PAGEPAGE2萬有引力與航天一、選擇題(此題共10小題，1～6題為單項選擇，7～10題為多項選擇)1．(2022·廣東廣州荔灣區調研)“嫦娥五號〞探測器預計在2022年發射升空，自動完成月面樣品采集后從月球起飛，返回地球，帶回約2kg月球樣品。某同學從網上得到一些信息，如表格中的數據所示，那么地球和月球的密度之比為eq\x(導學號51342467)(B)地球和月球的半徑之比4地球外表和月球外表的重力加速度之比6A．eq\f(2,3) B．eq\f(3,2)C．4 D．6[解析]在地球外表，重力等于萬有引力，故mg＝Geq\f(Mm,R2)，解得M＝eq\f(gR2,G)，故地球的密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(\f(gR2,G),\f(4,3)πR3)＝eq\f(3g,4πGR)。同理，月球的密度ρ0＝eq\f(3g0,4πGR0)。故地球和月球的密度之比eq\f(ρ,ρ0)＝eq\f(gR0,g0R)＝eq\f(3,2)，B正確。2．(2022·河南中原名校聯考)2015年9月30日7時13分，我國在西昌衛星發射中心用長征三號乙運載火箭成功將第4顆新一代北斗導航衛星送入傾角55°的傾斜地球同步軌道，新一代北斗導航衛星的發射，標志著我國在衛星研制、發射方面取得里程碑式的成功。關于該衛星到地心的距離r可由r＝eq\r(3,G\f(ab2c3,3π))求出，式中G為引力常量，那么關于物理量a、b、c的描述正確的選項是eq\x(導學號51342468)(A)A．a是地球平均密度，b是地球自轉周期，c是地球半徑B．a是地球外表重力加速度，b是地球自轉周期，c是衛星的加速度C．a是地球平均密度，b是衛星的加速度，c是地球自轉的周期D．a是地球外表重力加速度，b是地球自轉周期，c是地球半徑[解析]萬有引力提供向心力，那么Geq\f(Mm,r2)＝mreq\f(4π2,T2)，可得r＝eq\r(3,\f(GMT2,4π2))＝eq\r(3,Gρ\f(4,3)πR3\f(T2,4π2))＝eq\r(3,G\f(ρT2R3,3π))，那么可知a是地球平均密度，b是地球自轉周期，c是地球半徑，選項A正確。3．(2022·湖北武漢六中模擬)某失事飛機的黑匣子處于海底深處，探測到該處的重力加速度為g＝eq\f(999,1000)g0，那么黑匣子處的深度為(地球是一個半徑R＝6400km的質量分布均勻的球體，質量分布均勻的球殼對內部物體的引力為0，地球外表重力加速度為g0)eq\x(導學號51342469)(A)A．6400m B．3200mC．1600m D．800m[解析]質量分布均勻的球殼對內部物體的引力為零，設黑匣子距離地心x處重力加速度為g，地球的平均密度為ρ。根據牛頓第二定律有Geq\f(M′m,x2)＝mg，其中M′＝ρ·eq\f(4,3)πx3，解得g＝eq\f(4,3)πρGx。在地球外表，重力等于萬有引力，設mg0＝Geq\f(Mm,R2)，其中M＝ρ·eq\f(4,3)πR3，聯立解得g0＝eq\f(4,3)πρGR。eq\f(g,g0)＝eq\f(x,R)，得x＝eq\f(999,1000)R，故黑匣子處的深度h＝R－x＝eq\f(R,1000)＝6400m，故A正確。4．(2022·河北邯鄲一中調研)如下圖，發射遠程彈道導彈，彈頭脫離運載火箭后，在地球引力作用下，沿橢圓軌道飛行，擊中地面目標B。C為橢圓軌道的遠地點，距地面高度為h。地球半徑為R，地球質量為M，引力常量為G。關于彈頭在C點處的速度v和加速度a，以下結論正確的選項是eq\x(導學號51342470)(B)A．v＝eq\r(\f(GM,R＋h))，a＝eq\f(GM,R＋h2) B．v<eq\r(\f(GM,R＋h))，a＝eq\f(GM,R＋h2)C．v＝eq\r(\f(GM,R＋h))，a>eq\f(GM,R＋h2) D．v<eq\r(\f(GM,R＋h))，a<eq\f(GM,R＋h2)[解析]根據Geq\f(Mm,R＋h2)＝meq\f(v2,R＋h)知，假設在C處做勻速圓周運動，線速度v＝eq\r(\f(GM,R＋h))，因為彈頭在C處做近心運動，萬有引力大于向心力，知v<eq\r(\f(GM,R＋h))。根據牛頓第二定律得，彈頭在C處的加速度a＝eq\f(F,m)＝eq\f(\f(GMm,R＋h2),m)＝eq\f(GM,R＋h2)，故B正確。5．(2022·河南洛陽尖子生一聯)設金星和地球繞太陽中心的運動是公轉方向相同且軌道共面的勻速圓周運動，金星在地球軌道的內側(稱為地內行星)，在某特殊時刻，地球、金星和太陽會出現在一條直線上，這時候從地球上觀測，金星像鑲嵌在太陽臉上的小黑痣緩慢走過太陽外表，天文學稱這種現象為“金星凌日〞，假設地球公轉軌道半徑為R，“金星凌日〞每隔t0年出現一次，那么金星的公轉軌道半徑為eq\x(導學號51342471)(D)A．eq\f(t0,1＋t0)R B．Req\r(2,\f(t0,1＋t0)3)C．Req\r(3,\f(1＋t0,t0)2) D．Req\r(3,\f(t0,1＋t0)2)[解析]根據開普勒第三定律有eq\f(R\o\al(3,金),R3)＝eq\f(T\o\al(2,金),T\o\al(2,地))，“金星凌日〞每隔t0年出現一次，故(eq\f(2π,T金)－eq\f(2π,T地))t0＝2π，T地＝1年，聯立解得eq\f(R金,R)＝eq\r(3,\f(t0,1＋t0)2)，因此金星的公轉軌道半徑R金＝Req\r(3,\f(t0,1＋t0)2)，故D正確。6．(2022·福建廈門質檢)假設宇宙中有兩顆相距無限遠的行星A和B，半徑分別為RA和RB。這兩顆行星周圍衛星的軌道半徑的三次方(r3)與運行周期的平方(T2)的關系如下圖，T0為衛星環繞行星外表運行的周期。那么eq\x(導學號51342472)(A)A．行星A的質量大于行星B的質量B．行星A的密度小于行星B的密度C．行星A的第一宇宙速度小于行星B的第一宇宙速度D．當兩行星的衛星軌道半徑相同時，行星A的衛星向心加速度小于行星B的衛星向心加速度[解析]根據eq\f(GMm,r2)＝meq\f(4π2r,T2)，可得M＝eq\f(4π2r3,GT2)，r3＝eq\f(GM,4π2)T2，由圖象可知，A的斜率大，所以A的質量大，A正確。由圖象可知當衛星在兩行星外表運行時，周期相同，將M＝ρV＝ρ·eq\f(4,3)πR3代入上式可知兩行星密度相同，B錯誤。根據萬有引力提供向心力，那么eq\f(GMm,R2)＝eq\f(mv2,R)，所以v＝eq\r(\f(GM,R))＝eq\r(\f(4,3)πρGR2)，行星A的半徑大，所以行星A的第一宇宙速度也大，C錯誤。兩衛星的軌道半徑相同時，它們的向心加速度a＝eq\f(GM,r2)，由于A的質量大于B的質量，所以行星A的衛星向心加速度大，D錯誤。7．(2022·山西太原五中段考)冥王星與其附近的另一星體卡戎可視為雙星系統，質量比約為7︰1，同時繞它們連線上某點O做勻速圓周運動。由此可知，冥王星繞O點運動的eq\x(導學號51342473)(BC)A．軌道半徑約為卡戎的7倍 B．向心加速度大小約為卡戎的eq\f(1,7)C．線速度大小約為卡戎的eq\f(1,7) D．動能大小約為卡戎的7倍[解析]冥王星與其附近的另一星體卡戎可視為雙星系統，所以冥王星和卡戎的周期是相等的，角速度也是相等的。它們之間的萬有引力提供各自的向心力，得mω2r＝Mω2R，質量比約為7︰1，所以冥王星繞O點運動的軌道半徑約為卡戎的eq\f(1,7)，故A錯誤；它們之間的萬有引力大小相等，質量比為7︰1，故向心加速度比為1︰7，故B正確；根據線速度v＝ωr得冥王星線速度大小約為卡戎的eq\f(1,7)，故C正確；冥王星的質量是卡戎的7倍，速度是卡戎的eq\f(1,7)，故由Ek＝eq\f(1,2)mv2可知其動能是卡戎的eq\f(1,7)，故D錯誤。8．(2022·甘肅西北師范大學附屬中學期末)宇航員在某星球外表以初速度2.0m/s水平拋出一物體，并記錄下物體的運動軌跡，如下圖，O為拋出點，假設該星球半徑為4000km，引力常量G＝6.67×10－11N·m2·kg－2，那么以下說法正確的選項是eq\x(導學號51342474)(AC)A．該星球外表的重力加速度為4.0m/s2B．該星球的質量為2.4×10C．該星球的第一宇宙速度為4.0km/sD．假設發射一顆該星球的同步衛星，那么同步衛星的繞行速度一定大于4.0km/s[解析]根據平拋運動的規律：h＝eq\f(1,2)gt2，x＝v0t，得g＝4.0m/s2，A正確；在星球外表，重力近似等于引力，得M＝eq\f(gR2,G)＝9.6×1023kg，B錯誤；由eq\f(mv2,R)＝mg得第一宇宙速度為v＝eq\r(gR)＝4.0km/s，C正確；第一宇宙速度為最大的環繞速度，D錯誤。9．(2022·江蘇蘇北四市一模)澳大利亞科學家近日宣布，在離地球約14光年的紅矮星Wolf1061周圍發現了三顆行星b、c、d，它們的公轉周期分別是5天、18天、67天，公轉軌道可視作圓，如下圖。引力常量為G。以下說法正確的選項是eq\x(導學號51342475)(ABC)A．可求出b、c的公轉半徑之比B．可求出c、d的向心加速度之比C．假設c的公轉半徑，可求出紅矮星的質量D．假設c的公轉半徑，可求出紅矮星的密度[解析]行星b、c的周期分別為5天、18天，均做勻速圓周運動，根據開普勒第三定律eq\f(R3,T2)＝k，可以求解軌道半徑之比，故A正確；行星c、d的周期分別為18天、67天，均做勻速圓周運動，根據開普勒第三定律eq\f(R3,T2)＝k，可以求解軌道半徑之比，根據萬有引力提供向心力，有Geq\f(Mm,r2)＝ma，解得a＝eq\f(GM,r2)，故可以求解c、d的向心加速度之比，故B正確；c的公轉半徑和周期，根據牛頓第二定律有Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，解得M＝eq\f(4π2r3,GT2)，故可以求解出紅矮星的質量，但不知道紅矮星的體積，無法求解紅矮星的密度，故C正確，D錯誤。10．(2022·吉林省重點中學第二次模擬考試)為探測引力波，中山大學領銜的“天琴方案〞，將向太空發射三顆完全相同的衛星(SC1、SC2、SC3)構成一個等邊三角形陣列，地球恰處于三角形的中心，衛星將在以地球為中心、高度約10萬公里的軌道上運行，針對確定的引力波源進行引力波探測。如下圖，這三顆衛星在太空中的分列圖類似樂器豎琴，故命名為“天琴方案〞。地球同步衛星距離地面的高度約為36萬公里。以下說法正確的選項是eq\x(導學號51342476)(ABC)A．三顆衛星具有相同大小的加速度B．從每顆衛星可以觀察到地球上大于eq\f(1,3)的外表C．三顆衛星繞地球運動的周期一定小于地球的自轉周期D．假設知道引力常量G及三顆衛星繞地球的運動周期T，那么可估算出地球的密度[解析]根據Geq\f(Mm,r2)＝ma，解得a＝Geq\f(M,r2)，由于三顆衛星到地球的距離相等，那么繞地球運動的軌道半徑r相等，那么它們的加速度大小相等，選項A正確；從每顆衛星可以觀察到地球上大于eq\f(1,3)的外表，選項B正確；根據萬有引力等于向心力，Geq\f(Mm,r2)＝mr(eq\f(2π,T))2，解得T＝2πeq\r(\f(r3,GM))，由于三顆衛星的軌道半徑小于地球同步衛星的軌道半徑，故三顆衛星繞地球運動的周期小于地球同步衛星繞地球運動的周期，即小于地球的自轉周期，選項C正確；假設知道引力常量G及三顆衛星繞地球的運動周期T，根據Geq\f(Mm,r2)＝mr(eq\f(2π,T))2，解得M＝eq\f(4π2r3,GT2)，但因地球的半徑未知，也不能計算出軌道半徑r，不能計算出地球體積，故不能估算出地球的密度，選項D錯誤。二、非選擇題11．(2022·湖南省五市十校高三聯考)某天體的外表無大氣層，其質量為地球質量的2倍，其半徑為地球半徑的2倍。地球外表附近的重力加速度為g＝10m/s2，地球的第一宇宙速度為v＝8×103m/s。eq\x(導學號51342477)(1)該天體外表附近的重力加速度g′為多大？(2)靠近該天體外表運行的人造衛星的運行速度v′為多大？(3)在該天體外表以15m/s的初速度豎直向上拋一個小球，小球在上升過程的最末1s內的位移x為多大？(4)在距該天體外表高h＝20m處，以v0＝5m/s初速度斜向上拋出一個小球，小球落到該天體外表時速度v″為多大？[答案](1)5m/s2(2)8×103m/s(3)2.5m(4)[解析](1)天體外表附近質量為m的物體重力等于萬有引力，可得mg＝Geq\f(Mm,R2)所以在地球外表與該天體外表附近重力加速度之比為eq\f(g,g′)＝eq\f(MR′2,M′R2)＝2得g′＝eq\f(g,2)＝5m/s2(2)對靠近天體外表運行的人造衛星，由萬有引力提供向心力得Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(v2,R)在地球和天體外表運行的人造衛星運行速度v和v′的關系為eq\f(v2,v′2)＝eq\f(MR′,M′R)＝1得v′＝v＝8×103(3)在該天體外表，對小球在豎直上拋上升過程中最末1s的逆過程運用運動學公式得x＝eq\f(1,2)g′t2代入數據可得x＝2.5m(4)在該天體外表，對小球從開始拋出到落到天體外表過程運用動能定理，得mg′h＝eq\f(1,2)mv″2－eq\f(1,2)mveq\o\al(