2021-2022學年北京市海淀區(qū)師達中學九年級（上）月考數(shù)學試卷

（12月份）

一、選擇題（共16分，每題2分）第1-8題均有四個選項，符合題意的選項只有一個

1.如圖，將給出的四張撲克牌擺成第一行的樣子，然后將其中的一張撲克牌旋轉180。成第二行的樣子，那

么被旋轉過的那張撲克牌應該是從左數(shù)（）

C.第三張D.第四張

2.二次函數(shù)^=奴2+法+。的圖象如圖所示，則下列說法正確的是（）

B.b>0C.c>0D.

3.拋物線y=f+4x+5的頂點坐標是（）

A.(2,5)B.(2,1)C.(-2,5)D.(-2,1)

4.如圖，在測量旗桿高度的數(shù)學活動中,小達同學在腳下放了一面鏡子，然后向后退，直到他剛好在鏡子

中看到旗桿的頂部.若眼睛距離地面A3=1.5米，同時量得BC=2米，CD=10米，則旗桿高度ZJE為

E

()

A.7.5米B.一米C.7米D.9.5米

3

5.如圖，在AABC中，D、E兩點分別在A3、AC邊上，DE//BC.若DE:BC=2:3,則

6.如圖，PA和PB是。0的切線，點A和B的切點，AC是。0的直徑，已知NP=50°,則NACB的大

相關數(shù)據(jù)CD=10m,a=45。，4=50。

設鐵塔頂端到地面的高度房為xm,根據(jù)以上條件，可以列出的方程為（）

A.x=(x-10)tan50°B,x=(%-10)cos50°

C.x-10=xtan50°D.x=(x+10)sin50°

8.如圖，過半徑為6的。O上一點A作。O的切線P為。。上的一個動點，作于點H,連接

%.如果以=x,AH=y,那么下列圖象中，能大致表示y與x的函數(shù)關系的是（）

二、填空題（共16分，每題2分）

9.如圖，A、B、C三點在正方形網(wǎng)格線的交點處.若將△ACB繞著點A逆時針旋轉得到△ACE,則tan8

將半徑為2cm的圓形紙片折疊后，圓弧恰好經(jīng)過圓心0,則折痕A8的長

11.如圖，在平面直角坐標系xOy中，^ABC與4A'B'C'頂點的橫、縱坐標都是整

數(shù).若aABC與aA'B'C是位似圖形，則位似中心的坐標是

12.拋物線）=涓+次+c對稱軸為41,點P,點。是拋物線與x軸的兩個交點，若點尸的坐標為（3,

0）,則點。的坐標為.

13.如圖，將矩形4BC。沿CE折疊，點B恰好落在的F處，若A8：BC=2：3,則cos/OCF值為=

△ABC中，點。在邊A3上，且NACZ)=NABC,若AC=J5，4)=1,

則OB的長為.

15如圖，點E在回A8CC的邊CO的延長線上，連接8E分別交A。、AC于尸、

G.圖中相似的兩個三角形共有.對.

若關于x的一元二次方程一f+4x—/=（）（，為實數(shù)）在1<%<5

的范圍內有解，則，的取值范圍是.

三、解答題（共68分，第17-21題，每題5分；第22題6分，第23題5分，第24-26題,

每題6分；第27-28題，每題7分）解答應寫出文字說明、演算步驟或證明過程17.計算:

8sin2600-4sin30°cos45°+遙tan30°.

18.如圖，把一副三角板如圖甲放置，其中/ACB=/OEC=90°,乙4=45°,/。=30°,斜邊AB=

6cm,DC=7cm,把三角板。CE繞點C順時針旋轉15°得到△DCE（如圖乙）.這時AB與C。'相交于點

O,O'E與AB相交于點凡求線段4。的長.

19.下面是小元設計的“過圓上一點作圓的切線”的尺規(guī)作圖過

己知：如圖,。。及。。上一點P.

求作：過點P的。。的切線.

作法：如圖，作射線OP；

①在直線OP外任取一點A,以A為圓心，AP為半徑作。A,與射線0P交于另一點B；

②連接并延長BA與。A交于點C；

③作直線PC；

則直線PC即為所求.根據(jù)小元設計的尺規(guī)作圖過程，

（1）使用直尺和圓規(guī)，補全圖形；（保留作圖痕跡）

（2）完成下面的證明:

證明：BC是。A的直徑，

NBPC=90°（填推理依據(jù)）.

OP1PC.

又；0P是。O的半徑，

PC是OO的切線（填推理依據(jù)）.

20.如圖，AABC中，ZA=30°,AC=2百，tan8=走，求A3的

2

21.補圖并證明.如圖NA="=90°,AB^AC，DE=DC,連接A。、BE,求證:

△ACDsMCE.

22.如圖，AB，CO均為同圓中的兩條弦，且AB_LCD.

（1）判斷AC+B。與BC+AO關系（)

D

B

A.AC+BD>BC+ADB.AC+BD=BC+AD

C.AC+BD<BC+ADD.以上三種情況均有可能

（2）若點尸為的中點，連接正并延長交8c于點求證：EH1BC

23.如圖是拋物線形拱橋，當水面寬為4米時，拱頂距離水面2米；當水面高度下降1米時，水面寬度為

多少米？請你以點。為原點、A3所在直線為x軸建立平面直角坐標系，解決這個實際問題.

已知:△ABC中,

r）p1AF

AD為上中線，點E在A。上,且匕=上，射線CE交于點尸.求竺的值.

AE3FB

如圖，在△ABC中，NC=90°,點E在AB上，以AE為直徑的。。

平分/BAC；

（2）若。。的半徑為5,sinZDAC=y,求8。的長.

26.在平面直角坐標系中，拋物線產(chǎn)以斗（1-2〃）x-2（存0）與y軸交于點C.

8

7

6

5,

4

3

（1）當。=1時，該拋物線與X軸的兩個交點為

8-7-6-5-43-2-1?12345678工

-11

6

A,B（點A在點B左側），求點A,B的坐標;

（2）若該拋物線與（1）中的線段A8總有兩個公共點，結合函數(shù)的圖象，求。的取值范圍.27.如圖1,

在正方形ABCO中，點F在邊BC上，過點F作EFLBC,且FE=FC（CEVCB）,連接CE、AE,點G是

AE的中點，連接FG.

（1）用等式表示線段BF與

圖2

（2）將圖1中的ACEF繞點C按逆時針旋轉，使△（7￡下的頂點尸恰好在正方形A8CD的對角線AC上，

點G仍是AE的中點，連接FG、DF.

①在圖2中，依據(jù)題意補全圖形；

②用等式表示線段DF與FG的數(shù)量關系并證明.

28.在平面直角坐標系X。），中，對于P,。兩點給出如下定義：若點P到兩坐標軸的距離之和等于點。到

兩坐標軸的距離之和，則稱P,Q兩點為同族點.如圖P,。兩點即為同族點.

(1)已知點A

的坐標為(-3,1),點B在x軸上，且A,B兩點為同族點，則點B的坐標為；

(2)直線/：y=x-3,與x軸交于點C,與y軸交于點。，

①M為線段8上一點，若在直線》="上存在點N,使得M,N兩點為同族點，求”的取值范圍；

②M為直線/上的一個動點，若以(加,0)為圓心，、反為半徑的圓上存在點N,使得N兩點為同族

點，直接寫出〃?的取值范圍.

2021-2022學年北京市海淀區(qū)師達中學九年級（上）月考數(shù)學試卷

（12月份）

一、選擇題（共16分，每題2分）第1-8題均有四個選項，符合題意的選項只有一個

1.如圖，將給出的四張撲克牌擺成第一行的樣子，然后將其中的一張撲克牌旋轉180。成第二行的樣子，那

么被旋轉過的那張撲克牌應該是從左數(shù)（）

C.第三張D.第四張

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)旋轉的性質，找出四張牌中成中心對稱的一張即可.

【詳解】解：被旋轉過的1張牌是從左數(shù)第二張牌.理由如下：

第一張牌，因為最中間的圖案不是中心對稱，所以不是中心對稱圖形，

第二張牌是中心對稱圖形，

第三張牌，因為最中間只有一張，所以不是中心對稱圖形，

第四張牌，因為最中間圖案不是中心對稱，所以不是中心對稱圖形，

?.?將其中的1張牌旋轉180。成第二行的樣子，

被旋轉過的1張牌是從左數(shù)第二張.

故選B

【點睛】本題考查的是中心對稱圖形的定義，掌握“中心對稱圖形的定義”是解本題的關鍵.

2.二次函數(shù),=必2+辰+。的圖象如圖所示，則下列說法正確的是（）

C.c>0D.b2-4ac>0

【答案】D

【解析】

【分析】利用拋物線開口方向可對A選項進行判斷；利用對稱軸位于x軸正半軸，則可對B選項進行判

斷；利用拋物線與），軸的交點位置可對c選項錯誤；根據(jù)拋物線與x軸的交點數(shù)，可對D選項進行判斷.

【詳解】解：?.?拋物線開口向上,

。>0,所以A選項錯誤;

對稱軸位于x軸正半軸,

b

------>0,a>0,

la

b<0,所以B選項錯誤;

拋物線與y軸的交點在y軸的負半軸上,

c<0,所以C選項錯誤;

拋物線與x軸有兩個交點,

^b2-4ac>0,所以D選項正確.

故選：D.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系：對于二次函數(shù)）=以2+云+c6川），二次項系數(shù)〃決定拋

物線的開口方向和大小.當”>0時，拋物線向上開口；當。<0時，拋物線向下開口；一次項系數(shù)b和二

次項系數(shù)。共同決定對稱軸的位置.當。與6同號時（即必>0）,對稱軸在y軸左；當a與b異號時（即

ab<0\對稱軸在y軸右.常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點位置：拋物線與y軸交于（0,c）.拋物線與x

軸交點個數(shù)由決定：/=廬4次;>0時，拋物線與x軸有2個交點；/=墳4/。=0時，拋物線與x軸

有1個交點；/=ZA4acV0時，拋物線與x軸沒有交點.

3.拋物線y=f+4x+5的頂點坐標是（)A.(2,5)B.(2,1)C.

2,5)D.(-2,1)

【答案】D

【解析】

【分析】利用頂點公式(-=,竺JL),進行解題.

2a4a

【詳解】解：；拋物線y=x2+4x+5

b

.x=-=-2,產(chǎn)也二2=1

2a24〃

???頂點為(-2,1)

故選：D.

【點睛】此題主要考查二次函數(shù)的頂點坐標，解題的關鍵是熟知二次函數(shù)的頂點公式為(-2,

2a

4ac-b2)

-?

4.如圖，在測量旗桿高度的數(shù)學活動中，小達同學在腳下放了一面鏡子，然后向后退，直到他剛好在鏡子

中看到旗桿的頂部.若眼睛距離地面A5=L5米，同時量得BC=2米，CD=10米，則旗桿高度。石為

()

E

/'弋

40

，/A.7.5米B.一米C.7米D.9.5米

一'3

【答案】A

【解析】

【分析】由平面鏡反射可得：ZACB=NDCE,再證明AABCSAEOC,再利用相似三角形的性質可得答

案.

【詳解】解：由平面鏡反射可得：ZACB=ZDCE,

Q1ABC?EDC90?,\VABCSVEOC,\空=史，...AB=1.5米，3C=2米，8=10米,

DECD

152

\——二解得：DE=75,經(jīng)檢驗：符合題意，

?.?旗桿高度OE為7.5米.

故選A

【點睛】本題考查的是相似三角形的應用，掌握“利用相似三角形的性質列方程求解”是解本題的關鍵.

5.如圖，在AABC中，D、E兩點分別在A3、AC邊上，DE//BC.若DE:BC=2:3,則

C.9:4D.4:9

【答案】D

【解析】

【分析】由。七〃證明△ADESAABC,再利用相似三角形的性質可得答案.

【詳解】解：DE//BC

4

..^ADE^^ABC,\故選D

9

【點睛】本題考查的是相似三角形的判定與性質，掌握“相似三角形的面積之比等于相似比的平方”是解

本題的關鍵.

6.如圖，PA和PB是。0的切線，點A和B的切點，AC是。O的直徑，已知/P=50°,則/ACB的大

小是（）

B.60°C.55°D.50°

【答案】A

【解析】

【詳解】分析：由PA、PBIO的切線內得NOAP=NOBP=90。,根據(jù)四邊形內角和，求出/AOB,再根據(jù)圓周

角定理即可求/ACB的度數(shù).

詳解：連接OB,如圖，

VPA,PB是。。的切線,

/.OA1PA,OB±PB,

ZOAP=ZOBP=90",

ZAOB=360°-90°-90°-50°=130°,

,/OB=OC,

.".ZOCB=ZOBC,

而ZAOB=ZOCB+ZOBC,

.".ZOCB=1X130°=65°,

即/ACB=65°.

本題考查了切線的性質，圓周角定理，解決本題的關鍵是連接0B,利用直徑對的

圓周角是直角來解答.

設鐵塔頂端到地面的高度FE為切1,根據(jù)以上條件，可以列出的方程為()A%=(x-10)tan50°

B.x=(x-10)cos50°

C.x-10=xtan50°D,x=(x+10)sin50°

【答案】A

【解析】

EF

【分析】由a=45°得DH=FH=CE,故在Rtz\EFC中使用tan5()°=—即可列出方程.

CE

【詳解】?.?a=45°,，DH=FH,

貝!JFH=CE,

設FE為x,CE=x-10,

EFx

在RtAEFC,tan5()°=—=-----

CEx-10

BPx=(x-10)tan50°,選A.

【點睛】此題主要考察三角函數(shù)的應用.

8.如圖，過半徑為6的。。上一點A作。。的切線P為。。上的一個動點，作于點H,連接

PA.如果B4=x,AH=y,那么下列圖象中，能大致表示丁與X的函數(shù)關系的是()

【答案】C

【解析】

【詳解】解：作直徑AB,連接BP.

,ZAPB=90°,

/8+/BA尸=90。，

?；/是切線，

NBAH=90。,

：.ZPAH+ZBAP=90°,

：.ZPAH=ZB,'：PH1.AH,

：.ZBPA^ZAHP=9Q°,

：.MABBs△PHA,

：.AB：AP=PA：PH,

12：x=x：yjx2-y2>

"?y=t36—(6----)~>

觀察圖象，只有C符合，故選C.

二、填空題（共16分，每題2分）

9.如圖，A、B、C三點在正方形網(wǎng)格線的交點處.若將△ACB繞著點A逆時針旋轉得到△4CB，，則tanB，

1

3

【解析】

【分析】過C點作垂足為。，根據(jù)旋轉性質可知，把求tan夕的問題，轉化為在

RtASCZ）中求tanB.

【詳解】解：過C點作垂足為。.

BD33

故答案為：—.

3

【點睛】本題考查了旋轉的性質，旋轉后對應角相等；三角函數(shù)的定義及三角函數(shù)值的求法.

10.如圖，將半徑為257的圓形紙片折疊后，圓弧恰好經(jīng)過圓心。，則折痕的長為<

【答案】2月

【解析】

【分析】在圖中構建直角三角形，先根據(jù)勾股定理得A。的長，再根據(jù)垂徑定理得A8的長.

【詳解】解：作于D,連接OA.

o

片丁、尸艮據(jù)題意得：如pg。

再根據(jù)勾股定理得：ADfcm,

根據(jù)垂徑定理得：AB=26cm.

故答案為：2百.

【點睛】本題考查了翻折變換（折疊問題），勾股定理以及垂徑定理.注意由題目中的折疊即可發(fā)現(xiàn)。外

1

-04=1.

2

11.如圖，在平面直角坐標系xOy中，AABC與AA'B'C'頂點的橫、縱坐標都是整數(shù).若AABC與

【答案】（8,0）

【解析】

【分析】

【詳解】位似圖形的主要特征是：每對位似對應點與位似中心共線.

解：直線AA，與直線BB，的交點坐標為（8,0）,所以位似中心的坐標為（8,0）.

故答案為（8,0）.

“點睛”本題考查位似中心的找法，各對應點所在直線的交點即為位似中心.

12.拋物線）=五+公+。的對稱軸為41,點P,點。是拋物線與x軸的兩個交點，若點P的坐標為（3,

0）,則點。的坐標為.

【答案】（-1.0）

【解析】

【分析】根據(jù)拋物線的對稱軸結合點尸的橫坐標，即可求出點Q的橫坐標，此題得解.

【詳解】解：???拋物線的對稱軸為直線X=l,點P的坐標為(3,0),

???點Q的橫坐標為1x2-3=-1,

.?.點。的坐標為(-1,0).

故答案為：(-1,0).

【點睛】本題考查了拋物線與x軸的交點以及二次函數(shù)的性質，牢記拋物線的對稱性是解題的關鍵.

13.如圖，將矩形ABCD沿CE折疊，點B恰好落在AO的尸處，若48：BC=2：3,則cos/QCF值為=

【分析】由四邊形A8C。是矩形，AB：BC=2：3,設AB=2,w,則8C=3m,可得CF=3〃i,從而解決問

題.

【詳解】解：???四邊形ABC。是矩形，AB：BC=2：3,

設A8=2〃3則8c=3〃?，

：.AB=CD=2m,AD=BC=CF=3m,ZD=90°,

DC2m_2

cosZDCF=-----

FC3m3

2

故答案為：—.

【點睛】本題考查翻折變換(折疊問題)，翻折對稱的性質，矩形的性質，銳角三角函數(shù)定義，解題關鍵是

掌握翻折對稱的性質，矩形的性質，銳角三角函數(shù)定義.

14.如圖，AABC中，點。在邊A3上，且NAC￡)=NA6C,若AC=石，AD=\，則。3的長為

【答案】2

【分析】由NAC6N4BC、NA=NA,即可得出△A8CsZMC￡>,根據(jù)相似三角形的性質可得出

ADAC

—=——，代入AC、的值可求出AB的長，再根據(jù)即可求出結論.

ACAB

【詳解】解：'：ZACD=ZABC,N4=NA,

△ABCs”。。,

.ADAC

AC-AB'

，：AC=6AD=l,

.1_V3

??———,

6AB

：.AB=3,

：.BD=AB-AD=3-l^2.

故答案為2

【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質，牢記相似三角形的判定定理是解題的關鍵.15.如圖，點

E在團ABCD的邊CD的延長線上，連接BE分別交A。、AC于F、G.圖中相似的兩個三角形共有

對.

【解析】

【分析】根據(jù)平行四邊形的性質及相似三角形的判定方法進行分析即可.

詳解】解：?.SBC。是平行四邊形

：.AD//BC,AB//DC

V/\ABG^/\CEG,△AGFs^CGB,AEFD^AEBC,^ABF^/\DEF,△ABfsaEBC五對，還有一

對特殊的相似即AABC也△AQC,

.?.共6對.

故答案為：6.

【點睛】本題考查了平行四邊形的性質及相似三角形的判定定理，解題的關鍵是熟練掌握三角形的判斷方

法，屬于中考常考題型.

16.若關于x的一元二次方程一f+4x-，=0（「為實數(shù)）在1<%<5的范圍內有解，則/的取值范圍是

【答案】-5</<4

【解析】

【分析】由方程有解轉化為考查函數(shù)丁=-爐+4無,丁=/兩個函數(shù)的交點情況，再畫出兩個函數(shù)的圖象,

結合函數(shù)圖象可得答案.

【詳解】解：：一f+4xT=0

\-“2+4x=/考查函數(shù)）=-*2+4x,y=t兩個函數(shù)的交點情況，如圖,

當x=5時，y=-25+4?5-5,

*'?當l<x<5,兩個函數(shù)y=-x?+4x,y=/有交點時，

此時-5<r<4,

關于x的一元二次方程一丁+4》_「=0（，為實數(shù)）在l<x<5的范圍內有解，則1的取值范圍是

-5</<4.

故答案為：-5<r<4.

【點睛】本題考查是二次函數(shù)的圖象與一元二次方程的聯(lián)系，掌握“利用二次函數(shù)的圖象解決一元二次

方程的解的問題”是解本題的關鍵.

三、解答題（共68分，第17-21題，每題5分；第22題6分，第23題5分，第24-26題，

每題6分；第27-28題，每題7分）解答應寫出文字說明、演算步驟或證明過程

17.計算：8sin2600-4sin30°cos450+V6tan300.

【答案】6

【解析】

【分析】先分別求解特殊角的三角函數(shù)值，再代入計算即可.

【詳解】解：8sin2600-4sin30°cos45°+76tan30°

=8?鬻4倉專曰+#？孝=6-、6+夜=6【點睛】本題考查的是特殊角的三角函數(shù)值的記

憶與運算，熟練的運用特殊角的三角函數(shù)值進行計算是解本題的關鍵.18.如圖，把一副三角板如圖甲放

置，其中NACB=NOEC=90°,ZA=45°,ZD=30°,斜邊AB=6aw,DC=7cm,把三角板。CE繞

點C順時針旋轉15°得到△OCE（如圖乙）.這時AB與C。相交于點0,與AB相交于點凡求線段

A。的長.

【分析】由旋轉的性質可得/￡>'CE=60°,ZBCE'=15°,可求NCOB=90°,由等腰直角三角形的性

質可求4O=CO=8O=3a”，由勾股定理可求解.

【詳解】解：???/ACB=/￡?EC=90°,NA=45°,Z￡>=30°,

/.ZZ）CE=60°,ZB=450

???把三角板DCE繞點、C順時針旋轉15°得到

：.ZD'CE'=60°,ZBCF=15°,

：.ZOCB=45°,

又：NB=45°,

ZCOB=90°,

又???△AC8是等腰直角三角形，

.,.AO=CO=BO=3cin,

D'O—4cm,

'-AD'=^ACr+iyOr=532+42=5c/n.

【點睛】本題考查了旋轉的性質，直角三角形的性質，等腰直角三角形的性質，勾股定理等知識，靈活運

用這些性質解決問題是解題的關鍵.

19.下面是小元設計的“過圓上一點作圓的切線”的尺規(guī)作圖過程.

己知：如圖，。0及。O上一點P.

求作：過點P的。o的切線.

作法：如圖，作射線OP；

①在直線OP外任取一點A,以A為圓心，AP為半徑作OA,與射線OP交于另一點B；

②連接并延長BA與。A交于點C；

③作直線PC；

則直線PC即為所求.根據(jù)小元設計的尺規(guī)作圖過程，

（1）使用直尺和圓規(guī)，補全圖形；（保留作圖痕跡）

（2）完成下面的證明：

證明：：BC是。A的直徑，

NBPC=90°（填推理依據(jù)）.

/.OP1PC.

又,:0P是。0的半徑，

PC是O0的切線（填推理依據(jù)）.

【答案】（1）見解析；（2）直徑所對的圓周角是直角；過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線

【解析】

【分析】（1）根據(jù)題意作出圖形即可；

（2）根據(jù)圓周角定理得到/BPC=90。，根據(jù)切線的判定定理即可得到結論.

【詳解】解：（D補全圖形如圖所示，則直線PC即為所求；

（2）證明：：BC是OA的直徑,

圖2

/.ZBPC=90°（圓周角定理），

AOPIPC.

又YOP是。O的半徑，

；.PC是。。的切線（切線的判定）.

故答案為：圓周角定理；切線的判定.

【點睛】本題考查了切線的判定，圓周角定理，正確的作出圖形是解題的關鍵.20.如圖，AABC中,

NA=30°,AC=20，tan5=—,求A8的長.

2

【答案】5

【解析】

【分析】過點C作CCAB于Q,利用30。角所對的直角邊等于斜邊的一半求出CQ,然后根據(jù)勾股定理

求出AO==3,最后根據(jù)NB的正切值求出80，即可得解.

【詳解】解：如圖所示，過點C作CDLA8于點。，

二/A￡>C=/BDC=90°

VZA=30°,AC=2日

：.CD=-AC=y/3,

2

AD=y/AC2-CD2=3

??55=0=正，

BD2

：.BD=2,

：.AB=AD+BD=5.

【點睛】本題主要考查了解直角三角形，勾股定理和含30度直角三角形的性質，解題關鍵是作輔助線構

造出兩個直角三角形.

21.補圖并證明.如圖NA=NZ)=90°,AB=AC,DE=DC,連接A。、BE,求證:

△ACDs叢BCE.

E

【答案】證明見解析

【解析】

4rRC'

【分析】先證明？ACB?DCE45?,BC6AC,CE=6DC,可得--=——，從而可得結論.

DCEC

【詳解】解：如圖，連接4。,BE,

DE=DC,

\?ACB?DCE45?,5C41AC,CE=41DC,：.ZACD+ZDCB=ZDCB+ZBCE

即NACD=/BCE

、垃

\-AC=-=-DC\4G=+，\VACDSVBCE.【點睛】本題考查的是等腰直角三角形的性質，勾

BC2EC9DCEC

股定理的應用，相似三角形的判定，掌握“兩邊對應成比例且夾角相等的兩個三角形相似”是解本題的關

鍵.

22.如圖,A3、CO均為同圓中的兩條弦，且ABLCD.

（1）判斷AC+BO與BC+A。的關系（）

A.AC+BD>BC+ADB.AC+BD=BC+AD

C.AC+BD<BC+ADD.以上三種情況均有可能

（2）若點尸為的中點，連接EE并延長交3C于點H,求證：EHd.BC

【答案】（1）B；（2）證明見解析

【解析】

【分析】（1）由證明AC+BD的度數(shù)為：2加0=180?,得到注C,加）組成一個半圓，則

6C,A￡）也組成一個半圓，從而可得答案;

(2)由4B_LC。,尸為的中點，證明？AEO90?,FEFO=E4,再證明？?BE”,從而

可得答案.

【詳解】解：(1)-.AB±CD,

\?8?C90?,\用c+加的度數(shù)為：2第0=180?,

即M,加)組成一個半圓，

\3c,而也組成一個半圓，

AC+BD^BC+AD>

故選B

(2)?.?A5L8,尸為AO的中點,

\7AED90?,FEFD=FA,\?FED?D,?;NB=ND,\?B?FED,Q?AEF?BEH,

\?B?BEH?FED?AEF90?,\?EHB90?,\七"人3C.【點睛】本題考查的是直角三角形

斜邊上的中線等于斜邊的一半，等腰三角形的判定與性質，圓周角與弧之間的關系，熟練的運用以上知識

解題是解題的關鍵.

23.如圖是拋物線形拱橋，當水面寬為4米時，拱頂距離水面2米；當水面高度下降1米時，水面寬度為

多少米？請你以點。為原點、A3所在直線為x軸建立平面直角坐標系，解決這個實際問題.

時水面寬度為2指米.

【解析】

【分析】如圖，以。為坐標原點，A3所在的直線為x軸建立直角坐標系，再根據(jù)坐標系得到

A(-2,0),B(2,0),C(0,2),且。為拋物線的頂點，再利用待定系數(shù)法求解拋物線的解析式，求解當

丁=-1時，自變量的值，從而可得答案.

【詳解】解：如圖，以。為坐標原點，所在的直線為*軸建立直角坐標系,

結合題意可得：AB=4,CD=2,

\A(-2,0),6(2,0),C(0,2),且。為拋物線的頂點，設拋物線為：y=ax2+2,

\4"=-2,.?.a=—L所以拋物線的解析式為：y=--X2+2,

22

當水面高度下降1米時，即y=-1,

\-1%2+2=-1,\》2=6,解得：寧瓜&二飛

所以水面寬度為：瓜-卜4^=2指,

答：水面下降1米，此時水面寬度為2m米.

【點睛】本題考查的是二次函數(shù)的實際應用，熟練的按照要求建立平面直角坐標系，并求解二次函數(shù)的解

析式是解本題的關鍵.

DEI

24.已知：AABC中，AO為8。上的中線，點后在4。上，且——=-,射線CE交A3于點F.求

AE3

AF,,..

----的值.

FB

【解析】

【分析】如圖，過。作交。產(chǎn)于M,證明VDMESV4F￡,VC￡>"SVC8￡可得:

DM1DM1ra,村上

=一,----=一，從而可得答案.

~AF

3BF2

【詳解】解：如圖，過。作。交CE于M,

\NDME^NAFEyCDM3CBF=-

AEAF3

\—=-=-,\竺=3.【點睛】本題考查的是相似三角形的判定與性質，掌握“利用相似三角形

CBBF2BF2

的對應邊成比例建立比例式”是解本題的關鍵.

25.如圖，在△ABC中，NC=90°,點E在A8上，以AE為直徑的。0切BC于點。，連接40.

(1)求證：平分NBAC；

(2)若0。的半徑為5,sinND4C=g,求8。的長.

20

【答案】(1)見解析(2)BD=—

3

【解析】

【分析】(1)連接0D先依據(jù)平行線的判定定理證明0D〃AC,然后依據(jù)平行線的性質和等腰三角形的

性質證明N0AO=ND4C,于是可證明AO平分/BAC.

(2)連接E。、0D.由題意可知AE=10.接下來，在△AD4中，依據(jù)銳角三角函數(shù)的定義可求得的

長，然后在△AOC中，可求得QC和AC的長，由。Q〃AC可證明△BOOsaBAC,然后由相似三角形的

性質可列出關于8。的方程.

:.ODLBC,

：.ZODB=90°.

VZC=90°,

：.ZC=ZODB.

：.OD//AC.

：.ZODA=ZDAC.

???OD=OAf

：.ZOAD=ZODA.

：.ZOAD=ZDAC.

???AO平分NAAC.

【小問2詳解】

如圖2所示：連接ED

?：ZEAD=ZCADfsinZDAC=—,

5

：.s\nZEAD=—f

5

在放△%￡)￡：中，DE=AExsinZEAD=^-x10=2y/5.

???AD=^AE2-AD2=^102-(2可=46

在?△AQC中，DC=DCXsinZEAD=J^-X475=4,

???AC=NAD?-CD?=#-42=8.

???OD//AC,

:?△BODs/\BAC.

ODBD刖5BD

..-----------，即一二----------，

ACBC8BD+4

解得：BD=—

3

【點睛】本題主要考查的是切線的性質、平行線的判定和性質、等腰三角形的性質、銳角三角函數(shù)的定

義、相似三角形的判定和性質，列出關于BD的方程是解題的關鍵.

26.在平面直角坐標系中，拋物線)=0^+(1-2〃)x-2(存0)與y軸交于點C.

ay

8

7

6

5，

4

3

2

1(1)當。=1時，該拋物線與元軸的兩個交點為

-8-7-6-5-4-3-2-1?12345678x

-11

-2

-3

-4-

-5-

-6

7

-8

A,B(點A在點6左側)，求點A,8的坐標；

(2)若該拋物線與(1)中的線段A8總有兩個公共點，結合函數(shù)的圖象，求〃的取值范圍.

【答案】(1)4(-L0),B(2,0)；(2)a的取值范圍為色1或

2

【解析】

【分析】U)先由”=1得到拋物線解析式；解方程1*2=0得A(-1,0),B(2,0)；

(2)先判斷拋物線嚴加+(1-2。)x-2(厚0)必過點C點和B點，再討論：當a>0,利用戶-1時，yK)

時得到a-l+2a-2K),解不等式得到。的范圍；②當〃V0時，當頂點為3點，利用△=(l-2a)2-4a*(-2)

=0,得。=-,，從而判斷時拋物線與線段AB總有兩個公共點.

22

【詳解】解：(1)當4=1時，拋物線為)=(”2,

.,.點C的坐標為(0,-2),

令產(chǎn)0,則/?1?2=0,解得X2=2,

YA在點6左側，

：.A(-1,0),B(2,0)；

(2)當jt=0時，尸加+(1?2。)x-2=-2；

當42時，y^ax2+(I-2a)x-2=0,

所以拋物線產(chǎn)以2+(l-2a)x-2(存0)必過點C(0,-2)和B(2,0)；

①當”>0,當x=-l時，心0時，拋物線與線段A8總有兩

個公共點，

即a-l+2a-2>0,

解得a>l；

②當“<0時，當頂點為B點時，△=(l-2a)2-4a?(-2)=0,

解得a^--,則時拋物線與線段AB總有兩個公共點，

22

綜上所述，4的取值范圍為。打或

2

【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系.二次函數(shù)產(chǎn)辦2+法+c(”切)系數(shù)符號由拋物線開口方

向、對稱軸、拋物線與y軸的交點拋物線與x軸交點的個數(shù)確定.

27.如圖1,在正方形A2CZ)中，點F在邊BC上，過點尸作EFLBC,且FE=FC(CEVCB),連接

CE、AE,點G是AE的中點，連接

(1)用等式表示線段B尸與尸G的數(shù)量關系：；

(2)將圖1中的尸繞點C按逆時針旋轉，使△點尸的頂點尸恰好在正方形A8CD的對角線AC上,

點G仍是AE的中點，連接FG、DF.

①在圖2中，依據(jù)題意補全圖形；

②用等式表示線段。尸與FG的數(shù)量關系并證明.

【答案】（1）BF=6FG

（2）①見解析；（2）DF=V2FG,證明見解析

【解析】

分析】（1）連接CG、8G,根據(jù)正方形的性質得出aCBG和AABG中相等的邊和角，證明

△CBG^AABG,得出NGBF=45°,再證明△CFG絲ZXEFG,得出/CFG=/EPG=135°,則/GFB=

45°,于是得出△G8F是等腰直角三角形，則BF=0FG；

（2）①根據(jù)題意，畫出△CEF繞點C逆時針旋轉到點尸落在4c上時的圖形即可；

②類比①中的方法和結論，可得。F=&FG,連接8G、BF,先證明尸父△￡>/!「，則凡再

由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半證明FG=AG,BG=4G,則尸G=BG,由等腰三角形的性質

和三角形內角和定理的推論證明NFGB=2NBAF=2X45°=90°,則4GB尸是等腰直角三角形，于是得

DF=BF=^2FG.

【小問1詳解】

解：BF=72FG,

理由：如圖1,連接CG、BG,

?