1．6微積分基本定理．．．微積分基本定理內容如果f(x)是區間[a，b]上的連續函數，并且F′(x)＝f(x)，那么eq\i\in(a,b,)f(x)dx＝F(b)－F(a)符號eq\i\in(a,b,)f(x)dx＝F(x)|eq\o\al(b,a)＝F(b)－F(a)eq\a\vs4\al()從微積分基本定理可以看出，求定積分的關鍵是尋找原函數，如此就建立了積分與微分的聯系．中學階段的定積分尋找原函數都是關注基本初等函數的導函數的原函數．值得注意的是由于f(x)＝F′(x)＝[F(x)＋c]′，c為常數，因此原函數有無窮個，但是由于eq\i\in(a,b,)f(x)dx＝[F(x)＋c]|eq\o\al(b,a)＝[F(b)＋c]－[F(a)＋c]＝F(b)－F(a)，所以我們一般選取最簡單的原函數，不用加任意常數．判斷正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)若F′(x)＝f(x)，則F(x)唯一．()(2)微積分基本定理中，被積函數f(x)是原函數F(x)的導數．()(3)應用微積分基本定理求定積分的值時，被積函數在積分區間上必須是連續函數．()答案：(1)×(2)√(3)√eq\i\in(2,4,)eq\f(1,x)dx等于()A．－2ln2 B．2ln2C．－ln2 D．ln2解析：選D.eq\i\in(2,4,)eq\f(1,x)dx＝lnx|eq\o\al(4,2)＝ln4－ln2＝ln2.eq\i\in(0,1,)(ex＋2x)dx等于()A．1 B．e－1C．e D．e＋1解析：選C.eq\i\in(0,1,)(ex＋2x)dx＝(ex＋x2)|eq\o\al(1,0)＝(e＋1)－1＝e.eq\i\in(0,π,)sinxdx＝________．解析：eq\i\in(0,π,)sinxdx＝－cosx|eq\o\al(π,0)＝(－cosπ)－(－cos0)＝2.答案：2探究點1求簡單函數的定積分求下列定積分．(1)eq\i\in(0,1,)xndx；(2)eq\i\in(0,2π,)(cosx－sinx)dx；(3)eq\i\in(1,2,)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ex－\f(1,x)))dx.【解】(1)eq\i\in(0,1,)xndx＝eq\f(1,n＋1)xn＋1|eq\o\al(1,0)＝eq\f(1,n＋1)×1n＋1－eq\f(1,n＋1)×0n＋1＝eq\f(1,n＋1).(2)eq\i\in(0,2π,)(cosx－sinx)dx＝(sinx＋cosx)eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(2π,0))＝(sin2π＋cos2π)－(sin0＋cos0)＝0.(3)eq\i\in(1,2,)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ex－\f(1,x)))dx＝(ex－lnx)|eq\o\al(2,1)＝(e2－ln2)－(e1－ln1)＝e2－e－ln2.eq\a\vs4\al()(1)用微積分基本定理求定積分的步驟①求f(x)的一個原函數F(x)；②計算F(b)－F(a)．(2)注意事項①有時需先化簡被積函數，再求積分；②f(x)的原函數有無窮多個，如F(x)＋c，計算時，一般只寫一個最簡單的，不再加任意常數c.1.eq\i\in(1,2,)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(1,x2)))dx＝________．解析：eq\i\in(1,2,)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(1,x2)))dx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(lnx－\f(1,x)))|eq\o\al(2,1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ln2－\f(1,2)))－(ln1－1)＝ln2＋eq\f(1,2).答案：ln2＋eq\f(1,2)2．求下列定積分．(1)EQ\i\in(0,eq\s\up25(\f(π,2)),)sin2eq\f(x,2)dx；(2)eq\i\in(2,3,)(2－x2)(3－x)dx；(3)eq\i\in(4,9,)eq\r(x)(1＋eq\r(x))dx.解：(1)sin2eq\f(x,2)＝eq\f(1－cosx,2)，而eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(1,2)sinx))′＝eq\f(1,2)－eq\f(1,2)cosx，所以EQ\i\in(0,eq\s\up25(\f(π,2)),)sin2eq\f(x,2)dx＝EQ\i\in(0,eq\s\up25(\f(π,2)),)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,2)cosx))dx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(1,2)sinx))eq\b\lc\|(\a\vs2\al\co1(eq\s\up6(\f(π,2)),0))＝eq\f(π,4)－eq\f(1,2)＝eq\f(π－2,4).(2)原式＝eq\i\in(2,3,)(6－2x－3x2＋x3)dx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6x－x2－x3＋\f(1,4)x4))|eq\o\al(3,2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6×3－32－33＋\f(1,4)×34))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6×2－22－23＋\f(1,4)×24))＝－eq\f(7,4).(3)eq\i\in(4,9,)eq\r(x)(1＋eq\r(x))dx＝eq\i\in(4,9,)(eq\r(x)＋x)dx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)x\r(x)＋\f(1,2)x2))|eq\o\al(9,4)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)×9×3＋\f(1,2)×92))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)×4×2＋\f(1,2)×42))＝45eq\f(1,6).探究點2求分段函數的定積分(1)若f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2，x≤0，,cosx－1，x＞0，))求EQ\i\in(-1,eq\s\up25(\f(π,2)),)f(x)dx；(2)計算定積分eq\i\in(1,2,)|3－2x|dx.【解】(1)EQ\i\in(-1,eq\s\up25(\f(π,2)),)f(x)dx＝eq\i\in(－1,0,)x2dx＋EQ\i\in(-1,eq\s\up25(\f(π,2)),)(cosx－1)dx，又因為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x3))′＝x2，(sinx－x)′＝cosx－1，所以原式＝eq\f(1,3)x3|eq\o\al(0,－1)＋(sinx－x)eq\b\lc\|(\a\vs2\al\co1(eq\s\up6(\f(π,2)),0))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0＋\f(1,3)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(π,2)－\f(π,2)))－(sin0－0)＝eq\f(4,3)－eq\f(π,2).(2)eq\i\in(1,2,)|3－2x|dx＝EQ\i\in(1,eq\s\up6(\f(3,2)),)(3－2x)dx＋EQ\i\in(eq\s\do6(\f(3,2)),2,)(2x－3)dx＝(3x－x2)eq\b\lc\|(\a\vs2\al\co1(eq\s\up6(\f(3,2)),1))＋(x2－3x)eq\b\lc\|(\a\vs2\al\co1(2,eq\s\do9(\f(3,2))))＝eq\f(1,2).eq\a\vs4\al()分段函數的定積分的求法(1)利用定積分的性質(3)，轉化為各區間上定積分的和計算．(2)當被積函數含有絕對值時，常常去掉絕對值號，轉化為分段函數的定積分再計算．1.eq\i\in(－1,1,)e|x|dx＝________．解析：eq\i\in(－1,1,)e|x|dx＝eq\i\in(－1,0,)e－xdx＋eq\i\in(0,1,)exdx＝－e－x|eq\o\al(0,－1)＋ex|eq\o\al(1,0)＝－e0＋e1＋e1－e0＝2e－2.答案：2e－22．已知f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋ex，0≤x≤1，,x－\f(1,x)，1＜x≤2，))求eq\i\in(0,2,)f(x)dx.解：eq\i\in(0,2,)f(x)dx＝eq\i\in(0,1,)(2x＋ex)dx＋eq\i\in(1,2,)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))dx＝(x2＋ex)|eq\o\al(1,0)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x2－lnx))|eq\o\al(2,1)＝(1＋e)－(0＋e0)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×22－ln2))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×1－ln1))＝e＋eq\f(3,2)－ln2.探究點3利用定積分求參數(1)若eq\i\in(0,k,)(2x－3x2)dx＝0(k>0)，則k等于________．(2)已知x∈(0，1]，f(x)＝eq\i\in(0,1,)(1－2x＋2t)dt，則f(x)的值域是________．【解析】(1)eq\i\in(0,k,)(2x－3x2)dx＝(x2－x3)|eq\o\al(k,0)＝k2－k3＝0，所以k＝0(舍)或k＝1.(2)eq\i\in(0,1,)(1－2x＋2t)dt＝[(1－2x)t＋t2]eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(1,0))＝2－2x，即f(x)＝－2x＋2，因為x∈(0，1]，所以f(1)≤f(x)<f(0)，即0≤f(x)<2，所以函數f(x)的值域是[0，2)．【答案】(1)1(2)[0，2)本例(2)中已知條件改為f(t)＝eq\i\in(0,1,)(1－2x＋2t)dx，則f(t)＝________.解析：f(t)＝eq\i\in(0,1,)(1－2x＋2t)dx＝[(1＋2t)x－x2]eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(1,0))＝2t.答案：2teq\a\vs4\al()含參數問題的求解方法利用定積分求參數時，注意方程思想的應用．一般地，首先要弄清楚積分變量和被積函數．當被積函數中含有參數時，必須分清參數和變量，再進行計算．另外，需注意積分下限不大于積分上限．eq\i\in(0,1,)(x2＋mx)dx＝0，則實數m的值為()A．－eq\f(1,3) B．－eq\f(2,3)C．－1 D．－2解析：選B.根據題意有eq\i\in(0,1,)(x2＋mx)dx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x3＋\f(1,2)mx2))|eq\o\al(1,0)＝eq\f(1,3)＋eq\f(1,2)m＝0，解得m＝－eq\f(2,3).2．若函數f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)且f(1)＝4，f′(1)＝1，eq\i\in(0,1,)f(x)dx＝3eq\f(1,6)，求函數f(x)的解析式．解：由題意知f(1)＝a＋b＋c＝4，①f′(1)＝2a＋b＝1，②又由eq\i\in(0,1,)f(x)dx＝eq\i\in(0,1,)(ax2＋bx＋c)dx＝3eq\f(1,6)知eq\f(a,3)＋eq\f(b,2)＋c＝3eq\f(1,6).③①②③聯立，解得a＝－1，b＝3，c＝2，所以函數f(x)的解析式為f(x)＝－x2＋3x＋2.1．下列各式的值等于1的是()A.eq\i\in(0,1,)xdx B.eq\i\in(0,1,)(x＋1)dxC.eq\i\in(0,1,)1dx D.eq\i\in(0,1,)eq\f(1,2)dx解析：選C.選項A，因為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x2,2)))′＝x，所以eq\i\in(0,1,)xdx＝eq\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(x2,2)))eq\s\up12(1,0)＝eq\f(1,2)；選項B，因為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x2,2)＋x))′＝x＋1，所以eq\i\in(0,1,)(x＋1)dx＝eq\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x2,2)＋x))))eq\s\up12(1,0)＝eq\f(3,2)；選項C，因為x′＝1，所以eq\i\in(0,1,)1dx＝x|eq\o\al(1,0)＝1；選項D，因為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x))′＝eq\f(1,2)，所以eq\i\in(0,1,)eq\f(1,2)dx＝eq\f(1,2)x|eq\o\al(1,0)＝eq\f(1,2).故選C.2．已知f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2，－1≤x≤0，,x3，0<x≤1，))則eq\i\in(－1,1,)f(x)dx的值為()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,12) D.eq\f(7,12)解析：選D.eq\i\in(－1,1,)f(x)dx＝eq\i\in(－1,0,)f(x)dx＋eq\i\in(0,1,)f(x)dx＝eq\i\in(－1,0,)x2dx＋eq\i\in(0,1,)x3dx＝eq\f(1,3)x3|eq\o\al(0,－1)＋eq\f(1,4)x4|eq\o\al(1,0)＝0－eq\f(1,3)×(－1)3＋eq\f(1,4)＝eq\f(7,12).3．若eq\i\in(1,a,)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(1,x)))dx＝3＋ln2，則a的值是________．解析：eq\i\in(1,a,)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(1,x)))dx＝(x2＋lnx)|eq\o\al(a,1)＝(a2＋lna)－(1＋ln1)＝(a2－1)＋lna＝3＋ln2.所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2－1＝3，,a>0，,a＝2，))所以a＝2.答案：24．EQ\i\in(0,eq\s\up25(\f(π,3)),)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－2sin2\f(θ,2)))dθ的值為________．解析：因為1－2sin2eq\f(θ,2)＝cosθ，所以EQ\i\in(0,eq\s\up25(\f(π,3)),)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－2sin2\f(θ,2)))dθ＝EQ\i\in(0,eq\s\up25(\f(π,3)),)cosθdθ＝sinθeq\b\lc\|(\a\vs2\al\co1(eq\s\up6(\f(π,3)),0))＝eq\f(\r(3),2).答案：eq\f(\r(3),2)知識結構深化拓展1.求定積分的一些常用技巧(1)對被積函數，要先化簡，再求積分．(2)若被積函數是分段函數，依據定積分“對區間的可加性”，分段積分再求和．(3)對于含有絕對值符號的被積函數，要去掉絕對值符號才能積分．2．應用微積分基本定理求定積分的注意事項(1)微積分基本定理溝通了定積分與導數的關系，揭示了被積函數與原函數F(x)的導函數之間的互逆運算關系，為計算定積分提供了一個簡單有效的方法——轉化為計算原函數F(x)在積分區間上的增量．(2)用微積分基本定理求定積分的關鍵是找到滿足F′(x)＝f(x)的原函數F(x)，再計算F(b)－F(a).[A基礎達標]1．定積分eq\i\in(0,1,)(eq\r(x)－x2)dx＝()A．0 B.eq\f(1,3)C．－eq\f(1,3) D．1解析：選B.eq\i\in(0,1,)(eq\r(x)－x2)dx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)x\s\up6(\f(3,2))－\f(1,3)x3))|eq\o\al(1,0)＝eq\f(1,3).2.eq\i\in(1,2,)eq\f(（x＋1）2,x)dx等于()A．3 B.eq\f(7,2)＋ln2C.eq\f(5,2)＋ln2 D.eq\f(9,2)解析：選B.eq\i\in(1,2,)eq\f(（x＋1）2,x)dx＝eq\i\in(1,2,)eq\f(x2＋2x＋1,x)dx＝eq\i\in(1,2,)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋2＋\f(1,x)))dx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x2＋2x＋lnx))|eq\o\al(2,1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×22＋2×2＋ln2))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×12＋2×1＋ln1))＝eq\f(7,2)＋lnB.3．已知f(x)＝2－|x|，則eq\i\in(－1,2,)f(x)dx＝()A．3 B．4C.eq\f(7,2) D.eq\f(9,2)解析：選C.因為f(x)＝2－|x|＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2＋x，x≤0，,2－x，x>0，))所以eq\i\in(－1,2,)f(x)dx＝eq\i\in(－1,0,)(2＋x)dx＋eq\i\in(0,2,)(2－x)dx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(x2,2)))|eq\o\al(0,－1)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(x2,2)))|eq\o\al(2,0)＝eq\f(3,2)＋2＝eq\f(7,2).4．已知函數f(a)＝eq\i\in(0,a,)sinxdx，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))))等于()A．1 B．1－cos1C．0 D．cos1－1解析：選B.feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝EQ\i\in(0,eq\s\up25(\f(π,2)),)sinxdx＝－cosxeq\b\lc\|(\a\vs2\al\co1(eq\s\up6(\f(π,2)),0))＝1，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))))＝f(1)＝eq\i\in(0,1,)sinxdx＝－cosx|eq\o\al(1,0)＝1－cos1.5．若eq\i\in(1,2,)(x－a)dx＝EQ\i\in(0,eq\s\up6(\f(3π,4)),)cos2xdx，則a＝()A．－1 B．1C．2 D．4解析：選C.eq\i\in(1,2,)(x－a)dx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x2－ax))|eq\o\al(2,1)＝eq\f(3,2)－a，EQ\i\in(0,eq\s\up6(\f(3π,4)),)cos2xdx＝eq\f(1,2)sin2xeq\b\lc\|(\a\vs2\al\co1(eq\s\up6(\f(3π,4)),0))＝－eq\f(1,2)，所以eq\f(3,2)－a＝－eq\f(1,2)，解得a＝2，故選C.6．計算eq\i\in(－1,1,)(x2＋sinx)dx＝________．解析：eq\i\in(－1,1,)(x2＋sinx)dx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x3,3)－cosx))|eq\o\al(1,－1)＝eq\f(2,3).答案：eq\f(2,3)7．已知2≤eq\i\in(1,2,)(kx＋1)dx≤4，則實數k的取值范圍為________．解析：eq\i\in(1,2,)(kx＋1)dx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)kx2＋x))|eq\o\al(2,1)＝(2k＋2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)k＋1))＝eq\f(3,2)k＋1，所以2≤eq\f(3,2)k＋1≤4，解得eq\f(2,3)≤k≤2.答案：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，2))8．設f(x)＝kx＋b，若eq\i\in(0,1,)f(x)dx＝2，eq\i\in(1,2,)f(x)dxf(x)的解析式為________．解析：由eq\i\in(0,1,)(kx＋b)dx＝2，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)kx2＋bx))eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(1,0))＝2，即eq\f(1,2)k＋b＝2，①由eq\i\in(1,2,)(kx＋b)dx＝3，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)kx2＋bx))eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(2,1))＝3，即(2k＋2b)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)k＋b))＝3.所以eq\f(3,2)k＋b＝3，②由①②聯立解得，k＝1，b＝eq\f(3,2)，所以f(x)＝x＋eq\f(3,2).答案：f(x)＝x＋eq\f(3,2)9．若f(x)是一次函數，且eq\i\in(0,1,)f(x)dx＝5，eq\i\in(0,1,)xf(x)dx＝eq\f(17,6).求eq\i\in(1,2,)eq\f(f（x）,x)dx的值．解：設f(x)＝kx＋b，k≠0，則eq\i\in(0,1,)(kx＋b)dx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(k,2)x2＋bx))|eq\o\al(1,0)＝eq\f(k,2)＋b＝5，①eq\i\in(0,1,)xf(x)dx＝eq\i\in(0,1,)(kx2＋bx)dx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kx3,3)＋\f(bx2,2)))|eq\o\al(1,0)＝eq\f(k,3)＋eq\f(b,2)＝eq\f(17,6)，②聯立①②可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝4，,b＝3.))所以f(x)＝4x＋3.則eq\i\in(1,2,)eq\f(f（x）,x)dx＝eq\i\in(1,2,)eq\f(4x＋3,x)dx＝eq\i\in(1,2,)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4＋\f(3,x)))dx＝(4x＋3lnx)|eq\o\al(2,1)＝(8＋3ln2)－(4＋3ln1)＝4＋3ln2.10．計算eq\i\in(－3,3,)(|2x＋3|＋|3－2x|)dx.解：設y＝|2x＋3|＋|3－2x|＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－4x\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x≤－\f(3,2)))，,6\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)<x<\f(3,2)))，,4x\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x≥\f(3,2)))，))則eq\i\in(－3,3,)(|2x＋3|＋|3－2x|)dx＝EQ\i\in(-3,eq\s\up6(\f(3,2)),)(－4x)dx＋EQ\i\in(－eq\f(3,2),eq\s\up6(\f(3,2)),)6dx＋EQ\i\in(eq\s\do6(\f(3,2)),3,)4xdx＝－2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))eq\s\up12(2)－(－2)×(－3)2＋6×eq\f(3,2)－6×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))＋2×32－2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))eq\s\up12(2)＝45.[B能力提升]11．已知f(a)＝eq\i\in(0,1,)(2ax2－a2x)dx，則函數f(a)的最大值為()A.eq\f(1,9) B.eq\f(2,9)C．－eq\f(1,9) D．－eq\f(2,9)解析：選B.f(a)＝eq\i\in(0,1,)(2ax2－a2x)dx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)ax3－\f(1,2)a2x2))|eq\o\al(1,0)＝－eq\f(1,2)a2＋eq\f(2,3)a，由二次函數的性質，可得f(a)max＝－eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(2)＝eq\f(2,9).12．設f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(lnx，x>0,x＋\i\in(0,a,)3t2dt，x