PAGEPAGE6函數模型及函數的綜合應用應用篇【應用集訓】1.(2020福建永安一中、漳平一中第一次聯考,8)將甲桶中的a升水緩慢注入空桶乙中,t分鐘后甲桶中剩余的水量符合指數衰減曲線y=aent.假設過5分鐘后甲桶和乙桶的水量相等,若再過m分鐘甲桶中的水只有a4升,則m的值為 (A.5B.8C.9D.10答案A2.(2020江西新余四中月考,11)中國古代近似計算方法源遠流長,早在8世紀,我國著名數學家張遂為編制《大衍歷》發明了一種二次不等距插值算法.若函數y=f(x)在x=x1,x=x2,x=x3(x1<x2<x3)處的函數值分別為y1=f(x1),y2=f(x2),y3=f(x3),則在區間[x1,x3]上f(x)可以用二次函數來近似代替,f(x)=y1+k1(x-x1)+k2(x-x1)(x-x2),其中k1=y2-y1x2-x1,k=y3-y2x3-x2,k2=k-k1xA.1425B.35C.1625答案C[教師專用題組]【應用集訓】1.(2017北京順義二模,8)某學校為了提高學生綜合素質、樹立社會主義榮辱觀、發展創新能力和實踐能力、促進學生健康成長,開展評選“校園之星”活動.規定各班每10人推選一名候選人,當各班人數除以10的余數大于7時再增選一名候選人,那么,各班可推選候選人人數y與該班人數x之間的函數關系用取整函數y=[x]([x]表示不大于x的最大整數)可以表示為 ()A.y=x10B.y=C.y=x+310D.y答案B采用特值法.令余數分別為7和8,將兩個臨界值代入選項加以判斷.710=0,810=0,7+210=0,8+210=1,B7+310=1,8+310=1,7+410=1,8+410=1,排除D.故選2.某食品的保鮮時間y(單位:小時)與儲藏溫度x(單位:℃)滿足函數關系y=ekx+b(e=2.718…為自然對數的底數,k,b為常數).若該食品在0℃的保鮮時間是192小時,在22℃的保鮮時間是48小時,則該食品在33℃的保鮮時間是小時.

答案24解析依題意有192=eb,48=e22k+b=e22k·eb,所以e22k=48eb=48192=14,所以e11k=12或于是該食品在33℃的保鮮時間是e33k+b=(e11k)3·eb=123×192=24(小時3.(2016北京西城一模,14)一輛賽車在一個周長為3km的封閉跑道上行駛,跑道由幾段直道和彎道組成,圖1反映了賽車在“計時賽”整個第二圈的行駛速度與行駛路程之間的關系.圖1圖2根據圖1,有以下四個說法:①在第二圈的2.6km到2.8km之間,賽車速度逐漸增加;②在整個跑道中,最長的直線路程不超過0.6km;③大約在第二圈的0.4km到0.6km之間,賽車開始了那段最長直線路程的行駛;④在圖2的四條曲線(注:s為初始記錄數據位置)中,曲線B最符合賽車的運動軌跡.其中,所有正確說法的序號是.

答案①④解析由題圖1看,在2.6km到2.8km之間,賽車速度從100km/h逐漸增加到140km/h,①對;在0.4km到1.2km之間,賽車應該是緩慢加速到平穩行駛,最長直線路程超過0.6km,②錯;在1.4km到1.8km之間,賽車開始了最長直線路程的行駛,③錯;從題圖1看,賽車先直線行駛一小段距離,然后減速拐彎,然后直線行駛一大段距離,再減速拐彎,再直線行駛一大段距離,然后拐彎后直線行駛一小段距離,曲線B最符合賽車的運動軌跡,④對.失分警示利用圖象還原賽車的路線要考慮實際情況,特別地,進入彎道前就需要提前減速.不考慮實際情況會得出錯誤的結論.4.(2018北京東城二模,14)某種物質在時刻t(min)的濃度M(mg/L)與t的函數關系為M(t)=art+24(a,r為常數).在t=0min和t=1min時,測得該物質的濃度分別為124mg/L和64mg/L,那么在t=4min時,該物質的濃度為mg/L;若該物質的濃度小于24.001mg/L,則最小整數t的值為.(參考數據:lg2≈0.3010)

答案26.56;13解析由題意知當t=0時,M=124,即a+24=124,解得a=100;當t=1時,M=64,即ar+24=64,∴r=25∴M(t)=10025將t=4代入得M(4)=26.56.由題意得10025t+24<24即10025t<0.001,即25兩邊取以10為底的對數得tlg25t(lg2-lg5)<-5,t[lg2-(1-lg2)]<-5,t(2lg2-1)<-5,∴t>-52lg2-1,∴創新篇【創新集訓】1.(2020安徽示范高中聯考,7)在《九章算術》方田章圓田術(劉徽注)中指出:“割之彌細,所失彌小,割之又割,以至于不可割,則與圓周合體而無所失矣.”注述中所用的割圓術是一種無限與有限的轉化過程.比如在2+2+2+…中“…”即代表無限次重復,但原式卻是個定值x,這可以通過方程x+2=x確定出來x=2,類比上述結論可得log2(2+log2(2+log2(2+…)))A.1B.2C.2D.4答案C2.(2020重慶萬州二中第一次月考,8)中華文化博大精深.我國古代對年齡的表述可謂是名目繁多,比如“二八年華”指女子16歲.乾隆曾出上聯“花甲重逢,外加三七歲月”,紀曉嵐對下聯“古稀雙慶,更多一度春秋”,暗指一位老人的年齡.根據類比思想和文化常識,這位老人的年齡為 ()A.71歲B.81歲C.131歲D.141歲答案D3.(命題標準樣題,19)給出一個滿足以下條件的函數f(x),并證明你的結論.①f(x)的定義域是R,且其圖象是一條連續不斷的曲線;②f(x)是偶函數;③f(x)在(0,+∞)上不是單調函數;④f(x)恰有2個零點.[教師專用題組]【創新集訓】1.(2018北京石景山期末,8,5分)小明在如圖1所示的跑道上勻速跑步,他從點A出發,沿箭頭方向經過點B跑到點C,共用時30s,他的教練選擇了一個固定的位置觀察小明跑步的過程,設小明跑步的時間為t(s),他與教練間的距離為y(m),表示y與t的函數關系的圖象大致如圖2所示,則這個固定位置可能是圖1中的 ()A.點MB.點NC.點PD.點Q答案DA.假設這個位置在點M,則從A至B這段時間,y不隨時間的變化而變化,與函數圖象不符,故本選項錯誤;B.假設這個位置在點N,則從A至C這段時間,A點與C點對應y的大小應該相同,與函數圖象不符,故本選項錯誤;C.假設這個位置在點P,由函數圖象可得,從A到C的過程中,會有一個時刻,教練到小明的距離等于t=30時教練到小明的距離,而點P不符合這個條件,故本選項錯誤;D.經判斷點Q符合函數圖象,故本選項正確.故選D.思路分析分別假設這個位置在點M、N、P、Q,然后結合圖象進行判斷.2.(多選題)(2021屆華南師范大學附中模擬)如圖,某池塘里浮萍的面積y(單位:m2)與時間t(單位:月)的關系為y=at.則下列說法正確的是 ()A.浮萍每月的增長率為2B.浮萍每月增加的面積都相等C.第4個月時,浮萍面積不超過80m2D.若浮萍蔓延到2m2,4m2,8m2所經過的時間(單位:月)分別是t1,t2,t3,則2t2=t1+t3答案AD由圖象可知,函數圖象過點(1,3),∴a=3,∴函數解析式為y=3t(t≥0),∴浮萍每月的增長率為3t+1-3t3t∵函數y=3t是指數函數,是曲線型函數,∴浮萍每月增加的面積不相等,故選項B錯誤;當t=4時,y=34=81>80,故選項C錯誤;對于D選項,∵3t1=2,3t∴t1=log32,t2=log34,t3=log38,又∵2log34=log316=log32+log38,∴2t2=t1+t3,故選項D正確.故選AD.3.(2018北京一六一中學期中,8)經濟學家在研究供求關系時,一般用縱軸表示產品價格(自變量),用橫軸表示產品數量(因變量).某類產品的市場供求關系在不受外界因素(如政府限制最高價格等)的影響下,市場會自發調解供求關系:當產品價格P1低于均衡價格P0時,需求量大于供應量,價格會上升為P2;當產品價格P2高于均衡價格P0時,供應量大于需求量,價格又會下降,價格如此波動下去,產品價格將會逐漸靠近均衡價格P0.能正確表示