專題25平面幾何的最值問題例112提示：當CM⊥AB時，CM值最小，CM＝5例2如圖，′＋的最小值為點′到的距離′，BMMNBABBFABBC45cm，BB′＝85cm，AE＝ACAB2BE22022cm．在△ABB′中，由145852AB?B′F，得B′F＝16cm．故BM＋MN的最小值為16cm．例3由△APD∽△BPQ，得APADBQ＝BP，即BQ

ACBC12AB5BE＝BB′?AE＝ADBPbax，∴AP＋BQ＝x＋abb．∵x＋ab≥2xab2ab，∴xAPxxx當且僅當x＝ab即x＝ab時，上式等號建立．故當AP＝ab時，AP＋BQ最x小，其最小值為2ab－b．例4⑴l12252，l22＝49，l1＜l2，故要選擇路線l較短．⑵222222224r4h．當l1hr，h2r，l2l1l2rr＝4h224h22，當r＜4h時，22．例5設DN＝x，PN＝y，2時，l1l2，當r＞2時，l1l22l1l2444則S＝xy，由△APQ∽△ABF，得24yx1即x＝10－2y，代入S＝xy得S＝xy＝y(10－2y)，即S＝－4222y525，因3≤y≤4，而y＝5不在自變量y的取值范圍內，所以y＝5不是極值點，當y＝3時，2222S(3)＝12，當y＝4時，S(4)＝8，故Smax＝12．此時，鋼板的最大利用率12＝80%．例6設PD421212＝x(x＞1)，則PC＝x21，由Rt△PCD∽△PAB，得AB＝CDPAx1，令y＝AB?S△，則y＝1ABPCx21PAB2x122，求y的最小值，有以下不一樣思路：①配方：y＝x122x124，×PA×AB＝x122x12x1∴當x121，即當x＝3時，y有最小值4．②運用基本不等式：y＝x1x2222x2132x12＋2＝4，∴當x1＝2，即當x＝3時，y有最小值4.③借用鑒別式，去分母，得x22x12x11＋2（1－y）x＋1＋2y＝0，由△＝4（1－y）2－4（1＋2y）＝4y（y－4）≥0，得y≥4，∴y的最小值為4.級1.17提示：當兩張紙條的對角重合時，菱形周長最大.2.83.744.D5.D6.BC提示：當點P與點D重合時，四邊形ACBP的周長最大.8.（1）連接，過作⊥AB于，可證明Rt△≌Rt△，得MENNFFEBAMNF2＝2＋2，即（2－）2＝2＋2，＝1－12，∴＝AMDN24＋MF＝2AM＋AE＝2（1－1x2）＋x＝－1x2＋x＋2.

222MF＝AE＝x.∵ME＝AE＋AM，故AD＝AMAF×2＝AM＋AM242（2）S＝－1（x2－2x＋1）＋5＝－1（x－1）2＋5.故當AE＝x＝1時，四邊形ADNM的面積最大，此2222時最大值為5.29.（1）BC長為2r.（2）提示：連接BD.（3）過點B作BM⊥AD于M，由（2）知四邊形ABCD為等3腰梯形，進而BC＝AD－2AM＝2r－2AM.由△BAM∽△DAB，得AM＝AB2＝x2，∴BC＝2r－x2.同理，AD2rrEF＝2r－x2.l＝4x＋2（2r－x2）＝－x（x－r）2＋6r（0＜x＜2r）..當x＝r時，l獲得最rrr大值6r.（1）∵∠APE＝∠ADQ，∠AEP＝∠AQD，∴△APE∽△ADQ.（2）由△APE∽△ADQ，△PDF∽△ADQ，S△PEF＝1S□PEQF，得S△PEF＝－1x2＋x＝－1（x－3）2＋3.故當x＝3時，即P是AD的中點時，S△PEF獲得233242最大值，（3）作A對于直線BC的對稱點A′，連接DA′交BC于Q，則這個Q點就是使△ADQ周長最小的點，此時Q是BC的中點.11.（1）點P恰幸虧上時，由對稱性知是△的中位線，∴當＝1＝3時，點P在上.2（22）由已知得△ABC底邊上的高h＝52-32＝4.①當0＜x≤3時，如圖1，連接AP并延伸交BC于點D，AD與MN交于點O.由△AMN∽△ABC，得AO＝2x，y＝S△＝S△＝1·x·2x＝12即y＝12時，y的值最大，最3PMNAMN2333大值是3.②當3＜x＜6時，如圖2，設△PMN與BC訂交于點E，F，AP與BC訂交于D.由①中知AO＝2x，3∴AP＝4x，∴PD＝AP－AD＝4x－4，∵△PEF∽△ABC.，∴SPEF＝(PD)2＝(4x43)2，即SPEF＝33SABCAD4SABCx-3)2.∵S△ABC＝12，∴S△PEF＝4（x－3）2.∴y＝S△AMN－S△PEF＝1x2－4（x－3）2＝－x2＋8x－12＝－9333（－4）2＋4.故當＝4時，y的最大值為4.綜上，當x＝4時，y的值最大，最大值為4.xxB級1.88232提示：當∠CAB＝∠ACD＝90°時，四邊形ABCD的面積達到最大值.2.0＜r≤1提示：設＝，＝，＝，＋＝23（＋1），又1bcsin60°＝△ABC＝1（＋＋）22r，即1bc·3＝1［23＋23（r＋1）］r，.bc＝4r（r＋2）.b，c為方程x2－23（r＋1）x222＋4r（r＋2）＝0的兩個根，由△≥0，得（r＋1）≤22.因r＞0，r＋1＞0，故r＋1≤2，即0＜r≤1.3.42－3提示：過P作垂直于OP的弦AB，此時弓形面積最小.94.1提示：設AD＝，則BD＝1－＝CG，SADG＝2，SBDE＝（1－）2＝SCFG，梯形DEFG＝1―3BACASABCSABCABSABCx2―2（1－x）2＝－3（x－2）2＋1.331a提示：當OA＝OB時，OC的長最大.6.C27.（1）由Rt△∽Rt△，得BP＝AB，即x＝4，＝－1（－2）2＋1（0＜＜4）.當xCPy4xCQ43＝2時,y最大值＝1cm.（2）由1＝－1（x－2）2＋1，得x＝（2＋3）cm或（2－3）cm.448.當過，兩點的圓與x軸正半軸相切時，切點C為所求.作⊥于.，2＝O′B2－2ABO′DABDO′DBD＝(ab)2－(ab)2＝ab，O′D＝ab故點C坐標為（ab，0）.22（1）如圖，延伸CB到L，使BL＝DN，則Rt△ABL≌Rt△ADN，得AL＝AN，∠1＝∠2，又∵N＝2―CN―＝＋＝＋＝，且＝，∠＝∠＝90°.∴△≌△，故∠＝∠＝90＝2xyz2,x2yz,45°.（2）設CM＝x，CN＝y，MN＝z，則x2y2z2x2y2z2，于是，（2―y―z）2＋y2＝2.整理得22＋（2－4）＋（4－4）＝0.∵＞0，故△＝4（－2）2－32（1－）≥0，即（＋2＋22）zyzyzyzzz（z＋2－22）≥0.又∵z＞0，故z≥22－2，當且僅當x＝y＝2－2時等號建立.因為S△AMN＝S△AML＝1·ML·AB＝1MN×1＝z，所以，△AMN的面積的最小值為2－1.22210.（1）提示：證明△ADF∽△BAC.（2）①AB＝15，BC＝9，∠ACB＝90°，∴AC＝AB2BC2＝1529212，∴CF＝AF＝6，∴y1x963x27x0．2②∵BC＝９（定值），∴△PBC的周長最小，就是PB＋PC最小，由（1）知，點C對于直線DE的對稱點是點A，所以PB＋PC＝PB＋PA，故只需求PB＋PA最小．明顯當P、、B三點共線時＋最小，此時＝，＋＝．APBPADPDEPBPAAB4由（1），角∠ADF＝∠FAE，∠DFA＝∠ACB＝90°，得△DAF∽△ABC．EF∥BC，得AE＝BE＝1AB＝15，EF＝9．∴AF∶BC＝AD∶AB，即6∶9＝AD∶15，∴AD＝10．Rt△ADF222中，AD＝10，AF＝6，∴DF＝8．∴DE＝DF＋FE＝8＋9＝25．22∴當x＝25時，△PBC的周長最小，此時y＝129．2211．（1）令k＝1，得y＝x＋2；令k＝2，得y＝2x＋6，聯立解得x＝4，y＝2，故定點（4，2）．（2）取x＝0，得OB＝2－4k（k＜0），取y＝0，得OA＝4k2k0．于是△ABO的面積kS1OAOB14k224kk0，化簡得8k2S8k20．由S864≥0得222kS216S≥0，故S≥16．將S＝16代入上述方程，得k＝1．故當k＝1，S值最小．2212．（1）如圖，延伸EF交AC于點D，DF∥BC