2022年廣東高中學業水平合格性考試(數學)

模擬測試卷(二)

(時間：90分鐘滿分：150分)

一、選擇題：本大題共15小題，每小題6分，共90分.在每小

題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.

1.已如集合A={x|x<2},B={xly=lgx},則AAB=()

A.(一8,2)B.(0,2)

C.[0,2)D.(0,+8)

B集合5表示對數函數y=lgx的定義域，故而3={x|x>0},

又因為A={x|x<2},可得408=(0,2).

故選B.

2.若向量a=(3,m),b=(2,-1),且aJ_》，則實數，〃的值為

()

,3n3

A.—2B.2

C.2D.6

D因為a=(3,m),b=(2,—1),a±b,

所以a協=6一機=0,解得〃z=6,

故選D.

3.若(a—2)i=》-i,其中a,一R,i是虛數單位，則—+加=

()

A.0B.2

C.5D.1

\a-2=-1,f?=l,

D由(a-2)i=8-i,得kn解得八n

仍=0,仍=0,

所以a2+b2=l.

故選D.

4.設G=5"3,Z>=logo,30.5,c=log30.4,則a,b,c的大小關系

是（）

A.a<b<cB.b<c<a

C.c<a<bD.c<b<a

D由a=5°-3>\>b=logo.30.5>0>c=logjO.4,

所以c<b<a.

故選D.

5.如果a>5,那么下列說法正確的是（）

A.ac>bcB.ac2Vbe2

C.ac=bcD.b-a<Q

D因為a>。，不等式兩邊同時減去a得0>方一a,D正確，

若c=0,則A、B錯誤，若c#=0,C錯誤.

故選D.

6.為了讓學生了解更多的“一帶一路”倡議的信息，某中學舉

行了一次“絲綢之路知識競賽”，全校學生的參賽成績的頻率分布直

方圖如圖所示，若60%的學生不能參加復賽，則可以參加復賽的成

績約為（）

I頻率

0.030卜施.~?

0.025（

0.020卜~~

0.015k--------

o.oiok——

0.005卜

0405060708090100成績/分

A.72B.73

C.74D.75

D因為［40,70)的頻率為(0.010+0.015+0.020)X10=0.45,

[70,80）的頻率為0.030X10=0.3,

因為60%的學生不能參加復賽，

06—045

所以可以參加復賽的成績約為70+七n一X10=75.

故選D.

7.已知直線機，兒c和平面a,下列條件中，能使機_1_”的是（）

A.ml.b,mA.C,bA_a,c_LaB.ml.b,b//aC.mC\b=A,

bA_aD.m//b,bA_a

D對于A:機_L5,ml.c,b^-a,c_La,則機與a可能平行或

mUa,故A錯誤；

對于B:m^-b,b//a,則機與a可能平行或相交或明故B

錯誤；

對于C:mr\b=A,bA-a,則wz與a可能平行或相交或機Ua,

故C錯誤；

對于D:由線線平行及線面垂直的判定知選項D正確.

故選D.

8.在△ABC中，若A=105。，C=30°,b=2y[2,則邊c=（）

A.2B.5

C.^2D.1

A因為A=105°,C=30°,所以3=45°,

則七=康,即需呼解得。=2,

22

故選A.

9.一個圓柱的軸截面是一個面積為36的正方形，則該圓柱的體

積是（）

A.54”B.36元

C.16元D.8?r

A設圓柱的底面半徑為r,則圓柱的高為2r,該圓柱的軸截面

面積為4戶=36,解得r=3,

因此，該圓柱的體積為V—nr2X2r=rtX32X6=54TI.

故選A.

10.我國數學家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領先

的成果，哥德巴赫猜想的內容是：每個大于2的偶數都可以表示為兩

個質數（質數是指在大于1的自然數中，除了1和它本身以外不再有

其他因數的自然數）的和，例如：8=3+5,在不超過14的質數中隨

機選取兩個不同的數，其和等于14的概率為（）

A,6B12

D不超過14的質數有2,3,5,7,11,13共6個數，

在這6個數中隨機選取兩個不同的數，有以下15種情況：

2,3;2,5;2,7;2,11;2,13;

3,5;3,7;3,11;3,13;

5,7;5,11;5,13;

7,11;7,13;

11,13.

其和等于14的只有1種情況：3,11.

故在不超過14的質數中隨機選取兩個不同的數，其和等于14

的概率為七

故選D.

11.如圖，某港口某天6時到18時的水深變化曲線近似滿足函

數_y=4sinRx+J+A,據此圖象可知，這段時間水深（單位：m）的最

大值為（）

C.6D.5

A某港口某天6時到18時的水深變化曲線近似滿足函數y=

4sin*x+J+A,據此圖象可知，這段時間水深最小值為-4+A=2,

所以k=6,

故這段時間水深的最大值為4+6=10,

故選A.

12.在△ABC中，"cosA<cos3”是“sinA>sin的條

件.（）

A.充分非必要B.必要非充分

C.充要D.非充分非必要

C因為△43。中，由正弦定理-7氣=/有，

''sinAsinB'

所以當sinA>sinB必有a>瓦根據三角形中大邊對大角知:A>B;

當cosA<cosB時，在三角形中由0<4+3<兀，有n>A>^>B>Q

或4>A>3>0成立，即A>B\

所以"cosA<cos歹是"sinA>sinB"的充要條件.

故選c.

13.函數/(x)=Igx+x—2的零點所在區間為()

A.(0,1)B.(1,2)

C.(2,3)D.(3,4)

B因為｛1)=愴1+1—2=—1<0,A2)=坨2+2—2=坨2>0,

根據零點存在定理可得，函數Ax)在區間(1,2)內有零點；

又函數,/(x)=Igx+x—2顯然單調遞增，所以_/(x)有唯一零點.

故選B.

14.△ABC中，AB=2,BC=2?,AC=4,點。為△ABC的

外心，若劾=況而+〃公，則實數型的值為()

m—n

A.7B.1

C.—1D.3

AZkABC中，AB=2,BC=2y[6,AC=4,

A-+AG-BC24+16—241

則n1cosNBAC=2ABAC=2X2X4=~4f

因為球＞=機_彳方+幾屐?，

Ab'X^=mAkB2+nXC'A^B,

所以J_

+nA^J2,

又因為4^矮=曲卜|才辦卜8$NOAB=曲心曲|=2,

同理可得：代入上式，

'=4

[2=4ni-2n,m=M

所以Q,_LU解得＜a

18=—2機+16〃，3

、〃=，

所以

m-n

故選A.

(a—3)x+5,

2a是R上的減函數,

{Mx>l

那么a的取值范圍是()

A.(0,3)B.(0,3]

C.(0,2)D.(0,2]

(a-3)x+5,xWl,

D因為函數犬x)=<2a是R上的減函數，

一，x>l,

lx

所以xWl時，Ax)單調遞減，即“一3<0,①

x>l時，八幻單調遞減，即”>0,②

且(a—3)義1+52華，③

聯立①②③解得0<aW2,

故選D.

二、填空題：本大題共4小題，每小題6分，共24分.

16.已知x>L則的最小值是_______.

X—1

解析：因為x>l,所以“+一~=(x—1)+—~+12

X—1X—1

2y—*占+1=3,

當且僅當x=2時，等號成立，即x+—?有最小值工

X—1

答案：3

17.若tana=T,貝！J2sin2a+sinacosa=.

解析：因為tana=；,

,,2sin2a+sinacosa2tan2a+tana

所以2sin?a+sinacosa=-v;=~~：~2~ZCi=

sin2a+cos/atan2a+l

4

5,

答案：t

327

18.已知平面向量a,A,c,滿足⑷=3,步一a|=Q,c〃入a-c=y,

則|c|的最大值為.

解析：因為c〃兒所以8=入9右0),

39

所以廿—a|=yc_a|=5，即(〃一。)2=不

99

所以22c2—2>℃+層=不22c2—277+9=1,

整理得：。2=一%*+27：=一割"一2)2+27,

所以當2=4時，C?取得最大值為27,即|c|max=3*.

答案：3^3

19.已知f(x)=m(x-2m)(x-\-m+3),g(x)=2x—2,若同時滿足

條件：

①對于任意x￡R,f(x)<Q或g(x)<0成立；

②存在xW(—8,-4),使得Ax)?g(x)<0成立.

則m的取值范圍是_______.

解析：由g(x)=2*—2<0,可得x<L

對于①，對于任意x￡R,?r)<0或g(x)<0成立，

則當時，/(x)=/n(x—2/n)(x+/n+3)<0恒成立，故/w<0,且

12/w<l,

[—m—3<1,

解得一4<機<0;

對于②，存在x￡(—8,—4),使得Ax)?g(x)<0成立，

由于g(x)<0對任意的工￡(-8,一4)恒成立，所以，存在x￡(—8,

—4)使得Ax)>0.

所以2機<—4或一m—3<—4,且2/w#=—m—3,

解得m<-2或m>l.

綜上所述，實數機的取值范圍是(-4,-2).

答案：(一4,-2)

三、解答題：本大題共3小題，第20小題12分，第21題12

分，第22題12分，共36分.解答須寫出文字說明、證明過程和演

算步驟.

20.已知正三棱柱A3C-A131G的底面邊長為小，側棱長為2,

。在邊上，BD=2DC.求:

(1)該三棱柱的體積與表面積；

(2)三棱錐O-ABC的體積.

解：⑴該三棱柱的體積V=^X(5)2X2=邛；該三棱柱的表

面積S=2X坐X(審/+3X巾X2=^^.

(2)因為BD=2DC,所以三棱錐D-ABiC的體積

===2

VD-AB1CVB1-ACD2VB1-4BCJXX乎X(y[3)X2]='^.

21.已知G、b、c是△ABC中NA、NB、NC的對邊，a=4小,

b=6,cosA=-求：

J

(l)C；

(2)cosIB的值.

解：(1)由余弦定理知，a2=Z>2+c2_2bccosA,

即48=36+C2-2X6XCX(-；),

整理得，c2+4c-12=0,

解得c=2或一6(舍負)，

故c=2.

(2)因為cosA=—且A￡(0,7t),

J

________2、叵

所以sinA=dl-cos2A=