考點(diǎn)18圖形的相似

［命題趨勢(shì)

該板塊內(nèi)容主要考查相似的性質(zhì)和判定，2022年各地中考仍以考查基礎(chǔ)為主，在選擇題中單獨(dú)考查，是廣

大考生的得分點(diǎn)，相似應(yīng)用的考查，主要體現(xiàn)在綜合題中，作為綜合題的一部分，在解決求線段長(zhǎng)問(wèn)題時(shí)

和勾股定理、三角函數(shù)一起運(yùn)用，此時(shí)解答題的難度變大，綜合性就較強(qiáng)了，分值在15分左右，為避免丟

分，應(yīng)扎實(shí)掌握，靈活應(yīng)用。

知識(shí)梳理

一、比例的相關(guān)概念及性質(zhì)

1.線段的比：兩條線段的比是兩條線段的長(zhǎng)度之比.

ab

2.比例中項(xiàng)：如果石=［即6=這，我們就把人叫做a,C的比例中項(xiàng).

3.比例的性質(zhì)

性質(zhì)內(nèi)容

ac

性質(zhì)1—=——<^>ad=bc(。,b,c,dWO).

bd

,acm,a士bc±d

性質(zhì)2如m果:=一,那么----=------.

bdbd

,acm………a+c+???+/篦m,丁~、

性質(zhì)3如果m一二——=,,,=—(b+d+???+/#O),則------------=—(不唯一*).

bdn力+1+???+〃〃

4.黃金分割:如果點(diǎn)C把線段4B分成兩條線段，使J=那么點(diǎn)C叫做線段AC的黃金分割點(diǎn)，AC

ABAC

是BC與AB的比例中項(xiàng)，AC與AB的比叫做黃金比.

二、相似三角形的判定及性質(zhì)

1.定義：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形叫做相似三角形，相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比叫做相似比.

2.性質(zhì)：1）相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等；2）相似三角形的對(duì)應(yīng)線段（邊、高、中線、角平分線）成比例；

3）相似三角形的周長(zhǎng)比等于相似比，面積比等于相似比的平方.

3.判定：1）有兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似；2）兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等，兩三角形相似；3）三邊

對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似；4）兩直角三角形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，兩直角三角形相似.

【方法技巧】判定三角形相似的幾條思路：

1）條件中若有平行線，可采用相似三角形的判定（1）;

2）條件中若有一對(duì)等角，可再找一對(duì)等角［用判定（1）］或再找?jiàn)A邊成比例［用判定（2）］；

3）條件中若有兩邊對(duì)應(yīng)成比例，可找?jiàn)A角相等；

4）條件中若有一對(duì)直角，可考慮再找一對(duì)等角或證明斜邊、直角邊對(duì)應(yīng)成比例；

5）條件中若有等腰條件，可找頂角相等，或找一個(gè)底角相等，也可找底和腰對(duì)應(yīng)成比例.

三、相似多邊形

1.定義：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)多邊形叫做相似多邊形，相似多邊形對(duì)應(yīng)邊的比叫做它們的相

似比.

2.性質(zhì)：1）相似多邊形的對(duì)應(yīng)邊成比例；2）相似多邊形的對(duì)應(yīng)角相等；3）相似多邊形周長(zhǎng)的比等于相

似比，相似多邊形面積的比等于相似比的平方.

四、位似圖形

1.定義：如果兩個(gè)圖形不僅是相似圖形而且每組對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線交于一點(diǎn)，對(duì)應(yīng)邊互相平行（或在同一條直

線上），那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心，相似比叫做位似比.

2.性質(zhì)：1）在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為中心，相似比為女,那么位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐

標(biāo)的比等于k或-%2）位似圖形上任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于位似比或相似比.

3.找位似中心的方法：將兩個(gè)圖形的各組對(duì)應(yīng)點(diǎn)連接起來(lái)，若它們的直線或延長(zhǎng)線相交于一點(diǎn)，則該點(diǎn)即

是位似中心.

4.畫位似圖形的步驟：1）確定位似中心；2）確定原圖形的關(guān)鍵點(diǎn)；3）確定位似比，即要將圖形放大或

縮小的倍數(shù)；4）作出原圖形中各關(guān)鍵點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)；5）按原圖形的連接順序連接所作的各個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn).

重點(diǎn)考向

考向1比例線段及其性質(zhì)

1.比例的基本性質(zhì)：組成比例的四個(gè)數(shù)，叫做比例的項(xiàng).兩端的兩項(xiàng)叫做比例的外項(xiàng)，中間的兩項(xiàng)叫做比

例的內(nèi)項(xiàng).

2.對(duì)于四條線段4、b、C、d,如果其中兩條線段的比（即它們的長(zhǎng)度比）與另兩條線段的比相等，如4：

b=c：d（即ad=bc）,我們就說(shuō)這四條線段是成比例線段，簡(jiǎn)稱比例線段.

3.判定四條線段是否成比例，只要把四條線段按大小順序排列好，判斷前兩條線段之比與后兩條線段之比

是否相等即可，求線段之比時(shí)，要先統(tǒng)一線段的長(zhǎng)度單位，最后的結(jié)果與所選取的單位無(wú)關(guān)系.

典例引領(lǐng)

2

1.（2021?黑龍江大慶市?中考真題）已知曰=上=三#0,則一？=

234yz

2.（2021?湖南湘潭?中考真題）德國(guó)著名的天文學(xué)家開(kāi)普勒說(shuō)過(guò)：“幾何學(xué)里有兩件寶，一個(gè)是勾股定理,

另一個(gè)是黃金分割.如果把勾股定理比作黃金礦的話，那么可以把黃金分割比作鉆石礦二

如圖口，點(diǎn)C把線段A8分成兩部分，如果曰=正二1=0.618,那么稱點(diǎn)C為線段A3的黃金分割點(diǎn).

AC2

圖①圖②圖③

（1）特例感知：在圖「中，若48=100,求4c的長(zhǎng)；（2）知識(shí)探究：如圖□,作。的內(nèi)接正五邊形：口

作兩條相互垂直的直徑MN、4：1作ON的中點(diǎn)P,以P為圓心，2為半徑畫弧交。”于點(diǎn)。；□以點(diǎn)/

為圓心，A。為半徑，在口。上連續(xù)截取等弧，使弦A8=3C=a>=r>E=AQ,連接AE；

則五邊形"COE為正五邊形.在該正五邊形作法中，點(diǎn)。是否為線段的黃金分割點(diǎn)？請(qǐng)說(shuō)明理由.

（3）拓展應(yīng)用：國(guó)旗和國(guó)徽上的五角星是革命和光明的象征，是一個(gè)非常優(yōu)美的幾何圖形，與黃金分割有

著密切的聯(lián)系.

延長(zhǎng)題（2）中的正五邊形ABCDE的每條邊，相交可得到五角星，擺正后如圖口，點(diǎn)E是線段P驍?shù)狞S金分

割點(diǎn)，請(qǐng)利用題中的條件，求cos72。的值.

變式拓展

1.（2021?內(nèi)江?中考真題）已知非負(fù)實(shí)數(shù)"，b,c滿足等=殍=?，設(shè)5=。+2/7+文的最大值為機(jī)，

最小值為〃，則4的值為.

m一

2.（2021?江蘇?一模）已知線段q,b,c,其中c是。和6的比例中項(xiàng)，。=4,b=9,則c=（）

A.4B.6C.9D.36

3.（2021?福建南平?一模）數(shù)學(xué)中，把寬與長(zhǎng)之比為與1（與0.618）的矩形稱為黃金矩形，這個(gè)比例

避二!■被稱為黃金分割比例.如圖，名畫《蒙娜麗莎的微笑》的整個(gè)畫面的主體部分很好地體現(xiàn)了黃金分割

2

比例，其中矩形力8。是黃金矩形，若我們把一個(gè)正方形嵌入黃金矩形48CD中（正方形的邊長(zhǎng)等

于黃金矩形的寬），這樣就創(chuàng)造了一個(gè)新的黃金矩形如果把這個(gè)過(guò)程重復(fù)數(shù)次，接著我們要在每個(gè)

正方形內(nèi)畫一條圓弧，讓每個(gè)圓弧的半徑等于它所在正方形的邊長(zhǎng)就會(huì)得到下面這張圖，若9=*則圖中

弧〃尸的長(zhǎng)為（）

71,75-1兀，石-1

C.?(丁)2aD.

22*

考向2平行線分線段成比例

典例引領(lǐng)

1.（2021?湖南中考真題）下圖是一架梯子的示意圖，其中A4,〃）V/CC|〃OA，且AB=BC=CZ）.為

使其更穩(wěn)固，在A,A間加綁一條安全繩（線段）,量得AE=0.4m,則A。=m.

2.（2021?江蘇如皋?二模）如圖，在AABC中，。在NC邊上，AD:DC=\:2,。是2。的中點(diǎn)，連接/。并

“￡

延長(zhǎng)交8C于E,記△BOE的面積為四邊形C0OE的面積為S°,則.

變式拓展

1.（2021?黑龍江中考真題）如圖，在AABC中，DEHBC,AD=2,BD=3,AC=1O,則AE的長(zhǎng)

為（）

A.3B.4C.5D.6

2.（2021?山西實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）閱讀下列材料，完成相關(guān)任務(wù)

我們知道，利用尺規(guī)作已知線段的垂直平分線可以得到該線段的中點(diǎn)，四等分點(diǎn)，怎樣得到線段的三等分

MP1

點(diǎn)呢？如圖，已知線段MN,用尺規(guī)在上求作點(diǎn)P,使

操作探究：曉彤的作法是：口作射線"K（點(diǎn)K不在直線上）；

□在射線上依次截取線段肪1,AB,使/8=2/刈，連接BN；

口以“為頂點(diǎn)，MA為一邊,如圖，作口附尸，使口購(gòu)P=UW8N,射線/尸交A/N于點(diǎn)P.

所以點(diǎn)P為求作的點(diǎn).

QUMAP=DMBN,

“尸」8N（同位角相等，兩直線平行）.

□蛆=妣（依據(jù)）.

MBMN

OAB=2MA（已知）,

MA1，p八?、

口蕨=3（等里代換）?

MPMA1三八、m、

口疏T而=5（等量代換）.

數(shù)學(xué)思考：曉彤作法理由中所缺的依據(jù)是：—；

拓展應(yīng)用：如圖，已知線段a,b,c,

求作：線段％使a：b=c：d.（要求：保留作圖痕跡，不寫作法）

bM

考向3相似多邊形

1.如果兩個(gè)多邊形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等，那么這兩個(gè)多邊形是相似多邊形.

2.相似多邊形對(duì)應(yīng)邊的比叫做相似比.

3.多邊形的相似比為1的相似多邊形是全等形.

4.相似多邊形的性質(zhì)為：①對(duì)應(yīng)角相等；②對(duì)應(yīng)邊的比相等.

典例引領(lǐng)

1.（2021?江蘇無(wú)錫市?中考真題）下列命題中，正確命題的個(gè)數(shù)為.

①所有的正方形都相似②所有的菱形都相似

③邊長(zhǎng)相等的兩個(gè)菱形都相似④對(duì)角線相等的兩個(gè)矩形都相似

2.（2021?四川德陽(yáng)?中考真題）我們把寬與長(zhǎng)的比是近二1的矩形叫做黃金矩形.黃金矩形給我們以協(xié)調(diào)、

2

勻稱的美感，世界各國(guó)許多著名的建筑，為取得最佳的視覺(jué)效果，都采用了黃金矩形的設(shè)計(jì).已知四邊形

N88是黃金矩形，邊N8的長(zhǎng)度為6-1,則該矩形的周長(zhǎng)為.

變式拓展

1.（2022?福建福州?一模）如圖，將一張矩形紙片沿兩長(zhǎng)邊中點(diǎn)所在的直線對(duì)折，如果得到的兩個(gè)矩形都與

原矩形相似，則原矩形長(zhǎng)與寬的比是（）

A.2：1B.1：2C.3：2D.V2：1

2.（2021?江蘇鼓樓?二模）學(xué)完“探索三角形相似的條件”之后，小明所在的學(xué)習(xí)小組嘗試探索四邊形相似的

條件，以下是他們的思考，請(qǐng)你和他們一起完成探究過(guò)程.

【定義】四邊成比例，且四角分別相等的兩個(gè)四邊形叫做相似四邊形.

【初步思考】（1）小明根據(jù)探索三角形相似的條件所獲得的經(jīng)驗(yàn)，考慮可以從定義出發(fā)逐步弱化條件探究

四邊形相似的條件.他考慮到“四角分別相等的兩個(gè)四邊形相似”可以舉出反例“矩形”，"四邊成比例的兩個(gè)

四邊形相似”可以舉出反例.所以四邊形相似的條件必須再添加條件，于是，可以從“四邊成比例，且

一角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)四邊形相似”，“三邊成比例，且兩角分別相等的兩個(gè)四邊形相似”，“兩邊成比例，且三

角分別相等的兩個(gè)四邊形相似”來(lái)探究.

【深入探究】（2）學(xué)習(xí)小組一致認(rèn)為，“四邊成比例，且一角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)四邊形相似”是真命題，請(qǐng)結(jié)合

圖形完成證明.

已知：四邊形ABC。和四邊形A'8'C'。中，第=舞=興=條，ZA=ZA\

ADDCCDAD

求證：四邊形ABCDs四邊形""CD'.證明：

（3）對(duì)于“三邊成比例，且兩角分別相等的兩個(gè)四邊形相似”，學(xué)習(xí)小組得到如下的四個(gè)命題:

□“三邊成比例，兩鄰角分別相等且只有一角為其中兩邊的夾角的兩個(gè)四邊形相似”；

口’三邊成比例，兩鄰角分別相等且都不是其中兩邊的夾角的兩個(gè)四邊形相似”；

口“三邊成比例及其兩夾角分別相等的兩個(gè)四邊形相似”；

□'三邊成比例，兩對(duì)角分別相等的兩個(gè)四邊形相似

其中真命題是.（填寫所有真命題的序號(hào)）

（4）請(qǐng)你完成“兩邊成比例，且三角分別相等的兩個(gè)四邊形相似”的探究過(guò)程.

考向4相似三角形性質(zhì)與判定

1.相似三角形的性質(zhì)：①相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等；②相似三角形的周長(zhǎng)的比等于相似

比；相似三角形的對(duì)應(yīng)線段（對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線、對(duì)應(yīng)邊上的高）的比也等于相似比；③相似三角

形的面積的比等于相似比的平方.由三角形的面積公式和相似三角形對(duì)應(yīng)線段的比等于相似比可以推出相

似三角形面積的比等于相似比的平方.

2.相似三角形的判定：①平行線法：平行于三角形的一邊的直線與其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三

角形相似；②三邊法：三組對(duì)應(yīng)邊的比相等的兩個(gè)三角形相似；③兩邊及其夾角法：兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等

且?jiàn)A角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似；④兩角法：有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似.

典例引領(lǐng)

1.（202卜湖南湘潭?中考真題）如圖，在AABC中，點(diǎn)。，E分別為邊A8,AC上的點(diǎn)，試添加一個(gè)條件：

，使得AADE與AABC相似.（任意寫出一個(gè)滿足條件的即可）

AnAF1

2.（2021?四川巴中?中考真題）如圖，中，點(diǎn)。、E分別在45、AC±,且黑=哭==,下列結(jié)論

DBEC2

正確的是（）

A.DE-.BC=\：2B.與的面積比為1：3

C."OE與"8C的周長(zhǎng)比為1：2D.DE//BC

3.（2021?上海中考真題）如圖，在梯形ABCZ）中，A0//BC,NABC=90°,AD=CD,0是對(duì)角線AC的

中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)8。并延長(zhǎng)交邊C￡＞或邊于反（1）當(dāng)點(diǎn)E在邊CO上時(shí)，①求證：ADACS—BC；②

Ari

若BE上CD,求名的值；（2）若DE=2,OE=3,求CO的長(zhǎng).

變式拓展

1.（2021?山東淄博市?中考真題）如圖，A5,C￡＞相交于點(diǎn)E，且AC7/E/〃DB,點(diǎn)在同一條直線

上.已知AC=P,M=r,D8=q,則P，4,〃之間滿足的數(shù)量關(guān)系式是（）

D

111112111112

A.一+—=——B.—C.—+-—=—D.—+—=——

rqPPrqPqrqrp

2.(2021?江蘇揚(yáng)州市?中考真題)如圖，在5c中,AC=BC,矩形QEFG的頂點(diǎn)。、E在A3上,

點(diǎn)、F、G分別在BC、AC上，若。尸=4,BF=3,且DE二=2EF,則Eb的長(zhǎng)為_(kāi)_______.

CD

4

/K/

3.（2021?四川綿陽(yáng)?中考真題）如圖，在八48中，AO=6,BC=5,AC2=AB(AB-i-BC),且^DAB^DCA,

若A￡＞=3AP,點(diǎn)Q是線段A3上的動(dòng)點(diǎn)，則PQ的最小值是（)

A.且B.—C.更D-1

222

考向5相似比相關(guān)問(wèn)題

1）相似三角形的對(duì)應(yīng)線段（邊、高、中線、角平分線）成比例;

2）相似三角形的周長(zhǎng)比等于相似比，面積比等于相似比的平方.

典例引領(lǐng)

1.（2021?江蘇鎮(zhèn)江?中考真題）如圖，點(diǎn)。，E分另IJ在U/8C的邊/C,N8上，UADE^ABC,M,N分別

是DE,8c的中點(diǎn)，若駕=；，則*=.

AN2S“8c

2.（2021?四川雅安市?中考真題）如圖，將沿8C邊向右平移得到△￡）￡?,DE交AC于點(diǎn)G.若

則卬的值為()

BC:EC=3A.SAA/X;=16.5.

A.2B.4C.6D.8

3.（2021?廣西玉林市?中考真題）如圖，在AA5c中,。在AC上，DE//BC,DF//AB.

q

(1)求證：ADFCs.AED；(2)若C￡)=4AC,求白照的值.

3

變式拓展

1.（2021?湖北黃岡市?中考真題）如圖，在△A3C和AOEC中，Z4=ND，NBCE=ZACD.

（1）求證：AABC~zM）EC；（2）若工^：5,。8=4：9,BC=6,求EC的長(zhǎng).

2.（2020?湖南湘潭市?中考真題）閱讀材料：三角形的三條中線必交于一點(diǎn)，這個(gè)交點(diǎn)稱為三角形的重心.

（1）特例感知：如圖（一），已知功長(zhǎng)為2的等邊AMC的重心為點(diǎn)。，求AOBC與AABC的面積.

（2）性質(zhì)探究：如圖（二），已知AABC1的重心為點(diǎn)O,請(qǐng)判斷——、資照是否都為定值？如果是，

OA'.ABC

分別求出這兩個(gè)定值：如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

（3）性質(zhì)應(yīng)用：如圖（三），在正方形ABCD中，點(diǎn)E是CO的中點(diǎn)，連接BE交對(duì)角線AC于點(diǎn)

①若正方形ABC。的邊長(zhǎng)為4,求的長(zhǎng)度；②若久.￡=1,求正方形ABCO的面積.

考向6相似三角形的實(shí)際應(yīng)用

典例引領(lǐng)

1.（202卜遼寧朝陽(yáng)?中考真題）一數(shù)學(xué)興趣小組去測(cè)量一棵周圍有圍欄保護(hù)的古樹(shù)的高，在G處放置一個(gè)小

平面鏡，當(dāng)一位同學(xué)站在尸點(diǎn)時(shí)，恰好在小平面鏡內(nèi)看到這棵古樹(shù)的頂端』的像，此時(shí)測(cè)得/G=3m,這

位同學(xué)向古樹(shù)方向前進(jìn)了9m后到達(dá)點(diǎn)D,在。處安置一高度為1m的測(cè)角儀CZ）,此時(shí)測(cè)得樹(shù)頂工的仰角

為30。，已知這位同學(xué)的眼睛與地面的距離E尸=1.5m,點(diǎn)8,D,G,尸在同一水平直線上，且CD,

斯均垂直于8居求這棵古樹(shù)的高.（小平面鏡的大小和厚度忽略不計(jì)，結(jié)果保留根號(hào)）

2.（2021?山西中考真題）閱讀與思考，請(qǐng)閱讀下列科普材料，并完成相應(yīng)的任務(wù).

圖算法

圖算法也叫諾模圖，是根據(jù)幾何原理，將某一已知函數(shù)關(guān)系式中的各變量，分別編成有刻度的直線（或曲

線），并把它們按一定的規(guī)律排列在一起的一種圖形，可以用來(lái)解函數(shù)式中的未知量.比如想知道10攝氏

9

度相當(dāng)于多少華氏度，我們可根據(jù)攝氏溫度與華氏溫度之間的關(guān)系：E=MC+32得出，當(dāng)C=1O時(shí)，

尸=50.但是如果你的溫度計(jì)上有華氏溫標(biāo)刻度，就可以從溫度計(jì)上直接讀出答案，這種利用特制的線條

進(jìn)行計(jì)算的方法就是圖算法.

再看一個(gè)例子：設(shè)有兩只電阻，分別為5千歐和7.5千歐，問(wèn)并聯(lián)后的電阻值是多少？

111

我們可以利用公式6=3+方求得及的值，也可以設(shè)計(jì)一種圖算法直接得出結(jié)果：我們先來(lái)畫出一個(gè)

KA|

12（）。的角，再畫一條角平分線，在角的兩邊及角平分線上用同樣的單位長(zhǎng)度進(jìn)行刻度，這樣就制好了一張

算圖.我們只要把角的兩邊刻著7.5和5的兩點(diǎn)連成一條直線，這條直線與角平分線的交點(diǎn)的刻度值就是并

聯(lián)后的電阻值.

圖算法得出的數(shù)據(jù)大多是近似值，但在大多數(shù)情況下是夠用的，那些需要用同一類公式進(jìn)行計(jì)算的測(cè)量制

圖人員，往往更能體會(huì)到它的優(yōu)越性.

任務(wù)：（1）請(qǐng)根據(jù)以上材料簡(jiǎn)要說(shuō)明圖算法的優(yōu)越性；

111

（2）請(qǐng)用以下兩種方法驗(yàn)證第二個(gè)例子中圖算法的正確性：①用公式6=右+方計(jì)算：當(dāng)鳥(niǎo)=7.5,

AK、

4=5時(shí)，R的值為多少；②如圖，在AAOB中，NAO3=120。，0C是々403的角平分線，04=7.5,

0B=5,用你所學(xué)的幾何知識(shí)求線段0C的長(zhǎng).

變式拓展

1.（2021?河北中考真題）圖1是裝了液體的高腳杯示意圖（數(shù)據(jù)如圖），用去一部分液體后如圖2所示，此

2.（2021?浙江金華市?中考真題）如圖1是一種利用鏡面反射，放大微小變化的裝置.木條BC上的點(diǎn)P處

安裝一平面鏡，8c與刻度尺邊的交點(diǎn)為O,從工點(diǎn)發(fā)出的光束經(jīng)平面鏡尸反射后，在上形成一個(gè)

光點(diǎn)￡已知AB，5C,MN_L8C,A5=6.5,BP=4,PD=8.

⑴ED的長(zhǎng)為..（2）將木條8c繞點(diǎn)8按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一定角度得到BC'（如圖2）,點(diǎn)

P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為P',BC'與MN的交點(diǎn)為D',從A點(diǎn)發(fā)出的光束經(jīng)平面鏡P反射后，在MN上的光點(diǎn)為E'.若

077=5,則EE的長(zhǎng)為.

圖1圖2

考向7位似

1.如果兩個(gè)圖形不僅是相似圖形，而且對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)，對(duì)應(yīng)邊互相平行，那么這樣的兩個(gè)圖

形叫做位似圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心.

2.位似圖形與坐標(biāo)：在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心，相似比為那么位似圖

形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或

典例引領(lǐng)

1.（2021?山東東營(yíng)市?中考真題）如圖，△A8C中，A,8兩個(gè)頂點(diǎn)在x軸的上方，點(diǎn)C的坐標(biāo)是（1,0）,

以點(diǎn)C為位似中心，在x軸的下方作△43C的位似圖形VAB'C，并把5c的邊長(zhǎng)放大到原來(lái)的2倍,

設(shè)點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是m則點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B'的橫坐標(biāo)是（）

A.—2a+3B.—2a+1C.—2。+2D.―2a—2

2.（2021?重慶中考真題）如圖，△/BC與位似，點(diǎn)。是它們的位似中心，其中OE=2O8,則△Z8C

與的周長(zhǎng)之比是（）

C.1：3D.1：9

3.（2021?黑龍江綏化市?中考真題）如圖所示，在網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1個(gè)單位長(zhǎng)度，把小正

方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，。為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，矩形OABC的4個(gè)頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，連接對(duì)角線。3.（1）

在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，以原點(diǎn)。為位似中心，把△Q45縮小，作出它的位似圖形，并且使所作的位似圖形

與△。鉆的相似比等于;；（2）將AQAB以。為旋轉(zhuǎn)中心，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到作出AOA4，

并求出線段OB旋轉(zhuǎn)過(guò)程中所形成扇形的周長(zhǎng).

X

變式拓展

1.（2021?浙江溫州市?中考真題）如圖，圖形甲與圖形乙是位似圖形，。是位似中心，位似比為2:3,點(diǎn)A,

B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)A,B'.若AB=6,則A'B'的長(zhǎng)為（）

/B'

BA7

甲乙

A.8B.9C.10D.15

2.（2021?浙江嘉興市?中考真題）如圖，在直角坐標(biāo)系中，AAfiC與AOOE是位似圖形，則位似中心的坐

標(biāo)為?

3.（2021?遼寧沈陽(yáng)?中考真題）如圖，AABC與△ABC位似，位似中心是點(diǎn)。，若。4:。4=1：2,則AABC

與/XABC的周長(zhǎng)比是（）

山

A.1:2B.1:3C.1:4D.1：&

考點(diǎn)沖關(guān)

1.（2021?安徽肥東?二模）如圖，ABHCDHEF,下列等式成立的是（

A.ACCE=BDDFB.ACAE=BDBFC.ACDF=CEBD.D.CD2=ABEF

2.（2021?河北?石家莊外國(guó)語(yǔ)學(xué)校三模）如果四條線段b、c、d構(gòu)成”>0,則下列式子中,

ba

成立的是（）

a-bd-c

bdb+dd

3.（2020?四川瀘州市?中考真題）古希臘數(shù)學(xué)家歐多克索斯在深入研究比例理論時(shí)，提出了分線段的“中末

比''問(wèn)題：點(diǎn)G將一線段分為兩線段MG,GN,使得其中較長(zhǎng)的一段MG是全長(zhǎng)MN與較短的段GN

的比例中項(xiàng)，即滿足些=空=墾1,后人把近二1這個(gè)數(shù)稱為“黃金分害「數(shù)，把點(diǎn)G稱為線段MN

MNMG22

的“黃金分割''點(diǎn).如圖，在△MC中，已知AB=AC=3,BC=4,若。，￡是邊的兩個(gè)“黃金分割”

點(diǎn)，則石的面積為（）

DE

5-275

A.10-475B.3A/5-5D.20-875

4.（2021?河北衡水?中考模擬）在研究相似問(wèn)題時(shí)，甲、乙兩同學(xué)的觀點(diǎn)如下：

甲：將邊長(zhǎng)為4的菱形按圖1的方式向外擴(kuò)張，得到新菱形，它們的對(duì)應(yīng)邊間距為1,則新菱形與原菱形相

似.

乙：將邊長(zhǎng)為4的菱形按圖2方式向外擴(kuò)張，得到新菱形，每條對(duì)角線向其延長(zhǎng)線兩個(gè)方向各延伸1,則新

菱形與原菱形相似；

對(duì)于兩人的觀點(diǎn)，下列說(shuō)法正確的是（）.

A.兩人都對(duì)B.兩人都不對(duì)C.甲對(duì)，乙不對(duì)D.甲不對(duì)，乙對(duì)

5.（2020?云南昆明市?中考真題）在正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形

叫做格點(diǎn)三角形.如圖，△/18C是格點(diǎn)三角形，在圖中的6x6正方形網(wǎng)格中作出格點(diǎn)三角形（不含及43C）,

使得（同一位置的格點(diǎn)三角形只算一個(gè)），這樣的格點(diǎn)三角形一共有（）

A.4個(gè)B.5個(gè)C.6個(gè)D.7個(gè)

4

6.（2021?江蘇連云港市?中考真題）如圖，△ABC中，BD±AB,BD、AC相交于點(diǎn)。，AD=-AC,

7

AB=2,=150°,則△DBC的面積是（）

A30R973「3百n6G

141477

7.（2021?綿陽(yáng)市中考模擬）如圖，將一張面積為14的大三角形紙片沿著虛線剪成三張小三角形紙片與一張

平行四邊形紙片.根據(jù)圖中標(biāo)示的長(zhǎng)度，求平行四邊形紙片的面積為何？（）

/fEk*zOx

8.（2021?山東淄博市?中考真題）如圖，在HhABC中，NACB=90。,CE是斜邊AB上的中線，過(guò)點(diǎn)E作

ER_LAB交AC于點(diǎn)尸.若BC=4,4AEF的面積為5,則sin/CEE的值為（）

c

A.-B.叵C.-D.拽

5555

9.（2021?黑龍江中考真題）如圖，平行四邊形ABFC的對(duì)角線A/、BC相交于點(diǎn)E,點(diǎn)。為AC的中點(diǎn)，

連接3。并延長(zhǎng)，交”1的延長(zhǎng)線于點(diǎn)。，交A6于點(diǎn)G,連接A。、OE,若平行四邊形ABEC的面積

為48,則S4E0G的面積為（）

A.4B.5C.2D.3

10.（2021?廣西百色?中考真題）如圖，口ZBC中，AB=AC,05=72°,口4。8的平分線CO交于點(diǎn)￡>,

則點(diǎn)。是線段力8的黃金分割點(diǎn).若ZC=2,則

11.（2021?遼寧營(yíng)口市?中考真題）如圖，矩形A8CO中，AB=5,8C=4,點(diǎn)E是AB邊上一點(diǎn)，AE=3,

連接。E，點(diǎn)尸是8C延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接AE，且NF=』NEOC,則Cb=

2

AD

E

BC

12.（2021?江蘇無(wú)錫市?中考真題）如圖，在RtaABC中，NB4C=90°,AB=2g，AC=6,點(diǎn)E

在線段AC上，且AE=1，。是線段BC上的一點(diǎn)，連接。E，將四邊形ABDE沿直線OE翻折，得到四

邊形FGDE,當(dāng)點(diǎn)G恰好落在線段AC上時(shí)，AF=.

13.（2021?浙江臺(tái)州市?中考真題）如圖，點(diǎn)E,F,G分別在正方形/8C。的邊BC,AD±.,AFLEG.若

AB—5,AE=DG=\,則8F=.

14.（2021?山東東營(yíng)市?中考真題）如圖，正方形紙片/8CD的邊長(zhǎng)為12,點(diǎn)尸是ZO上一點(diǎn)，將/沿

C/7折疊，點(diǎn)。落在點(diǎn)G處，連接。G并延長(zhǎng)交"8于點(diǎn)瓦若AE=5,則GE的長(zhǎng)為.

15.（2021吶蒙古中考真題）如圖，在中，NAC3=90。，過(guò)點(diǎn)8作8。，CB,垂足為8,且BD=3,

連接CZ）,與N8相交于點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)”作垂足為N.若AC=2,則MN的長(zhǎng)為.

NB

AT）CE3

16.（2021?江蘇徐州市?中考真題）如圖，在AABC中，點(diǎn)。,E分別在邊BA,BC上，且萬(wàn)一=

Efi-2

\DBE與四邊形ADEC的面積的比為

17.（2021?山東荷澤市?中考真題）如圖，在△ABC中，AD1BC,垂足為￡>,4）=5,8C=10,四邊

形EFGH和四邊形HGNM均為正方形，且點(diǎn)E、尸、G、〃、N、M都在AABC的邊上，那么△A￡M

與四邊形BCME的面積比為.

18.（2021?遼寧阜新?中考真題）如圖，已知每個(gè)小方格的邊長(zhǎng)均為1,則與4CDE的周長(zhǎng)比為.

19.（2021?貴州畢節(jié)市?中考真題）學(xué)習(xí)投影后，小華利用燈光下自己的影子長(zhǎng)度來(lái)測(cè)量一路燈的高度.如

圖，身高1.7m的小明從路燈燈泡A的正下方點(diǎn)B處，沿著平直的道路走8m到達(dá)點(diǎn)D處，測(cè)得影子DE長(zhǎng)

是2m,則路燈燈泡A離地面的高度AB為m.

20.（2021?江蘇南通?中考真題）如圖，利用標(biāo)桿測(cè)量樓高,點(diǎn)4。,8在同一直線上，DE1AC,BCLAC,

垂足分別為E,C.若測(cè)得鉆=Im,DE=1.5m,CE=5m,樓高BC是多少？

21.（2021?廣東黃埔?一模）如圖1所示，點(diǎn)C把線段AB分成AC與C8,若不=三;，則稱線段A3被點(diǎn)

ABAC

C黃金分割（goldensection）,點(diǎn)C叫做線段A3的黃金分割點(diǎn)，AC與A3的比叫做黃金比.

（1）根據(jù)上述定義求黃金比；（2）在圖2中，利用尺規(guī)按以下步驟作圖，井保留作圖痕跡.□作線段A8的

垂直平分線，得線段A3的中點(diǎn)M；口過(guò)點(diǎn)8作A3垂線/;」以點(diǎn)8為圓心，以8M為半徑作圓交/于M□

連接AN、BN,以N為圓心，以NB為半徑作圓交AN于P；□以點(diǎn)4為圓心，以AP為半徑作圓交A8于C.（3）

證明你按以上步驟作出的C點(diǎn)就是線段AB的黃金分割點(diǎn).

AC?AU

圖1圖2

22.（2021?江蘇玄武?二模）【問(wèn)題情境】

如圖□，小區(qū)A、B位于一條筆直的道路/的同側(cè)，為了方便A,B兩個(gè)小區(qū)居民投放垃圾，現(xiàn)在/上建一個(gè)

垃圾分類站C,使得C與A,B的距離之比為2:1.

AB

①

【初步研究】（1）在線段A3上作出點(diǎn)C,使C胃A=2.

CD

如圖，做法如下:

第一步：過(guò)點(diǎn)A作射線AM,以A為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫弧，交AM于點(diǎn)

以片為圓心，A片長(zhǎng)為半徑畫弧，交AM于點(diǎn)6；以巴為圓心，A片氏為半徑畫弧，交AM于點(diǎn)八.

第二步：連接8鳥(niǎo)，作NA《C=NAAB,交A3于點(diǎn)C.則點(diǎn)C即為所求.

請(qǐng)證明所作的點(diǎn)C滿足胃=2.

Co

r）Ar\

【深入思考】（2）如圖，點(diǎn)C在線段A3上，點(diǎn)。在直線AB外，且y=三=2.

DDCO

求證：0c是的平分線.

【問(wèn)題解決】（3）如圖，已知點(diǎn)A,3和直線/,點(diǎn)C在線段A3上，且三=2.用直尺和圓規(guī)完成下列作

圖.（保留作圖痕跡，不寫作法）。（□）在直線A3上作出點(diǎn)E（異于點(diǎn)C）,使笠=2；（□）在直線/上作

23.（2021?廣東中考真題）如圖，邊長(zhǎng)為1的正方形中，點(diǎn)E為AO的中點(diǎn).連接8E,將AWE

沿BE折疊得到AEBE,BF交AC于點(diǎn)G,求CG的長(zhǎng).

24.（2020?四川眉山市?中考真題）如圖，△MC和△CDE都是等邊三角形，點(diǎn)8、C、E三點(diǎn)在同一直

線上，連接BO,AD，3。交AC于點(diǎn)F.（1）若4）2=。口.。8,求證：4）=5產(chǎn)；（2）若NB4Z）=9O°,

BE=6.①求tanN￡）3E的值；②求。咒的長(zhǎng).

25.(2020?上海中考真題)已知：如圖，在菱形N8C。中，點(diǎn)E、尸分別在邊/8、AD±.,BE=DF,CE的

延長(zhǎng)線交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,CF的延長(zhǎng)線交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H.

(1)求證：ABECs2BCH；(2)如果求證：AG=DF.

AnA'n'

26.(2020?江蘇南京市?中考真題)如圖，在AABC和VA'8'C'中，D、以分別是AB、A3'上一點(diǎn)，——=——

ABA'B'

請(qǐng)?zhí)顚懫渲?/p>

的空格E'

CDACBC

(2)當(dāng)時(shí)，判斷AABC與VAB'C'是否相似，并說(shuō)明理由

直通中考

1.(2021?巴中?中考真題)兩千多年前，古希臘數(shù)學(xué)家歐多克索斯發(fā)現(xiàn)了黃金分割，即：如圖，點(diǎn)P是線段

RPAP

4B上一點(diǎn)、(AP>BP),若滿足不=不?，則稱點(diǎn)尸是48的黃金分割點(diǎn).黃金分割在日常生活中處處可見(jiàn)，

例如：主持人在舞臺(tái)上主持節(jié)目時(shí)，站在黃金分割點(diǎn)上，觀眾看上去感覺(jué)最好.若舞臺(tái)長(zhǎng)20米，主持人從

舞臺(tái)一側(cè)進(jìn)入，設(shè)他至少走x米時(shí)恰好站在舞臺(tái)的黃金分割點(diǎn)上，則x滿足的方程是()

APB

A.(20-x)2=20XB.7=20(20-x)C.x(20-x)=20?D.以上都不對(duì)

2.(2021?重慶中考真題)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將AQW以原點(diǎn)。為位似中心放大后得到△OC。，

若6(0,1),0(0,3),則與AOCD的相似比是()

3.(2021?湖南湘西土家族苗族自治州?中考真題)已知點(diǎn)"(x,y)在第一象限，且x+y=12,點(diǎn)A(10,0)在

x軸上，當(dāng)AQM4為直角三角形時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為()

A.(10,2),(8,4)或(6,6)B.(8,4),(9,3)或(5,7)

C.(8,4),(9,3)或(10,2)D.(10,2),(9,3)或(7,5)

4.(2020?黑龍江哈爾濱市?中考真題)如圖，在AABC中，點(diǎn)D在BC上，連接AD,點(diǎn)E在AC上，過(guò)點(diǎn)

E作EF//BC,交AD于點(diǎn)E過(guò)點(diǎn)E作EG//AB,交BC于點(diǎn)G,則下列式子一定正確的是()

AEEFEGEFAFBGCGAF

A___—____B_=__C___=____D___=____

ECCD.ABCDFDGC'BCAD

AT2

5.(2020?湖南永州市?中考真題)如圖，在△ABC中，EFHBC,——=-,四邊形3CEE的面積為21,則

EB3

△ABC的面積是()

91

A.B.25C.35D.63

T

6.(2021?黑龍江鶴崗市?中考真題)如圖，平行四邊形A59C的對(duì)角線A尸、3C相交于點(diǎn)￡點(diǎn)。為AC

的中點(diǎn)，連接3。并延長(zhǎng)，交FC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)。，交AF于點(diǎn)G,連接A。、OE,若平行四邊形ABR7

的面積為48,則So。。的面積為（）

7.（2021?浙江紹興市?中考真題）如圖，R/AABC中，44c=90°，cosB=-,點(diǎn)。是邊8c的中點(diǎn),

4

CE

以/。為底邊在其右側(cè)作等腰三角形4OE,使NADE=/B,連結(jié)CE,則——的值為（）

AD

A.-B.73C.巫D.2

22~

8.（2021?四川資陽(yáng)市?中考真題）如圖是中國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽用來(lái)證明勾股定理的弦圖的示意圖，它是由四

個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小