第1章反比例函數(shù)

1.1建立反比例函數(shù)的模型（1）

教學目標

1.使學生理解并掌握反比例函數(shù)的概念。

2.能判斷一個給定的函數(shù)是否為反比例函數(shù)，能根據(jù)已知條件確定反比例函數(shù)

表達式。

3.能根據(jù)實際問題中的條件確定反比例函數(shù)的解析式，體會函數(shù)的模型思想。

教學重難點

重點：理解反比例函數(shù)的概念，能根據(jù)已知條件寫出函數(shù)解析式。

難點：理解反比例函數(shù)的概念。

教學過程

一、預(yù)習導(dǎo)學

通過自主預(yù)習教材P2-3完成下列問題

1.當路程一定時，速度與時間成什么關(guān)系？當一個長方形面積一定時，長與寬

成什么關(guān)系？

2.如果兩個變量y與x的關(guān)系可表示成（k為常數(shù)，k—0）的形式,

那么稱是

的反比例函數(shù)，自變量x不能為，常數(shù)稱為反比例函數(shù)的

比例系數(shù)。

3.若xy=2,則可寫成y=,此時y是x的。

問題1中的情境是學生熟悉的例子，當中的關(guān)系式學生都列得出來，鼓勵學生

積極思考、討論、合作、交流，最終讓學生討論出：當兩個量的積是一個定值時,

這兩個量成反比例關(guān)系，如xy=k（k為一個定值），則x與y成反比例。

二、探究展示

（一）合作探究

1.如何解教材第2頁“動腦筋”中的問題？

以小組為單位，由組長帶領(lǐng)組員討論，得出結(jié)論：

1

當路程一定時，選手的平均速度與所用時間之間的關(guān)系式為丫=迎也，當路程

S一定時，每當t取一個值時，V都有唯一的一個值與它對應(yīng)，因此V是t的函

數(shù)，由于當S一定時，V與t成反比例關(guān)系，因此把這樣的函數(shù)稱為反比例函數(shù)。

設(shè)計意圖：先引導(dǎo)學生審題，列出函數(shù)關(guān)系式，并與我們以前學過的一次函數(shù)、

正比例函數(shù)的關(guān)系式進行類比，找出不同點，使學生對知識認知有系統(tǒng)性、完整

性。

2.你能歸納反比例函數(shù)的概念嗎？

先由學生根據(jù)問題1的結(jié)論討論，然后總結(jié):

1/

一般地，如果兩個變量y與x的關(guān)系可表示成y=-（k為常數(shù)，kWO）的函

X

數(shù)稱y是x的反比例函數(shù)，其中x是自變量，y是x的函數(shù)，k是比例系數(shù)。反

比例函數(shù)的自變量x的取值范圍是不等于0的一切實數(shù)

k

反比例函數(shù)y=-的變式：xy=k,y=kxH

X

注意：（1）在反比例函數(shù)的表達式y(tǒng)=5（k為常數(shù),kN。）中'x的次數(shù)是-L

常數(shù)k可正可負，反比例函數(shù)的實質(zhì)是一類分式函數(shù)。

k

（2）在反比例函數(shù)的表達式y(tǒng)=-（k為常數(shù),kWO）中，變量x與y的位置

X

是對稱的，即X也可看作y的函數(shù)。

（二）展示提升

1.如圖，已知菱形ABCD的面積為180,設(shè)它的兩條對角線AC,BD的長分別為x,y。

寫出變量y與x

學生先嘗試著解答，然后再交流，從中得出什么結(jié)論與大家分享。

2.下列函數(shù)是不是反比例函數(shù)？若是，請寫出它的比例系數(shù)。

(1)y=3x-1⑵y

3

2

1

(3)y(4)y=

5x1\x

可點名展示，也可分組展示，培養(yǎng)學生分析問題和解決問題的能力；同時增強

學生團結(jié)協(xié)作的精神。老師在此環(huán)節(jié)準確引導(dǎo)，及時點撥和追問，總結(jié)出解決問

題的方法和規(guī)律。

設(shè)計意圖：通過實例進一步加深對反比例函數(shù)的認識。

三、知識梳理

本節(jié)課我們學到了什么？啟發(fā)學生談?wù)劚竟?jié)課的收獲。

1.一般地，如果兩個變量y與x的關(guān)系可表示成y=K(k為常數(shù)，kWO)的

X

函數(shù)稱y是x的反比例函數(shù)，其中x是自變量，y是x的函數(shù)，k是比例系數(shù)。反

比例函數(shù)的自變量x的取值范圍是不等于0的一切實數(shù)

2.反比例函數(shù)的變式有xy=k,y=kx，運用反比例函數(shù)的概念及變式正確

判斷一個給定的函數(shù)是否為反比例函數(shù)

四、當堂檢測

1.寫出下列問題中兩個變量之間的函數(shù)關(guān)系式，并判斷其是否為反比例函數(shù)。

如果是，指出比例系數(shù)k的值。

(1)底邊為5cm的三角形的面積y(cm2)隨底邊上的高x(cm)的變化而變

化；

(2)某村有耕地面積200ha,人均占有耕地面積y(ha)隨人口數(shù)量x(人)

的變化而變化；

(3)一個物體重120N,物體對地面的壓強p(N/m2)隨該物體與地面的接觸

面積S(n?)的變化而變化。

2.下列哪些關(guān)系式中的y是x的反比例函數(shù)？如果是，比例系數(shù)是多少？

22

(1)丫=鼻x；(2)y=~；(3)xy+2=O；

oox

2

(4)xy=0；(5)x=-o

3y

3.已知函數(shù)丫=(m+1)是反比例函數(shù)，則m的值為o

五、教學反思

3

1.2反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)（2）

教學目標

1.體會并了解反比例函數(shù)的圖象的意義

2.能描點畫出反比例函數(shù)的圖象

3.結(jié)合圖象分析并掌握當k>0時反比例函數(shù)的性質(zhì)

教學重難點

重點：反比例函數(shù)的圖像及當k>0時反比例函數(shù)的性質(zhì)

難點：繪制反比例函數(shù)的圖像

教學過程

一、預(yù)習導(dǎo)學

自主預(yù)習教材P5-7,并思考下列問題：

1.畫反比例函數(shù)圖像的步驟是、、o

2.反比例函數(shù)y=&（k為常數(shù)，kWO）的圖象是,當K>0時，雙曲線

X

的兩支分別位于第一、象限，它們與—軸、一軸都不相交，在每個

象限內(nèi)，y隨x的增大而o

3.函數(shù)y=2的圖象在第象限，在每一象限內(nèi)，y隨x的增大而。

X

二、探究展示

（一）合作探究

如何畫反比例函數(shù)y=g的圖象？

X

由組長帶領(lǐng)本組組員共同探討完成。

4

由于反比例函數(shù)y=9的圖象是曲線型的，且分成兩支.對此，學生第一次接觸

X

有一定的難度，因此需要分幾個層次來探求：

（1）可以先估計例如：位置（圖象所在象限、圖象與坐標軸的交點等）、趨

勢（上升、下降等）；

（2）方法與步驟——利用描點作圖；

列表：取自變量x的哪些值？一一x是不為零的任何實數(shù)，所以不能取x的

值的為零，但仍可以以零為基準，左右均勻，對稱地取值。

X-6-5-4-3-2-1.-111.23456

55

6

y=--1-1.-1.-2-3-4-664321.1.1

X

2552

描點：依據(jù)什么（數(shù)據(jù)、方法）找點？

在平面直角坐標系內(nèi)，以自變量x的取值為橫坐標，以相應(yīng)的函數(shù)值y為縱坐標,

描出相應(yīng)的點。

連線：怎樣連線？一一可在各個象限內(nèi)按照自變量從小到大的順序用兩條光滑的

曲線把所描的點連接起來。

5

觀察上圖，圖像位于哪些象限？圖像與坐標軸相交嗎？在每一象限內(nèi)，函數(shù)值y

隨自變量x的變化如何變化？（點名回答）

設(shè)計意圖：學習正確的作圖過程，在填表過程中感受y隨x的變化規(guī)律，為基

于圖象探究函數(shù)性質(zhì)打下基礎(chǔ)。

（二）展示提升

1.完成P6做一做，畫出反比例函數(shù)y=±3的圖像

x

設(shè)計意圖：提高學生利用描點法畫反比例函數(shù)的基本技能，加深學生對反比例

函數(shù)圖象的認識，為下一步歸納反比例函數(shù)的性質(zhì)做準備。

6

2.觀察畫出的y=9,y=3的圖像，思考下列問題：

XX

（1）每個函數(shù)的圖像分別位于哪些象限？

（2）在每一象限內(nèi)，函數(shù)值y隨自變量x的變化如何變化？

先由小組討論交流，教師準確引導(dǎo)，及時點撥和追問，總結(jié)出規(guī)律:

一般的，當K〉0時，反比例函數(shù)y=&的圖像由分別在第一、第三象限內(nèi)的兩支

X

曲線組成，它們與X軸、y軸都不相交，在每個象限內(nèi)，函數(shù)值y隨自變量X的

增大而減小。

設(shè)計意圖：讓學生獨立思考、討論交流，經(jīng)歷從特殊到一般的歸納過程，積累基

本活動經(jīng)驗。

三、知識梳理

啟發(fā)學生談?wù)劚竟?jié)課的收獲。

1.用描點法作反比例函數(shù)圖象的步驟：列表、描點、連線。

2.圖像性質(zhì)：反比例函數(shù)y=&（k為常數(shù)，kWO）的圖象是雙曲線，當K〉0時,

X

雙曲線的兩支分別位于第一、三象限，它們與X軸、y軸都不相交，在每個象限

內(nèi)，y隨x的增大而減小。

四、當堂檢測

4

1.畫出反比例函數(shù),=一的圖像

X

2.如右圖，這是下列四個函數(shù)中哪一個函數(shù)的圖象（）

43

Ay=5xBy=2x+3Cy=—Dy=——

xx

3.函數(shù)y=二的圖象在第象限，在每一象限內(nèi)，y隨x的增大而

X

7

4.在反比例函數(shù)y=9圖象的每一支曲線上，y都隨x的增大而減小，則k

X

的取值范圍是o若關(guān)于x,y的函數(shù)》=士k4\圖象位于第一、三象限，則

X

k的取值范圍是o

五、教學反思

1.2反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)（3）

教學目標

1.能畫出反比例函數(shù)y=K（k為常數(shù)，kV0）的圖象。

X

2.根據(jù)反比例函數(shù)y=K（k為常數(shù)，kVO）的圖象探索并理解其性質(zhì)。

X

3.在自主探究反比例函數(shù)的性質(zhì)的過程中，讓學生初步感知反比例函數(shù)的圖象的

對稱性。

教學重難點

重點：反比例函數(shù)y=K（k為常數(shù)，kVO）的圖象的畫法及其性質(zhì)。

X

難點：由反比例函數(shù)y=K（k為常數(shù)，kVO）的圖象探究出其性質(zhì)。

X

教學過程

一、預(yù)習導(dǎo)學

自主預(yù)習教材P7-9完成下列各題：

8

k

1.反比例函數(shù)y=-（k為常數(shù)，kWO）的圖象是由兩支曲線圍成的，這兩支曲線

X

稱為。2.當K<0時，反比例函數(shù)y=K的圖象與的圖象關(guān)

---------X-----------

于X軸對稱。

k

3.當K<0時，反比例函數(shù)y=-的圖象由分別在第______象限內(nèi)的兩支曲線

X

組成，它們與X周、y軸都，在每個象限內(nèi)，函數(shù)值y隨自變量X的

增大而。

二、探究展示

（一）合作探究

探究1：如何畫反比例函數(shù)y=-9的圖象？y=-9的圖象與y=9的圖象有什么

XXX

關(guān)系？

由組長帶領(lǐng)組員共同探討畫反比例函數(shù)y=的圖象的方法。引導(dǎo)學生采用多

X

種方式進行自主探索活動：

1.可以通過探索函數(shù)y=-9與y=9之間的關(guān)系，畫出y=-色的圖象。

XXX

2.可以用畫反比例函數(shù)y=9的圖象的方式與步驟進行自主探索其圖象。

9

引導(dǎo)學生總結(jié)歸納：

1.當K<0時，反比例函數(shù)y=K的圖象與曠=-七的圖象關(guān)于x軸對稱，

XX

2.當K<0時，反比例函數(shù)y=K的圖象由分別在第二、四象限內(nèi)的兩支曲線組

X

成，它們與X軸、y軸都不相交，在每個象限內(nèi)，函數(shù)值y隨自變量X的增大而

增大。

3.可用描點法畫反比例函數(shù)y=K（K<0）的圖象。

X

設(shè)計意圖：鞏固了反比例函數(shù)圖象的基本作法，也為后面觀察分析歸納出反比

例函數(shù)圖象的性質(zhì)增加感性認識。

探究2：反比例函數(shù)y=K（k為常數(shù)，kWO）的圖象的對稱性。

X

先讓學生觀察函數(shù)）=-9與丁=色的圖象，討論交流它們各自具有什么對稱性，

XX

然后總結(jié)得出：反比例函數(shù)y=K（k為常數(shù)，k70）的圖象是中心對稱圖形，其

X

對稱中心為坐標原點，其圖象還是軸對稱圖形，對稱軸有兩條，分別是一、三象

限角平分線（即直線y=x）和二、四象限角平分線（即直線y=-x）。

10

探究3：根據(jù)我們已經(jīng)學過的反比例函數(shù)的性質(zhì)填寫下表，并說說k>0和kVO

時圖象性質(zhì)的區(qū)別。

反比例函數(shù)y=—(Zw0)

X

k的符號k>0k<0

4

、y

圖象

（雙曲線）0「‘X

x>yxe的取值范圍x#0x的取值范圍xW0

取值范圍y的取值范圍yWOy的取值范圍yW0

位置第一，三象限內(nèi)第二，四象限內(nèi)

增減性每一象限內(nèi)，y隨x的增大而減小每一象限內(nèi)，y隨x的增大而增大

反比例函數(shù)的圖象無限接近于x,y軸,但永遠達不到x,y軸，畫圖象時,要體現(xiàn)

漸近性

出這個特點。

反比例函數(shù)的圖象是關(guān)于原點成中心對稱的圖形。反比例函數(shù)的圖象也是軸

對稱性

對稱圖形。

設(shè)計意圖：使學生經(jīng)歷由特殊到一般的過程，培養(yǎng)學生的抽象概括能力、滲透

分類討論思想和類比思想。

（二）展示提升

1.畫出反比例函數(shù)>=-2的圖象

X

2.反比例函數(shù)y=的圖象在第一、—象限，在每個象限內(nèi)，函數(shù)值y隨

2x

自變量X的增大而,圖象關(guān)于成中心對稱，關(guān)于成軸對稱。

3.若反比例函數(shù)丁=絲口的圖象在第二、四象限，求m的取值范圍。

X

11

設(shè)計意圖:通過練習及時去鞏固學生對反比例函數(shù)圖象的畫法及其性質(zhì)的理解

及是否能夠正確的運用其性質(zhì)解決簡單問題。

三、知識梳理

本節(jié)課有什么收獲？

1.用描點法畫反比例函數(shù)y=K(K<0)的圖象步驟：列表，描點，連線。

X

2.反比例函數(shù)y=6的圖象性質(zhì)：圖象與X軸、y軸都不相交，當K>0時，圖

象在第一、三象限，在每個象限內(nèi)，函數(shù)值y隨自變量x的增大而減小；當

K<0時，圖象在第二、四象限，在每個象限內(nèi)，函數(shù)值y隨自變量x的增大

而增大。

3.反比例函數(shù)y=K(k為常數(shù)，k#0)的圖象關(guān)于原點成中心對稱，當K>0時，

X

圖象關(guān)于直線y=-x成軸對稱，當k<0時，圖象關(guān)于直線y=x成軸對稱。

四、當堂檢測

1.畫出反比例函數(shù)y=-&的圖象。

x

2.在反比例函數(shù)丁=」的圖象的每一支曲線上，y隨x的增大而增大，則k的

x

值為O

7

3.已知點(2,),(3,y)在函數(shù)y=的圖象上，試比較力,丫2的大小。

Y12x

五、教學反思

12

1.2反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)（4）

教學目標

1.能用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式。

2.能用反比例函數(shù)的定義和性質(zhì)解決實際問題。

教學重難點

重點：能用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式。

難點：根據(jù)反比例函數(shù)的圖象或表達式來理解反比例函數(shù)的性質(zhì)。

教學過程

一、預(yù)習導(dǎo)學

自主學習教材P10-11,并思考下列問題：

1.認真完成P10的動腦筋，思考怎樣用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式？

2.認真閱讀例題2,書上是運用反比例函數(shù)的什么知識解決問題的？

3.例題3中，用待定系數(shù)法時為什么要標明krk2?

二、探究展示

（一）合作探究

如何解答教材P10的動腦筋？

由組長帶領(lǐng)組員討論交流，教師適當引導(dǎo)，然后總結(jié)得出：由于反比例函數(shù)

y=4中只有一個待定系數(shù)K,因此只需要圖像上一點的坐標，把其值代入得到一

X

個關(guān)于K的一元一次方程，求出K值即可確定函數(shù)關(guān)系式。知道反比例函數(shù)的表

達式就可以知道某一點是否在這個函數(shù)圖象上。由K值得正負就可以知道函數(shù)圖

象分布的象限及函數(shù)值隨自變量值的變化情況。

（二）展示提升

13

1.反比例函數(shù)y=V的圖象如圖所示，根據(jù)圖象，回答下列問題：

X

(1)K的取值范圍是K>0還是KVO?說明理由

(2)如果點A(-3,y,),B(-2,y2)是該函數(shù)圖象上的兩點，試比較y,y?

的大小。

設(shè)計意圖：讀圖能力訓(xùn)練，加深學生對反比例函數(shù)圖象性質(zhì)的理解。

2.已知一個正比例函數(shù)與一個反比例函數(shù)的圖象交于點P(-3,4),試求出它們

讓你的表達式，并在同一坐標系內(nèi)畫出這兩個函數(shù)的圖象。

提示：先設(shè)兩個函數(shù)的表達式，且兩個函數(shù)表示式中的比例系數(shù)應(yīng)用I、k?區(qū)

分。

學生分組討論交流，交流后小組代表展示，教師進行補充。

設(shè)計意圖：揭示知識間的內(nèi)在聯(lián)系，有助于構(gòu)建較完整的知識網(wǎng)絡(luò)。

三、知識梳理

啟發(fā)學生談?wù)劚竟?jié)課的收獲。

1.用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式.

14

2.用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式步驟:

(1)設(shè)出反比例函數(shù)的解析式y(tǒng)='(kWO)

X

(2)把已知條件(一組自變量與函數(shù)的對應(yīng)值)代入解析式，得到關(guān)于k的一

元一次方程

(3)解這個方程，求出待定系數(shù)k

(4)將k的值代入得出反比例函數(shù)的解析式。

四、當堂檢測

1.已知反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過點(。，人)，則它的圖像一定也經(jīng)過()

A、(—a,—b)B、(a,—b)C、(-a,b)D、(0,0)

2.已知反比例函數(shù)y=K的圖象經(jīng)過點M(-2,2)

x

(1)求這個函數(shù)的表達式

(2)判斷點A(-4,1),B(1,4)是否在這個函數(shù)圖象上

(3)這個函數(shù)的圖象位于哪些象限？函數(shù)值y隨自變量x的增大而如何變化？

3.如圖，一次函數(shù)丫=1?+13的圖象與反比例函數(shù)y='的圖象交于A(—2,l)、

X

B(1,n)兩點(1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式

(2)根據(jù)圖象寫出一次函數(shù)的值大于反比例函數(shù)的值的x的取值

范圍

五、教學反思

15

1.3反比例函數(shù)的應(yīng)用(5)

教學目標

1.經(jīng)歷通過實驗獲得數(shù)據(jù)，然后根據(jù)數(shù)據(jù)建立反比例函數(shù)模型的一般過程，體會

建模思想。

2.體驗數(shù)形結(jié)合的思想。

教學重難點

重點：建立反比例函數(shù)的模型，進而解決實際問題。

難點：經(jīng)歷探索的過程，培養(yǎng)學生學習數(shù)學的主動性和解決問題的能力。

教學過程

一、情景導(dǎo)入，初步認知

復(fù)習回顧

1.什么是反比例函數(shù)？

2.反比例函數(shù)的圖象是什么？

3.反比例函數(shù)圖象有哪些性質(zhì)？

4.反比例函數(shù)的圖象對稱性如何？

【教學說明】通過提出問題，引發(fā)學生思考,培養(yǎng)學生解決問題的能力。

二、思考探究，獲取新知

1.某校科技小組進行野外考察，途中遇到一片十幾米寬的爛泥濕地，為了安全、

迅速通過這片濕地,他們沿著前進路線鋪墊了若干塊木板,構(gòu)筑成一條臨時通道,

從而順利完成了任務(wù)。你能解釋他們這樣做的道理嗎？

F_

(1)根據(jù)壓力F(N)、壓強p(Pa)與受力面積S(m2)之間的關(guān)系式p=1，請你判斷:

當F一定時，p是S的反比例函數(shù)嗎？

⑵如人對地面的壓力F=450N,完成下表：

受力面積s(nJ)0.0050.010.020.04

壓強Pa)

(3)當F=450N時，試畫出該函數(shù)的圖象，并結(jié)合圖象分析當受力面積S增大時,

地面所受壓強p是如何變化的，據(jù)此，請說出它們鋪墊木板通過濕地的道理。解:

16

F

(1)對于p=S,當F一定時，根據(jù)反比例函數(shù)的定義可知，p是S的反比例函

數(shù)。

F_

(2)因為F=450N,所以當S=0o005m2時，由p=S得：p=450/0o005=90000(Pa)

類似的，當S=0。01m2時，p=45000Pa；當S=0。02m2時，p=22500Pa；當S=0。

04m2時，p=11250Pa

(3)當F=450N時，該反比例函數(shù)的表達式為p=450/S,它的圖象如下圖所示，由

圖象的性質(zhì)可知，當受力面積S增大時，地面所受壓強p會越來越小，因此，該

科技小組通過鋪墊木板的方法來增大受力面積。以減小地面所受壓強，從而可以

順利地通過濕地。

2.你能根據(jù)玻意耳定律(在溫度不變的情況下，氣體的壓強p與它的體積V的乘

積是一個常數(shù)K(K>0),即pV=K)來解釋：為什么使勁踩氣球時，氣體會爆炸？

【教學說明】逐步提高學生從函數(shù)圖象中獲取信息的能力，提高感知水平；止匕外,

在解決實際問題時，要引導(dǎo)學生體會知識之間的聯(lián)系及知識的綜合運用。

三、運用新知，深化理解

1.教材P15例題。

2.一個水池裝水12m3,如果從水管中每小時流出xm3的水，經(jīng)過yh可以把水放

完，那么y與x的函數(shù)關(guān)系式是，自變量x的取值范圍

是

12

【答案】y=x；x>0

2

3.若梯形的下底長為x,上底長為下底長的5,高為y,面積為60,則y與x的

函數(shù)關(guān)系是(不考慮x的取值范圍).

17

90

【答案】y=%

4.某一數(shù)學課外興趣小組的同學每人制作一個面積為200cm2的矩形學具進行展

示.設(shè)矩形的寬為xcm,長為ycm,那么這些同學所制作的矩形的長y(cm)與寬

x(cm)之間的函數(shù)關(guān)系的圖象大致是()

【答案】A

5.下列各問題中兩個變量之間的關(guān)系，不是反比例函數(shù)的是()

A.小明完成百米賽跑時，所用時間t(s)與他的平均速度v(m/s)之間的關(guān)系

B.長方形的面積為24,它的長y與寬x之間的關(guān)系

C.壓力為600N時，壓強p(Pa)與受力面積S(m2)之間的關(guān)系

D.一個容積為25L的容器中，所盛水的質(zhì)量m(kg)與所盛水的體積V(L)之間的關(guān)

系

【答案】D

6.在溫度不變的條件下，通過一次又一次地對汽缸頂部的活塞加壓，測出每一次

加壓后缸內(nèi)氣體的體積和氣體對汽缸壁所產(chǎn)生的壓強，如下表：

體積x/mL10080604020

壓強,/kPa6075100150300

則可以反映y與x之間的關(guān)系的式子是（）.

30006000

A.y=3000xB.y=6000xC.y=xD.y=x

【答案】D

7.一張正方形的紙片，剪去兩個一樣的小矩形得到一個“E”圖案，如圖所示，

設(shè)小矩形的長和寬分別為x、y,剪去部分的面積為20,若2WxW10,則y與x

的函數(shù)圖象是()

18

ABCD

【答案】A

8.一個長方體的體積是100cm3,它的長是y(cm),寬是5cm,高是x(cm).

(1)寫出長y(cm)關(guān)于高x(cm)的函數(shù)關(guān)系式，以及自變量x的取值范圍；

⑵畫出(1)中函數(shù)的圖象；

⑶當高是3cm時，求長.

解：

20

(l)y=x(x>0)；

⑵圖象略；

20

(3)長為3cm。

【教學說明】用函數(shù)觀點來處理實際問題的應(yīng)用，加深對函數(shù)的認識。

四、師生互動、課堂小結(jié)

先小組內(nèi)交流收獲和感想，而后以小組為單位派代表進行總結(jié)。教師作以補充。

課后作業(yè)

布置作業(yè)：教材''習題L3”中第1、2、4題。

五、教學反思

19

第1章反比例函數(shù)（復(fù)習課）（6）

教學目標

鞏固本章知識點，牢記反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，并能利用性質(zhì)解決實際問題。

教學重難點

重點：理解反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)；

難點：利用反比例函數(shù)的性質(zhì)解決實際問題。

教學過程

一、基本知識：

1、反比例函數(shù)的定義：

一般地，如果兩個變量X與），的關(guān)系可以表示成y=A〃是常數(shù)，^0）的

X

形式，那么稱），是x的反比例函數(shù)。

⑴反比例函數(shù)解析式的幾種表示法：

①y=g/為常數(shù)，kfO）②y=^T化為常數(shù)，kxO）③刈=可左為常數(shù)，kxO）

⑵自變量的取值范圍：XH0的一切實數(shù)。

2、反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)：

⑴圖象：是雙曲線，分兩支是斷開的，關(guān)于原點成中心對稱，延伸部分有逐

漸靠近坐標軸的趨勢，但永不與坐標軸相交。

（2）性質(zhì)：

在反比例函數(shù)y=K（心0）中

X

①當%>0時，函數(shù)圖象分兩支在一、三象限，在每個象限內(nèi)，），隨X的增大

而減小；

②當4<0時，（與上類似）

⑶由反比例函數(shù)圖象上任一點向兩坐標軸作垂線，所以矩形面積等于網(wǎng)o

3、反比例函數(shù)在生活中的應(yīng)用：

讀懂題意，特別注意自變量的取值范圍。

二、典型題例：

20

1、已知y=*,若)，是X的反比例函數(shù)，求“的值。

￡廣-A-1

分析：由題意，得

a=2或〃=—1

2-a-\=\

解得1

3。+1/0aw——

3

?67=25^—1

即當〃=減-1時，尸罟是反比例函數(shù)。

2、如圖，正比例函數(shù)y=&x的圖象與反比例函數(shù)廣幺的圖象相交于A、B

X

兩點，其中點A的坐標為(6,26)0

⑴分別求出這兩個函數(shù)解析式;

⑵求出B點坐標。

分析:

⑴：點A(G，26)在倆函數(shù)圖象上

：.2』鳳,26=寶

??k、=2,k?—6

...正比例函數(shù)的解析式是y=2x,

...反比例函數(shù)的解析式是y=J

X

⑵方法1:方法2：

由題意，有?反比例函數(shù)的圖象關(guān)

于原點成中心對稱

■解得卜或卜=一,

?'B點和A點關(guān)于原點中心對稱

y=-E=2j3出=_2j3

?川省,2@,6(-73,-2月-25/3)

3、在反比例函數(shù)y=A的圖象上有一點p(%”)，它的橫坐標機與縱坐標〃是

X

方程/一4/-2=0的兩根。

21

⑴求k的值；⑵求點P到原點。的距離。

分析：

⑴,/在函數(shù)y=卜的圖象上⑵由題意，有

x

/./I=—BPnm—kmn=—2,+〃=4

m

又*/m、〃是方程產(chǎn)-4,-2=0的兩根

nr+〃2=+—linn=16+4=20

mn=-2/.OP=y/m2+n2=x/20=2>/5

J&=-2即點p到原點的距離為2逐。

三、小結(jié)：

牢記反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，注意區(qū)別一次函數(shù)與反比例函數(shù)、讀懂題意,

仔細作答。

四、作業(yè)：

1、課堂：

⑴點A（w,n）是雙曲線y=kx~l上一點，且m、n是一兀二次方程f一3%-6=0的

兩根，求雙曲線的解析式。

⑵已知一次函數(shù)尸x+m與反比例函數(shù)W吧（,叱-1）的圖象在第一象限內(nèi)的

交點為p（%,3）,求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式。

2、課外：

完成《學法大視野》。

五、教學反思

22

第2章一元二次方程

2.1一元二次方程（7）

教學目標

1、在把實際問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程的模型的過程中，形成對一元二次方程的

感性認識。

2、了解一元二次方程的一般形式，會把一元二次方程化為一般形式，能寫出一

般形式的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項。

3、經(jīng)歷由具體問題分析數(shù)量關(guān)系并建立一元二次方程模型的過程，體會數(shù)學建

模思想。

教學重難點

重點：一元二次方程的有關(guān)概念，一元二次方程的一般形式。

難點：把實際問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程的模型。

教學過程

一、預(yù)習導(dǎo)學

學生通過自主預(yù)習教材P26-27完成下列問題：

1.已知方程x（7-x）=8,它一元一次方程。（填“是”或“不是”）

2.如果一個方程通過整理可以使右邊為,而左邊是只含有個未知數(shù)的

次多項式，這樣的方程叫做一元二次方程。

3.一元二次方程的一般形式是,其中二次項為,一次

項為，

常數(shù)項為，二次項系數(shù)為,一次項系數(shù)為。

學生課前完成，教師檢查，學生通過預(yù)習初步感知一元二次方程的相關(guān)概念和一

般形式。

二、探究展示

（一）合作探究

1.如圖，已知一矩形的長為200cm,寬為150cm,現(xiàn)在矩形中挖去一個圓，使剩

余部分的面積為原矩形面積的上。求挖去的圓的半徑xcm應(yīng)滿足的方程（其

4

中兀取3）

23

引導(dǎo)學生設(shè)挖去的圓的半徑為xm,

找等量關(guān)系：矩形的面積一圓的面積=矩形的面積X士。

4

列出方程：200X150-3x2=200X150X2。①

4

2.據(jù)某市交通部門統(tǒng)計，前年該市汽車擁有量為75萬輛，兩年后增加到108萬

輛。求該市兩年來汽車擁有量的年平均增長率x應(yīng)滿足的方程。

引導(dǎo)學生思考：

等量關(guān)系：兩年后的汽車擁有量=前年的汽車擁有量義(1+年平均增長量)2

列出方程：75(1+X)2=108②

3.能把①，②化成右邊為0,而左邊是只含有一個未知數(shù)的二次多項式的形式

嗎？讓學生展開討論，并引導(dǎo)學生把①，②化成下列形式：

①化簡，整理得X2-2500=0③

②化簡，整理得25x，50x-ll=0④

觀察上述方程③和④，啟發(fā)學生歸納得出：

如果一個方程通過移項可以使右邊為0,而左邊是只含有一個未知數(shù)的二次多項

式，那么這樣的方程叫作一元二次方程，它的一般形式是：

ax2+bx+c=0(a,b,c是已知數(shù)，aWO)

其中a,b,c分別叫作二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項。

4.讓學生指出方程③，④中的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項。

設(shè)計意圖：首先呈現(xiàn)兩個實際問題，通過尋找等量，列出方程，然后再引導(dǎo)學

生觀察列出的兩個方程的特征，引出一元二次方程的形式，進而抽象出一元二次

方程的概念。

(二)展示提升

1.下列方程是否為一元二次方程？若是，指出其中的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和

常數(shù)項。

(1)0o01t2=2t(2)5x(x+1)+7=5x-4

(3)3x(1-x)+10=2(x+2)(4)(9y-l)(2y+3)=18y2+l

注意：要確定一個一元二次方程的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項，必須先將

方程化為一般形式。

24

2.某超市1月份的營業(yè)額是36萬元，3月份的營業(yè)額是49萬元，設(shè)每月營業(yè)額

的平均增長率為x,則平均增長率為x應(yīng)滿足的方程為o

3.已知一個數(shù)x與比它大2的數(shù)的積等于35,請根據(jù)題意，列出關(guān)于x的方程,

這個方程是一元二次方程嗎？

設(shè)計意圖：通過習題展示，讓學生對本節(jié)知識進行及時鞏固。

三、知識梳理

1.一元二次方程的顯著特征是：只有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2,

整式方程。

2.一元二次方程的一般形式為：ax=bx+c=O(a#O),一元二次方程的二次項系

數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項都是根據(jù)一般形式確定的。

3.在把實際問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程模型的過程中，體會學習一元二次方程的

必要性和重要性。

四、當堂檢測

1.下列方程是一元二次方程的是(只填序號)

(1)x2=-l(2)x2+xy+l=0(3)ax2+bx+c=0

(4)21X2+3X-1=0(5)(-)2+x-l=0(6)(x+1)(x-l)x=x2+l

X

2.把一元二次方程(3x-2)(x+l)=8x-3化為一般形式是其中二

次項系數(shù)是，一次項系數(shù)是，常數(shù)項是。

3.將一根長為64cm的鐵絲剪成兩段，每段均折成一個正方形，若兩個正方形的

面積和為160cm",且其中一個正方形的邊長為xcm,請根據(jù)題意列出關(guān)于x的

方程。

4.已知關(guān)于x的方程(k2-l)x2+(k+l)x-2=0當k為何值時，此方程是一元二次方

程，并寫出這個方程的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項。

五、教學反思

25

2.2.1配方法(8)

教學目標

1.知道解一元二次方程的基本思路是“降次”化一元二次方程為一元一次方程。

2.掌握用直接開平方法對形如x2=a(a20),(ax+n)2=d(a,n,d為常數(shù)，d20)

形式的一元二次方程進行求解。

3.引導(dǎo)學生體會解一元二次方程中的轉(zhuǎn)化與降次思想。

教學重難點

重點:用直接開平方法對形如x?=a(a20),(ax+n)2=d(a,n,d為常數(shù)，d20)

形式的一元二次方程進行求解。

難點：體會解一元二次方程中的轉(zhuǎn)化與降次思想。

教學過程

一、預(yù)習導(dǎo)學

學生通過自主預(yù)習教材P30—31完成下列問題：

1.若x?=a；貝!Jx叫a的,x=；若x?=4,貝I]x=；若x?=2,

貝UX=O

2.方程(ax+n)2=d(a,n,d為常數(shù)，d20)的根為。

3.根據(jù)平方根的意義來解一元二次方程的方法叫做，其實質(zhì)

是，將一個一元二次方程轉(zhuǎn)化為一個一元一次方程。

二、探究展示

(一)合作探究

1.如何解本章2.1節(jié)“動腦筋”中的方程①:x-2500=0呢?

問：怎樣將這個方程“降次”為一元一次方程？

引導(dǎo)學生把方程①寫成X2=2500

這表明x是2500的平方根，根據(jù)平方根的意義，得

X=72500或x=_j2500

因此原方程的解是:x,=50,X2=-50

對于實際問題中的方程①而言，Xz=-50不合題意，應(yīng)當舍去。

注意：一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。

2.課本P31動腦筋：如何解方程(1+x)2=81

26

先學生討論交流：當二次項的底數(shù)是一個多項式時怎么用直接開平方法解答？

教師引導(dǎo)：把1+X看成一個整體。

由(1+x)J81得l+x=VsT或l+x=-J燈，即l+x=9或l+x=-9

解得x,=9,X2=-9

引導(dǎo)學生歸納總結(jié)：

解一元二次方程的基本思路是：通過降次，將一個一元二次方程轉(zhuǎn)化為兩個一元

一次方程。

對形如x‘=a(a>0),(ax+n)?=d(a,n,d為常數(shù)，d20)形式的一元二次方程進

行可以用直接開平方法求解,一定要注意此時方程有兩個解。

設(shè)計意圖：讓學生經(jīng)歷用直接開平方法解一元二次方程的過程，使學生對一元

二次方程的解有全面了解。

(二)展示提升

1.解方程。

(1)4x2-25=0(2)(2X+1)2=2

(3)(x+3)2-36=0(4)x2-6x+9=5

小組討論交流，然后小組代表在全班展示交流。

設(shè)計意圖：通過習題演練、展示，加深學生對用直接開平方法解一元二次方程

的理解，讓學生通過分組討論的形式，訓(xùn)練學生的合作交流意識。

三、知識梳理

1.解一元二次方程的基本思路是：通過降次將一個一元二次方程轉(zhuǎn)化為兩個一

元一次方程。

2.對形如x?=a(a?0),(ax+n)'=d(a,n,d為常數(shù)，d>0)形式的一元二次方

程進行可以用直接開平方法求解，一定要注意此時方程有兩個解。

四、當堂檢測

1.解方程。

(1)9x2-49=0(2)9(1-2X)2-16=0

27

(3)2(2x-l)-4=0(4)25x-10x+l=9

2.一個正方形面積為7m:寬是長的一半，求長和寬各是多少。

五、教學反思

2.2.1配方法(9)

教學目標

1.通過實例讓學生理解配方法，知道用配方法解二次項系數(shù)為1的一元二次方程

的基本步驟。

2.理解“配方”是一種常用的數(shù)學方法，在用配方法將一元二次方程變形的過程

中，讓學生進一步體會化歸的思想方法。

教學重難點

重點：會用配方法解二次項系數(shù)為1的一元二次方程。

難點：用配方法將一元二次方程變形成可用因式分解法或直接開平方法解的方

程。

教學過程

一、預(yù)習導(dǎo)學

學生自主預(yù)習教材P32-33完成下列問題：

1.a2±2ab+b-。

2.在下列各題中，填上適當?shù)臄?shù)，使等式成立：

(1)x2+6x=(x+)2

(2)x2-6x+=(x-)2

(3)X2+6X+5=X~+6X+_+5=(x+)2-

3.解方程(x+2)2-16=0。

設(shè)計意圖：配方法的關(guān)鍵是正確配方，而要正確配方就必須熟悉完全平方式的

特征，通過幾個題，進一步復(fù)習鞏固完全平方式中常數(shù)項與一次項系數(shù)的關(guān)系，

為后面掌握配方法解一元二次方程做好充分的準備。

28

二、探究展示

(一)合作探究

解方程:x2+4x=12

分析:如果能夠把方程x?+4x=12寫成(ax+n)?=d(a,n,d為常數(shù)，d20)的形

式，那么就可以利用上節(jié)課講的直接開平方法，根據(jù)平方根的意義來求解。那么

怎樣把方程x?+4x=12寫成(ax+n)2=d(a,n,d為常數(shù)，d20)的形式呢？

小組討論交流，然后總結(jié)得出：x，4x=12是二次項系數(shù)為1的方程，在方程左

邊加上一次項系數(shù)一半的平方，再減去這個數(shù)，再經(jīng)過整理就可以使方程的一邊

配成完全平方形式，即(ax+n)2=d(a,n,d為常數(shù)，d?0)的形式，最后直接開平

方，就可以求出該方程的解。讓學生進一步體會化歸的思想。

一般地，在方程的左邊加上一次項系數(shù)的一半的平方，再減去這個數(shù)，使得含

未知數(shù)的項在一個完全平方式里，這種做法叫做配方。配方、整理后就可以直接

根據(jù)平方根的意義來求解。這種解一元二次方程的方法叫作配方法。

教師總結(jié)：配方是為了直接運用平方根的意義，從而把一個一元二次方程轉(zhuǎn)化

為兩個一元一次方程來解。

(二)展示提升

1.填空

(1)X2+4X+1=X2+4X+_-+1=(x+)2-

(2)X2+3X-4=X2+3X+__--4=(x+)~-

解方程。

(1)x2+10x+9=0(2)x-12x-13=0

(3)X2+8X-2=0(4)x-5x-6=0

設(shè)計意圖：通過展示，規(guī)范配方法解一元二次方程的過程，讓學生充分理解掌握

用配方法解一元二次方程的基本思路及關(guān)鍵是將方程轉(zhuǎn)化成(x+m)2=n(n20)的

形式。

三、知識梳理

1.將二次項系數(shù)為1的方程配方的基本步驟是：首先在方程的左邊加上一次項系

數(shù)的一半的平方，再減去這個數(shù)，使得含未知數(shù)的項在一個完全平方式里；然后

將配方后的一元二次方程用直接開平方法來解。

2.配方是為了直接運用平方根的意義，從而把一個一元二次方程轉(zhuǎn)化為兩個一

元一次方程來解。

四、當堂檢測

29

1.若方程x2+kx+64=0的左邊是完全平方式，則1<=

2.配方：x-8x-9=x2-8x+_--9=(x-)2-

3.解方程。

(1)X2-2X-1=0(2)(x-2)(x+3)=6

4.不解方程，只通過配方判斷下列方程有無實數(shù)根。

(1)x-6x+10=0(2)x2+x+-=0

4

(3)x2-x-l=0

五、教學反思

2.2.2公式法(10)

教學目標

1.經(jīng)歷推導(dǎo)求根公式的過程，加強推理技能的訓(xùn)練。

2.會用公式法解簡單系數(shù)的一元二次方程。

教學重難點

重點：求根公式的推導(dǎo)和公式法的應(yīng)用。

難點：理解求根公式的推導(dǎo)過程。

教學過程

一、情景導(dǎo)入，初步認知

1.用配方法解方程：

(1)x2+3x+2=0；(2)2x2-3x+5=0.

2.由用配方法解一元二次方程的基本步驟知：對于每個具體的一元二次方程，都

使用了相同的一些計算步驟，這啟發(fā)我們思考，能不能對一般形式的一元二次方

程ax2+bx+c=0(aWO)使用這些步驟，然后求出解x的公式？

【教學說明】這樣做了以后，我們可以運用這個公式來求每一個具體的一元二次

方程的解，取得一通百通的效果。

二、思考探究，獲取新知

30

1.用配方法解方程:ax2+bx+c=0(aWO)

分析：前面具體數(shù)字已做了很多，我們現(xiàn)在不妨把a、b、c也當成一個具體數(shù)字,

根據(jù)上面的解題步驟就可以一直推下去。

解：移項，得：ax2+bx=~c

因為QWO,所以方程兩邊同除以Q得:

2bC

X+—X—...

a

配方，得:f+2+(白/='+(52

a2aa2a

2

即("小b-4QC

4a2

a7^04a2>0

當b2-4ac》0時￥一卡/0

4Q

-b+'Jb2-4ac

二2a

-b-/-4oc

"-----%------"

當/_4或<0時，方程無解

【歸納結(jié)論】由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0(aWO)