仿真模擬卷2

（時(shí)間：120分鐘滿分：150分）

一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的）

1.已知集合4=,B={x|2v<l},則ACB等于()

A.[-1,1)B.[-1,0]C.[-1,0)D.[0,1)

答案C

解析罟<0

=[-!,1),8={x|2'<l}=(-8,0),.,.AnB=[-l,0).

2.已知雙曲線，一方=1（“>0,b>0）的實(shí)軸長(zhǎng)為4,離心率為小，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

()

22

A-4-l^=1B./七=1

7

號(hào)？=1V

D.\0=1

答案A

解析因?yàn)殡p曲線今一次=l（a>0,8>0）的實(shí)軸長(zhǎng)為4,所以。=2,

由離心率為小，可得：=小，c=2鄧,

所以b—y/c2—a2—yj20—4—4,

則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，一汽=1.

3.已知非零向量a,b滿足|。|=步|,則“|a+2b|=|2a一例”是％_L="的（）

A.充要條件

B.必要不充分條件

C.充分不必要條件

D.既不充分也不必要條件

答案A

解析|a+2川=|2a—+2臼2=|2a—Z>|2<=>a2+4a0+4b2=4a2—4ab+br^ab=0,

'：\a\=\b\^0,：.,l\a+2b\=\2a-b\n是uaLbn的充要條件.

4.函數(shù)yu）=（f—i）?牛的部分圖象大致為（）

答案D

.?_,sin(—x)sin

解析lr人一幻=(*-1>/_x=(x2—1)—

Ix)人

所以函數(shù)7U)為偶函數(shù)，故排除A；

n

又躡)=[圖T?,

-<o,故排除c；

71

6

sin2

故排除B.

BO-1~6

X—2W0,

5.已知點(diǎn)P(x,y)在不等式組“一1W0,所表示的平面區(qū)域內(nèi)運(yùn)動(dòng)，則z=-5+y的取

&+2〉—220

值范圍為()

A.1-1,1]B.[-1,0]

c.ro,l]D.[1,2]

答案A

x—2<0,

解析畫出不等式組卜一1W0,所表示的平面區(qū)域，如圖陰影部分(含邊界)所示，

、x+2y—220

目標(biāo)函數(shù)z=—；x+y,可化為直線/：y—^x+z,

當(dāng)直線/過(guò)點(diǎn)8時(shí)，直線/在y軸上的截距最小，此時(shí)目標(biāo)函數(shù)取得最小值;

當(dāng)直線/過(guò)點(diǎn)A時(shí)，直線/在y軸上的截距最大，此時(shí)目標(biāo)函數(shù)取得最大值,

x—2=0,

由解得8(2,0),

j+2廠2=0,

廠1=0,

由解得4(0,1),

x+2y—2=0,

所以目標(biāo)函數(shù)Z=—%+y的最小值為Zmin=-1,最大值為Zmax=l,

所以z=-^x+y的取值范圍為［—1,1］.

6.函數(shù)兀v)=cos的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，則?r)的圖象在x=0處的切線

方程為()

A.y=2B.4x+y—2=0

C.4R—y+2=0D.2x—y=0

答案A

解析段)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，則人此一/(一1)=2(。+2)4=0,

所以。=-2,/x)=cosx-Zr+1,f(x)=-sinx-4x,所以X0)=2,f(0)=0,所以人工)

的圖象在x=0處的切線方程為y=2.

7.已知數(shù)列｛&｝的前〃項(xiàng)和為S”且滿足內(nèi)=1,斯斯十i=2",則S20等于()

A.3066B.3063

C.3060D.3069

答案D

解析因?yàn)椤！ㄋ共?=2",①

所以小一［a〃=2"②

①?②，得妃1=2,所以數(shù)列｛斯｝的奇數(shù)項(xiàng)組成以m=l為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列，偶數(shù)

Cln-\

1010

項(xiàng)組成以勿=2為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列，所以a=后1—2+半2(1—聲2)=3069.

已知聞

8.0,1,〃=(sina)s,n°,b=(cosa)s,nG,c—(tana)sm。,貝lj()

A.a<h<cB.a<c<b

C.b<a<cD.c<a<b

答案B

解析由三角函數(shù)性質(zhì)知，當(dāng)ad(0,會(huì)

時(shí)，sina.cosa,tana^(0,l),

cos2?—sina1-sin2a-sina

cos?—tana—cosacosa

當(dāng)aG(0,§時(shí),sinae(0,1-sin2a-sina

,則cosa-tana=------------

cosa->o,

故tana<cosa,

…i…sin--I

,則tana>sina,

貝”(sina)s,na<(tana)sina<(cosa)s,na,

即a<c<b.

9.在梯形ABC。中，AB//CD,ZDAB=90°fA5=2,CD=AD=lf若點(diǎn)M在線段3Q上,

則俞.說(shuō)的最小值為()

3c9c3n9

A-5B--20C--5D20

答案B

解析建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,

因?yàn)锳B〃C￡>,ZDAB=90°,AB=2,CD=AD=1,

所以8(2,0),0(0,1),C(l,l),

設(shè)前=/l訪，0W2W1,所以M(2—22,2),

所以病=(2—22,A),CM=(l-2z,2—1),

所以俞?昂=(2—2%)(1—22)+2(/1—1)=5乃一72+2=5。一看)一4，

當(dāng)a=需時(shí)，病的最小值為一

10.四面體ABCD,AB,AC,AD兩兩垂直，P,Q,R分別是AB,AC,AD上的點(diǎn)，且AP<AQ<AR,

設(shè)二面角A-PQ-R,A-QR-P,A—RP—Q的平面角分別為a,p,y,貝lj()

A.a>p>yB.a>y>/i

C.p>y>aD.y>p>a

答案B

解析由題意，不妨設(shè)直三棱錐A—BCO是側(cè)面腰長(zhǎng)為4的等腰直角三角形，即A8=AC=

A￡)=4,且AP=1,A(2=2,AR=3,

C

：.PQ=yj5,QR=g,RP=?,而cos/PRQn"或。=^3>°，

71711

：.sinZPRQ=^r^,則SAPQR=±RP-QRsinNPRQ=q,又VA-PQK=%-KAP=§X40X1

XAPXAR=l,若A到平面PQR的距離為兒

..?〃=學(xué)康=*而A到PQ的距離用=垸2=1，同理可得A到QR的距離〃2=而，

3

A到RP的距離“3=7^，

，由題設(shè)知sinQ=*='乎，sin6=*=理3,sin/=*=耳叵，又小§,了均為銳角，

sina>siny>sin0,即a>y>[i.

二、填空題(本大題共7小題，單空題每空4分，多空題每空3分，共36分)

1

11.設(shè)復(fù)數(shù)z=〃+bi(m〃￡R)滿足z=注|。是虛數(shù)單位)，則必=,\z\=.

套案——亞

口木255

解析因?yàn)閆=3?=方半/L;=9+]i,所以z-i,又因?yàn)閦=a+歷，根據(jù)復(fù)數(shù)相等

2十1(2十1)(2—1)3333

的充要條件知〃=|,*=—|,所以川=-?春因?yàn)閆=1一,i,所以|z|(!)+(一,)2=害.

12.已知二項(xiàng)式(x—a)3(x+:一3)的展開(kāi)式中的各項(xiàng)系數(shù)之和等于1,則展開(kāi)式中*的系數(shù)為

答案31

解析令x=l,由展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和為(1一。)3(1+1—3)=1,得。=2,

.,.(x-2)3(x+^-3j=Xx-2)3+1(x-2)3-3(x-2)3,故x2的系數(shù)為C3X(-2)2+C?X(-2)°-

3aX(-2)=12+l+18=31.

13.如圖為某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為.

答案64+16兀

解析由三視圖易知該幾何體是一個(gè)棱長(zhǎng)為4的正方體左、右兩側(cè)分別放置一個(gè)底面半徑為

2,母線長(zhǎng)為2的圓柱，則此幾何體的體積V=43+2X兀X2?X2=64+16兀

3

14.如圖，AABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C對(duì)應(yīng)的三條邊長(zhǎng)分別是mb,c,cosZABC=~^,a

=5,b=48若點(diǎn)。在線段AC上，且BO_L8C,則30=.

J

BC

答案1

3

解析VcosZABC=—

4

,sin且/ABC為鈍角，

在“BC中，根據(jù)正弦定理得前=號(hào)？

,54小

即sinA=.

'sinA-4

5

又：ZABC為鈍角，AA為銳角且cos

AsinC=sin(A+ZABC)=sinAcosZABC

+cosAsin/A8C=Wx(一

「1口M1

..tanC=y即前=5,

BD=&.

15.一個(gè)不透明的袋中有6個(gè)形狀、大小均相同的小球，其中2個(gè)小球編號(hào)為一1,2個(gè)小球編

號(hào)為0,2個(gè)小球編號(hào)為1.現(xiàn)從袋中一次摸出3個(gè)小球，設(shè)這3個(gè)小球的編號(hào)之和為X,則E(X)

=,D(X)=.

答案o5

解析由題意知，X的所有可能取值為-2,—1,0,1,2,且P(X=-2)=言=正，尸(X=-1)

一以一5,P(X-0)-C3-5,P(X—1)-C3-5.P(X-2)-&-10,

則E(X)=(—2)X-j^+(—l)x|+ox1+］義］+2*擊=0.

D(X)=^X(-2)2+|x(-l)2+|x02+|xi2+^X22=1.

i?

16.已知正實(shí)數(shù)滿足a+26=1,則。+￡的最小值為；2a2+序的最小值為

2

答案9旨

解析因?yàn)檎龑?shí)數(shù)。，人滿足“+28=1,

所以軟。+2力=5+半+誓5+2疆燕=9,

當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)=§,即4=6=4時(shí)等號(hào)成立；

由柯西不等式可知，1=?+26=乎?也a+2bW\^+4N2a2+6,

當(dāng)且僅當(dāng)多=2叫，即"J匕=1時(shí)，等號(hào)成立，所以有2/+/J

17.已知雙曲線C的右焦點(diǎn)為尸(2,0),且C經(jīng)過(guò)點(diǎn)4(4,3小)，則雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

;若直線A尸與y軸交于點(diǎn)8,點(diǎn)P(x,y)是C右支上一動(dòng)點(diǎn)，且好(一3小，3小),

直線AP與以AB為直徑的圓相交于另一點(diǎn)D,則照HP?的最大值是.

解析由題意可設(shè)雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程是，一方=13>0,6>0),

(a2+b2=c2=4,仙2=1,

則｛1645解得,2'所以雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為『一事=1.

[7一京=1，5=3,3

直線AF的斜率為心尸=笆=羋，直線AF的方程為丫=羋(了—2),

在直線AF的方程中，令x=0,可得y=-3小，

即點(diǎn)8(0,-34)，

因?yàn)?=甘里，>=叢愛(ài)，所以點(diǎn)P為線段A5的中點(diǎn)，

故以A3為直徑的圓的圓心為尸，且半徑為|Af]=7,

如圖，連接P8,PF,BD,

由于點(diǎn)。是以A8為直徑的圓上異于4,B的一點(diǎn)、,則BD_LA。,

由雙曲線的幾何性質(zhì)可知|PF|min=c—a=l,

PA=PF-VFA,PB=PF+FB^FF-FA,

\PA\\PD\^-PAPb^-PA\PB+Bb)=-PAPB-BDPA^-PAPB

=一(庫(kù)+茂)?(即—育)=而一前=|麗2一|而2=49-「同2?49-1=48.

三、解答題(本大題共5小題，共74分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)

18.(14分)已知函數(shù)g(x)的圖象與函數(shù)_/U)=sin(2x一5的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱.

(1)求函數(shù)g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；

(2)在△ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且滿足a=小，g(A)=一坐，求△ABC

面積的最大值.

解(1)由己知可得g(x)=_/(—x)=sin(—-sin(2x+，)，

由一］+2EW2x+§W］+2E,kGZ,

STTTT

解得一farWxW萬(wàn)+E,A￡Z,

57t71

所以g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是［一調(diào)+航，五+EJ伏WZ).

(2)由g(A)=一^^,即sin(2A+1)

所以2A+1=：(舍去)或2A+^=y,

故人帶

又由余弦定理可得，2=〃+/—2"以》4="+c2—小兒》(2一小)床，

9

即6cW=有=2(2+小)，當(dāng)且僅當(dāng)b=c=，5+l時(shí)取等號(hào)，

于是有5/i詆=荻疝14=權(quán)±2^旦

所以ZVIBC面積的最大值為乙早W

19.(15分)如圖，已知在六面體RWCAE中，B4±￥ffiABCD,ED_L平面ABC。，且出=

2ED,底面ABC。為菱形，且NABC=60。.

BC

(1)求證：平面以C_L平面P8D；

(2)若直線PC與平面ABCD所成角為45°,求直線BD與平面ACE所成角的正弦值.

⑴證明如圖，連接BZ),交AC于0,連接PD

..?底面ABC。為菱形，

：.BDLAC,

;以_L平面ABCD,BOU平面ABC。，：.PAYBD,

,：PAC\AC=A,PA,ACU平面%C,

平面PAC,

:BDU平面PBD,，平面以C_L平面PBD.

⑵解連接AE,OE.設(shè)ED=a,則%=2a,

BC

:以，平面ABC。，二/尸。即為直線PC與平面ABCD所成角，

即NPCA=45°,：.PA=AC=2a,

：En_L平面ABC。，ACU平面4BCD,J.EDLAC,

'：ACA-BD,BDCDE=D,BD,DEU平面BDE,

；.AC_L平面BDE,

；ACU平面ACE,；.平面4CE_L平面BDE,

ZEOD即為直線B￡)與平面ACE所成角，

VZABC=60°,四邊形A8CQ為菱形，：.OD=yfia,：.OE=2a,

則sinNEO￡)=/=)

即直線BD與平面ACE所成角的正弦值為g.

20.(15分)已知數(shù)列｛斯｝的前八項(xiàng)和為5"，0=。2=1，且滿足5"-1+25"+1=3&+〃,”》2,"《4.

設(shè)hn=an+\—an—1,數(shù)列｛。“｝的前n項(xiàng)和為T,,.

(1)證明：數(shù)列｛為｝是等比數(shù)列：

(2)設(shè)金=如一也〃，若金+北20對(duì)任意的〃￡N*恒成立，求實(shí)數(shù)f的取值范圍.

⑴證明因?yàn)镾i+2S〃+i=3S〃+〃(〃22,neN*),①

所以S〃+2S〃+2=3S〃+I+力+1,②

②—①得，4〃+2斯+2=3。〃+1+1,

所以斯+2-。〃+1-1=3(〃〃+1一%—1),

又bn=an+\—a,t—1，

即兒+i=/〃(〃22,?eN).

在①中，令〃=2得，。1+2(〃]+。2+。3)=331+。2)+2,

3

又0=42=1,所以。3=]

所以b\=Cl2~a\—1=-1,岳=。3—42-[=_*

即岳=揖

所以b.+i=，"("GN*),

故數(shù)列｛歷,｝是以一1為首項(xiàng)，;為公比的等比數(shù)列.

(2)解由(1)可得，6"=一2,廠1，

=

所以Tn-2+2〃-1，又a”+i-斯=1一3「1，

所以當(dāng)時(shí),〃〃=(“〃-。〃一])+…+(〃2—。1)+0=(1-2〃-2)+…+(1—=)+1=〃—2+^~3.

當(dāng)〃=1時(shí)，〃1=1適合上式，

所以cin=n—2+^F2(?N?),

t+2

所以c〃=〃-2+跡f,

所以C7i+^=n—2+^7—2+^pT=n—4+^n-.

令金+7；20,得〃-4+畀20,即f+32(4—對(duì)任意的wGN*恒成立.

令Z”=(4—")2"L則*=3,fe=fe—4,公=0.

當(dāng)〃>4時(shí)，k?<0,

所以f+324,解得r2l,

故實(shí)數(shù)，的取值范圍為口，+8).

21.(15分)如圖，已知橢圓x2+4V=4與拋物線*=20。>0),過(guò)橢圓下頂點(diǎn)M作直線/i與

拋物線交于4,B兩點(diǎn)，且滿足3防1=油，過(guò)點(diǎn)A作與直線/i傾斜角互補(bǔ)的直線b交橢圓于

E,F兩點(diǎn).

（1）證明：點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為定值，并求出該定值；

（2）當(dāng)ABEF的面積最大時(shí)，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

解（1）由題意知M（0,-1）,直線/i的斜率存在，可設(shè)直線/i：y=U-l,4（芍，yi）,8（右,

>2）,

y=：1

聯(lián)立直線（與拋物線的方程得],'

[x1=2py,

整理得x2—2pfcr+2P=0,所以xiX2=2p.

由3AM=AB,得3XI=X2—XI=>X2=4XI,則4宕=2p.

因?yàn)辄c(diǎn)A在拋物線上，所以4宕=4X2p?=2p,

所以yi=：.

因此，點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為定值點(diǎn)

（2）如圖,連接ME,MF,

因?yàn)?MA=AB,所以S&BEF=3S,%MEF.

由直線/2與直線/1的傾斜角互補(bǔ)，

可得直線8y=一左。一汨）+1,

4+1__5_

又心”一了于時(shí)

5153

故自>=_而。_制）+]=一詬x+亍

53

令加=一太，貝U①y=mx+^,

y=mx+l，

與拋物線的方程聯(lián)立得<

22

x+4y=4,

整理得（4"廣+l）x2+12//tr+5=0,

由題意得/=（12m）2—4X5（4/〃2+I）=4（16，“2—5）>0,得nr>^,

設(shè)E（X3，”），F(xiàn)（X4,yO，

則制+處=一布午，.=布干，

22s

則[EF]=yJm+1-1x3~x4\=而干1?斗富了=2折不1系,

又點(diǎn)M到直線EF的距離t/=|-j===,

乙弋團(tuán)‘十1

33I~~77-yl16wi2—55115'16稼一5