數值計算方法1數值與計算方法第1章緒論共74頁，您現在瀏覽的是第1頁!先修課程高等代數、線性代數、一門編程語言開課情況48學時，3學分。2數值與計算方法第1章緒論共74頁，您現在瀏覽的是第2頁!教學安排1.緒論2.非線性方程的數值解法3.線性方程組的數值解法4.函數逼近的插值法與曲線擬合法5.數值積分6.常微分方程數值解法7.矩陣特征值和特征向量的數值解法3數值與計算方法第1章緒論共74頁，您現在瀏覽的是第3頁!實際問題數學模型(數值)算法編程計算結果抽象：“去偽存真，去粗取精”(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)4數值與計算方法第1章緒論共74頁，您現在瀏覽的是第4頁!計算方法主要研究將數學模型變成數值問題, 并研究求解數值問題的數值方法，進而設計數值算法。內容包括: 基本概念介紹；誤差及分析；收斂性、穩定性；算法復雜性等5數值與計算方法第1章緒論共74頁，您現在瀏覽的是第5頁!科學理論、科學試驗和科學計算(計算的方法)是現代科學的三個組成部分計算機下的科學計算大大地提高了計算速度和計算精度，是使原來不能實現的海量復雜計算成為現實科學計算是以計算機為基礎的科學計算，其計算理論是計算數學計算數學的應用：天體物理、大氣研究、分子生物、集成電路、天氣預報、模式識別、網絡信息搜索等計算數學的發展：進行高效率、高精度的并行計算計算數學的應用與發展6數值與計算方法第1章緒論共74頁，您現在瀏覽的是第6頁!用計算機求解，需要首先將數學模型轉換為數值問題，然后研究求解數值問題的數值算法。7數值與計算方法第1章緒論共74頁，您現在瀏覽的是第7頁!求解微分方程是不是數值問題？將其變成數值問題，即將其“離散化”“離散化”是將非數值問題的數學模型化為數值問題的主要方法，這也是計算方法的任務之一8數值與計算方法第1章緒論共74頁，您現在瀏覽的是第8頁!1.如求根公式2.應化為公式9數值與計算方法第1章緒論共74頁，您現在瀏覽的是第9頁!注：【零點定理】

設函數f(x)在閉區間[a,b]上連續，且f(a)與f(b)異號（即f(a)×f(b)<0），那么在開區間（a,b）內至少有函數f(x)的一個零點，即至少有一點ξ（a<ξ<b）使f(ξ)=0。10數值與計算方法第1章緒論共74頁，您現在瀏覽的是第10頁!簡單迭代法：取初值：x0=0.75迭代得：x1=0.731688868，x2=0.744047084……x42=0.739085133，x43=0.739085133牛頓迭代法：取初值：x0=0.75迭代得：x1=0.739111138，x2=0.739085133 x3=0.739085133比較：兩種方法同樣獲得9位數字的近似解，

簡單迭代法需要迭代43次，牛頓迭代法迭代3次。11數值與計算方法第1章緒論共74頁，您現在瀏覽的是第11頁!12數值與計算方法第1章緒論共74頁，您現在瀏覽的是第12頁!例1.2.3求

Ax=b，Det(A)≠0，A=(aij)20

20解：1.用Cramar法則求解，總計算量N=((n+1)(n-1)n!+n)flop當n=20,N≈9.7

1020flop.以一臺10億/秒的計算機需約3萬年.結論：分析算法的效率，選擇算法非常重要解：2.使用Gauss消去法，n=20，N≈3060flop=O(n3/3)flop.13數值與計算方法第1章緒論共74頁，您現在瀏覽的是第13頁!其中14數值與計算方法第1章緒論共74頁，您現在瀏覽的是第14頁!15數值與計算方法第1章緒論共74頁，您現在瀏覽的是第15頁!現取h=0.05,其結果見下表:xnynY=xnynY=01.000001.000001.21.849311.849310.21.183221.183221.41.943961.943960.41.341641.341641.62.049392.049390.61.483241.483241.82.144762.144760.81.612451.612452.02.236072.236071.01.732051.73205………16數值與計算方法第1章緒論共74頁，您現在瀏覽的是第16頁!17數值與計算方法第1章緒論共74頁，您現在瀏覽的是第17頁!18數值與計算方法第1章緒論共74頁，您現在瀏覽的是第18頁!實際問題數學模型(數值)算法編程計算結果抽象模型誤差,觀測誤差截斷誤差舍入誤差19數值與計算方法第1章緒論共74頁，您現在瀏覽的是第19頁!截斷誤差：

在求解過程中，往往以近似替代，化繁為簡，這樣產生的誤差稱為截斷誤差。舍入誤差：

在計算機上運算時受機器字長的限制，一般必須進行舍入，此時產生的誤差稱為舍入誤差。20數值與計算方法第1章緒論共74頁，您現在瀏覽的是第20頁!絕對誤差是為了衡量x*的精度高低，比較直觀，但無法衡量精度的好壞。而相對誤差（也成百分比誤差），衡量好壞更合理。21數值與計算方法第1章緒論共74頁，您現在瀏覽的是第21頁!誤差估計22數值與計算方法第1章緒論共74頁，您現在瀏覽的是第22頁!有效數字在工程上，誤差的概念就轉化為有效數字。23數值與計算方法第1章緒論共74頁，您現在瀏覽的是第23頁!例：求1.3824具有幾位有效數字?24數值與計算方法第1章緒論共74頁，您現在瀏覽的是第24頁!25數值與計算方法第1章緒論共74頁，您現在瀏覽的是第25頁!26數值與計算方法第1章緒論共74頁，您現在瀏覽的是第26頁!1.2.3函數值的誤差估計27數值與計算方法第1章緒論共74頁，您現在瀏覽的是第27頁!28數值與計算方法第1章緒論共74頁，您現在瀏覽的是第28頁!29數值與計算方法第1章緒論共74頁，您現在瀏覽的是第29頁!30數值與計算方法第1章緒論共74頁，您現在瀏覽的是第30頁!31數值與計算方法第1章緒論共74頁，您現在瀏覽的是第31頁!1.3算法的優化算法優劣的標準從截斷誤差觀點看,算法必須是截斷誤差小,收斂斂速要快。即運算量小,機器用時少.從舍入誤差觀點看,舍入誤差在計算過程中要能控制,即算法的數值要穩定.從實現算法的觀點看,算法的邏輯結構不宜太復雜，便于程序編制和上機實現.32數值與計算方法第1章緒論共74頁，您現在瀏覽的是第32頁!例題33數值與計算方法第1章緒論共74頁，您現在瀏覽的是第33頁!34數值與計算方法第1章緒論共74頁，您現在瀏覽的是第34頁!35數值與計算方法第1章緒論共74頁，您現在瀏覽的是第35頁!36數值與計算方法第1章緒論共74頁，您現在瀏覽的是第36頁!nInnIn00.1823215590.01705662410.088392216100.01471687620.058039818110.01732471030.04313874212-0.00329021940.03430628713-0.09337417250.02846856014-0.39544229060.024323864152.04387810070.02123782016-10.1568900080.0188108971750.8432760037數值與計算方法第1章緒論共74頁，您現在瀏覽的是第37頁!38數值與計算方法第1章緒論共74頁，您現在瀏覽的是第38頁!第1章緒論利用計算機解決實際問題有三大步驟：建立模型計算問題的解(1.選擇數值方法；2.編寫程序)實驗驗證本課程的任務：

討論第Ⅱ步，即介紹計算機上的常用的數值方法39數值與計算方法第1章緒論共74頁，您現在瀏覽的是第39頁!總體設計(含模型的細化等)詳細設計(主要是算法設計)實驗驗證其中Ⅱ包括：連續系統的離散化離散型方程的數值求解以計算機為工具求解各種數學模型需經歷三個過程40數值與計算方法第1章緒論共74頁，您現在瀏覽的是第40頁!計算數學的對象計算數學是一門古老的數學如計算圓周率、《九章計算》等；牛頓、萊布尼茲等提出的微分、積分計算；計算數學是一門年輕的數學

近代計算機的誕生，產生了數學的計算機計算.計算機與數學的關系非常密切計算數學：計算機上的數學方法。

或定義為：研究數值計算方法的設計、分析和有關理論基礎與軟件實現的一個數學分支。計算數學：《計算方法》或《數值分析》41數值與計算方法第1章緒論共74頁，您現在瀏覽的是第41頁!為什么要學習計算方法這門課？利用計算機求解實際問題的核心過程，非常重要。雖然已有大量數值算法的軟件包，但需要我們了解算法設計的原理，以便更好地應用。隨著計算機的應用越來越廣泛，計算問題越來越復雜，規模越來越大，現成的數值方法軟件包不能滿足特定需要，如數字圖像處理、天氣預報、Web搜索。42數值與計算方法第1章緒論共74頁，您現在瀏覽的是第42頁!（1）數值問題數值問題：輸入數據與輸出數據之間函數關系的一個確定而無歧義的描述。即：輸入與輸出的都是數值的數學問題如求解線性方程組求解二次方程都是數值問題43數值與計算方法第1章緒論共74頁，您現在瀏覽的是第43頁!（2）數值方法數值方法：是指解數值問題的在計算機上可執行的系列計算公式。在計算機上可執行的公式是指只含有加減乘除的公式。現在的計算機中幾乎都含有關于開方的標準函數sqrt()常見的在計算機上不能直接運行的計算有:開方、極限、超越函數、微分、積分等等。 要在計算機上實行上述運算需將其化為可執行的等價或近似等價運算。44數值與計算方法第1章緒論共74頁，您現在瀏覽的是第44頁!1.1數學問題的數值解法例示例1.1.1試求函數方程x=cosx在區間內的一個根。解45數值與計算方法第1章緒論共74頁，您現在瀏覽的是第45頁!1.1數學問題的數值解法例示46數值與計算方法第1章緒論共74頁，您現在瀏覽的是第46頁!47數值與計算方法第1章緒論共74頁，您現在瀏覽的是第47頁!注釋1.牛頓-萊布尼茲公式2.數值解：在特定條件下通過近似計算,（如有限元的方法,

數值逼近,插值 的方法）得出來的一個數值。

解析解：解析解為該函數的解析式。48數值與計算方法第1章緒論共74頁，您現在瀏覽的是第48頁!注釋：Cramer法則設線性方程組簡記AX=b49數值與計算方法第1章緒論共74頁，您現在瀏覽的是第49頁!50數值與計算方法第1章緒論共74頁，您現在瀏覽的是第50頁!

51數值與計算方法第1章緒論共74頁，您現在瀏覽的是第51頁!1.2誤差概念和有效數在任何科學計算中其解的精確性總是相對的,而誤差則是絕對的.

我們從下面這個例子就可以了解誤差產生的原因.例1.2.1試求擺長為L的單擺運動周期.52數值與計算方法第1章緒論共74頁，您現在瀏覽的是第52頁!53數值與計算方法第1章緒論共74頁，您現在瀏覽的是第53頁!54數值與計算方法第1章緒論共74頁，您現在瀏覽的是第54頁!誤差的分類模型誤差： 從實際問題建立的數學模型往往都忽略了許多次要的因素,因此產生的誤差稱為模型誤差.觀測誤差： 一般數學問題包含若干參數,他們是通過觀測得到的,受觀測方式、儀器精度以及外部觀測條件等多種因素，不可能獲得精確值，由此而來產生的誤差稱為觀測誤差。55數值與計算方法第1章緒論共74頁，您現在瀏覽的是第55頁!誤差和有效數字56數值與計算方法第1章緒論共74頁，您現在瀏覽的是第56頁!誤差估計由于準確值在一般情況下是未知的，因此絕對誤差和相對誤差常常是無法計算的，但有可能給出估計。誤差界就是用于誤差估計的。57數值與計算方法第1章緒論共74頁，您現在瀏覽的是第57頁!58數值與計算方法第1章緒論共74頁，您現在瀏覽的是第58頁!59數值與計算方法第1章緒論共74頁，您現在瀏覽的是第59頁!絕對誤差，相對誤差，有效數是度量近似數精度的常用三種。實際計算時最終結果均以有效數給出。同時也就隱含了絕對誤差和相對誤差界。60數值與計算方法第1章緒論共74頁，您現在瀏覽的是第60頁!函數值的誤差估計引入微分符號61數值與計算方法第1章緒論共74頁，您現在瀏覽的是第61頁!62數值與計算方法第1章緒論共74頁，您現在瀏覽的是第62頁