2019-2020學(xué)年甘肅省天水市甘谷第一中學(xué)高二下學(xué)期開(kāi)學(xué)考試數(shù)學(xué)（理）試題一、單選題1．若集合，則下列結(jié)論中正確的是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意首先求得集合B，然后逐一考查所給選項(xiàng)是否正確即可．【詳解】求解二次不等式可得：，則．據(jù)此可知：，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；且集合A是集合B的子集，選項(xiàng)C正確，選項(xiàng)D錯(cuò)誤．本題選擇C選項(xiàng)，故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的表示方法，集合之間的關(guān)系的判斷等知識(shí)，熟記集合的基本運(yùn)算方法是解答的關(guān)鍵，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力．2．若，則下列不等式恒成立的是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的單調(diào)性以及特殊值法來(lái)判斷各選項(xiàng)中不等式的正誤.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，由于指數(shù)函數(shù)為增函數(shù)，且，，A選項(xiàng)中的不等式不成立；對(duì)于B選項(xiàng)，由于對(duì)數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞增，，當(dāng)時(shí)，，B選項(xiàng)中的不等式不恒成立；對(duì)于C選項(xiàng)，由于冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，，C選項(xiàng)中的不等式恒成立；對(duì)于D選項(xiàng)，取，，則，但，D選項(xiàng)中的不等式不恒成立.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查不等式正誤的判斷，通常利用函數(shù)單調(diào)性、比較法、不等式的性質(zhì)以及特殊值法來(lái)判斷，考查推理能力，屬于中等題.3．下列函數(shù)中，值域?yàn)榍以趨^(qū)間上單調(diào)遞增的是()A． B．C． D．【答案】C【解析】根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)中函數(shù)的單調(diào)性以及值域，綜合即可得答案．【詳解】（A）的值域不是R，是［－1，＋∞），所以，排除；（B）的值域是（0，＋∞），排除；（D）＝，在（0，）上遞減，在（，＋∞）上遞增，不符；只有（C）符合題意.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的單調(diào)性以及值域，關(guān)鍵是掌握常見(jiàn)函數(shù)的單調(diào)性以及值域，屬于基礎(chǔ)題．4．6人站成一排，甲、乙、丙三人必須站在一起的排列種數(shù)為()A．18 B．72 C．36 D．144【答案】D【解析】甲、乙、丙三人相鄰，用捆綁法分析，把三個(gè)元素看做一個(gè)元素同其他兩個(gè)元素進(jìn)行排列，注意這三個(gè)元素之間還有一個(gè)排列問(wèn)題，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案．【詳解】根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①、甲、乙、丙三人必須站在一起，將三人看做一個(gè)元素，考慮其順序有A33＝6種情況，②、將這個(gè)元素與剩余的三個(gè)人進(jìn)行全排列，有A44＝24種情況，則不同的排列種數(shù)為6×24＝144種；故選D．【點(diǎn)睛】本題考查排列組合及簡(jiǎn)單的計(jì)數(shù)問(wèn)題，考查相鄰元素捆綁法：就是在解決對(duì)于某幾個(gè)元素要求相鄰問(wèn)題時(shí)，可整體考慮將相鄰元素視為一個(gè)大元素.5．，且與的夾角為120o，則的值為()A．-5 B．5 C． D．【答案】B【解析】由平面向量數(shù)量積的定義可得，轉(zhuǎn)化條件得，即可得解.【詳解】，，與的夾角為120o，，.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.6．已知，且，則函數(shù)與函數(shù)的圖像可能是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】依題意，由于為正數(shù)，且，故單調(diào)性相同，所以選.7．不論為何實(shí)數(shù)，直線恒過(guò)定點(diǎn)（）A． B．C． D．【答案】C【解析】將直線方程變形為,即可求得過(guò)定點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】根據(jù)題意,將直線方程變形為因?yàn)槲蝗我鈱?shí)數(shù),則,解得所以直線過(guò)的定點(diǎn)坐標(biāo)為故選:C【點(diǎn)睛】本題考查了直線過(guò)定點(diǎn)的求法,屬于基礎(chǔ)題.8．方程的解的個(gè)數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】判斷函數(shù)與函數(shù)的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可得解.【詳解】在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)與函數(shù)的圖象，如圖所示：易判斷其交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2個(gè)，則方程的解的個(gè)數(shù)也為2個(gè).故選：C【點(diǎn)睛】本題考查指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)，方程的根的個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為求函數(shù)圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.9．為了加強(qiáng)“精準(zhǔn)扶貧”，實(shí)現(xiàn)偉大復(fù)興的“中國(guó)夢(mèng)”，某大學(xué)派遣甲、乙、丙、丁、戊五位同學(xué)參加三個(gè)貧困縣的調(diào)研工作，每個(gè)縣至少去1人，且甲、乙兩人約定去同一個(gè)貧困縣，則不同的派遣方案共有（）A．24 B．36 C．48 D．64【答案】B【解析】根據(jù)題意，有兩種分配方案，一是，二是，然后各自全排列，再求和.【詳解】當(dāng)按照進(jìn)行分配時(shí)，則有種不同的方案；當(dāng)按照進(jìn)行分配，則有種不同的方案.故共有36種不同的派遣方案，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查排列組合、數(shù)學(xué)文化，還考查數(shù)學(xué)建模能力以及分類討論思想，屬于中檔題.10．已知,直線被圓所截得弦長(zhǎng)為6,則的最小值為()A．4 B．3 C．2 D．1【答案】A【解析】根據(jù)圓的方程及半徑，結(jié)合所截弦長(zhǎng)為直徑可知直線經(jīng)過(guò)圓心，即可得.再根據(jù)基本不等式中“1”的代換即可求得的最小值.【詳解】圓，所以圓心坐標(biāo)為，半徑為直線被圓截得弦長(zhǎng)為6，則直線經(jīng)過(guò)圓的圓心，所以，所以由基本不等式可得當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，由基本不等式求最值，屬于基礎(chǔ)題.11．將函數(shù)的圖象向右平移，再把所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，則下列說(shuō)法正確的是（）A．函數(shù)的最大值是 B．函數(shù)的最小正周期為C．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增 D．函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱【答案】C【解析】利用兩角和與差的三角函數(shù)化簡(jiǎn)函數(shù)的表達(dá)式，然后利用三角函數(shù)的變換求解再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可．【詳解】化簡(jiǎn)得，向右平移后可得，再把所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的倍（縱坐標(biāo)長(zhǎng)度不變）得到函數(shù)，所以，由三角函數(shù)性質(zhì)知：的最大值為，故A錯(cuò)；最小正周期為，故B錯(cuò)；對(duì)稱軸為，，給k賦值，x取不到，故D錯(cuò)；又-，則-，∴單調(diào)增區(qū)間為，，當(dāng)k=0時(shí)，單調(diào)增區(qū)間為故C正確，故選C.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的圖象變換，兩角和與差的三角函數(shù)，三角函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．12．設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則滿足的正整數(shù)的值為（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【解析】利用得，可得結(jié)論．【詳解】∵，∴，，，數(shù)列是等差數(shù)列，∴時(shí)，，時(shí)，，∴滿足的為6.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的前項(xiàng)和與項(xiàng)的關(guān)系，考查等差數(shù)列和性質(zhì)．非常數(shù)的等差數(shù)列要么遞增，要么遞減．二、填空題13．若，則的值為．【答案】7【解析】試題分析：由可得.【考點(diǎn)】排列數(shù)及組合數(shù)的計(jì)算.14．一只口袋裝有形狀、大小都相同的4只小球，其中有3只白球，1只紅球．從中1次隨機(jī)摸出2只球，則2只球都是白球的概率為_(kāi)___．【答案】1【解析】計(jì)算出“從中1次隨機(jī)摸出2只球”共有C42種不同的結(jié)果，“2只球都是白球”有【詳解】由題可得：“從中1次隨機(jī)摸出2只球”共有C4“摸出的2只球都是白球”有C32所以“從中1次隨機(jī)摸出2只球，則2只球都是白球”的概率為p=【點(diǎn)睛】本題主要考查了組合知識(shí)，還考查了古典概型概率計(jì)算公式，屬于基礎(chǔ)題。15．如圖所示，在四棱錐中，底面，且底面各邊都相等，是上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)滿足條件①，②，③中的______時(shí)，平面平面（只要填寫(xiě)一個(gè)你認(rèn)為是正確的條件序號(hào)即可）.【答案】②（或③）【解析】推出,則要得到平面平面,即要得到平面,故只需垂直平面內(nèi)的一條與相交的直線即可.【詳解】底面,,底面各邊都相等,,,平面,,當(dāng)(或時(shí),即有平面,而平面,平面平面.故答案為:②(或③).【點(diǎn)睛】本題考查線面?面面垂直的判定與性質(zhì)應(yīng)用,需要學(xué)生具備一定的空間想象能力與邏輯思維能力.16．已知點(diǎn)，,若直線與線段有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是____________.【答案】【解析】根據(jù)直線方程可確定直線過(guò)定點(diǎn)；求出有公共點(diǎn)的臨界狀態(tài)時(shí)的斜率，即和；根據(jù)位置關(guān)系可確定的范圍.【詳解】直線可整理為：直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，又直線的斜率為的取值范圍為：本題正確結(jié)果：【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)直線與線段的交點(diǎn)個(gè)數(shù)求解參數(shù)范圍的問(wèn)題，關(guān)鍵是能夠明確直線經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)，從而確定臨界狀態(tài)時(shí)的斜率.三、解答題17．在的展開(kāi)式中，第三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與第二項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之比是．（1）求的值；（2）求展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)．【答案】（1）（2）180【解析】（1）根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)公式，結(jié)合已知直接求解即可；（2）寫(xiě)出二項(xiàng)式的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式并化簡(jiǎn)，令的指數(shù)為零求解即可.【詳解】（1），（2），當(dāng)，即時(shí)，常數(shù)項(xiàng)為．【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式系數(shù)，考查了二項(xiàng)式展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.18．（用數(shù)字作答）從5本不同的故事書(shū)和4本不同的數(shù)學(xué)書(shū)中選出4本，送給4位同學(xué)，每人1本，問(wèn)：（1）如果故事書(shū)和數(shù)學(xué)書(shū)各選2本，共有多少種不同的送法？（2）如果故事書(shū)甲和數(shù)學(xué)書(shū)乙必須送出，共有多少種不同的送法？【答案】（1）1440；（2）504.【解析】（1）由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得共有種送法，計(jì)算即可得解；（2）由分步乘法的計(jì)數(shù)原理可得共有種送法，計(jì)算即可得解.【詳解】（1）由題意可知，5本不同的故事書(shū)中任選2本有種選擇，4本不同的數(shù)學(xué)書(shū)中任選2本有種選擇，4個(gè)不同的學(xué)生又有種選擇，因此由乘法計(jì)數(shù)原理得共有種不同的送法；（2）如果故事書(shū)甲和數(shù)學(xué)書(shū)乙必須送出，則需要從剩余7本中選2本書(shū)即種選擇，4個(gè)不同的學(xué)生又有種選擇，因此由乘法計(jì)數(shù)原理得共有種不同的送法【點(diǎn)睛】本題考查了分步乘法計(jì)數(shù)原理與排列組合的綜合應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.19．如圖，四棱錐，平面ABCD，四邊形ABCD是直角梯形，，，，E為PB中點(diǎn).（1）求證：平面PCD；（2）求證：.【答案】（1）證明見(jiàn)詳解；（2）證明見(jiàn)詳解【解析】（1）取的中點(diǎn)，證出，再利用線面平行的判定定理即可證出.（2）利用線面垂直的判定定理可證出平面，再根據(jù)線面垂直的定義即可證出.【詳解】如圖，取的中點(diǎn)，連接，E為PB中點(diǎn)，，且，又，，，,為平行四邊形，即，又平面PCD，平面PCD，所以平面PCD.（2）由平面ABCD，所以，又因?yàn)?，，所以，，平面，又平面?【點(diǎn)睛】本題考查了線面平行的判定定理、線面垂直的判定定理，要證線面平行，需先證線線平行；要證異面直線垂直，可先證線面垂直，此題屬于基礎(chǔ)題.20．的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，.（1）求；（2）若，的面積為，求.【答案】（1）；（2）8.【解析】(1)首先利用正弦定理邊化角，再利用余弦定理可得結(jié)果；（2）利用面積公式和余弦定理可得結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，則，因?yàn)椋?（2）因?yàn)榈拿娣e為，所以，即，因?yàn)?，所以，所?【點(diǎn)睛】本題主要考查解三角形的綜合應(yīng)用，意在考查學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)，轉(zhuǎn)化能力及計(jì)算能力，難度不大.21．已知函數(shù).（1）求函數(shù)的定義域；（2）若不等式有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）．【解析】試題分析：（1）由對(duì)數(shù)有意義，得可求定義域；（2）不等式有解，由，可得的最大值為，所以．試題解析：（1）須滿足，∴，∴所求函數(shù)的定義域?yàn)?（2）∵不等式有解，∴=令，由于，∴∴的最大值為∴實(shí)數(shù)的取值范圍為.【考點(diǎn)】對(duì)數(shù)性質(zhì)、對(duì)數(shù)