1二、交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法三、絕對(duì)收斂與條件收斂第二節(jié)一、正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法第十二章*四、絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)2一、正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法若定理1.

正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂部分和序列有界.若收斂,∴部分和數(shù)列有界,故從而又已知故有界.則稱為正項(xiàng)級(jí)數(shù).單調(diào)遞增,收斂,也收斂.證

“”“”則收斂,3（比較審斂法）設(shè)提示定理21)若收斂,收斂;則2)若發(fā)散,發(fā)散.則大斂則小斂，小散則大散.例如,級(jí)數(shù)故原級(jí)數(shù)發(fā)散.發(fā)散,而4若存在自然數(shù)N,

和都是正項(xiàng)級(jí)數(shù),設(shè)成立,n≥N

時(shí),⑴則收斂;⑵成立,發(fā)散.則收斂,若發(fā)散,若推論1使得當(dāng)5例1

討論p

級(jí)數(shù)(常數(shù)p>0)的斂散性.解

1)若因?yàn)閷?duì)一切而調(diào)和級(jí)數(shù)由比較審斂法可知p

級(jí)數(shù)發(fā)散.發(fā)散,6因?yàn)楫?dāng)故考慮級(jí)數(shù)的部分和故級(jí)數(shù)時(shí),2)

若由比較審斂法的推論知

收斂,p

級(jí)數(shù)收斂.7調(diào)和級(jí)數(shù)與p

級(jí)數(shù)是兩個(gè)常用的比較級(jí)數(shù).若存在對(duì)一切例如,發(fā)散;收斂.8證明級(jí)數(shù)發(fā)散

.證

因?yàn)槎?jí)數(shù)發(fā)散根據(jù)比較審斂法可知,所給級(jí)數(shù)發(fā)散.例2討論級(jí)數(shù)的斂散性.練習(xí)

9注:用比較審斂法判斷正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性:2)若要判斷該級(jí)數(shù)發(fā)散,需要找一個(gè)比該級(jí)數(shù)小的發(fā)散的級(jí)數(shù)與它進(jìn)行比較.1)若要判斷該級(jí)數(shù)收斂,需要找一個(gè)比該級(jí)數(shù)大的收斂的級(jí)數(shù)與它進(jìn)行比較;10定理3

(比較審斂法的極限形式)則有兩個(gè)級(jí)數(shù)同時(shí)收斂或發(fā)散;(2)當(dāng)

l=

0

(3)當(dāng)

l=∞

證

據(jù)極限定義,設(shè)兩正項(xiàng)級(jí)數(shù)滿足(1)當(dāng)0<l<∞

時(shí),11由定理2

可知同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散;(3)當(dāng)l=∞時(shí),即由定理2可知,若發(fā)散,(1)當(dāng)0<l<∞時(shí),(2)當(dāng)l=

0時(shí),由定理2

知收斂,若12是兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù),

(1)當(dāng)時(shí),兩個(gè)級(jí)數(shù)同時(shí)收斂或發(fā)散;2)特別取可得如下結(jié)論:對(duì)正項(xiàng)級(jí)數(shù)(2)當(dāng)且收斂時(shí),(3)當(dāng)且發(fā)散時(shí),也收斂;也發(fā)散.注:

1)un,vn均為無(wú)窮小時(shí),l

的值反映了它們不同階的比較.13的斂散性.

～例3

判別級(jí)數(shù)的斂散性.

解

根據(jù)比較審斂法的極限形式知例4

判別級(jí)數(shù)解根據(jù)比較審斂法的極限形式知～練習(xí)判別級(jí)數(shù)的斂散性.14定理4

比值審斂法

(

D’alembert

判別法)設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù),且則(1)當(dāng)(2)當(dāng)證(1)收斂,時(shí),級(jí)數(shù)收斂;或時(shí),級(jí)數(shù)發(fā)散.由比較審斂法可知（不需借助其它級(jí)數(shù),僅由級(jí)數(shù)本身的一般項(xiàng)判定級(jí)數(shù)斂散性的判別法.）15因此所以級(jí)數(shù)發(fā)散.時(shí)(2)

當(dāng)說(shuō)明:

當(dāng)時(shí),級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.例如,

p–級(jí)數(shù)但級(jí)數(shù)收斂;級(jí)數(shù)發(fā)散.從而16例5

討論級(jí)數(shù)的斂散性.解

根據(jù)定理4可知:級(jí)數(shù)收斂;級(jí)數(shù)發(fā)散;注：比值判斂法一般適用于中含有n!

或關(guān)于n的若干連乘積的級(jí)數(shù).17例6判別級(jí)數(shù)斂散性:解級(jí)數(shù)收斂.級(jí)數(shù)發(fā)散.級(jí)數(shù)收斂.18解級(jí)數(shù)收斂.收斂,故原級(jí)數(shù)收斂.故原級(jí)數(shù)收斂.而收斂,例7判別級(jí)數(shù)斂散性：也可以直接用比值審斂法判斷19例8

判別級(jí)數(shù)的斂散性.解比值審斂法失效.但而收斂，收斂.由比較審斂法，得也可用比較審斂法的極限形式或者級(jí)數(shù)收斂的定義判斷20對(duì)任意給定的正數(shù)*定理5

根值審斂法

(Cauchy判別法)設(shè)

為正項(xiàng)則證明提示

即分別利用上述不等式的左,右部分,可推出結(jié)論正確.級(jí)數(shù),且（根值判斂法一般適用于中含有以n為指數(shù)冪的因子的級(jí)數(shù)）21時(shí),級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.例如

,

p–

級(jí)數(shù)

說(shuō)明:但級(jí)數(shù)收斂;級(jí)數(shù)發(fā)散.22例9

判別級(jí)數(shù)的斂散性:解級(jí)數(shù)收斂.級(jí)數(shù)收斂.作業(yè)：3~5目錄結(jié)束23二、交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法

則各項(xiàng)符號(hào)正負(fù)相間的級(jí)數(shù)稱為交錯(cuò)級(jí)數(shù).定理6

(Leibnitz

判別法)

若交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿足條件:則級(jí)數(shù)收斂,且其和

其余項(xiàng)滿足24證

是單調(diào)遞增有界數(shù)列,又故級(jí)數(shù)收斂于S,且故25收斂收斂●用Leibnitz判別法判別下列級(jí)數(shù)的斂散性:收斂●上述級(jí)數(shù)各項(xiàng)取絕對(duì)值后所成的級(jí)數(shù)是否收斂?發(fā)散收斂收斂轉(zhuǎn)入例1026例10判斷交錯(cuò)級(jí)數(shù)的斂散性.解1）借助函數(shù)可以用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性.x=n是它的特殊值知：f(x)在x≥1時(shí)單調(diào)減少，于是取x=n，故原級(jí)數(shù)收斂.2）考慮到取x=n返回上頁(yè)目錄27三、絕對(duì)收斂與條件收斂

定義:

對(duì)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)若若原級(jí)數(shù)收斂,但取絕對(duì)值以后的級(jí)數(shù)發(fā)散,

收斂

,數(shù)為條件收斂.均為絕對(duì)收斂.例如

：絕對(duì)收斂；則稱原級(jí)數(shù)條件收斂.則稱原級(jí)28定理7

絕對(duì)收斂的級(jí)數(shù)一定收斂.證

設(shè)根據(jù)比較審斂法顯然收斂,收斂也收斂且收斂,令29例11

證明下列級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂:證

(1)而收斂,收斂因此絕對(duì)收斂.30(2)

令因此收斂,絕對(duì)收斂.小結(jié)31若由比值審斂法或根值審斂法判定發(fā)散,則可以斷定發(fā)散.注意例12判定級(jí)數(shù)斂散性,并判斷是絕對(duì)收斂還是條件收斂?解所以原級(jí)數(shù)收斂.發(fā)散,所以原級(jí)數(shù)為條件收斂.又因?yàn)槎?2所以原級(jí)數(shù)發(fā)散.作業(yè)：6目錄結(jié)束解33其和分別為*四、絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)

*定理8.

絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)不因改變項(xiàng)的位置而改變其和.(P265定理9)(證明見(jiàn)P265～P268)*定理9.

(絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)的乘法)則對(duì)所有乘積按任意順序排列得到的級(jí)數(shù)也絕對(duì)收斂,設(shè)級(jí)數(shù)與都絕對(duì)收斂,其和為(P267定理10)說(shuō)明:

絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)有類似有限項(xiàng)和的性質(zhì),

但條件收斂級(jí)數(shù)不具有這兩條性質(zhì).絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)與條件收斂級(jí)數(shù)具有完全不同的性質(zhì).目錄結(jié)束34內(nèi)容小結(jié)2.判別正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的方法與步驟必要條件不滿足發(fā)散滿足比值審斂法根值審斂法收斂發(fā)散不定比較審斂法用它法判別積分判別法部分和極限353.

任意項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法為收斂級(jí)數(shù)Leibniz判別法:則交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂概念:絕對(duì)收斂條件收斂目錄結(jié)束36思考與練習(xí)設(shè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂,能否推出收斂

?提示:由比較判斂法可知收斂

.注意:反之不成立.例如,收斂,發(fā)散.目錄結(jié)束37備用題1.

判別級(jí)數(shù)的斂