《復數的幾何意義》教學設計（一）教學內容復數的幾何意義（二）教學目標1.理解復數的代數表示和幾何意義；2.掌握用向量的模表示復數模的方法，理解共軛復數的概念；3.通過運用復數的幾何意義求模及軌跡形狀問題，提升直觀想象素養；4.通過構造平面向量將復數問題轉化為圖形問題解決，提升數學建模素養．（三）教學重點與難點重點：復數的幾何意義．難點：復數的向量表示．（四）教學過程設計一、情境引入我們知道，在引入了新數“i”之后，我們對數的認知也擴充到了復數，復數都可以表示為z=a+bi（a，b∈R）的形式，其中，當b=0時，z為實數，也就是說，實數是復數中的一部分．我們又知道，實數從形的角度來說，它與數軸上的點一一對應，那么一個自然的問題就是：復數從幾何角度又有什么意義呢？二、新知探究問題1：根據復數相等的定義，任何一個復數z=a+bi都可以由一個有序數對（a，b）唯一確定；反之也對．由此你能想到復數的幾何表示方法嗎？回答：因為任何一個復數z=a+bi都可以由一個有序數對（a，b）唯一確定，并且任給一個復數也可以唯一確定一個有序實數對，所以復數z=a+bi與有序實數對（a，b）是一一對應的．而有序實數對（a，b）與平面直角坐標系中的點是一一對應的，所以復數集與平面直角坐標系中的點集之間可以建立一一對應關系．如圖，點Z的橫坐標是a，縱坐標是b，復數z=a+bi可用點Z（a，b）表示．設計意圖：通過類比，找出復數與有序實數對、坐標點的一一對應關系，從而找到復數的幾何意義．這個建立了直角坐標系來表示復數的平面叫做復平面，x軸叫做實軸，y軸叫做虛軸．例如，復數2+3i可用點（2，3）表示，復數1-i可用點（1，-1）表示；點（-2,1）表示復數-2+i，點（-3,-2）表示復數-3-2i．追問：你能說一說兩條坐標軸上的點都代表什么數嗎？答案：實軸上點的坐標都（a，0）的形式，所表示的復數虛部為0，都是實數，即實軸上的點都表示實數．虛軸上的點，除原點外，其他坐標都是（0，b）（b≠0）這樣的形式，所表示的復數實部為0，虛部不為0，為純虛數，所以虛軸上的點除原點外都表示純虛數．例如，復平面內的原點（0，0）表示實數0，實軸上的點（2，0）表示實數2，虛軸上的點（0，-1）表示純虛數-i，點（-2，3）表示復數-2+3i等．按照這種表示方法，每一個復數，有復平面內唯一的一個點和它對應；反過來，復平面內的每一個點，有唯一的一個復數和它對應．由此可知，復數集C中的數與復平面內的點建立了一一對應關系．這就是復數的一種幾何意義．設計意圖：理解復數集合意義中的一一對應關系，認識復平面．問題2：在平面直角坐標系中，每一個平面向量都可以用一個有序實數對來表示，而有序實數對與復數是一一對應的，你能用平面向量來表示復數嗎？答案：如圖，設復平面內的點Z表示復數z=a+bi，連接OZ，顯然向量由點Z唯一確定；反過來，點Z也可以由向量唯一確定．因此，復數集C中的數與復平面內以原點為起點的向量建立了如下一一對應關系（實數0與零向量對應），即：這是復數的另一種幾何意義．為了方便，我們常把復數z=a+bi說成點Z或說成向量，并且規定，相等的向量表示同一復數．問題3：實數的絕對值和向量的模的幾何意義分別是什么？通過類比，你能說出復數的模的幾何意義嗎？答案：數軸上表示數a的點到原點的距離，就叫做這個數a的絕對值．而向量的大小稱為向量的長度，也稱為向量的模．類比可以得到，復數z=a+bi（a，b∈R）的模：z=a+bi=a2+b從幾何上來看復數z=a+bi（a，b∈R）的模表示點（a，b）到原點的距離．設計意圖：通過在復平面中尋找兩個復數對應的點和向量，理解復數的幾何意義，體會數形結合的思想．三、典例應用例1設復數z1=4+3i，z2(1)在復平面內畫出復數z1，z(2)求復數z1，z2解：(1)如圖，復數z1，z2對應的點分別為Z1，Z2對應的向量分別為OZ(2)zz2所以z1問題4：點Z1，Z答案：點Z1，Z2一般地，當兩個復數的實部相等，虛部互為相反數時，這兩個復數叫做互為共軛復數，虛部不等于0的兩個共軛復數也叫做共軛虛數．復數z=a+bi，那么z=a-bi．追問：若z1，z答案：若z1，z2是共軛復數，在復平面內它們所對應的點例2設z∈C，在復平面內(1)|z|=1；(2)1<|z|<2．解：(1)由|z|=1得，向量OZ的模等于1，所以滿足條件|z|=1的點Z的集合是以原點O為圓心，以1為半徑的圓．(2)不等式1<|z|<2可化為不等式|z|<2不等式|z|<2的解集是圓||z|=2的內部所有的點組成的集合，不等式|z|>1的解集是圓z=1外部所有的點組成的集合，這兩個集合的交集，就是上述不等式組的解集，也就是滿足條件1<|z|<2的點Z的集合，容易看出，所求的集合是以原點設計意圖：加深對復數幾何意義的理解．四、梳理小結復數的幾何意義復平面：點Z的橫坐標是a，縱坐