum(re1),[-5,5])axis([-5,5,-1.5,1.5]);gridontitle('k=1,x(6)real')subplot(3,2,6)ezplot(t,sum(im1),[-5,5])axis([-5,5,-1.5,1.5]);gridontitle('k=1,x(6)imag')h1h2運行結果：h1=1/2*exp(-1/10*i*t*pi)-1/2*exp(1/10*i*t*pi)h2=1/2*exp(-2/5*i*t*pi)+1/4+1/8*exp(2/5*i*t*pi)7．怎樣本就能由傅立葉級數系數預計到哪個信號應該是實信號？分析：如果傅立葉級數系數關于虛軸對稱，這信號是實信號。深入題8．這一部分要寫出一個M文件，當CTFS系數在區間以外是零時，該M文件從CTFS系數綜合出信號。該Ｍ文件的第一行應該讀出functionx=ctsynth(a,T,K)其中T是的基波周期，a是包含內的CTFS系數的符號陣列。務必用程序確認a是一個具有2K+1個元素的符號陣列。這個函數應該產生對信號的符號表達式x。用在基本題和中等題中的某些信號驗證這個函數，例如有下列程序應該創建1中的符號表達式>>T=1;>>K=3;>>a=sym('[2050502]');>>x=ctsynth(a,T,K);函數文件代碼：functionx=ctsynth(a,T,K);symst;k=-K:1:Kif2*K+1~=numel(a)%numel返回元素個數ndims返回維數a=zeros(1,2*K+1);return;end;nf=a.*exp(j*k*2*pi*t/T)f=0;form=1:1:2*K+1f=nf(m)+f;end;x=simple(f)subplot(1,2,1);ezplot(real(x),[-T,T]),title('x實部');subplot(1,2,2);ezplot(imag(x),[-T,T]),title('x虛部');調用：T=1K=3a=sym('[2050502]')x=ctsynth(a,T,K)運行結果：x=10*cos(2*pi*t)+4*cos(6*pi*t)§3.4方波和三角波的傅立葉表示目的這個練習要用傅立葉級數分析兩個常見的連續時間信號——周期方波和周期三角波，對每個信號將研究截斷的傅立葉級數綜合公式，特別要研究隨N的增大，是如何收斂的？相關知識一般來說，傅立葉級數系數可有無限個非零值。譬如，任何具有間斷點的信號都一定有一個無限個非零系數的傅立葉級數表示，而對數值計算來說，這是無法實現的。有限項和對某個相對小的整數N往往是一個很好的近似。方波考慮一個基波周期T=2的周期方波，在區間內該方波由下式表示，如下圖示：這個練習將分析方波的傅立葉級數表示，且主要集中在方波的不連續點。利用int創建一個符號表達式a，它包含了該方波每個k值的傅立葉級數系數。這個符號表達式是k的函數。例如，由numeric(a,5,'k')給出。盡量簡化這個表達式。利用numeric和stem畫出內的傅立葉級數的系數。代碼：clear;clc;k=-10:1:10;x=sym('Heaviside(t+1/2)-Heaviside(t-1/2)');symsta=int(x*cos(k*pi*t),-1,1);stem(k,subs(a),'full')%a為符號變量grid;運行結果：2．對N=1，3，5和9，對創建符號表達式。利用ezplot畫出區間內的，用hold將4張圖畫在同一幅圖上。代碼：clear;clc;i=1;forN=[1359]k=-N:1:N;x=sym('Heaviside(t+1/2)-Heaviside(t-1/2)');symsta=int(x*cos(k*pi*t),-1,1);x1=fadd(N,2,a,t)/2;subplot(4,1,i)ezplot(x1)title('x(t)')grid;i=i+1;end運行圖：3．在時，的值是多少？這個值隨N增加而變化嗎？分析：值是0.5，這個值不隨N增加而變化。4．不用明確地求出，對每個N值估計一下超量誤差值。這個超量誤差隨N增加而減小嗎？隨，如何預期這個值的變化？分析：這個超量誤差隨N增加而減小；當，這個值的趨向0。因為當，近似程度越高，因此圖象越接近與方波。從上面的圖形也可以看出這一現象。三角波考慮一個基波周期T＝2的周期三角波。在區間上，該三角波由給出。雖然方波有一個零階不連續點，而三角波則有一個一階不連續點。下面的習題要分析該三角波的傅立葉級數表示。它的特性行為與方波的傅立葉級數表示作比較。5．利用int創建一個符號表達式a，它包含了三角波對每個k值的傅立葉級數系數。這個符號表達式是k的函數。例如，由numeric(a,5,'k')給出。盡量簡化這個表達式。利用numeric和stem畫出內的傅立葉級數的系數。代碼：clear;clc;symstTk=-10:1:10;a=int((1+t)*exp(-i*k*pi*t),t,-T/2,0)/T+int((1-t)*exp(-i*k*pi*t),t,0,T/2)/T;%求三角波傅立葉級數a=subs(a,'T',2);a=abs(a)stem(k,a);gridon;title('三角波傅立葉級數');運行結果：6．對N=1，3，5和9，對創建符號表達式。利用ezplot畫出區間內的，用hold將4張圖畫在同一幅圖上。代碼：clear;clc;i=1;forN=[1359]k=-N:1:N;x=sym('1-abs(t)');symsta=int(x*cos(k*pi*t),-1,1);x1=fadd(N,2,a,t)/2;subplot(4,1,i)ezplot(x1)title('x(t)')grid;i=i+1;end運行圖形：7．增大N，在t=0，是怎樣收斂的？呈現的最大誤差隨N增大而減小嗎？將這一特性行為與截斷的方波傅立葉級數近似比較情況怎樣？分析：增大N，在t=0，收斂于1，呈現的最大誤差隨N增大而減小。這一特性行為與截斷的方波傅立葉級數近似比較情況相同，即越來越近似于原信號。8．能用diff分析是如何近似三角波的導數的。對N＝9，利用diff從的符號表達式創建對符號表達式。在區間上畫出這一導數。這個信號與2中的比較如何？怎樣解釋這一相似性？

實驗四連續時間傅立葉變換連續時間傅立葉變換（CTFT）（4.1）（4.2）將連續時間傅立葉級數（CTFS）推廣到既能對周期連續時間信號，又能對非周期連續時間信號進行頻域分析。另外，許多LTI系統的特性行為要比時域容易理解。為了更有效地應用頻域方法，重要的是要將信號的時域特性是如何與它的頻域特性聯系起來的建立直觀的認識。本練習就是要對一般的信號幫助建立這一直觀性，尤其是在LTI系統的單位沖激響應和頻率響應之間建立這一直觀性。§4.1連續時間傅立葉變換的數字近似目的將連續時間傅立葉變換進行數字近似，用函數fft（快速傅立葉算法）高效地計算這個近似值。相關知識很多信號都能用（4.1）式連續時間傅立葉變換（CTFT）來表示。利用MATLAB可以計算（CTFT）積分的數值近似。利用在密集的等間隔t的樣本上的求和來近似這個積分，就可以用函數fft高效地計算這個近似值。所用的近似式是根據積分的定義得到的，即（4.3）對于一般信號，在足夠小的τ下，上式右邊的和式是對于CTFT積分的一個好的近似。若信號對于和為零，那么這個近似式就能寫成（4.4）式中，N為一整數。可以利用函數fft對一組離散的頻率計算上式中的和式。如果N個樣本是存在向量x內的話，那么調用函數X=tau*fft(x)就可以計算出 （4.5）式中以及N假設為偶數。為了計算高效，fft在負的頻率樣本之前先產生正頻率樣本。為了將頻率樣本置于上升的順序，能用函數fftshift。為了將存入X中的的樣本排列成使就是對于，在上求得的CTFT,可用X=fftshift(tau*fft(x))。本練習要用函數fft和截斷的近似的CTFT。將會看到，對于足夠小的，對能計算出一個準確的數字近似。基本題1．求CTFT的解析表達式。可以發現，將看作，，是有幫助的。代碼：clear;clc;x=sym('exp(-2*abs(t))')y=fourier(x)運行結果：x=exp(-2*abs(t))y=4/(4+w^2)2．創建一個向量，它包含了對于和，在區間t=[0:tau:T-tau]上，信號的樣本。因為對于基本上為零，就能用由上面分析中計算出信號的CTFT。向量y的長度為N。代碼：clear;clc;x1=sym('exp(-2*(t-5))*Heaviside(t-5)')x2=sym('exp(2*(t-5))*Heaviside(-t+5)')y1=fourier(x1)y2=fourier(x2)y=simple(y1+y2)運行結果：x1=exp(-2*(t-5))*Heaviside(t-5)x2=exp(2*(t-5))*Heaviside(-t+5)y1=1/(2+i*w)*exp(-5*i*w)y2=1/(2-i*w)*exp(-5*i*w)y=4*exp(-5*i*w)/(4+w^2)3．鍵入y=fftshift(tau*fft(y))計算樣本。代碼：clear;clc;tau=0.01;T=10;t=[0:tau:T-tau];N=length(t)y=exp(-2*abs(t-5));y1=fft(y)y2=fftshift(tau*fft(y)分析：由于N的長度為1000，故計算出的樣本Y(jw)值有1000個，由于計算結果太多，因此沒有將運行結果保存過來4．構造一個頻率樣本向量w，它按照>>w=-(pi/tau)+(0:N-1)*(2*pi/(N*tau));與存在向量Y中的值相對應。5．因為是通過時移與相聯系的，所以CTFT就以線性相移項與相聯系。利用頻率向量w直接由Y計算的樣本，并將結果存入x中。代碼：%練習4.1中4題和5題clear;clc;tau=0.01;T=10;t=[0:tau:T-tau];N=length(t)w=-(pi/tau)+(0:N-1)*(2*pi/(N*tau));y=exp(-2*abs(t-5));y=fftshift(tau*fft(y));fori=1:Nx(i)=y(i)*exp(5*j*w(i));end[w',y',x']%將運行結果對應顯示分析：設F[f(t)]傅立葉變換為F(W),由傅立葉變換的時移特性可知，F[f(t–t0)]=F(w)*exp(-j*w*t0),可得

F(w)=F[f(t–t0)]*exp(j*w*t0),因此本題中X(jw)=Y(jw)*exp(5jw),而Y(jw)可由快速傅立葉變換得到。（本題運行結果太多，有1000*3個，因此沒有保存運行結果。）6．利用abs和angle畫出在w標定的頻率范圍內X的幅值和相位。對于相同的值，也畫出在1中所導出的解析式表達式的幅值和相位。CTFT的近似值與解析導得的相符嗎?若想在一張對數坐標上畫出幅值，可以用semilogy，這是會注意到，在較高的頻率上近似不如在較低的頻率上好。因為已經用了樣本近似，所以在時間段長度內，信號變化不大的那些信號的頻率分量近似程度會更好一些。代碼：clear;clc;tau=0.01;T=10;t=[0:tau:T-tau];N=length(t)w=-(pi/tau)+(0:N-1)*(2*pi/(N*tau));%通過近似求的X(jw)y=exp(-2*abs(t-5));y=fftshift(tau*fft(y));fori=1:Nx(i)=y(i)*exp(5*j*w(i));F(i)=abs(x(i));an(i)=angle(x(i));end%直接求出傅立葉變換tt=linspace(-5,5,1000);ww=linspace(-5*pi,5*pi,1000);xx=sym('exp(-2*abs(tt))')yy=fourier(xx);FF=abs(yy);ann=0;%畫圖subplot(211);plot(w,F,'r');holdon;ezplot(FF);title('幅頻特性,紅線表示近似值');gridon;subplot(212);plot(w,an,'r');holdon;ezplot(ann)title('相頻特性，紅線表示近似值');gridon;運行結果：分析：由上圖可知，由于紅線和藍線基本重合，可得CTFT近似值與解析所得的大概相同，但存在誤差。從圖可知，在較高頻率上的近似不如較低頻率上的好。7．利用abs和angle畫出Y的幅值和相位，它們與X的圖比較后怎樣？能估計到這一結果嗎？代碼：clear;clc;tau=0.01;T=10;t=[0:tau:T-tau];N=length(t)w=-(pi/tau)+(0:N-1)*(2*pi/(N*tau));%通過近似求的X(jw)y=exp(-2*abs(t-5));y=fftshift(tau*fft(y));fori=1:Nx(i)=y(i)*exp(5*j*w(i));Fx(i)=abs(x(i));Fy(i)=abs(y(i));anx(i)=angle(x(i));any(i)=angle(y(i));end%畫圖subplot(221);plot(w,Fx);title('x幅頻特性');gridon;subplot(222);plot(w,Fy);title('y幅頻特性');gridon;subplot(223);plot(w,anx);title('x相頻特性');gridon;subplot(224);plot(w,any);title('y相頻特性');gridon;運行結果：分析：由圖可知，x和y的幅頻特性完全相同，因為y(t)是由x(t)時移特到，因此其能量不變，幅度也不隨頻率而變化。幅頻特性中：x相位非常小，接近于0，因為x(t)為實函數,其相位理論上為0，只是用快速傅立葉算法引入了一個很小的虛部;x(t)時移后得到的傅立葉變換相位變化很大，因此y的相位很大。§4.2連續時間傅立葉變換性質目的這個練習要借助于在頻域和時域分析與操作聲音信號來加深理解連續時間傅立葉變換CTFT。相關知識在MATLAB中聲音信號是用含有連續時間聲音信號樣本的向量表示的，采樣率定為8192Hz，也即聲音信號是每隔采樣一次。更仔細一些，對于一個聲音信號，在區間上，以8192Hz采樣，代表該聲音信號的N個元素向量y由下式給出：然后，函數sound能用來在計算機的揚聲器上放出該信號。雖然這是一個連續時間聲音信號的采樣表示，倘若在采樣區間以外是零，而且采樣率是足夠快的，那么y就能認為是的一個準確表示。在開始這個練習之前，必須首先裝入一個采樣的聲音信號，這可鍵入>>loadsplat>>y=y(1:8192);為了確認已準確無誤地裝入了這個聲音數據，并證實這個MATLAB向量y能正確地代表一個聲音信號，可鍵入>>N=8192;>>fs=8192;>>sound(y,fs)函數fft取出該已采樣的表示y，并在的樣本點上計算近似的CTFT。若鍵入>>Y=fftshift(fft(y));那么向量Y就包含了區間上N個等分頻率點處的近似值。事實上，Y包含的僅是的近似值，這里c是一個常數，但是不必擔心這個近似，或這個加權系數，這僅是為本練習的需要而設定的。有關和Y之間關系的更為全面的討論，請參考練習4.1。函數fftshift將fft的輸出重新排序，以使得的樣本在Y中的排序是從最負頻率到最正的頻率。現在，與CTFT有關的大多數性質都能在向量Y上得到證實。基本題1．鍵入Y=fftshift(fft(y))，計算向量Y的傅立葉變換。鍵入>>w=[-pi:2*pi/N:pi-pi/N]*fs;將對應的頻率值存入向量w中。利用w和Y在區間內畫出該連續時間傅立葉變換的幅值。函數ifft是fft的逆運算。對于偶數長度的向量，fftshift就是它本身的逆。對于向量Y，N=8192，這個逆傅立葉變換能用鍵入以下命令而求得>>y=ifft(fftshift(Y));>>y=real(y);由于原時域信號已知是實的，所以這里用了函數real。然而，在fft和ifft中的數值舍入誤差都會在y中引入一個很小的非零虛部分量。一般說來，逆CTFT不必是一個實信號，而虛部可以包含有顯著的能量。當已知所得信號一定是實信號時，并且已經證實所除掉的虛部分量是沒有意義的，real函數才能用于ifft的輸出上代碼：clear;clc;loadsplat%裝入一個采樣的聲信號y=y(1:8192);N=8192;%采樣點個數fs=8192;%采樣頻率sound(y,fs);Y=fftshift(fft(y));w=[-pi:2*pi/N:pi-pi/N]*fs;%頻率值F=abs(Y);plot(w,F);title('連續時間傅立葉變換幅值');y1=ifft(fftshift(Y));y1=real(y1);[y,y1]%輸出變換前后的值運行結果：命令窗口結果：-0.0163-0.01630.03270.03270.03080.0308-0.0223-0.0223-0.0327-0.0327……分析：比較命令窗口變換前后的運行結果可知，y(t)經過傅立葉變換、再經逆變換后與沒有經變換的y(t)結果相同。2．置Y1=conj(Y)并將Y1的逆傅立葉變換存入Y1中，用real(y1)以確保y1是實的，用sound(y1,fs)將y1放出。已知的逆傅立葉變換是如何與聯系的，能解釋剛才聽到的是什么嗎？代碼：clear;clc;loadsplat%裝入一個采樣的聲信號y=y(1:8192);N=8192;%采樣點個數fs=8192;%采樣頻率sound(y,fs);Y=fftshift(fft(y));w=[-pi:2*pi/N:pi-pi/N]*fs;%頻率值Y1=conj(Y);y1=ifft(fftshift(Y1));y1=real(y1);sound(y1,fs);[y,y1]%輸出變換前后的值運行結果：從聽到的聲音來看，y1和y2的聲音反過來了，即y1開始時的聲音是y2結束時的聲音。有傅立葉變換的奇偶虛實性：Y(jw)的共厄是Y(-jw),的逆傅立葉變換是y(-t)，因此聲音反過來了。中等題的CTFT可以用它的幅值和相位寫成式中。對于許多信號，單獨用相位或幅值都能構造出一個有用的信號的近似。例如，考慮信號和，其CTFT為3．只要是實信號，用解析方法說明和一定是實的。分析：因為，當y(t)為實信號，則其傅立葉變換幅度譜和相位譜分別為偶、奇函數，幅度和相位的反傅立葉變換一定為實函數。4．構造一個向量Y2等于Y的幅值，并將Y2的逆傅立葉變換存入向量y2中，用sound放出這個向量。5．構造一個向量Y3，它有與Y相同的相位，但是幅值對每個頻率都等于1。并將Y3的逆傅立葉變換存入向量y3中，用sound放出這個向量。代碼：%題2—4、2-5一起clear;clc;loadsplat%裝入一個采樣的聲信號y=y(1:8192);N=8192;%采樣點個數fs=8192;%采樣頻率sound(y,fs);Y=fftshift(fft(y));w=[-pi:2*pi/N:pi-pi/N]*fs;%頻率值Y2=abs(Y);y2=ifft(fftshift(Y));sound(y2,fs);Y3=exp(angle(Y))y3=ifft(fftshift(Y));sound(y3,fs);結果：聽到的兩個聲音基本上一模一樣6．根據剛才聽到的這兩個信號，代表一個聲音信號你認為傅立葉變換的那個部分是最關鍵的：幅值或相位？分析：從運行結果來看，兩個聲信號相位相同，副值不同，但聽到的聲音基本相同，代表一個聲音信號傅立葉變換的相位更關鍵。深入題這些習題要考慮時間軸的變換在CTFT上的效果，也就是說要考察變換，如何影響信號的傅立葉變換。對于，對應于時間軸的壓縮；而，對應于時間軸的擴展。另外，將會看到如果采樣得足夠密集，就能直接處理y而得到通過采樣，，所得到的樣本，不需要利用連續時間信號來完成。對于，也將看到能在離散時間內處理y以近似本應經由而得到的樣本。若和是定義在這個無限區間內的話，那么被恰當的定義。然而，向量y包含的樣本僅在區間上，為了從y導出對應于，，樣本的向量ya，要作下面兩個假設(i)在區間以外是零；(ii)是一個整數。第2個假設確保了每隔個y的樣本一定在ya中。7．用向量y創建一個向量y4，它包含有本該以8192Hz從采樣所得到的樣本。8．用y4=sound(y4,fs)放出y4。利用比較y4的傅立葉變換與y的傅立葉變換，能說明在高音上的變化嗎？信號壓縮是如何影響它的傅立葉變換的？設向量y5中包含在區間內，在8192Hz對采樣所得的樣本值。代碼：%以sin(t)作為范例演示傅立葉變換尺度性質,題7、8一起clear;clc;loadsplat%裝入一個采樣的聲信號N=8192;%采樣點個數fs=8192;%采樣頻率t=linspace(0,4*pi,N);y=f(t);y4=f(2*t);y5=f(t/2);sound(y,fs);sound(y4,fs);sound(y5,fs);Y=fftshift(fft(y));Y4=fftshift(fft(y4));Y5=fftshift(fft(y5));plot(Y,'r')holdon;plot(Y5,'g')holdon;plot(Y4)title('紅色表示y(t),藍色表示y(2t),綠色表示y(t/2)')gridon;運行結果：分析：由圖可知，y(t/2)的幅度是y(t)的兩倍，而y(t)幅度又是y(2t)的兩倍，傅立葉變換的尺度性質，F[f(at)]=F(w/a)/|a|，因此y(t/2)的幅度是y(t)兩倍，y(t)幅度是y(2t)的兩倍。9．創建向量x，，它由下式給出注意，x是一個長度為2*N的向量。10．利用函數filter完成在x上的線性內插。這里要用到的線性內插器的單位沖激響應是h=[121]/2。代碼：clear;clc;N=8192;%采樣點個數fs=8192;%采樣頻率t=linspace(0,4*pi,N);y=f(t);y5=f(t/2);forn=1:2*Nifmod(n,2)==0,x(n)=y5(n/2);elsex(n)=0;endendb=1;h=[121]/2;x1=filter(h,b,x);%利用filter函數為x做線性內插[x'x1']%比較內插前后的結果部分運行結果：xx1-0.0046-0.00500-0.0046-0.0038-0.00420-0.0038-0.0031-0.00350-0.0031-0.0023-0.002711．用sound(y5,fs)放出y5。用比較y5和y的傅立葉變換，能解釋在音調上的變化嗎？分析：設y的傅立葉變換為F(w),y5的傅立葉變換為2F(2w),因而在音調上比y的傅立葉變換更高，變化更快。§4.3連續時間傅立葉變換的符號計算目的這個練習要對幾個不同的信號求(4.2)連續時間傅立葉變換。基本題1．定義符號表達式x1和x2代表下面連續時間信號：需要用函數Heaviside來表示單位階躍函數。代碼：functiony=x1(t)y=0.5*exp(-2*t)*Heaviside(t);functiony=x2(t)y=exp(-4*t)*Heaviside(t);2．對于1中所定義的和，用解析方法計算它們的CTFT在的值，即（不應該先求來作這道題）CTFT在的值是怎樣與時域信號關聯的？代碼：clear;clc;symstF1=int(0.5*exp(-2*t)*Heaviside(t),-inf,inf)F2=int(exp(-4*t)*Heaviside(t),-inf,inf)運行結果：F1=1/4F2=1/4分析：由傅立葉變換尺度性質及能量守恒定理，頻域在0這點的值等于整個時域的積分，即f(t)與x軸面積等于F(0)。3．由1所定義的信號中，哪一個在時域衰減得更快？根據這一點，你能預期在頻域哪一個衰減得更快？分析：由指數函數性質可知x2(t)相對x1(t)在時域上衰減更快，得x1(t)相對x2(t)在頻域域上衰減更快4．用函數fourier計算和得CTFT。定義x1和x2是由fourier產生的符號表達式。用ezplot產生和的幅值圖。這些圖能對2和3中的答案進行確認嗎？代碼：clear;clc;x1=sym('exp(-2*t)*Heaviside(t)/2');x2=sym('exp(-4*t)*Heaviside(t)');F1=fourier(x1)F2=fourier(x2)%畫圖subplot(221)ezplot(x1);gridon;title('x1');subplot(222)ezplot(x2);title('x2');gridsubplot(223)ezplot(abs(F1));title('x1幅頻');gridsubplot(224)ezplot(abs(F2));title('x2幅頻');grid運行結果：F1=1/2/(2+i*w)F2=1/(4+i*w)分析：從上圖可知，x2(t)相對x1(t)在時域上衰減更快，得x1(t)相對x2(t)在頻域域上衰減更快中等題5．定義符號表達式y1代表下面連續時間信號：它可以作為兩個Heaviside函數之差。代碼：functiony=y1(t)y=Heaviside(t-2)-Heaviside(t+2);6．用解析方法求的CTFT，。代碼：clear;clc;symst;symsw;Y1=simple(int((Heaviside(t-2)-Heaviside(t+2))*exp(-j*w*t),t))運行結果：Y1=-2/w*sin(2*w)7．定義符號表達式y2表示信號。你能像對y1那樣用兩個Heaviside函數之差來完成，或者恰當地對y1應用subs。8．利用fourier求y1和y2的CTFT，并將它們存入Y1和Y2中。倘若Y1不是你所期望得到的表達式，那么試試在所得表達式上用simple以便得出更為熟悉的形式。9．用ezplot產生和的幅值圖。比較這兩張圖情況如何？由這兩個信號在時域之間的關系能預測到這個結果嗎？代碼：%練習4