PAGEPAGE12平面向量基本定理課程標準理解平面向量基本定理及其意義．【概念認知】1．平面向量基本定理條件e1，e2是同一平面內兩個不共線的向量，a是這一平面內的任一向量結論有且只有一對實數λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2有關概念若e1，e2不共線，我們把e1，e2叫作表示這一平面內所有向量的一組基底2.正交分解對于分解a＝λ1e1＋λ2e2，當e1，e2所在直線互相垂直時，這種分解也稱為向量a的正交分解．【自我小測】1．若{e1，e2}是平面α內的一組基底，則下列四組向量能作為平面α的一組基底的是()A．{e1－e2，e2－e1} B．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(2e1＋e2，e1＋\f(1,2)e2))C．{2e2－3e1，6e1－4e2} D．{e1＋e2，e1－e2}【解析】選D.對于選項A，e1－e2＝－(e2－e1)，所以(e1－e2)∥(e2－e1)，故該組向量不能作為該平面的基底；對于選項B，2e1＋e2＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(e1＋\f(1,2)e2))，所以(2e1＋e2)∥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(e1＋\f(1,2)e2))，故該組向量不能作為該平面的基底；對于選項C，2e2－3e1＝－eq\f(1,2)(6e1－4e2)，所以(2e2－3e1)∥(6e1－4e2)，故該組向量不能作為該平面的基底；對于選項D，顯然e1＋e2與e1－e2不共線，故該組向量能作為該平面的基底．2．已知平面內不共線的四點O，A，B，C滿足eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(OC,\s\up6(→))，則|eq\o(AB,\s\up6(→))|∶|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝()A．1∶3B．3∶1C．1∶2D．2∶1【解析】選D.因為eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(OC,\s\up6(→))，所以eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\f(2,3)eq\o(OB,\s\up6(→))，即eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up6(→))，也就是eq\o(AB,\s\up6(→))＝2eq\o(BC,\s\up6(→))，所以|eq\o(AB,\s\up6(→))|∶|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝2∶1.3．如圖，在正方形ABCD中，設eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(BD,\s\up6(→))＝c，則以a，b為基底時，eq\o(AC,\s\up6(→))可表示為________，以a，c為基底時，eq\o(AC,\s\up6(→))可表示為________．【解析】以a，b為基底時，由平行四邊形法則得eq\o(AC,\s\up6(→))＝a＋b.以a，c為基底時，將eq\o(BD,\s\up6(→))平移，使B與A重合，再由三角形法則或平行四邊形法則得eq\o(AC,\s\up6(→))＝2a＋c.答案：a＋b2a＋4．已知向量e1，e2不共線，實數x，y滿足(3x－4y)e1＋(2x－3y)e2＝6e1＋3e2，則x－y＝________．【解析】由平面向量基本定理，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x－4y＝6，,2x－3y＝3，))所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝6，,y＝3，))所以x－y＝3.答案：35．在平行四邊形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，(1)如圖1，如果E，F分別是BC，DC的中點，試用a，b分別表示eq\o(BF,\s\up6(→))，eq\o(DE,\s\up6(→)).(2)如圖2，如果O是AC與BD的交點，G是DO的中點，試用a，b表示eq\o(AG,\s\up6(→)).【解析】(1)eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)a＋b.eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＝a－eq\f(1,2)b.(2)eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝b－a，因為O是BD的中點，G是DO的中點，所以eq\o(BG,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)(b－a)，所以eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BG,\s\up6(→))＝a＋eq\f(3,4)(b－a)＝eq\f(1,4)a＋eq\f(3,4)b.【基礎全面練】一、單選題1．{e1，e2}為基底向量，已知向量eq\o(AB,\s\up6(→))＝e1－ke2，eq\o(CB,\s\up6(→))＝2e1－e2，eq\o(CD,\s\up6(→))＝3e1－3e2，若A，B，D三點共線，則k的值是()A．2B．－3C．－2D．3【解析】選A.根據題意得eq\o(AB,\s\up6(→))＝e1－ke2，eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))＝3e1－3e2－2e1＋e2＝e1－2e2，因為A，B，D三點共線，所以eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(BD,\s\up6(→))，即e1－ke2＝λ(e1－2e2)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＝λ，,－k＝－2λ，))所以k＝2.2．在△OAB中，P為線段AB上的一點，eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))，且eq\o(BP,\s\up6(→))＝2eq\o(PA,\s\up6(→))，則()A．x＝eq\f(2,3)，y＝eq\f(1,3) B．x＝eq\f(1,3)，y＝eq\f(2,3)C．x＝eq\f(1,4)，y＝eq\f(3,4) D．x＝eq\f(3,4)，y＝eq\f(1,4)【解析】選A.因為eq\o(BP,\s\up6(→))＝2eq\o(PA,\s\up6(→))，所以eq\o(BO,\s\up6(→))＋eq\o(OP,\s\up6(→))＝2eq\o(PO,\s\up6(→))＋2eq\o(OA,\s\up6(→))，即3eq\o(OP,\s\up6(→))＝2eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))，所以eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))，即x＝eq\f(2,3)，y＝eq\f(1,3).3．如圖，在平行四邊形ABCD中，E，F分別是BC，CD的中點，DE交AF于點H，記eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))分別為a，b，則eq\o(AH,\s\up6(→))＝()A．eq\f(2,5)a－eq\f(4,5)b B．eq\f(2,5)a＋eq\f(4,5)bC．－eq\f(2,5)a＋eq\f(4,5)b D．－eq\f(2,5)a－eq\f(4,5)b【解析】選B.設eq\o(AH,\s\up6(→))＝λeq\o(AF,\s\up6(→))，eq\o(DH,\s\up6(→))＝μeq\o(DE,\s\up6(→)).因為F為CD的中點，所以eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))).所以eq\o(AH,\s\up6(→))＝eq\f(λ,2)(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＝eq\f(λ,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋2eq\o(BC,\s\up6(→)))＝eq\f(λ,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋λeq\o(BC,\s\up6(→)).eq\o(AH,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DH,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋μeq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋μ(eq\o(AE,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→)))＝(1－μ)eq\o(BC,\s\up6(→))＋μ(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→)))＝μeq\o(AB,\s\up6(→))＋(1－eq\f(μ,2))eq\o(BC,\s\up6(→)).根據平面向量基本定理有eq\f(λ,2)＝μ，λ＝1－eq\f(μ,2).解得μ＝eq\f(2,5)，λ＝eq\f(4,5).因此有eq\o(AH,\s\up6(→))＝eq\f(2,5)a＋eq\f(4,5)b.4．如圖所示，在正方形ABCD中，E為AB的中點，F為CE的中點，則eq\o(AF,\s\up6(→))＝()A．eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AD,\s\up6(→)) B．eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)eq\o(AD,\s\up6(→))C．eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)) D．eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))【解析】選D.根據題意得：eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AE,\s\up6(→)))，又eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))，所以eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))＋\o(AD,\s\up6(→))＋\f(1,2)\o(AB,\s\up6(→))))＝eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→)).5．如圖，在等腰梯形ABCD中，DC＝eq\f(1,2)AB，BC＝CD＝DA，DE⊥AC于點E，則eq\o(DE,\s\up6(→))＝()A．eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→)) B．eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))C．eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→)) D．eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))【解析】選A.因為CD＝DA，DE⊥AC，所以E是AC的中點，所以eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(DC,\s\up6(→))＋\o(CA,\s\up6(→))))＋eq\f(1,2)eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))，又因為DC∥AB，DC＝eq\f(1,2)AB，所以eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))，所以eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→)).6．如圖所示，平面內的兩條直線OP1和OP2將平面分割成四個部分Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ(不包括邊界)，若eq\o(OP,\s\up6(→))＝，且點P落在第Ⅰ部分，則實數a，b滿足()A．a>0，b>0 B．a>0，b<0C．a<0，b>0 D．a<0，b<0【解析】選C.當點P落在第Ⅰ部分時，eq\o(OP,\s\up6(→))按向量與分解時，一個與反向，一個與同向，故a<0，b>0.二、填空題7．如圖所示，在6×4的方格中，每個小正方形的邊長為1，點O，A，B，C均為格點(格點是指每個小正方形的頂點)，則eq\o(OC,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝________．【解析】設水平向右和豎直向上的單位向量為e1和e2，則|e1|＝|e2|＝1，e1·e2＝0，由題圖可知，eq\o(OC,\s\up6(→))＝3e1＋2e2，eq\o(AB,\s\up6(→))＝6e1－3e2，eq\o(OC,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝(3e1＋2e2)·(6e1－3e2)＝18e12＋3e1·e2－6e22＝12.答案：128．已知A，B，D三點共線，且對任意一點C，有eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\f(4,3)eq\o(CA,\s\up6(→))＋λeq\o(CB,\s\up6(→))，則λ＝______．【解析】因為A，B，D三點共線，所以存在實數t，使eq\o(AD,\s\up6(→))＝teq\o(AB,\s\up6(→))，則eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(CA,\s\up6(→))＝t(eq\o(CB,\s\up6(→))－eq\o(CA,\s\up6(→)))，即eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋t(eq\o(CB,\s\up6(→))－eq\o(CA,\s\up6(→)))＝(1－t)eq\o(CA,\s\up6(→))＋teq\o(CB,\s\up6(→))，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－t＝\f(4,3)，,t＝λ，))即λ＝－eq\f(1,3).答案：－eq\f(1,3)9．如圖，已知E，F分別是矩形ABCD的邊BC，CD的中點，EF與AC交于點G，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，用a，b表示eq\o(AG,\s\up6(→))＝________；eq\o(EF,\s\up6(→))＝________．【解析】eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\o(EG,\s\up6(→))＝a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,4)eq\o(BD,\s\up6(→))＝a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,4)b－eq\f(1,4)a＝eq\f(3,4)a＋eq\f(3,4)b.eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(EC,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)b－eq\f(1,2)a.答案：eq\f(3,4)a＋eq\f(3,4)beq\f(1,2)b－eq\f(1,2)a10．已知向量e1，e2不共線，實數x，y滿足(x－2)e1＋(y－1)e2＝5e1＋2e2，則x＝________，y＝________．【解析】因為向量e1，e2不共線，所以根據平面向量基本定理可得x－2＝5，y－1＝2，解得x＝7，y＝3.答案：73三、解答題11．如圖所示，在△ABC中，D，F分別是BC，AC的中點，eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b.(1)用a，b表示eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))，eq\o(AF,\s\up6(→))，eq\o(BE,\s\up6(→))，eq\o(BF,\s\up6(→))；(2)求證：B，E，F三點共線．【解析】(1)如圖所示，延長AD到點G，使eq\o(AG,\s\up6(→))＝2eq\o(AD,\s\up6(→))，連接BG，CG，得到平行四邊形ABGC，則eq\o(AG,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(a＋b)，eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(a＋b)，eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)b，eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(a＋b)－a＝eq\f(1,3)(b－2a)，eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\o(AF,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)b－a＝eq\f(1,2)(b－2a).(2)由(1)知，eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(BF,\s\up6(→))，所以eq\o(BE,\s\up6(→))，eq\o(BF,\s\up6(→))共線，又eq\o(BE,\s\up6(→))，eq\o(BF,\s\up6(→))有公共點B，所以B，E，F三點共線．12．在△ABC中，eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))，過點D作DE∥BC，與邊AC相交于點E，△ABC的中線AM與DE相交于點N，如圖所示．設eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，試用基底{a，b}表示eq\o(DN,\s\up6(→)).【思路導引】設eq\o(DN,\s\up6(→))＝λeq\o(BM,\s\up6(→))，eq\o(AN,\s\up6(→))＝μeq\o(AM,\s\up6(→))，根據eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(DN,\s\up6(→))，eq\o(AN,\s\up6(→))不共線，列方程組求λ，μ.【解析】因為M為BC的中點，所以eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(b－a)，eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BM,\s\up6(→))＝a＋eq\f(1,2)(b－a)＝eq\f(1,2)(a＋b).因為DN∥BM，AN與AM共線，所以存在實數λ，μ，使得eq\o(DN,\s\up6(→))＝λeq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)λ(b－a).eq\o(AN,\s\up6(→))＝μeq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)μ(a＋b)＝eq\f(μ,2)a＋eq\f(μ,2)b.因為eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DN,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)a＋eq\f(1,2)λ(b－a)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)－\f(λ,2)))a＋eq\f(λ,2)b，所以根據平面向量基本定理，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)－\f(λ,2)＝\f(μ,2)，,\f(λ,2)＝\f(μ,2)，))所以λ＝μ＝eq\f(1,4)，所以eq\o(DN,\s\up6(→))＝eq\f(1,8)(b－a)＝－eq\f(1,8)a＋eq\f(1,8)b.【綜合突破練】一、選擇題1．若點O是平行四邊形ABCD兩對角線的交點，eq\o(AB,\s\up6(→))＝4e1，eq\o(BC,\s\up6(→))＝6e2，則3e2－2e1＝()A.eq\o(AO,\s\up6(→))B.eq\o(CO,\s\up6(→))C.eq\o(BO,\s\up6(→))D.eq\o(DO,\s\up6(→))【解析】選C.3e2－2e1＝eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BO,\s\up6(→)).2．如圖，在平行四邊形ABCD中，AE＝eq\f(1,3)AB，CF＝eq\f(1,3)CD，G為EF的中點，則eq\o(DG,\s\up6(→))＝()A．eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→)) B．eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))C．eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→)) D．eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))【解析】選A.在平行四邊形ABCD中，AE＝eq\f(1,3)AB，CF＝eq\f(1,3)CD，G為EF的中點，eq\o(DG,\s\up6(→))＝eq\o(DF,\s\up6(→))＋eq\o(FG,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(FE,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(FD,\s\up6(→))＋eq\o(DE,\s\up6(→)))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)\o(AB,\s\up6(→))＋\o(AE,\s\up6(→))－\o(AD,\s\up6(→))))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)\o(AB,\s\up6(→))－\o(AD,\s\up6(→))))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→)).3．已知非零向量eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))不共線，且2eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))，若eq\o(PA,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))(λ∈R)，則x，y滿足的關系式是()A．x＋y－2＝0 B．2x＋y－1＝0C．x＋2y－2＝0 D．2x＋y－2＝0【解析】選A.由eq\o(PA,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))，得eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OP,\s\up6(→))＝λ(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))，即eq\o(OP,\s\up6(→))＝(1＋λ)eq\o(OA,\s\up6(→))－λeq\o(OB,\s\up6(→)).又2eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2＋2λ，,y＝－2λ，))消去λ得x＋y＝2.【加固訓練】設a，b為平面內所有向量的一組基底，已知向量eq\o(AB,\s\up6(→))＝a－kb，eq\o(CB,\s\up6(→))＝2a＋b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝3a－b，若A，B，D三點共線，則實數k的值等于()A．2B．－2C．10D．－10【解析】選A.eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝(a－kb)＋(－2a－b)＋(3a－b)＝2a－(k＋2)b.因為A，B，D三點共線，所以存在實數λ使得eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(AD,\s\up6(→))，即a－kb＝λ[2a－(k＋2)b]＝2λa－λ(k＋2)b.因為a，b為基底向量，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2λ＝1，,λ（k＋2）＝k，))解得λ＝eq\f(1,2)，k＝2.4．(多選)設O是平行四邊形ABCD兩對角線的交點，給出下列向量組，其中可作為這個平行四邊形所在平面的基底的是()A．eq\o(AD,\s\up6(→))與eq\o(AB,\s\up6(→)) B．eq\o(DA,\s\up6(→))與eq\o(BC,\s\up6(→))C．eq\o(CA,\s\up6(→))與eq\o(DC,\s\up6(→)) D．eq\o(OD,\s\up6(→))與eq\o(OB,\s\up6(→))【解析】選AC.對于A，eq\o(AD,\s\up6(→))與eq\o(AB,\s\up6(→))不共線；對于B，eq\o(DA,\s\up6(→))＝－eq\o(BC,\s\up6(→))，則eq\o(DA,\s\up6(→))與eq\o(BC,\s\up6(→))共線；對于C，eq\o(CA,\s\up6(→))與eq\o(DC,\s\up6(→))不共線；對于D，eq\o(OD,\s\up6(→))＝－eq\o(OB,\s\up6(→))，則eq\o(OD,\s\up6(→))與eq\o(OB,\s\up6(→))共線．由平面向量基底的概念知A、C中的向量組可以作為平面的基底．【加固訓練】若點D，E，F分別為△ABC的邊BC，CA，AB的中點，且eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，則下列結論正確的是()A．eq\o(DA,\s\up6(→))＝a－eq\f(1,2)b B．eq\o(BE,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)bC．eq\o(CF,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)a－b D．eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b【解析】選BC.因為點D為邊BC的中點，所以eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＝a＋eq\f(1,2)b，所以eq\o(DA,\s\up6(→))＝－a－eq\f(1,2)b；因為點E為邊CA的中點，所以eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(BA,\s\up6(→))＋\o(BC,\s\up6(→))))＝－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b；因為點F為邊AB的中點，所以eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(BF,\s\up6(→))＝－eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)a－b；因為eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝a＋b，所以eq\o(DF,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b.二、填空題5．如圖所示，已知點G是△ABC的重心，過點G作直線分別交AB，AC兩邊于M，N兩點，且eq\o(AM,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AN,\s\up6(→))＝yeq\o(AC,\s\up6(→))，則3x＋y的最小值為________．【解析】因為G是△ABC的重心，所以eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))，又eq\o(AM,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AN,\s\up6(→))＝yeq\o(AC,\s\up6(→))，所以eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\f(1,3x)eq\o(AM,\s\up6(→))＋eq\f(1,3y)eq\o(AN,\s\up6(→))，因為M，G，N三點共線，所以eq\f(1,3x)＋eq\f(1,3y)＝1，所以3x＋y＝(3x＋y)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3x)＋\f(1,3y)))＝1＋eq\f(1,3)＋eq\f(x,y)＋eq\f(y,3x)≥eq\f(4,3)＋2eq\r(\f(1,3))＝eq\f(4＋2\r(3),3).當且僅當eq\f(x,y)＝eq\f(y,3x)，即x＝eq\f(3＋\r(3),9)，y＝eq\f(\r(3)＋1,3)時，等號成立，故3x＋y的最小值為eq\f(4＋2\r(3),3).答案：eq\f(4＋2\r(3),3)6．在平行四邊形ABCD中，E和F分別是邊CD和BC的中點．若eq\o(AC,\s\up6(→))＝λeq\o(AE,\s\up6(→))＋μeq\o(AF,\s\up6(→))，其中λ，μ∈R，則λ＋μ＝________．【解析】設eq\o(AB,\s\up6(→))＝a,eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，則eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a＋b,eq\o(AF,\s\up6(→))＝a＋eq\f(1,2)b.又因為eq\o(AC,\s\up6(→))＝a＋b，所以eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)(eq\o(AE,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→)))，即λ＝μ＝eq\f(2,3).所以λ＋μ＝eq\f(4,3).答案：eq\f(4,3)7．如圖，在平行四邊形OPQR中，S是對角線的交點，若eq\o(OP,\s\up6(→))＝2e1，eq\o(OR,\s\up6(→))＝3e2，以e1，e2為基底，表示eq\o(PS,\s\up6(→))與eq\o(QS,\s\up6(→))，則eq\o(PS,\s\up6(→))＝________，eq\o(QS,\s\up6(→))＝______．【解析】平行四邊形OPQR中，eq\o(OQ,\s\up6(→))＝eq\o(OP,\s\up6(→))＋eq\o(OR,\s\up6(→))＝2e1＋3e2，eq\o(PR,\s\up6(→))＝eq\o(OR,\s\up6(→))－eq\o(OP,\s\up6(→))＝3e2－2e1.因為點S是OQ，PR的中點．所以eq\o(PS,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)PR＝eq