十四函數模型及其應用

基礎落實練30分鐘6（）分

一、單選題（每小題5分，共20分）

1.拉面是很多食客喜好的食物.師傅在制作拉面的時候，將面團先拉到一定長度，然后對折

（對折后面條根數變為原來的2倍），再拉到上次面條的長度.每次對折后，師傅都要去掉拾

在一只手里的面團.如果拉面師傅將300g面團拉成細絲面條，每次對折后去掉拾在手里的

面團都是18g,第一次拉的長度是1m,共拉了7次，則最后每根1m長的細絲面條的質量（假

定所有細絲面條粗細均勻，質量相等）是（）

87

A.—gB.3gC.1.5gD.3.5g

【解析】選B.拉面師傅拉7次面條共有27-'=26=64根面條，在7次拉面過程中共對折6次,

則去掉面的質量為6X18=108g；

剩下64根面條的總質量為300—108=192g,

192

則每根面條的質量為石了=3g.

2.（2022?深圳模擬）核酸檢測分析是用熒光定量PCR法，通過化學物質的熒光信號，對在

PCR擴增進程中成指數級增加的靶標DNA實時監測，在PCR擴增的指數時期，熒光信號強度

達到閾值時，DNA的數量匕，與擴增次數〃滿足lgX=nlg（l+p）+lg去，其中夕為擴增

效率，友為DNA的初始數量.已知某被測標本DNA擴增10次后，數量變為原來的100倍，那

么該樣本的擴增效率0約為（參考數據：10°）%1.585,p0631）（）

A.0.369B.0.415C.0.585D.0.631

【解題指南】根據已知條件，可推得lg（100^）=101g（l+p）+lg%,結合對數函數的性

質，即可求解.

【解析】選C.由題意可知，lg（100X）=101g（l+p）+lg*即2+lg%=101g（l+p）+lg

去，所以1+0=10"2心1.585,解得585.

3.（2021?常熟模擬）生物體死亡后，它機體內原有的碳14含量產會按確定的比率衰減（稱為

衰減率），尸與死亡年數Z之間的函數關系式為々七）a（其中a為常數），大約每經過5730

年衰減為原來的一半，這個時間稱為“半衰期”.若2021年某遺址文物出土時碳14的殘余量

約占原始含量的79%,則可推斷該文物屬于(參考數據：log。79Q一0.34)()

參考時間軸：

-475-221-20202206189079601279公元2021年

-I----1----1--1---1-----1---M-----1-----------

戰國漢唐宋

A.戰國B.漢C.唐D.宋

【解析】選B.因為每經過5730年衰減為原來的一半，所以生物體內碳14的含量產與死亡

tt

年數，之間的函數關系式為手(。0),由題意可得自5而59,所以1

=-log20.79^0.34,可得/”948,由2021—1948=73,可推斷該文物屬于漢朝.

4.(2021?濰坊模擬)某地區為落實鄉村振興戰略，幫助農民脫貧致富，引入一種特色農產品

種植，該農產品上市時間僅能維持5個月，預測上市初期和后期會因產品供應不足使價格持

續上漲，而中期又將出現供大于求使價格連續下跌.經研究其價格模擬函數為M=

3尸+〃，(0WCW5,其中￡=0表示5月1日，1=1表示6月1日，以此類推)，若/?(2)=6,

為保護農戶的經濟效益，當地政府計劃在價格下跌時積極拓寬外銷，請你預測該農產品價格

下跌的月份為()

A.5月和6月B.6月和7月

C.7月和8月D.8月和9月

【解析】選B.因為=3)?+A,f(2)=6,所以f⑵=2+〃=6,所以z?=4所以f(t)

=t(t-3)2+4,所以6(t)=(t-3)2+2t(t-3)=3(i-l)(t-3),令f(力<0得1V￡

V3,所以/V)在(1,3)上單調遞減，因為t=l表示6月1日，亡=2表示7月1日，t=3

表示8月1日，所以該農產品價格下跌的月份為6月和7月.

二、多選題(每小題5分，共10分，全部選對得5分，選對但不全的得2分，有選錯的得0

分)

[64,xWO

5.某食品的保鮮時間￡(單位：小時)與存儲溫度”(單位：℃)滿足函數關系t=i且

2"*+6,x>0

該食品在4℃的保鮮時間是16小時.

o89101112131415時間

已知甲在某日上午10時購買了該食品,并將其遺放在室外，且此日的室外溫度隨時間變化如

圖所示，則以下四個結論正確的是()

A.該食品在6°C的保鮮時間是8小時

B.當xC[-6,6】時，該食品的保鮮時間C隨著x的增大而逐漸減少

C.到了此日13時,甲所購買的食品還在保鮮時間內

D.到了此日14時,甲所購買的食品已然過了保鮮時間

64,xWO,

【解析】選AD.因為食品的保鮮時間「與儲藏溫度x滿足函數關系式t=\*A+6'且該

2O，X>0

食品在4℃時保鮮時間是16小時.

所以*+6=16,即44+6=4,解得衣=一；.

64,x=0

所以t=<」x+6

22,x>0

A.當x=6時，t=8,所以該食品在6°C的保鮮時間是8小時，故A正確;

B.當6,0)時，時間￡不變，故B錯誤;

C.由題圖象可知，當到此日12小時，溫度超過12度，此時的保鮮時間不超過1小時，所以

到了此日13時，甲所購買的食品不在保鮮時間內，故C錯誤；D由C知，D正確.

6.甲、乙、丙、丁四個物體同時從某一點出發向同一方向運動，它們行走的路程f(x)(/=l,

2,3,4)關于時間x(x20)的函數關系式分別為f\(x)=21—1,f2[x)=x,f^x)=x,￡(x)

=log2(x+D,則下列結論正確的是()

A.當x>l時，甲走在最前面

B.當x>l時，乙走在最前面

C.當0<京1時，丁走在最前面，當x>l時，丁走在最后面

D.如果它們一直運動下去，最終走在最前面的是甲

【解析】選CD.甲、乙、丙、丁的路程￡(x)(i=l,2,3,4)關于時間x(x》O)的函數關系式

分別為f\(x)=2，-1,fAx)—x,△(x)=x,(x)=

log2(x+l),它們對應的函數模型分別為指數型函數模型、二次函數模型、一次函數模型、

對數型函數模型.

當x=2時，￡(2)=3,￡(2)=4,所以A不正確；

當x=5時，￡(5)=31,￡(5)=25,所以B不正確.

根據四種函數的變化特點，對數型函數的增長速度是先快后慢，又當x=l時，甲、乙、丙、

丁四個物體走過的路程相等，從而可知，當0<冢1時，丁走在最前面，當x>l時，丁走在最

后面，所以C正確；

指數型函數的增長速度是先慢后快，當運動的時間足夠長時，最前面的物體一定是按照指數

型函數模型運動的物體，即一定是甲物體，所以D正確.

三、填空題(每小題5分，共10分)

7.已知函數/'(x)=3，,g(x)=x,當xWR時，/1(x)與g(x)的大小關系為.

【解析】在同一直角坐標系中畫出函數/'(*)=3',€(*)="的圖象，如圖所示：

由于函數f(x)=3”的圖象在函數g(x)=x圖象的上方，則f(x)>g(x).

答案:f(x)>g(x)

8.高壓10kV輸電線路電壓損失估算口訣：架空鋁線十千伏，電壓損失百分數；輸距電流積

六折，再被導線截面除；輸距千米電流安，截面毫方記清楚.其意義為“對于高壓10kV的

架空鋁線，若輸電線路的輸距為xkm,電流為yA,導線截面為zmm2,則電壓損失百分數

為=”把先”據此可知，對于一條長度為10km,高壓為10kV的輸電線路，若當導線截

Z

面為50mm2,電流為30A時的電壓損失百分數為?%,當導線截面為40mm2,電流為35A時

的電壓損失百分數為劭，則白=.

6X1X3

【解析】由題意可知^%=°-Q0%=￥%.

505

0.6X10X3521…/24

映=---------%=-%;所以77=77.

4U4Ikob

田g24

口案:而

四、解答題(每小題10分，共20分)

9.目前某縣有100萬人，經過x年后為y萬人.如果年平均增長率是1.2%,請回答下列問

題:(已知：1.012,°^1.1267,1.012”和1.1402,1g1.2-0.079,1g1.012^0.005)

(1)寫出y關于x的函數解析式；

⑵計算10年后該縣的人口總數(精確到0.1萬人)；

⑶計算大約多少年后該縣的人口總數將達到120萬(精確到1年).

【解析】⑴當戶1時,y=100+100Xl.2%=100(1+1.2%)；當x=2時,y=100(l+l.2%)

+100(1+1.2%)X1.2%=100(1+1.2%)2；當x=3時，

7=100(1+1.2%)2+100(1+1.2%)2XI.2%

=100(1+1.2%尸；….故y關于x的函數解析式為尸100(1+1.2%)*(xWN*).

(2)當%=10時，產=100義(1+1.2%)10=100X1.012lo^112.7.故10年后該縣約有112.7萬人.

120

⑶設x年后該縣的人口總數為120萬，即100X(1+1.2%)A=120,解得xnogL^^16.

故大約16年后該縣的人口總數將達到120萬.

10.(2021?保定模擬)某生物研究者于元旦在湖中放入一些鳳眼蓮(其覆蓋面積為A),這些

鳳眼蓮在湖中的蔓延速度越來越快，二月底測得鳳眼蓮的覆蓋面積為24nl:三月底測得鳳眼

蓮的覆蓋面積為36m，鳳眼蓮的覆蓋面積八單位：n?)與月份x(單位：月)的關系有兩個函數

模型y=4a"(4>0,a>l)與尸0工+左(夕>0,您>0)可供選擇.

(1)試判斷哪個函數模型更合適并求出該模型的解析式；

(2)求鳳眼蓮的覆蓋面積是元旦時放入鳳眼蓮面積10倍以上的最小月份.(參考數據：1g2

心0.3010,1g3g0.4771).

【解析】(1)函數y=4a*(4>0,a>l)與y=*+4(0>0,4>0)在(0,+8)上都是增函數,

隨著x的增加，函數y=Aa、a>0,a>l)的值增加的越來越快，而函數尸晟+4的值增加

的越來越慢，由于鳳眼蓮在湖中的蔓延速度越來越快，因此選擇模型尸Aa"(A>0,a>l)符

合要求.根據題意可知x=2時，y=24；x=3時，尸36,

，_32

'ka=2\*332(3、x

所以，3”，解得<。.故該函數模型的解析式為夕=丁?$,1WXW12,xdN*；

14aJ=3633

「=5

3232

⑵當x=0時，，元旦時放入鳳眼蓮的面積是可nA

oo

、xf3\x

由39彳,,?3>1°?了39，得閆>13所以x>logg10=-1girn=lg3-1lg2*7，

2坨2

因為xWN*,所以x26,即鳳眼蓮的覆蓋面積是元旦時放入鳳眼蓮面積10倍以上的最小月份

是六月份.

-，素養提升練,2()分鐘40分

1.某位股民購進某支股票，在接下來的交易時間內，他的這支股票先經歷了A次漲停(每次

上漲10%),又經歷了〃次跌停(每次下跌10%),則該股民這支股票的盈虧情況(不考慮其他費

用)為()

A.略有盈利B.略有虧損

C.沒有盈利也沒有虧損D.無法判斷盈虧情況

【解析】選B.設該股民購進這支股票的價格為a元，則經歷〃次漲停后的價格為a(l+10盼"

=aXL1元，經歷A次跌停后的價格為aXl.1"X(l—10%)"=aXl.l"X0.9"=aX(1.1X0.9)"

=0.99〃?a<a,故該股民這支股票略有虧損.

2.(多選題)通過研究學生的學習行為，心理學家發現，學生的接受能力依賴于老師引入概念

和描述所用的時間.若用f(x)表示學生掌握和接受概念的能力(f(x)越大，表示學生的接受

能力越強)，x表示提出和講授概念的時間(單位：min),長期的實驗和分析表明，f(x)與x

f-0.17+2.6^+43,(KxWlO

有以下關系：f(x)=159,10<xW16則下列說法正確的有()

1-3^+107,16<%<30

A.講授開始時，學生的興趣遞增；中間有段時間，學生的興趣保持較理想的狀態；隨后學生

的注意力開始分散

B.講課開始后第5分鐘比講課開始后第20分鐘，學生的接受能力更強一點

C.講課開始后第10分鐘到第16分鐘，學生的接受能力最強

D.需要13分鐘講解的復雜問題，老師可以在學生的注意力至少達到55以上的情況下完成

【解析】選ABC.由題意，

0.11+2.6x+43,0<xW10

f(x)=<59,10<xW16

1-3^+107,16<xW30

當OV后10時，f(x)=—0.l*+2.6x+43=-0.l(x—13V+59.9,故函數f(x)在(0,10］

上單調遞增，最大值為f(10)=59；當10〈拭16時，/tv)=59,當16<xW30時，f(x)=

-3^+107,故/'(x)單調遞減，所以f(x)Vf(16)=59,當講授開始時，學生的興趣遞增；中

間有段時間，學生的興趣保持較理想的狀態；隨后學生的注意力開始分散，故選項A正確；

因為/(5)=-0.1X(5-13)2+59.9=59.9-6.4=53.5,/(20)=-3X20+107=47<53.5,

所以講課開始后第5分鐘比講課開始后第20分鐘，學生的接受能力更強一點，故選項B正確；

由選項A的分析可知，講課開始后第10分鐘到第16分鐘，學生的接受能力最強，故選項C

正確；當OVxWlO時，令/'(x)=55,則一0.IX(X—13)2=-4.9,所以(x—13)z=49,解得

x=20或x=6,又OVxWlO,故x=6,當16VxW30時，

令f(x)=55,則一3矛+107=55,解得x=17；,因此學生達至U(或超過)55的接受能力的時

間為171-6=111<13,所以需要13分鐘講解的復雜問題，老師不可能在學生的注意力至

少達到55以上的情況下完成，故選項D錯誤.

3.(能力挑戰題)(多選題)如圖，在平面直角坐標系X。中，邊長為2的正方形/四沿x軸

滾動(無滑動滾動)，點〃恰好經過坐標原點，設頂點35,力的軌跡方程是y=f(x),則對函

數尸f(x)的判斷正確的是()

X

A.函數y=f(x)是奇函數

B.對任意的X6R,都有/'(x+4)=f(x—4)

C.函數y=f(x)的值域為［0,2/］

D.函數y=F(x)在區間［6,8］上單調遞增

【解析】選BCD.由題意得，當一4Wx<一2時，頂點6(無力的軌跡是以點4(一2,0)為圓心,

2為半徑的(圓；當一2WxV2時，頂點8(心力的軌跡是以點(0,0)為圓心，2貶為半徑的

1圓；當2WxV4時，頂點8(x,力的軌跡是以點(2,0)為圓心，2為半徑的;圓；當4Wx

V6時，頂點8(x,力的軌跡是以點(4,0)為圓心，2為半徑的;圓，與當一4WxV—2時，

B(x,力的軌跡的形狀相同.因此函數y=f(x)在［―4,4］上的圖象恰好為函數y=f(x)的一

個周期的圖象，所以函數尸/'(x)的周期是8,作出y=f(x)在［一4,4］上的圖象如圖所示：

由圖象及題意得，該函數為偶函數，故A錯誤；

因為函數y=f(x)的周期為8,所以/'(x+8)=f(x),所以/'(x+4)=f(x—4),故B正確；由

圖象可得，該函數的值域為［0,2^2］,故C正確；

因為該函數是以8為周期的函數，所以函數尸/'(x)在區間［6,8］上的圖象與在區間［-2,

0］上的圖象相同，所以y=f(x)在［6,8］上單調遞增，故D正確.

4.某公司為了實現1000萬元的利潤目標，準備制定一個激勵銷售人員的獎勵方案：銷售利

潤達到10萬元時，按銷售利潤進行獎勵，且獎金數額八單位：萬元)隨銷售利潤x(單位：萬

元)的增加而增加，但獎金數額不超過5萬元，同時獎金數額不超過利潤的25%,其中下列模

型中能符合公司要求的是.(參考數據：1.003儆-6,1g7-0.845)①y=0.025x；

②y=l.003'；③y=l+log/；@y=1J0Q

【解析】由題意知，符合公司要求的模型只需滿足：當TG［10,1000］時，(1)函數為增函

數；(2)函數的最大值不超過5；

(3)yWx?25%=；x,①中，函數產=0.025x,易知滿足⑴，但當x〉200時，y>5不滿足公司

要求；

②中，函數尸1.003',易知滿足(1),但當x〉600時，y>5不滿足公司要求；

3

③中，函數y=l+log?x,易知滿足⑴，且當x=\000時，y取最大值l+log7l000=1+-~~

<5,且l+log7xW]x恒成立，故滿足公司要求;

④中，函數了=了益/，易知滿足（1）,但當*=400時，y>5不滿足公司要求.

答案：③

5.用洗衣機洗衣時，洗滌并甩干后進入漂洗階段.每次漂洗都經歷放水、漂洗、甩干三個過

程.每次漂洗時，衣服的殘留物都能均勻溶于水，在甩干時也能被均勻甩出，并且每次甩干

后重量（殘留物和水分重量總和）不變.假設衣服在洗滌并甩干后，殘留物與水分共有加千克,

4

5-

（1）求第一次漂洗后剩余殘留物y與這次漂洗放入水的重量X的函數關系式.

（2）若進行兩次漂洗，加入水總重量為a千克，求剩余殘留物y的最小值.

y

-

【解析】（1）由題意可知,7

m2

即尸5{in+X）

⑵設第一次漂洗后殘留物為必，第一次加入水量為M，第二次加入的水量為質，則有％+至

1

三加2

=a,因為；=—即y,=/m\又=~

m+x、in5\ni+xx）m+x2m

所以-m+Xi5（〃+x）（而+冬）’

又（勿+x）（勿+Qw嚴產2

（2%+a）2

=4，

當且僅當否=*2號時取等號,

乙

故二次漂洗后殘留物y的最小值為5（2勿+：萬；

6.（2021?北京模擬）國家發展改革委、住房城鄉建設部于2017年發布了《生活垃圾分類制

度實施方案》，規定46個城市在2020年底實施生活垃圾強制分類，垃圾回收、利用率要達

35%以上.截至2019年底，這46個重點城市生活垃圾分類的居民小區覆蓋率已經接近70%

某企業積極