1/1工程流體力學習題解析楊樹人)工程流體力學

目錄

第一章流體的物理性質(1)

一、學習引導(1)

二、難點分析(2)

習題詳解(3)

第二章流體靜力學(5)

一、學習引導(5)

二、難點分析(5)

習題詳解(7)

第三章流體運動學(13)

一、學習引導(13)

二、難點分析(13)

習題詳解(16)

第四章流體動力學(22)

一、學習引導(22)

習題詳解(24)

第五章量綱分析與相似原理(34)

一、學習引導(34)

二、難點分析(34)

習題詳解(36)

第六章粘性流體動力學基礎(40)

一、學習引導(40)

二、難點分析(40)

習題詳解(42)

第七章壓力管路孔口和管嘴出流(50)

一、學習引導(50)

二、難點分析(50)

習題詳解(51)

主要

第一章流體的物理性質

一、學習引導

1．連續介質假設

流體力學的任務是研究流體的宏觀運動規律。在流體力學領域里，一般不考慮流體的微觀結構，而是采用一種簡化的模型來代替流體的真實微觀結構。按照這種假設，流體充滿一個空間時是不留任何空隙的，即把流體看作是連續介質。

2．液體的相對密度

是指其密度與標準大氣壓下4℃純水的密度的比值，用δ表示，即

=ρ

δ

ρ

水

3．氣體的相對密度

是指氣體密度與特定溫度和壓力下氫氣或者空氣的密度的比值。

4．壓縮性

在溫度不變的條件下，流體的體積會隨著壓力的變化而變化的性質。壓縮性的大小用體積壓縮系數βp表示，即

1=

pdV

β

Vdp

5．膨脹性

指在壓力不變的條件下，流體的體積會隨著溫度的變化而變化的性質。其大小用體積膨脹系數βt表示，即

1=tdV

β

Vdt

6．粘性

流體所具有的阻礙流體流動，即阻礙流體質點間相對運動的性質稱為粘滯性，簡稱粘性。

7．牛頓流體和非牛頓流體

符合牛頓內摩擦定律的流體稱為牛頓流體，否則稱為非牛頓流體。

8．動力粘度

牛頓內摩擦定律中的比例系數μ稱為流體的動力粘度或粘度，它的大小可以反映流體粘性的大小，其數值等于單位速度梯度引起的粘性切應力的大小。單位為Pa·s，常用單位mPa·s、泊（P）、厘泊（cP），其換算關系：

1厘泊(1cP)=1毫帕斯卡·秒(1mPa.s)

100厘泊(100cP)=1泊(1P)

1000毫帕斯卡·秒(1mPa·s)=1帕斯卡.秒(1Pa·s)

9．運動粘度

流體力學中，將動力粘度與密度的比值稱為運動粘度，用υ來表示，即

=μυρ

其單位為m2/s，常用單位mm2/s、斯（St）、厘斯（cSt），其換算關系：1m2/s＝1×106mm2/s＝1×104St=1×106cSt1St=100cSt10．質量力

作用在每一個流體質點上，并與作用的流體質量成正比。對于均質流體，質量力也必然與流體的體積成正比。所以質量力又稱為體積力。

重力、引力、慣性力、電場力和磁場力都屬于質量力。11．慣性力

（1）慣性系和非慣性系

如果在一個參考系中牛頓定律能夠成立，這個參考系稱作慣性參考系，牛頓定律不能成立的參考系則是非慣性參考系。（2）慣性力

在非慣性坐標系中，虛加在物體上的力，其大小等于該物體的質量與非慣性坐標系加速度的乘積，方向與非慣性坐標系加速度方向相反，即

iFma=-

12．表面力

表面力作用于所研究的流體的表面上，并與作用面的面積成正比。表面力是由與流體相接觸的流體或其他物體作用在分界面上的力，屬于接觸力，如大氣壓強、摩擦力等。

二、難點分析

1．引入連續介質假設的意義有了連續介質假設，就可以把一個本來是大量的離散分子或原子的運動問題近似為連續充滿整個空間的流體質點的運動問題。而且每個空間點和每個時刻都有確定的物理量，它們都是空間坐標和時間的連續函數，從而可以利用數學分析中連續函數的理論分析流體的流動。2．牛頓內摩擦定律的應用

（1）符合牛頓內摩擦定律的流體稱為牛頓流體，否則稱為非牛頓流體。常見的牛頓流體包括空氣、水、酒精等等；非牛頓流體有聚合物溶液、原油、泥漿、血液等等。

（2）靜止流體中，由于流體質點間不存在相對運動，速度梯度為0，因而不

存在粘性切應力。

（3）流體的粘性切應力與壓力的關系不大，而取決于速度梯度的大小；（4）牛頓內摩擦定律只適用于層流流動，不適用于紊流流動，紊流流動中除了粘性切應力之外還存在更為復雜的紊流附加應力。3．流體粘度與壓力和溫度之間的關系

流體的粘度與壓力的關系不大，但與溫度有著密切的關系。液體的粘度隨著溫度的升高而減小，氣體的粘度隨著溫度的升高而增大。4．流體力學中質量力的表示形式

流體力學中質量力采用單位質量流體所受到的質量力f來表示，即0=lim

Vm?→Ff

或=yxzFFF

mmm+

+fijk=XYZ++ijk

其中：X、Y、Z依次為單位質量流體所受到的質量力f在x、y、z三個坐標方向上的分量。5．流體力學中表面力的表示形式

流體力學中表面力常用單位面積上的表面力來表示。=lim

nΔΔΔA

A→0P

p

這里的pn代表作用在以n為法線方向的曲面上的應力。可將pn分解為法向應力p和切向應力τ，法向分量就是物理學中的壓強，流體力學中稱之為壓力。6．粘性應力為0表現在以下幾種情況絕對靜止、相對靜止和理想流體。

習題詳解

【1－1】500cm3的某種液體，在天平上稱得其質量為0.453kg，試求其密度和相對密度。

【解】

3340.4530.90610kg/m510

mVρ-=

==??3

3

0.906100.9061.010wρδρ?===?

【1－2】體積為5m3的水，在溫度不變的條件下，當壓強從98000Pa增加到

4.9×105Pa時，體積減少1升。求水的壓縮系數和彈性系數。

【解】由壓縮系數公式

105

10.0015.1101/Pa5(4.91098000)

pdVVdPβ-=-==???-911

1.9610Pa5.1

p

Eβ=

=

=?【1－3】溫度為20℃，流量為60m3/h的水流入加熱器，如果水的體積膨脹系數βt=0.00055K-1，問加熱到80℃后從加熱器中流出時的體積流量變為多少？

【解】根據膨脹系數

1tdV

Vdt

β=

則

211tQQdtQβ=+

3600.00055(8020)6061.98m/h=??-+=

【1－4】圖中表示浮在油面上的平板，其水平運動速度為u=1m/s，δ=10mm，油品的粘度μ=0.9807Pa·s，求作用在平板單位面積上的阻力。

【解】根據牛頓內摩擦定律

=dudyτμ

則

21

=0.980798.07N/m0.01

τ?

=【1－5】已知半徑為R圓管中的流速分布為

2

2=(1)rucR

-

式中c為常數。試求管中的切應力τ與r的關系。

【解】根據牛頓內摩擦定律

=dudy

τμ

則

2222=[(1)]drrccdrRR

τμμ-=-

習題1-5圖

習題1-4圖

第二章流體靜力學

一、學習引導

1．相對靜止

流體整體對地球有相對運動，但流體質點之間沒有相對運動即所謂相對靜止。

2．靜壓力

在靜止流體中，流體單位面積上所受到的垂直于該表面的力，即物理學中的壓強，稱為流體靜壓力，簡稱壓力，用p表示，單位Pa。

3．等壓面

在充滿平衡流體的空間里，靜壓力相等的各點所組成的面稱為等壓面。

4．壓力中心

總壓力的作用點稱為壓力中心。

5．壓力體

是由受力曲面、液體的自由表面（或其延長面）以及兩者間的鉛垂面所圍成的封閉體積。

6．實壓力體

如果壓力體與形成壓力的液體在曲面的同側，則稱這樣的壓力體為實壓力體，用（+）來表示；

7．虛壓力體

如果壓力體與形成壓力的液體在曲面的異側，則稱這樣的壓力體為虛壓力體，用（-）來表示。

二、難點分析

1．靜壓力常用單位及其之間的換算關系

常用的壓力單位有：帕(Pa)、巴(bar)、標準大氣壓(atm)、毫米汞柱(mmHg)、米水柱(mH2O)，其換算關系為：1bar=1×105Pa；1atm=1.01325×105Pa；1atm=760mmHg；1atm=10.34mH2O；1mmHg=133.28Pa；1mH2O=9800Pa。由此可見靜壓力的單位非常小，所以在工程實際中常用的單位是kPa(103Pa）或MPa(106Pa)。

2．靜壓力的性質

（1）靜壓力沿著作用面的內法線方向，即垂直地指向作用面；

（2）靜止流體中任何一點上各個方向的靜壓力大小相等，與作用方向無關；

（3）等壓面與質量力垂直。

3．流體平衡微分方程的矢量形式及物理意義

1=

pρ

?f該方程的物理意義：當流體處于平衡狀態時，作用在單位質量流體上的質量力與壓力的合力相平衡。

其中：?稱為哈密頓算子，ijkxyz???

?=+

+???，它本身為一個矢量，同時對其右邊的量具有求導的作用。

4．靜力學基本方程式的適用條件及其意義。

1212=ppzzρgρg++

（1）其適用條件是：重力作用下靜止的均質流體。

（2）幾何意義：z稱為位置水頭，p/ρg稱為壓力水頭，而z＋p/ρg稱為測壓管

水頭。因此，靜力學基本方程的幾何意義是：靜止流體中測壓管水頭為常數。

（3）物理意義：z稱為比位能，p/ρg代表單位重力流體所具有的壓力勢能，簡稱比壓能。比位能與比壓能之和叫做靜止流體的比勢能或總比能。因此，流體靜力學基本方程的物理意義是：靜止流體中總比能為常數。

5．流體靜壓力的表示方法絕對壓力：=abapp+ghρ；

相對壓力：Mabap=ppgh-ρ=（當pab＞pa時，pM稱為表壓）；真空壓力：vaabMpppp-==-（當pab＜pa時）。

6．等加速水平運動容器和等角速旋轉容器中流體自由液面方程的應用（見習題詳解）0sax+gz=

22

s02

ωrgz-=

7．畫壓力體的步驟

（1）將受力曲面根據具體情況分成若干段；（2）找出各段的等效自由液面；

（3）畫出每一段的壓力體并確定虛實；

（4）根據虛實相抵的原則將各段的壓力體合成，得到最終的壓力體。

習題詳解

【2－1】容器中裝有水和空氣，求A、B、C和D各點的表壓力？

【解】

3434222

3232()

()()(2)

MAMBMAMCMBMDMCpghhppghhhghppghppghhghhρρρρρρ=+=-++=-==-=-+=-+

【2－2】如圖所示的U形管中裝有水銀與水，試求：

(1)A、C兩點的絕對壓力及表壓力各為多少？(2)求A、B兩點的高度差h？【解】

(1)()w0.3abAa

ppgρ=+?w0.3MApgρ=?

()wH0.30.1abCappggρρ=+?+?wH0.30.1MCpggρρ=?+?

(2)選取U形管中水銀的最低液面為等壓面，則

wH0.3gghρρ?=得w

H0.3

22cmhρρ?==

【2－3】在一密閉容器內裝有水及油，密度分別為ρw及ρo，油層高度為h1，容器底部裝有水銀液柱壓力計，讀數為R，水銀面與液面的高度差為h2，試導出容器上方空間的壓力p與讀數R的關系式。

【解】選取壓力計中水銀最低液面為等壓面，則

1w21()oHpghghRhgRρρρ+++-=

得

1w21()HopgRghghRhρρρ=--+-

【2－4】油罐內裝有相對密度為0.7的汽油，為測定油面高度，利用連通器原理，把U形管內裝上相對密度為1.26的甘油，一端接通油罐頂部空間，一端接壓氣管。同時，壓力管的另一支引入油罐底以上的0.4m處，壓氣后，當液面有氣逸出時，

題2－1圖

題2－2圖

B

根據U形管內油面高度差△h=0.7m來計算油罐內的油深H=?

【解】選取U形管中甘油最低液面為等壓面，由氣體各點壓力相等，可知油罐底以上0.4m處的油壓即為壓力管中氣體壓力，則

00(0.4)goopghpgHρρ+?=+-得

1.260.7

0.40.41.66m0.7

goohHρρ??=

+=+=【2－5】圖示兩水管以U形壓力計相連，A、B兩點高差1m，U形管內裝有水銀，

若讀數△h=0.5m，求A、B兩點的壓力差為多少？

【解】選取U形管內水銀最低液面為等壓面，設B點到水銀最高液面的垂直高度為x，則wHw(1)()ABpgxghpgxhρρρ+++?=++?

得

wHw4()7.15410Pa

BAppgghρρρ-=+-?=?

【2－6】圖示油罐發油裝置，將直徑為d的圓管伸進罐內，端部切成45°角，

用蓋板蓋住，蓋板可繞管端上面的鉸鏈

旋轉，借助繩系上來開啟。已知油深H=5m，圓管直徑d=600mm，油品相對密度0.85，不計蓋板重力及鉸鏈的摩擦力，求提升此蓋板所需的力的大小？（提示：蓋板為橢圓形，要先算出長軸

2b和短軸2a，就可算出蓋板面積

A=πab）。

【解】分析如圖所示以管端面上的鉸鏈為支點，根據力矩平衡

TdPL?=?其中

4(1.66410N2oodPgHAgHρρπ=?=??

=?

題2－4圖

題2－5圖

CDCCJLyyyA=-+

=

30.43mdπ

?

?=

=可得

441.664100.43

1.1910N0.6

PLTd???===?

【2－7】圖示一個安全閘門，寬為0.6m，高為1.0m。距底邊0.4m處裝有閘門轉軸，使之僅可以繞轉軸順時針方向旋轉。不計各處的摩擦力，問門前水深h為多深時，閘門即可自行打開？

【解】分析如圖所示，由公式

CDCCJ

yyyA-=可知，水深h越大，則形心

和總壓力的作用點間距離越小，即D點上

移。當D點剛好位于轉軸時，閘門剛好平衡。即

3

120.1(0.5)CDCCBHJyyyAhBH-===-得

1.33mh=

【2－8】有一壓力貯油箱（見圖），其寬度（垂直于紙面方向）b=2m，箱內油層厚h1=1.9m，密度ρ0=800kg/m3，油層下有積水，厚度h2=0.4m，箱底有一U型水銀壓差計，所測之值如圖所示，試求作用在半徑R=1m的圓柱面AB上的總壓力（大小和方向）。

【解】分析如圖所示，首先需確定自由液面，選取水銀壓差計最低液面為等壓面，則

題2－7圖

/ρog

題2－8圖

w0.51.91.0HBogpggρρρ?=+?+?

由pB不為零可知等效自由液面的高度

w*0.51.91.05.35mHoBoogggp

hgg

ρρρρρ?-?-?===

曲面水平受力

*()91.728kN2

xoR

PghRbρ=+=

曲面垂直受力

2*1

()120.246kN4

ZooPgVgRRhbρρπ==+=

則

151.24kNP=

arctan(

)arctan(0.763)37.36x

Z

PPθ===o【2－9】一個直徑2m，長5m的圓柱體放置在圖示的斜坡上。求圓柱體所受的水平力和浮力。

【解】分析如圖所示，因為斜坡的傾斜角為60°，故經D點過圓心的直徑與自由液面交于F點。

BC段和CD段水平方向的投影面積相同，力方

向相反，相互抵消，故

圓柱體所受的水平力

31.0109.80.51524.5kN

xCx

PghAρ==??????=

圓柱體所受的浮力

123()

11

1.0109.8(11522

119.365kN

ZPgVVρπ=+=????+??=

【2－10】圖示一個直徑D=2m，長L=1m的圓柱體，其左半邊為油和水，油和水的深度均為1m。已知油的密度為ρ=800kg/m3，求圓柱體所受水平力和浮力。

【解】因為左半邊為不同液體，故分別來分析AB段和BC段曲面的受力情況。

題2－9圖

題2－10圖

AB曲面受力

132

0.8109.80.5113.92kN

xoR

PgRLρ=?

?=?????=2211

()4ZoPgRRLρπ=-?

31

0.8109.8(111)11.686kN4

π=????-??=

BC曲面受力

2*3()2

1109.8(0.80.5)112.74kNxwR

PghRLρ=?+

?=???+?=22*31

()4

1

1109.8(10.81)14

15.533kN

ZwPgRhRL

ρππ=?+?=????+??=

則，圓柱體受力

123.9212.7416.66kNxxxPPP=+=+=

2115.5331.68613.847kNZZZPPP=-=-=（方向向上）

【2－11】圖示一個直徑為1.2m的鋼球安裝在一直徑為1m的閥座上，管內外水面的高度如圖所示。試求球體所受到的浮力。

【解】分析如圖所示，圖中實壓力體（＋）為一圓柱體，其直徑為1.0m

1232()

4

(0.50.5)3

5.016kN

ZPgVVgRρρππ=-=?-??=

【2－12】圖示一盛水的密閉容器，中間用隔板將其分隔為上下兩部分。隔板中有一直徑d=25cm的圓孔，并用一個直徑D=50cm質量M=139kg的圓球堵塞。設容器頂部壓力表讀數pM=5000Pa，求測壓管中水面高x大于若干時，圓球即被總壓力向上頂開？

題2－11圖

【解】分析如圖所示，圖中虛壓力體（－）為一球體和圓柱體體積之和

根據受力分析可知

12()gVVMgρ+=

32*41[()]34

gRdxhMgρππ+-=

則

32

4

4()

3

2.0m

MM

Rpxdg

πρπρ-=+=

※【2－13】水車長3m，寬1.5m，高1.8m，盛水深1.2m，見圖2-2。試問為使水不益處，加速度a的允許值是多少。

【解】根據自由夜面（即等壓面方程）

0sax+gz=

得29.8(1.81.2)

3.92m/s1.5

sgza=x?-==

h*=p

題2－12圖

圖2－13圖

第三章流體運動學

一、學習引導

1．穩定流動

如果流場中每一空間點上的所有運動參數均不隨時間變化，則稱為穩定流動，也稱作恒定流動或定常流動。

2．不穩定流動

如果流場中每一空間點上的部分或所有運動參數隨時間變化，則稱為不穩定流動，也稱作非恒定流動或非定常流動。

3．跡線

流體質點在不同時刻的運動軌跡稱為跡線。

4．流線

流線是用來描述流場中各點流動方向的曲線，在某一時刻該曲線上任意一點的速度矢量總是在該點與此曲線相切。

5．流管

在流場中作一條不與流線重合的任意封閉曲線，則通過此曲線上每一點的所有流線將構成一個管狀曲面，這個管狀曲面稱為流管。

6．流束和總流

充滿在流管內部的流體的集合稱為流束，斷面無窮小的流束稱為微小流束。管道內流動的流體的集合稱為總流。

7．有效斷面

流束或總流上垂直于流線的斷面，稱為有效斷面。

8．流量

單位時間內流經有效斷面的流體量，稱為流量。流體量有兩種表示方法，一是體積流量，用Q表示，單位為m3/s；另一種為質量流量,用Qm表示，單位為kg/s。

9．控制體

是指根據需要所選擇的具有確定位置和體積形狀的流場空間，控制體的表面稱為控制面。

二、難點分析

1．拉格朗日法和歐拉法的區別

（1）拉格朗日法著眼流體質點，設法描述出單個流體質點的運動過程，研究流體質點的速度、加速度、密度、壓力等描述流體運動的參數隨時間的變化規律，以及相鄰流體質點之間這些參數的變化規律。如果知道了所有流體質點的運動狀

況，整個流體的運動狀況也就知道了。（2）歐拉法的著眼點不是流體質點，而是空間點，即設法描述出空間點處的運動參數，研究空間點上的速度和加速度等運動參數隨時間的變化規律，以及相鄰空間點之間這些參數的變化規律。如果不同時刻每一空間點處流體質點的運動狀況都已知道，則整個流場的運動狀況也就清楚了。2．歐拉法表示的加速度

x

y

z

d=

=uuudttxyz

????+++????uuuuua

或()d==dtt

?+??uu

auu?其中：

（1）t??u表示在同一空間點上由于流動的不穩定性引起的加速度，稱為當地加速度或時變加速度；（注：對于同一空間點，速度是否隨時間變化）

（2）()?uu?表示同一時刻由于流動的不均勻性引起的加速度，稱為遷移加速度或位變加速度。（注：對于同一時刻，速度是否隨空間位置變化）

（3）x

y

z

d=uuudttxyz

????+++????稱為質點導數。

3．流動的分類

（1）按照流動介質劃分：牛頓流體和非牛頓流體的流動；理想流體和實際流體的流動；可壓縮流體和不可壓縮流體的流動；單相流體和多相流體的流動等。

（2）按照流動狀態劃分：穩定流動和不穩定流動；層流流動和紊流流動；有旋流動和無旋流動；亞聲速流動和超聲速流動等。

（3）按照描述流動所需的空間坐標數目又可劃分為：一元流動、二元流動和三元流動。4．跡線方程的確定（1）跡線的參數方程

(,,,)(,,,)(,,,)xxabctyyabctzzabct===??

???

（2）跡線微分方程

(,,,)

(,,,)

(,,,)

dxdydzdtuxyztvxyztwxyzt=

=

=

5．流線方程的確定流線微分方程

(,,,)

(,,,)

(,,,)

xyzdxdydzuxyztuxyztuxyzt=

=

6．流線的性質

（1）流線不能相交，但流線可以相切；

（2）流線在駐點（u=0）或者奇點（u→∞）處可以相交；（3）穩定流動時流線的形狀和位置不隨時間變化；

（4）對于不穩定流動，如果不穩定僅僅是由速度的大小隨時間變化引起的，則流線的形狀和位置不隨時間變化，跡線也與流線重合；如果不穩定僅僅是由速度的方向隨時間變化引起的，則流線的形狀和位置就會隨時間變化，跡線也不會與流線重合；

（5）流線的疏密程度反映出流速的大小。流線密的地方速度大，流線稀的地方速度小。7．系統的特點

（1）系統始終包含著相同的流體質點；（2）系統的形狀和位置可以隨時間變化；

（3）邊界上可有力的作用和能量的交換，但不能有質量的交換。8．控制體的特點

（1）控制體內的流體質點是不固定的；（2）控制體的位置和形狀不會隨時間變化；

（3）控制面上不僅可以有力的作用和能量交換，而且還可以有質量的交換。9．空間運動的連續性方程

()()()0yxzρuρuρuρt

x

y

z

????+

+

+

=????

或

+div0dρ

ρ=dt

u

（1）穩定流動

()()()0yxzρuρuρux

y

z

???+

+

=???

或

div()0ρ=u

（2）不可壓縮流體

0yxzuuux

y

z

???+

+

=???

或

div0=u根據是否滿足上述方程可判斷流體的可壓縮性。10．流體有旋、無旋的判定

1()21()21()2y

zxxzy

yxz

uuyzuuzxuuxyωωω???=-????????=-???????=-?????

上式的矢量形式為

xyzωωω=++ωijk12xyzuuux

y

z???=

???jki

11rot22=

??u=

u

流體力學中，把0=ω的流動稱為無旋流動，把0≠ω的流動稱為有旋流動。

習題詳解

【3－1】已知流場的速度分布為u=x2yi-3yj+2z2k

（1）屬幾元流動？

（2）求（x,y,z）=（3,1,2）點的加速度？【解】（1）由流場的速度分布可知

2232xyzuxy

uyuz

?=?

=-??=?流動屬三元流動。（2）由加速度公式

xxxxxx

xyzyyyyyyxyz

zzzzz

zxyzduuuuuauuudttxyzduuuuuauuudttxyzduuuuuauuudttxyz?????==+++????????????

==+++???????????==+++???????

得

32232396xyzaxyxy

ay

az

?=-?

=??=?故過（3,1,2）點的加速度

27948

xyzaaa?=?

=??

=?其矢量形式為：27948aijk=++

【3－2】已知流場速度分布為ux=x2，uy=y2，uz=z2，試求（x,y,z）=（2,4,8）點的遷移加速度？

【解】由流場的遷移加速度

xxxx

xyzyyyyx

yzzzz

zxyzuuuauuuxyz

uuuauuuxyzuuuauuuxyz????=++??????????

=++?????

????=++??????

得

333222xyzaxayaz

?=?=??=?故過（2,4,8）點的遷移加速度

161281024

xyzaaa?=?

=??

=?

【3－3】有一段收縮管如圖。已知u1=8m/s，u2=2m/s，l=1.5m。試求2點的遷移加速度。

【解】由已知條件可知流場的遷移加速度為

xxxuaux

?=?

其中：126

41.5xuuuxl?-===?

則2點的遷移加速度為

22248m/sxxu

aux

?==?=?

【3－4】某一平面流動的速度分量為ux=-4y，uy=4x。求流線方程。

【解】由流線微分方程

xy

dxdyuu=得

dxdyyx

=-解得流線方程

22xyc+=

【3－5】已知平面流動的速度為222222()

ByBx

uxyxyππ=

+++()ij，式中B為常數。

求流線方程。

【解】由已知條件可知平面流動的速度分量

222222()xyByuxyBxuxyππ?=?+?

?

?=?+?

()代入流線微分方程中，則

dxdy

yx

=解得流線方程

22xyc-=

【3－6】用直徑200mm的管輸送相對密度為0.7的汽油，使流速不超過1.2m/s

，

題3－3圖

問每秒最多輸送多少kg？

【解】由流量公式可知

24

mdQvπρ=?

?

則

2

33.140.21.20.71026.38kg/s4

mQ?=???=

【3－7】截面為300mm×400mm的矩形孔道，風量為2700m3/h，求平均流速。如風道出口處截面收縮為150mm×400mm，求該處斷面平均流速。

【解】由流量公式可知

Qvbh=?

則

27006.25m/s0.30.43600

Qvbh=

==??如風道出口處截面收縮為150mm×400mm，則

2700

12.5m/s0.150.43600

Qvbh=

==??【3－8】已知流場的速度分布為ux=y+z，uy=z+x，uz=x+y，判斷流場流動是否有旋？

【解】由旋轉角速度

11()(11)02211()(11)02211()(11)022yzx

xzyyxz

uuyzuuzxuuxyωωω???=-=-=????????

=-=-=???????=-=-=?????

可知

0xyzijkωωωω=++=

故為無旋流動。

【3－9】下列流線方程所代表的流場，哪個是有旋運動？

（1）2Axy=C（2）Ax+By=C（3）Alnxy2=C

【解】由流線方程即為流函數的等值線方程，可得（1）速度分布

xyuxyuyx????==???

?

??=-=-???

旋轉角速度

11

(

)(00)022

yxzuuxyω??=-=-=??可知

0xyzijkωωωω=++=

故為無旋流動。

（2）速度分布

xyuByuAx????

==???

?

??=-=-???

旋轉角速度

11

(

)(00)022

yxzuuxyω??=-=-=??可知

0xyzijkωωωω=++=

故為無旋流動。

（3）速度分布

22

2ln1lnxyuxyyyuxyxx????

==???

?

??=-=-???

旋轉角速度

22221112(

)[(ln1)(2ln)]022yxzuuxyxyxyxy

ω??=-=≠??可知

0xyzijkωωωω=++≠

故為有旋流動。

【3－10】已知流場速度分布為ux=-cx，uy=-cy，uz=0，c為常數。求：（1）歐拉加速度a=？；（2）流動是否有旋?（3）是否角變形?（4）求流線方程。

【解】（1）由加速度公式

220

xxxx

xyzyyyyx

yzzzzzxyzuuuauuucxxyz

uuuauuucyxyzuuuauuuxyz????

=++=??????????

=++=?????

????=++=??????

得22acxicyj=+

（2）旋轉角速度

1()021()021()02yzx

xzy

yxz

uuyzuuzxuuxyωωω???=-=????????=-=???????=-=?????

可知

0xyzijkωωωω=++=

故為無旋流動。

（3）由角變形速度公式

1()021()021()02yx

xy

xzxzyz

zyuuxyuuzxuuzyεεε???=+=????????

=+=???????=+=?????

可知為無角變形。

（4）將速度分布代入流線微分方程

dxdy

cxcy=--解微分方程，可得流線方程

x

cy

=

第四章流體動力學

一、學習引導

1．動能修正系數是總流有效斷面上單位重力流體的實際動能對按平均流速算出的假想動能的比值。2．水力坡降

沿流程單位管長上的水頭損失稱為水力坡降，用i表示，即

wh

iL

=

3．揚程

泵使單位重力液體增加的能量通常稱為泵的揚程，用H來表示。

二、難點分析

1．理想流體伯努利方程

2

2

11

22

1222pupuz+

+=z+

+

ρgg

ρg

g

（1）適用條件

理想不可壓縮流體，質量力只有重力，單位重力流體沿穩定流的流線或微小流束流動。

（2）幾何意義

z、p/ρg以及兩者之和的幾何意義分別表示位置水頭、壓力水頭和測壓管水頭，u2/2g稱為速度水頭。三者之和稱為總水頭。

因此，伯努利方程的幾何意義是：沿流線總水頭為常數。（3）物理意義

z、p/ρg分別稱為比位能和比壓能，u2/2g表示單位重力流體所具有的動能，稱為比動能。因此，伯努利方程的物理意義是：沿流線總比能為常數。

2．實際流體沿微小流束的伯努利方程式

2

2

11

22

121222wpupuz+

+=z+

+

ρgg

ρg

g

h-+

式中：12wh-——流線或微小流束上1、2兩點間單位重力流體的能量損失。

3．實際流體總流的伯努利方程

2

2

111222

121-222wpαvpαvz+

+=z+

+

+hρgg

ρg

g

式中：a1、a2――為動能修正系數，工程中常取1；

v1、v2――分別為總流1、2斷面的平均流速；

12wh-――為1、2兩斷面間單位重力流體的能量損失。

適用條件是：穩定流；不可壓縮流體；作用于流體上的質量力只有重力；所取斷面為緩變流斷面。

4．實際流體伯努利方程的幾點注意事項

（1）實際流體總流的伯努利方程不是對任何流動都適用的，必須注意適用條件；

（2）方程式中的位置水頭是相比較而言的，只要求基準面是水平面就可以。為了方便起見，常常取通過兩個計算點中較低的一點所在的水平面作為基準面，這樣可以使方程式中的位置水頭一個是0，另一個為正值；

（3）在選取斷面時，盡可能使兩個斷面只包含一個未知數。但兩個斷面的平均流速可以通過連續性方程求得，只要知道一個流速，就能算出另一個流速。換句話說，有時需要同時使用伯努利方程和連續性方程來求解兩個未知數；

（4）兩個斷面所用的壓力標準必須一致，一般多用表壓；（5）方程中動能修正系數α可以近似地取1。5．畫水頭線的步驟（1）畫出矩形邊線；

（2）據各斷面的位置水頭畫出位置水頭線，位置水頭線也就是管線的軸線；（3）根據水頭損失的計算結果畫出總水頭線，總水頭線一定要正確地反映出水力坡度的變化情況，注意：變徑管、漸縮管和漸擴管總水頭線的畫法；

（4）再依據壓力水頭的大小畫出測壓管水頭線。注意以下兩點，一是測壓管水頭線與總水頭線的高差必須能夠反映出流速水頭的變化情況，二是測壓管水頭線與位置水頭線之間的高差必須能夠正確地反映出壓力水頭的變化情況；

（5）給出必要的標注。6．帶泵的伯努利方程

在運用伯努利方程時，如果所取兩個計算斷面中一個位于泵的前面，另一個位于泵的后面，即液體流經了泵，那么就必須考慮兩個斷面之間由于泵的工作而外加給液體的能量，此時的伯努利方程為

2

2

1

1

2

2

121222wpvpvzHzhgg

g

g

ρρ-+

++=+

+

+

7．泵的有效功率

N=ρgQH泵

泵的有效功率與和泵軸功率之比稱為泵效，用ε泵表示，即NNη=泵泵軸

電動機的效率ε電

NNη=軸電電

8．應用動量方程的步驟（1）選取控制體；

（2）建立坐標系（一般選取出口方向為x方向）（3）分析受力；

（4）分別列x、y方向的動量方程并求解。

習題詳解

【4－1】直徑d=100mm的虹吸管，位置如附圖中所示。求流量和2、3的壓力。不計水頭損失。

【解】選取4點所在斷面和1點所在斷面列伯努力方程，以過4點的水平線為

基準線。2

4

5000029.8

v++=++?

得4=9.9m/sv，則

2340.078m/s4

Qdvπ

=

=

選取1、2點所在斷面列伯努利方程，以過1點的水平線為基準線

2

22

00002pvgg

ρ++=++（v2=v4）

得424.910Pap=-?

題4－1圖

選取1、3點所在斷面列伯努利方程，以過1點的水平線為基準線

2

33

00022pvgg

ρ++=++（v3=v4）

得436.8610Pap=-?

【4－2】一個倒置的U形測壓管，上部為相對密度0.8的油，用來測定水管中點的速度。若讀數△h=200mm，求管中流速u=?

【解】選取如圖所示1－1、2－2斷面列

伯努利方程，以水管軸線為基準線

212

0002ppugggρρ++=++同時，選取U形測壓管中油的最高液面為等

壓面，則

0.784m/su==

【4－3】圖示為一文丘里管和壓力計，試推導體積流量和壓力計讀數之間的關系式。當z1=z2時，ρ=1000kg/m3，ρH=13.6×103kg/m3，d1=500mm，d2=50mm，H=0.4m，流量系數α=0.9時，求Q=？

【解】列1－1、2－2所在斷面的伯努利方程、以過1－1斷面中心點的水平線為基準線。

22

1122

120z22pvpvzgggg

ρρ++=-++

選取壓力計中汞的最低液面為等壓面，則

12

12z12.6ppzHgρ-=-+又由1214Qvdπ=

、2

224

Q

vdπ=，得

Q=所以

30.017m/sQQα===實際

題4－2圖

題4－3圖

【4－4】管路閥門關閉時，壓力表讀數為49.8kPa，閥門打開后，讀數降為9.8kPa。設從管路進口至裝表處的水頭損失為流速水頭的2倍，求管路中的平均流速。

【解】當管路閥門關閉時，由壓

力表度數可確定管路軸線到自有液面的高度H

p

Hgρ=

當管路打開時，列1－1和2－2斷面的伯努利方程，則

22

222

000222pvvHggg

ρ++=+++

得

25.16m/sv=

=

【4－5】為了在直徑D=160mm的管線上自動摻入另一種油品，安裝了如下裝置：自錐管喉道處引出一個小支管通入油池內。若壓力表讀數為2.3×105Pa，吼道直徑d=40mm，T管流量Q＝30l/s，油品的相對密度為0.9。欲摻入的油品的相對密度為0.8，油池油面距喉道高度H=1.5m，如果摻入油量約為原輸量的10%左右，B管水頭損失設為0.5m，試確定B管的管徑。

【解】列1－1和2－2斷面的伯努利方程，則

22

1122

110022pvpvgggg

ρρ++=++

其中

121.49m/s14QvDπ=

=

2223.89m/s14

Qvdπ=

=

得422.610Pap=-?

列3－3和4－4自有液面的伯努利方程，以4－4斷面為基準面，則

題4－4圖

題4－5圖

2

33

43

20002pvHhggρ-++=+++

其中32pp=、320.114

BQ

vdπ=

，代入上式，得Bd=27mm

【4－6】一變直徑的管段AB，直徑dA=0.2m，dB＝0.4m，高差?h=1.0m，用壓力表測得pA=70kPa，pB=40kPa，用流量計測得流量Q=0.2m3/s。試判斷水在管段中流動的方向。

【解】列A點和B點所在斷面的伯努利方程22

0122AABB

wAB

pvpvhggggρρ-++=+++

則

22

102ABABwAB

ppvvhgg

ρ=+->

故流動方向為A-B。

【4－7】泄水管路如附圖所示，已知直徑d1=125mm，d2=100mm，d3=75mm，汞比壓力計讀數?h=175mm，不計阻力，求流量和壓力表讀數。

【解】列1－1、2－2斷面的波努利方程

22

1122

12022pvpvzzgggg

ρρ-++=++

又由

12

1212.6()pphzzg

ρ-=?--112233vAvAvA==（即22

2112233vdvdvd==）

可得28.56m/sv=、311.41m/sv=、30.067m/sQ=

列壓力表所在斷面和出口斷面的伯努利方程

題4－6圖

題4－7圖

22

32

00022Mvpvggg

ρ++=++

可得28.457kPaMp=

【4－8】如圖所示，敞開水池中的水沿變截面管路排出的質量流量Qm=14kg/s，若

d1＝100mm，d2＝75mm，d3＝50mm，不計損失，求所需的水頭H，以及第二段管段中央M點的壓力，并繪制測壓管水頭線。

【解】列1－1和3－3斷面的伯努

利方程，則

2

3

00002vHg

++=++

其中

222

3.17m/s4

m

Qvdρπ=

=、

3237.13m/s14

Qvdρπ==得2.594mH=

列M點所在斷面2－2和3－3斷面的伯努利方程，則

22

322

00022vpvggg

ρ++=++

得2232

220.394kPa2

vvpρ-==【4－9】由斷面為0.2m2和0.1m2的兩根管子組成的水平輸水管系從水箱流入大氣

中：○1若不計損失，（a）求斷面流速v1及v2；（b）繪總水頭線及測壓管水頭線；（c）

求進口A點的壓力。○

2計入損失：第一段的水頭損失為流速水頭的4倍，第二段為3倍，（a）求斷面流速v1及v2；（b）繪制總水頭線及測壓管水頭線；（c）根據所繪制水頭線求各管段中間點的壓力。

【解】（1）列自有液面和管子出口斷面的伯努利方程，則

22

00002vHg

++=++

得

28.85m/sv=又由

1122AvAv=

得14.425m/sv=

3題4－8圖1

列A點所在斷面和管子出口斷面的伯努利方程，則

22

112

00022pvvggg

ρ++=++得22

21129.37kPa2

vvpρ-==（2）列自有液面和管子出口斷面的伯努利方程，則

222212

000043

222vvvHggg

++=++++由

1122AvAv=

得23.96m/sv=、11.98m/sv=

細管斷中點的壓力為：2

321

(3)1.29.81011.76kPa22

vρ??=??=

粗管斷中點的壓力為：22

312(2)33.321033.32kPa2

vvρ+=?=

【4－10】用73.5×103W的水泵抽水，泵的效率為90％，管徑為0.3m，全管路的水頭損失為1m，吸水管水頭損失為0.2m，試求抽水量、管內流速及泵前真空表的讀數。

【解】列兩自由液面的伯努利方程，則

00029001H+++=+++得H=30m

又由

NgQHNρη==泵軸得

373.50.9

0.225m/s9.830

NQgHη

ρ?=

==?軸

23.18m/s14

Qvdπ==

列最低自由液面和真空表所在斷面的伯努利方程，則

2

00020.22pvgg

ρ++=+++

得2

(2.2)26.62kPa2vpgg

ρ=-+=-

故真空表的度數為26.62kPa。

【4－11】圖示一管路系統，欲維持其出口流速為20m/s，問水泵的功率為多少？設全管路的水頭損失為2m，泵的效率為80％。若壓水管路的水頭損失為1.7m，則

題4－9圖

壓力表上的讀數為若干？

【解】列自由液面和出口斷面的伯努利方程，則

2

100020022vHg

+++=+++

其中v1＝20m/s得H=42.4m

又由

NgQHNρη==泵軸得0.815kWN=軸

列壓力表所在斷面和出口斷面的伯努利方程，則

2

22101901.722Mpvvggg

ρ++=+++

其中v2A2＝v1A1

得22

12

(20.7)390.4kPa2Mvvpgg

ρ-=+

=【4－12】圖示離心泵以20m3/h的流量將相對密度為0.8的油品從地下罐送到山上洞庫油罐。地下油罐油面壓力為2×104Pa，洞庫油罐油面壓力為3×104Pa。設泵的效率為0.8，電動機效率為0.9，兩罐液面差為40m，全管路水頭損失設為5m。求泵及電動機的額定功率（即輸入功率）應為若干？

【解】列兩油罐液面的伯努利方程，則

12004005oopp

Hggρρ+++=+++

得46.28mH=

又由

NgQHNρη==泵軸

題4－12圖

得3.15kWN=軸、3.5kWNNη=

=軸

電電

【4－13】輸油管線上水平90°轉變處，設固定支座。所輸油品δ=0.8，管徑d=300mm，通過流量Q=100l/s，斷面1處壓力為2.23×105Pa。斷面2處壓力為2.11×105Pa。求支座受壓力的大小和方向？

【解】選取1－1和2－2斷面及管壁圍成的空間為控制體，建立如圖所示坐標系。

列x方向動量方程

10xoPRQvρ-=-

其中211115.75kN4Ppdπ=?=

得15.64kNxR=

列y方向動量方程

2yoRPQvρ-=

其中2221

14.91kN4Ppdπ=?=

得15.02kN

yR=

21.68kNR==arctan43.85

y

x

RRθ==

o【4－14】水流經過60°漸細彎頭AB，已知A處管徑dA＝0.5m，B處管徑dB＝0.25m，

通過的流量為0.1m3/s，B處壓力pB＝1.8×105Pa。設彎頭在同一水平面上摩擦力不計，求彎所受推力。

【解】選取A和B斷面及管壁圍成

的空間為控制體，建立如圖所示坐標系。

列x方向動量方程

cos60cos60

xABBARPPQvQvρρ+-=-oo

其中pA可由列A斷面和B斷面的伯努利方程得

222

BA

ABvvppρ-=+

x

24

AAQvdπ=

、24

BBQvdπ=

24

A

AA

dPpπ=、24

B

BB

dPpπ=

得5.569kNxR=

列y方向動量方程

sin600sin60AyAPRQvρ-=-oo

得6kNyR=，則

8.196kNFR=-=-

【4－15】消防隊員利用消火唧筒熄滅火焰，消火唧筒出口直徑d=1cm，入口直徑

D=5cm。從消火唧筒設出的流速v=20m/s。求消防隊員手握住消火唧筒所需要的力（設唧筒水頭損失為1m）？

【解】選取消火唧筒的出口斷面和入口斷面與管壁圍成的空間為控制體，建立如圖所示坐標系。

列x方向的動量方程21PRQvQvρρ-=-1

其中p1可由列1－1和2－2斷面的伯努利方程求得

22

12

22pvvggg

ρ+=1又由

22121144vDvdππ?=?、211

14

PpDπ=得0.472kN

R=

【4－16】嵌入支座的一段輸水管，如圖所示，其直徑由D1=0.15m變化為D2=0.1m。當支座前端管內壓力p=4×105Pa，流量Q=0.018m3/s，求該管段中支座所受的軸向力？

【解】取1－1、2－2斷面及管壁圍成的空間為控制體，建立如圖所示坐標系。列x方向即軸向動量方程

221PPRQvQvρρ--=-1

其中p1可由1－1和2－2斷面的伯努利方程求得

22

122

22pvpvgggg

ρρ+=+1又由12114

QvDπ=

、22214

Q

vDπ=

、211

114PpDπ=、2

22214PpDπ=得

3.827kNR=【4－17】水射流以19.8m/s的速度從直徑d=0.1m的噴口射出，沖擊一個固定的對稱葉片，葉片的轉角α=135°，求射流葉片的沖擊力。若葉片以12m/s的速度后退，而噴口仍固定不動，沖擊力將為多大？

【解】建立如圖所示坐標系（1）列x方向的動量方程

02cos(90)()FQvQvραρ=o

其中201

24

QQvdπ==?

則

221

(1cos45)5.26kN4

Fvdρπ=??+=o

（2）若葉片以12m/s的速度后退，其流體相對葉片的速度v=7.8m/s，代入上式得。

221

(1cos45)0.817kN4

Fvdρπ=??+=o

題4－17圖

第五章量綱分析與相似原理

一、學習引導

1．量綱

是指物理量的性質和種類。量綱公式為

[][]αβγ

xLTM

2．基本量綱和導出量綱

量綱是相互獨立的，不能由其它量綱導出的量綱稱為基本量綱。其它物理量的量綱可由這些基本量綱按照其定義或者物理定律推導出來，稱為導出量綱。3．無量綱量若某物理量的量綱表示為[x]=[L0T0M0]=[1]，則稱x為無量綱量，也稱純數。4．量綱和諧原理

一個正確、完整地反映客觀規律的物理方程中，各項的量綱是一致的，這就是量綱和諧原理，或稱量綱一致性原理。

5．相似準數與相似準則

在兩個動力相似的流動中的無量綱數稱為相似準數，例如雷諾數。作為判斷流動是否動力相似的條件稱為相似準則。

二、難點分析

1．無量綱數的特點

（1）無量綱數沒有單位，它的數值與所選用的單位無關。

（2）在兩個相似的流動之間，同名的無量綱數相等。如Re，常用無量綱數作為流動是否實現粘性的相似判據。

（3）在對數、指數、三角函數等超越函數運算中，都必須是對無量綱來說的，而對有量綱的某物理量取對數是無意義的。2．量綱分析方法的應用（1）瑞利法（2）π定理

瑞利法對涉及物理量的個數少于5個的物理現象的是非常方便的，對于涉及五個以上（含5個）變量的物理現象雖然也是適用的，但不如π定理方便。3．相似原理（1）幾何相似指兩個流動對應的線段成比例，對應角度相等，對應的邊界性質（指固體邊界的粗糙度或者自由液面）相同。

（2）運動相似

是指兩個流動對應點處的同名運動學量成比例。（3）動力相似

是指兩個流動對應點上的同名動力學量成比例。即

pppppFm

m

m

m

m

FGTPEFGTPEλ=

=

=

=

=

4．相似準則

（1）重力相似準則

作用在流體上的合外力中重力起主導作用，此時有

FrFrpm=

其中：Fr=v

（2）粘性力相似準則