PAGEPAGE218.5平行與垂直的綜合應用1.證明方法(1)證明平行關系的方法：①證明線線平行的常用方法a.利用平行公理，即證明兩直線同時和第三條直線平行；b.利用平行四邊形進行轉換；c.利用三角形中位線定理證明；d.利用線面平行、面面平行的性質定理證明.②證明線面平行的常用方法a.利用線面平行的判定定理，把證明線面平行轉化為證線線平行；b.利用面面平行的性質定理，把證明線面平行轉化為證面面平行.③證明面面平行的方法證明面面平行，依據判定定理，只要找到一個面內兩條相交直線與另一個平面平行即可，從而將證面面平行轉化為證線面平行，再轉化為證線線平行.(2)證明空間中垂直關系的方法：①證明線線垂直的常用方法a.利用特殊平面圖形的性質，如利用直角三角形、矩形、菱形、等腰三角形等得到線線垂直；b.利用勾股定理逆定理；c.利用線面垂直的性質，即要證線線垂直，只需證明一線垂直于另一線所在平面即可.②證明線面垂直的常用方法a.利用線面垂直的判定定理，把線面垂直的判定轉化為證明線線垂直；b.利用面面垂直的性質定理，把證明線面垂直轉化為證面面垂直；c.利用常見結論，如兩條平行線中的一條垂直于一個平面，那么另一條也垂直于這個平面.③證明面面垂直的方法證明面面垂直常用面面垂直的判定定理，即證明一個面過另一個面的一條垂線，將證明面面垂直轉化為證明線面垂直，一般先從現有直線中尋找，假設圖中不存在這樣的直線，那么借助中點、高線或添加輔助線解決.2.應特別注意的幾個易錯點定理圖形語言易錯點等角定理eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(∠AOB和,∠A′O′B′中,OA∥O′A′，,OB∥O′B′,且方向相同))?∠AOB＝∠A′O′B′易忽略“方向相同〞線面平行的判定定理eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a?α，b?α,a∥b))?a∥α易丟掉“a?α〞或“b?α〞線面平行的性質定理eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥α，a?β,α∩β＝b))?a∥b易忽略“α∩β＝b〞直線和平面垂直的判定定理eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l⊥a，l⊥b,a?α，b?α,a∩b＝O))?l⊥α易忽略“a∩b＝O〞兩個平面垂直的性質定理eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β,α∩β＝c,a?α，a⊥c))?a⊥β易忽略“a?α〞面面平行的判定定理eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥α，b∥α,a?β，b?β,a∩b＝O))?α∥β易忽略“a∩b＝O〞面面平行的判定定理的推論eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a?α，b?α,a∩b＝O,c?β，d?β,c∩d＝O′,a∥c，b∥d))?α∥β易忽略“a∩b＝O〞或“c∩d＝O′〞【思考辨析】判斷以下結論是否正確(請在括號中打“√〞或“×〞)(1)假設平面外一條直線上有兩個點到平面的距離相等，那么直線與平面平行.(×)(2)假設直線a∥α，P∈α，那么過點P且平行于a的直線有無數條.(×)(3)假設a⊥b，b⊥c，那么a∥c.(×)(4)α，β，γ為三個不同平面，α∥β，β∥γ?α∥γ.(√)(5)假設α⊥γ，β⊥γ，且α∩β＝l，那么l⊥γ.(√)(6)α⊥β，a⊥β，b⊥α?a∥b.(×)1.(教材改編)如圖，平面α，β，且α∩β＝AB，PC⊥α，垂足為C，PD⊥β，垂足為D，那么直線AB與CD的位置關系是________.答案AB⊥CD解析∵PC⊥α，∴PC⊥AB，又∵PD⊥β，∴PD⊥AB，∴AB⊥平面PCD，∴AB⊥CD.2.正方體ABCD—A1B1C1D1中，E，F，G分別為B1C1，A1D1，A1B1的中點，那么平面EBD與平面FGA的位置關系為______.答案平行3.(2022·常州一模)給出以下四個命題：①假設兩個平面平行，那么其中一個平面內的直線一定平行于另一個平面；②假設兩個平面平行，那么垂直于其中一個平面的直線一定垂直于另一個平面；③假設兩個平面垂直，那么垂直于其中一個平面的直線一定平行于另一個平面；④假設兩個平面垂直，那么其中一個平面內的直線一定垂直于另一個平面.其中為真命題的是________.(填序號)答案①②解析③中的直線可能在另一平面內；④中的直線與另一平面，可能是線面平行、線面相交或直線在平面內.4.點P是等腰三角形ABC所在平面外一點，且PA⊥平面ABC，PA＝8，在△ABC中，底邊BC＝6，AB＝5，那么P到BC的距離為________.答案4eq\r(5)解析取BC的中點D，連結AD，PD.∵AD⊥BC，PA⊥BC，且AD∩PA＝A，∴BC⊥平面PAD，∴BC⊥PD，∴在Rt△PAD中，PD＝eq\r(82＋42)＝4eq\r(5).5.(教材改編)如圖，在三棱錐V—ABC中，∠VAB＝∠VAC＝∠ABC＝90°，那么平面VBA與平面VBC的位置關系為_______.答案垂直解析∵∠VAB＝∠VAC＝∠ABC＝90°，∴BC⊥AB，VA⊥AC，VA⊥AB，由eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(VA⊥AB,VA⊥AC))?VA⊥平面ABC，∴VA⊥BC，由eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(VA⊥BC,AB⊥BC))?BC⊥平面VAB，又BC?平面VBC，∴平面VBC⊥平面VBA.題型一線、面平行與垂直關系的判定例1(1)如下圖，在直棱柱ABC—A1B1C1中，假設D是AB的中點，那么AC1與平面CDB1的關系為________.(2)m，n為直線，α，β為平面，給出以下命題：①eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m⊥α，,m⊥n))?n∥α；②eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m⊥β，,n⊥β))?m∥n；③eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m⊥α，,m⊥β))?α∥β；④eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m?α，,n?β，,α∥β))?m∥n.其中正確的命題是________.答案(1)AC1∥平面CDB1(2)②③解析(1)如圖，連結BC1，BC1與CB1交于E點，連結DE，那么DE∥AC1，又DE?平面CDB1，AC1?平面CDB1，∴AC1∥平面CDB1.(2)對于①，n可能在α內；對于④，m與n可能異面.易知②，③是真命題.思維升華對線面平行、垂直關系的判定(1)易無視判定定理與性質定理的條件，如易無視線面平行的判定定理中直線在平面外這一條件.(2)結合題意構造或繪制圖形，結合圖形作出判斷.(3)可舉反例否認結論或用反證法判斷結論是否正確.(1)在正方形SG1G2G3中，E，F分別為G1G2，G2G3的中點.現在沿SE，SF及EF把這個正方形折成一個四面體，使點G1，G2，G3重合，記為點G，那么SG與平面EFG的位置關系為________.答案垂直解析翻折后SG⊥EG，SG⊥FG，從而SG⊥平面EFG.(2)三個平面α，β，γ.假設α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，且直線c?β，c∥b.①判斷c與α的位置關系，并說明理由；②判斷c與a的位置關系，并說明理由.解①c∥α，∵α∥β，∴α與β沒有公共點.又∵c?β，∴c與α無公共點，故c∥α.②c∥a.∵α∥β，∴α與β沒有公共點.又α∩γ＝a，β∩γ＝b，∴a?α，b?β，且a，b?γ，∴a∥b.又c∥b，∴a∥c.題型二平行與垂直關系的證明命題點1線面平行的證明例2在正方體ABCD—A1B1C1D1中，E，F分別為棱BC，C1D1的中點.求證：EF∥平面BB1D1D.證明如下圖，連結AC交BD于點O，連結OE，那么OE∥DC，OE＝eq\f(1,2)DC.∵DC∥D1C1，DC＝D1C1，F為D1C1的中點，∴OE∥D1F，OE＝D1F，∴四邊形D1FEO為平行四邊形，∴EF∥D1O.又∵EF?平面BB1D1D，D1O?平面BB1D1D，∴EF∥平面BB1D1D.命題點2面面平行的證明例3如下圖，正方體ABCD—A1B1C1D1.(1)求證：平面A1BD∥平面B1D1C.(2)假設E，F分別是AA1，CC1的中點，求證：平面EB1D1∥平面FBD.證明(1)∵B1B∥DD1，B1B＝D1D，∴四邊形BB1D1D是平行四邊形，∴B1D1∥BD，又BD?平面A1BD，B1D1?平面B1D1C，∴BD∥平面B1D1C.同理A1D∥平面B1D1C，又∵A1D∩BD＝D，A1D，BD?平面A1BD，∴平面A1BD∥平面B1D1C.(2)由BD∥B1D1，得BD∥平面EB1D1.如下圖，取BB1的中點G，連結AG，GF，易得AE∥B1G，又∵AE＝B1G，∴四邊形AEB1G是平行四邊形，∴B1E∥AG.同理GF∥AD.又∵GF＝AD，∴四邊形ADFG是平行四邊形，∴AG∥DF，∴B1E∥DF，∴DF∥平面EB1D1.又∵BD∩DF＝D，∴平面EB1D1∥平面FBD.命題點3直線與平面垂直的證明例4(2022·連云港模擬)如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是菱形，AC、BD相交于點O，EF∥AB，AB＝2EF，平面BCF⊥平面ABCD，BF＝CF，點G為BC的中點.(1)求證：OG∥平面EFCD；(2)求證：AC⊥平面ODE.證明(1)∵四邊形ABCD是菱形，AC∩BD＝O，∴點O是BD的中點，∵點G是BC的中點，∴OG∥CD，又∵OG?平面EFCD，CD?平面EFCD，∴OG∥平面EFCD.(2)∵BF＝CF，點G為BC的中點，∴FG⊥BC.∵平面BCF⊥平面ABCD，平面BCF∩平面ABCD＝BC，FG?平面BCF，FG⊥BC，∴FG⊥平面ABCD.∵AC?平面ABCD，∴FG⊥AC，∵OG∥AB，OG＝eq\f(1,2)AB，EF∥AB，EF＝eq\f(1,2)AB，∴OG∥EF，OG＝EF，∴四邊形EFGO為平行四邊形，∴FG∥EO.又∵FG⊥AC，∴AC⊥EO.∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥DO，∵EO∩DO＝O，EO、DO在平面ODE內，∴AC⊥平面ODE.命題點4面面垂直的證明例5如下圖，在正三棱柱ABC—A1B1C1中，E為BB1的中點，求證：截面A1CE⊥側面ACC1A1.證明如下圖，取A1C的中點F，AC的中點G，連結FG，EF，BG，那么FG∥AA1，且GF＝eq\f(1,2)AA1.因為BE＝EB1，A1B1＝CB，∠A1B1E＝∠CBE＝90°，所以△A1B1E≌△CBE，所以A1E＝CE.因為F為A1C的中點，所以EF⊥A1C.又FG∥AA1∥BE，GF＝eq\f(1,2)AA1＝BE，且BE⊥BG，所以四邊形BEFG是矩形，所以EF⊥FG.因為A1C∩FG＝F，所以EF⊥側面ACC1A1.又因為EF?平面A1CE，所以截面A1CE⊥側面ACC1A1.命題點5平行、垂直的綜合證明例6(2022·泰州一模)如圖，在四棱錐E—ABCD中，△ABD為正三角形，EB＝ED，CB＝CD.(1)求證：EC⊥BD；(2)假設AB⊥BC，M，N分別為線段AE，AB的中點，求證：平面DMN∥平面BEC.證明(1)如圖，取BD的中點O，連結EO，CO.因為EB＝ED，CD＝CB，所以CO⊥BD，EO⊥BD.又CO∩EO＝O，CO，EO?平面EOC，所以BD⊥平面EOC.因為EC?平面EOC，所以EC⊥BD.(2)因為N是AB的中點，△ABD為正三角形，所以DN⊥AB.因為BC⊥AB，所以DN∥BC.因為BC?平面BCE，DN?平面BCE，所以DN∥平面BCE.因為M為AE的中點，N為AB的中點，所以MN∥BE.因為MN?平面BCE，BE?平面BCE，所以MN∥平面BCE.因為MN∩DN＝N，所以平面DMN∥平面BEC.思維升華(1)空間線面的位置關系的判定方法①證明直線與平面平行，設法在平面內找到一條直線與直線平行，解答時合理利用中位線性質、線面平行的性質，或構造平行四邊形，尋求比例關系確定兩直線平行.②證明直線與平面垂直，主要途徑是找到一條直線與平面內的兩條相交直線垂直.解題時注意分析觀察幾何圖形，尋求隱含條件.(2)空間面面的位置關系的判定方法①證明面面平行，需要證明線面平行，要證明線面平行需證明線線平行，將“面面平行〞問題轉化為“線線平行〞問題.②證明面面垂直，將“面面垂直〞問題轉化為“線面垂直〞問題，再將“線面垂直〞問題轉化為“線線垂直〞問題.(2022·蘇錫常鎮四市調研)如圖，四邊形AA1C1C為矩形，四邊形CC1B1B為菱形，且平面CC1B1B⊥平面AA1C1C，D，E分別為邊A1B1，C1C的中點.求證：(1)BC1⊥平面AB1C；(2)DE∥平面AB1C.證明(1)∵四邊形AA1C1C為矩形，∴AC⊥C1C.又平面CC1B1B⊥平面AA1C1C，平面CC1B1B∩平面AA1C1C＝CC1，∴AC⊥平面CC1B1B.∵BC1?平面CC1B1B，∴AC⊥BC1.又四邊形CC1B1B為菱形，∴B1C⊥BC1.∵B1C∩AC＝C，∴BC1⊥平面AB1C.(2)取AA1的中點F，連結DF，EF.∵四邊形AA1C1C為矩形，E，F分別為C1C，AA1的中點，∴EF∥AC.∵EF?平面AB1C，AC?平面AB1C，∴EF∥平面AB1C.∵D，F分別為邊A1B1，AA1的中點，∴DF∥AB1.∵DF?平面AB1C，AB1?平面AB1C，∴DF∥平面AB1C.∵EF∩DF＝F，EF?平面DEF，DF?平面DEF，∴平面DEF∥平面AB1C.∵DE?平面DEF，∴DE∥平面AB1C.題型三平行與垂直的應用例7(2022·安徽)如圖，三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝1，AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60°.(1)求三棱錐P-ABC的體積；(2)證明：在線段PC上存在點M，使得AC⊥BM，并求eq\f(PM,MC)的值.(1)解由題設AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60°，可得S△ABC＝eq\f(1,2)·AB·AC·sin60°＝eq\f(\r(3),2).由PA⊥平面ABC，可知PA是三棱錐P-ABC的高，又PA＝1.所以三棱錐P-ABC的體積V＝eq\f(1,3)·S△ABC·PA＝eq\f(\r(3),6).(2)證明在平面ABC內，過點B作BN⊥AC，垂足為N，在平面PAC內，過點N作MN∥PA交PC于點M，連結BM.由PA⊥平面ABC知PA⊥AC，所以MN⊥AC.由于BN∩MN＝N，故AC⊥平面MBN，又BM?平面MBN，所以AC⊥BM.在Rt△BAN中，AN＝AB·cos∠BAC＝eq\f(1,2)，從而NC＝AC－AN＝eq\f(3,2)，由MN∥PA，得eq\f(PM,MC)＝eq\f(AN,NC)＝eq\f(1,3).思維升華(1)利用平行關系可以轉移點到面的距離，從而求幾何體體積或解決關于距離的最值問題.(2)對于存在性問題的證明與探索有三種途徑：途徑一：先猜后證，即先觀察與嘗試給出條件再證明；途徑二：先通過命題成立的必要條件探索出命題成立的條件，再證明充分性.途徑三：將幾何問題轉化為代數問題，探索出命題成立的條件.如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝1，AB＝eq\r(3)，點F是PD的中點，點E是邊DC上的任意一點.(1)當點E為DC邊的中點時，判斷EF與平面PAC的位置關系，并加以證明；(2)證明：無論點E在邊DC的何處，都有AF⊥EF；(3)求三棱錐B—AFE的體積.(1)解當點E為DC邊的中點時，EF與平面PAC平行.證明如下：在△PDC中，E，F分別為DC，PD的中點，∴EF∥PC，又EF?平面PAC，而PC?平面PAC，∴EF∥平面PAC.(2)證明∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，∴PA⊥CD.∵四邊形ABCD是矩形，∴CD⊥AD.∵AD∩AP＝A，∴CD⊥平面PAD.又AF?平面PAD，∴AF⊥CD.∵PA＝AD，點F是PD的中點，∴AF⊥PD.又CD∩PD＝D，∴AF⊥平面PCD.∵EF?平面PCD，∴AF⊥EF.即無論點E在邊DC的何處，都有AF⊥EF.(3)解作FG∥PA交AD于G，那么FG⊥平面ABCD，且FG＝eq\f(1,2)，又S△ABE＝eq\f(\r(3),2)，∴VB—AEF＝VF—AEB＝eq\f(1,3)S△ABE·FG＝eq\f(\r(3),12).∴三棱錐B—AFE的體積為eq\f(\r(3),12).6.立體幾何平行、垂直的證明問題典例(14分)如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，側棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，BC＝1，E，F分別是A1C1，BC的中點.(1)求證：平面ABE⊥平面B1BCC1；(2)求證：C1F∥平面ABE；(3)求三棱錐E－ABC的體積.標準解答(1)證明在三棱柱ABC－A1B1C1中，BB1⊥底面ABC，所以BB1⊥AB. [1分]又因為AB⊥BC，BB1∩BC＝B，所以AB⊥平面B1BCC1， [2分]又AB?平面ABE，所以平面ABE⊥平面B1BCC1. [3分](2)證明取AB的中點G，連結EG，FG. [4分]因為E，F分別是A1C1，BC的中點，所以FG∥AC，且FG＝eq\f(1,2)AC. [6分]因為AC∥A1C1，且AC＝A1C1，所以FG∥EC1，且FG＝EC1，所以四邊形FGEC1為平行四邊形.所以C1F∥EG. [8分]又因為EG?平面ABE，C1F?平面ABE，所以C1F∥平面ABE. [10分](3)解因為AA1＝AC＝2，BC＝1，AB⊥BC，所以AB＝eq\r(AC2－BC2)＝eq\r(3). [12分]所以三棱錐E－ABC的體積V＝eq\f(1,3)S△ABC·AA1＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\r(3)×1×2＝eq\f(\r(3),3). [14分]證明線面平行問題(一)第一步：作(找)出所證線面平行中的平面內的一條直線；第二步：證明線線平行；第三步：根據線面平行的判定定理證明線面平行；第四步：反思回憶.檢測關鍵點及答題標準.證明線面平行問題(二)第一步：在多面體中作出要證線面平行中的線所在的平面；第二步：利用線面平行的判定定理證明所作平面內的兩條相交直線分別與所證平面平行；第三步：證明所作平面與所證平面平行；第四步：轉化為線面平行；第五步：反思回憶，檢查答題標準.證明面面垂直問題第一步：根據條件確定一個平面內的一條直線垂直于另一個平面內的一條直線；第二步：結合條件證明確定的這條直線垂直于另一平面內的兩條相交直線；第三步：得出確定的這條直線垂直于另一平面；第四步：轉化為面面垂直；第五步：反思回憶，檢查答題標準.1.設α，β為兩個不重合的平面，l，m，n為兩兩不重合的直線，給出以下四個命題：①假設α∥β，l?α，那么l∥β；②假設m?α，n?α，m∥β，n∥β，那么α∥β；③假設l∥α，l⊥β，那么α⊥β；④假設m，n是異面直線，m∥α，n∥α，且l⊥m，l⊥n，那么l⊥α.其中真命題的序號是________.答案①③④解析①由α∥β，l?α知，l與β無公共點，故l∥β.②當m?α，n?α，m與n相交，m∥β，n∥β時，α∥β.③由l∥α知，α內存在l′，使得l′∥l.因為l⊥β，所以l′⊥β，故α⊥β.④易知α內存在m′，n′，使得m′∥m，n′∥n，且m′，n′相交，由l⊥m，l⊥n知，l⊥m′且l⊥n′，故l⊥α.2.(2022·南京二模)平面α，β，直線m，n，給出以下命題：①假設m∥α，n∥β，m∥n，那么α∥β；②假設α∥β，m∥α，n∥β，那么m∥n；③假設m⊥α，n⊥β，m⊥n，那么α⊥β；④假設α⊥β，m⊥α，n⊥β，那么m⊥n.其中是真命題的是________.答案③④解析對于①，平面α與β可能相交，故①錯；對于②，假設α∥β，m∥α，n∥β，那么直線m與n可能平行，可能相交，也可能異面，故②錯；對于③，由面面垂直的判定可知③正確；對于④，由面面垂直的性質可知m⊥n，故④正確.因此真命題的序號為③④.3.在四棱錐P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面各邊都相等，M是PC上一動點，當M滿足是________時，平面MBD⊥平面ABCD.答案PC的中點解析當M是PC中點時，連結AC，BD交于O，由題意知，O是AC的中點，連結MO，那么MO∥PA.∵PA⊥平面ABCD，∴MO⊥平面ABCD，MO?平面MBD，∴平面MBD⊥平面ABCD.4.(2022·連云港模擬)如圖，在直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，A1A＝2，底面是邊長為1的正方形，E、F、G分別是棱BB1、AA1、AD的中點，那么平面A1DE與平面BGF的位置關系是________(填“平行〞或“相交〞).答案平行解析在直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G分別是棱BB1、AA1、AD的中點，所以FG∥A1D，所以FG∥平面A1DE，同理FB∥平面A1DE，又FG∩FB＝F，所以平面BGF∥平面A1DE.5.如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，側棱AA1⊥底面ABC，底面是以∠ABC為直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中點，點F在線段AA1上，當AF＝________時，CF⊥平面B1DF.答案a或2a解析由題意易知，B1D⊥平面ACC1A1，所以B1D⊥CF.要使CF⊥平面B1DF，只需CF⊥DF即可.令CF⊥DF，設AF＝x，那么A1F＝3a－x.易知Rt△CAF∽Rt△FA1D，得eq\f(AC,AF)＝eq\f(A1F,A1D)，即eq\f(2a,x)＝eq\f(3a－x,a)，整理得x2－3ax＋2a2＝0，解得x＝a或x＝2a.6.在正四面體P—ABC中，D，E，F分別是AB，BC，CA的中點，給出下面三個結論：①BC∥平面PDF；②DF⊥平面PAE；③平面PDF⊥平面ABC.其中不成立的結論是________.答案③解析如圖，由題知BC∥DF，∴BC∥平面PDF.∵四面體P—ABC為正四面體，∴BC⊥PA，AE⊥BC，BC⊥平面PAE，∴DF⊥平面PAE，∴平面PAE⊥平面ABC，∴①和②成立.設此正四面體的棱長為1，那么PA＝1，AM＝eq\f(\r(3),4)，PM2＝PD2－DM2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))2－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))2＝eq\f(11,16)，∴PA2≠AM2＋PM2，故③不成立.7.(2022·常州調研)如圖，四棱錐P—ABCD的底面ABCD是平行四邊形，平面PBD⊥平面ABCD，PB＝PD，PA⊥PC，CD⊥PC，O，M分別是BD，PC的中點，連結OM.求證：(1)OM∥平面PAD；(2)OM⊥平面PCD.證明(1)連結AC.因為四邊形ABCD是平行四邊形，所以O為AC的中點.在△PAC中，因為O，M分別是AC，PC的中點，所以OM∥PA.因為OM?平面PAD，PA?平面PAD，所以OM∥平面PAD.(2)連結PO.因為O是BD的中點，PB＝PD，所以PO⊥BD.因為平面PBD⊥平面ABCD，平面PBD∩平面ABCD＝BD，PO?平面PBD，所以PO⊥平面ABCD，從而PO⊥CD.因為CD⊥PC，PC∩PO＝P，PC?平面PAC，PO?平面PAC，所以CD⊥平面PAC.因為OM?平面PAC，所以CD⊥OM.因為PA⊥PC，OM∥PA，所以OM⊥PC.因為CD?平面PCD，PC?平面PCD，CD∩PC＝C，所以OM⊥平面PCD.8.如下圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E是棱DD1的中點.(1)證明：平面ADC1B1⊥平面A1BE；(2)在棱C1D1上是否存在一點F，使B1F∥平面A1BE？證明你的結論.(1)證明如圖，因為ABCD－A1B1C1D1為正方體，所以B1C1⊥面ABB1A1.因為A1B?面ABB1A1，所以B1C1⊥A1B.又因為A1B⊥AB1，B1C1∩AB1＝B1，所以A1B⊥面ADC1B1.因為A1B?面A1BE，所以平面ADC1B1⊥平面A1BE.(2)解當點F為C1D1中點時，可使B1F∥平面A1BE.證明如下：易知：EF∥C1D，且EF＝eq\f(1,2)C1D.設AB1∩A1B＝O，那么B1O∥C1D且B1O＝eq\f(1,2)C1D，所以EF∥B1O且EF＝B1O，所以四邊形B1OEF為平行四邊形.所以B1F∥OE.又因為B1F?面A1BE，OE?面A1BE.所以B1F∥面A1BE.9.(2022·南京三模)如圖，在四棱錐P—ABCD中，O為AC與BD的交點，AB⊥平面PAD，△PAD是正三角形，DC∥AB，DA＝DC＝2AB.(1)假設E為棱PA上一點，且OE∥平面PBC，求eq\f(AE,PE)的值；(2)求證：平面PBC⊥平面PDC.(1)解因為OE∥平面PBC，OE?平面PAC，平面PAC∩平面PBC＝PC，所以OE∥PC，所以AO∶OC＝AE∶EP.因為DC∥AB，DC＝2AB，所以AO∶OC＝AB∶DC＝1∶2，所以eq\f(AE,PE)＝eq\f(1,2).(2)方法一取PC的中點F，連結FB，FD.因為△PAD是正三角形，DA＝DC，所以DP＝DC.因為F為PC的中點，所以DF⊥PC.因為AB⊥平面PAD，所以AB⊥PA，AB⊥AD，AB⊥PD.因為DC∥AB，所以DC⊥DP，DC⊥DA.設AB＝a，在等腰直角三角形PCD中，DF＝PF＝eq\r(2)a.在Rt△PAB中，PB＝eq\r(5)a.在直角梯形ABCD中，BD＝BC＝eq\r(5)a.因為BC＝PB＝eq\r(5)a，F為PC的中點，所以PC⊥FB.在Rt△PFB中，FB＝eq\r(3)a.在△FDB中，由DF＝eq\r(2)a，FB＝eq\r(3)a，BD＝eq\r(5)a，可知DF2＋FB2＝BD2，所以FB⊥DF.因為DF⊥PC，DF⊥FB，PC∩FB＝F，PC，FB?平面PBC，所以DF⊥平面PBC.又DF?平面PCD，所以平面PBC⊥平面PDC.方法二取PD，PC的