第9講容斥原理（一）叢林中住著好多動物，聽說獅子大王派仙鶴去統計鳥類的種數，蝙蝠跑過去對仙鶴說；“我有翅膀，我應當是屬于鳥類的。”于是仙鶴就把蝙蝠統計到鳥類的種類里去了，結果得出叢林中一共有80種鳥類。獅子大王又派大象去統計野獸的種類數，蝙蝠聽聞又統計獸類了，趕忙跑過去對大象說；“我沒有羽毛，我應當是屬于獸類的。”于是大象就把蝙蝠統計到獸類的種類里去了，結果統計出叢林中一共有60種獸類。最后獅子大王問：“叢林中共有鳥類和獸類多少種？”狡猾的狐貍聽見了仙鶴和大象的統計結果，快樂地向獅子大王報告：“這還不簡單！叢林中共有鳥類和獸類140種。”這個統計正確嗎？同學們必定會說：“不對！蝙蝠被算了兩次，應當再減去一，是139種。”這個故事說了然一個數學識題，那就是被稱為“容斥原理”的包括與清除問題。當需要計數的兩類事物相互包括（有部分重復交錯）時，應把重復計數的部分清除去。由此我們獲得逐漸清除法（容斥原理）：當兩個計數部分有重復時，為了不重復計數，應從它們的和中減去重復部分。比如：請看下列圖，在長為30厘米，寬為20厘米的長方形鐵板上鉆了一個半徑為5厘米的圓孔，請問：暗影部分的面積是多少平方厘米？這個圖形是一個不規則圖形，假如我們直接計算很難，由上圖簡單看出暗影面積加圓面積恰巧等于長方形面積，而長方形面積與圓的面積都很好計算，因此有：暗影面積=20×30-5×5×π=600-25π（平方厘米）。由此我們獲得清除法：兩個重量之和等于總量，當計算一個重量時，可用總量減去另一個重量。即若A＋B=C，則A=C-B。請看下邊的例題。例1一個班有學生48人，每人起碼參加跑步、跳高兩項競賽中的一項。已知參加跑步的有37人，參加跳高的有40人，請問：這兩項競賽都參加的學生有多少人？剖析：兩項競賽都參加的學生人數，就是參加跑步人數、參加跳高人數重復的部分，清除去重復部分，所得的就是全體參賽人數，也就是全班學生人數。解答：設兩項競賽都參加的有人，那么37+40）-=48=29說明：經過上題我們發現，解答這種問題最好先繪圖，它能夠幫助我們剖析數目關系。此外我們還發此刻解答問題時能夠分兩步進行：第一步先把兩類數目加在一同，即都“包括”進。37+40=77，第二步再減掉一個班有學生48人，這個數目，即“清除”，就能夠求出正確答案了。77-48=29。還可以這樣計算：40-（48－37）=29人。你能講出道理嗎？請你想想，你還可以再列出一種算式嗎？想想：假如全班有3人哪一個競賽項目都不參加，將會得出什么結果？說明：一般地，假定擁有性質A的事物（人）有A個，擁有性質B的事物（人）有B個，既擁有性質A，又擁有性質B的事物（人）有AB個，起碼擁有A、B中一種性質的事物（人）有個，那么：（A＋B）-AB。這個關系式可用下列圖表示：這個表示圖直觀形象地揭露了包括清除原理，同時也為計算一些組合圖形的面積供給了另一種思路。例2在1至1000這1000個自然數中，能被5或11整除的自然數一共有多少個？剖析：以下列圖，小圓表示能被11整除的自然數，大圓表示能被5整除的自然數。假如把大圓內的200個自然數和小圓內90個自然數相加，暗影部分的自然數事實上被加了兩次。所以要想求出：能被5或11整除的自然數的個數就應當：能被5整除的自然數的個數+能被11整除的自然數的個數－既能被5整除又能被11整除的自然數的個數=能被5或11整除的自然數的個數。解答：能被5整除的自然數有多少個？1000÷5=200有200個。能被11整除的自然數有多少個？1000÷11=9010有90個。既能被5整除又能被11整除的自然數有多少個？1000÷55=1810有18個。所以能被5或11整除的自然數的個數是：200+90－18=272個。例3有128位游客，此中25人既不懂英語、又不懂法語，有98人懂英語，75人懂法語，請問：既懂英語、又懂法語的有多少人？剖析：從128位游客中減去既不懂英語、又不懂法語的25人，剩下的128－25=103人中起碼懂一門外語（懂英語或懂法語），懂英語的98人中包括了同時懂法語的人數；懂法語的75人中也包括了同時懂英語的人數；（98+75）人恰巧比103人多出了既懂英語、又懂法語的人，所以既懂英語、又懂法語的人數=懂英語的人數+懂法語的人數－起碼懂一門外語的人數。解答：起碼懂一門外語的人數：128－25=103（人）既懂英語、又懂法語的人數：98+75－103=70（人）例460名同學面向老師站成一橫排。老師先讓同學們從左到右依據1、2、3、4、、59、60的次序挨次報數，再讓報數是4的倍數的同學向后轉，接著又讓報數是6的倍數的同學向后轉。請問：此刻面向老師的學生還有多少名？剖析：因為兩次向后轉的學生最后仍是面向老師，要想轉兩次必要既是4的倍數，又是6的倍數的數，也就是轉兩次的學生和一次都不轉的學生是最后邊向老師的。解答：從1到60中，4的倍數一共有：60÷4=15個，6的倍數一共有：60÷6=10個，既是4的倍數又是6的倍數有：60÷12=5個。一次都不轉的學生是：60－（15+10－5）=40個，轉兩次的學生有5個，所以面向老師的學生還有40+5=45個。說明：也能夠這樣想：最開始向后轉的學生（也就是背對老師的學生）有15人，而后共有10名報數是6的倍數的同學向后轉，此中：報12、24、36、48、60這5個人已經向后轉了，又第二次向后轉，結果就又面對老師了，但是報6、18、30、42、54這5個人第一次向后轉，他們背對老師。所以仍舊是有有15人背對老師，所以有：60－15=45人面向老師。例5有一根長是240厘米的繩索，從一端開始每隔4厘米作一個記號，同時每隔6厘米也作一個記號，而后將標有記號的地方剪斷，請問：繩索一共被剪成了多少段？剖析：繩索每隔4厘米作一個記號以及每隔6厘米作一個記號時，這樣的記號必定有重復的。因此重點是求出全部的記號數，而后依據“間隔問題”就能夠求出繩索一共被剪成了多少段。解答：240厘米長的繩索每隔4厘米作一個記號，這樣一共有：240÷4－1=59個記號；每隔6厘米作一個記號，這樣一共有：240÷6－1=39個記號。而二者每隔12厘米重復一個記號，這樣一共重復了：240÷12－1=19個記號。所以繩索上共有記號數是：59+39－19=79，所以繩索一共被剪成了79+1=80段。例6李老師出了兩道題，全班40人中，第一道題有30人對，第2題有12人未做對，兩題都做對的有20人。請問：1）第2題對，但是第1題不對的有多少人？2）兩道題都不對的有幾個人？剖析：此題波及以下幾類：（1）第1題對但第2題不對的人；（2）第2題對但第1題不對的人；3）兩題都對的人；（4）兩題都不對的人；可用一個長方形表示全班的人，其內畫兩個訂交的圓，一個圓表示第1題對的人；另一個圓表示第2題對的人；兩圓訂交的公共部分表示兩題都對的人；長方形內、兩圓以外的部分表示兩題都不對的人，據此進行計算。解答：用A表示“第1題對第2題不對的人數”；用B表示“第2題對第1題不對的人數”；用C表示“兩題都對的人數”；用D表示“兩題都不對的人數”；據題意A+B+C+D=40（1）A+C=30

（2）A+D=12

（3）C=20

（4）比較（比較（比較（答：第

2）、（4），可得A=10（5）3）、（5），可得D=2（6）1）、（4）、（5）、（6），可得B=82題對第1題不對的有8人，兩題都不對的有

2人。說明：“兩題起碼有1題做對的人數=第1題做對的人數+第2題做對的人數-兩題都做對的人數。”這往常表示的是簡單的容斥原理。在解決這種問題時，也經常照例6的方法進行分類，這樣做思慮起較為簡易。閱讀資料數學家名言阿基米德說：“給我一個立足點，我就能夠挪動地球。”數學是研究現實世界中數目關系和空間形式的。簡單的說，是研究數與形的科學。（高斯）數學是科學以后，是科學之門和鑰，和邏輯組合成科學的兩眼。（托爾斯泰）在數學的天地里，重要的不是我們知道什么，而是我們怎么知道什么。（畢達哥拉斯）練習題1．五（4）班的同學中有32人喜愛音樂，27人喜愛美術，音樂和美術都喜愛的有11人，請問：五（4）班的學生中喜愛音樂或美術的一共有多少人？剖析：我們能夠繪圖，用A圓表示喜愛音樂的人數32人，用B圓表示喜愛美術的人數27人，圖中兩個圓的公共部分就表示音樂和美術都喜愛的人數11人。整個圖表示五（4）班的學生中喜愛音樂或美術的一共的人數。解答：經過你自己繪圖，察看圖能夠看出：32+27－11=48人，就表示五（4）班的學生中喜愛音樂或美術的一共的人數。答：五（

4）班的學生中喜愛音樂或美術的一共有

48人。2．某一個班共有學生

50人，參加文藝活動的有

28人，參加體育活動的有

30人，而且全班每人起碼參加一項活動（僅限文藝活動或體育活動），請問：這個班這兩項活動都參加的有多少人？剖析：我們仍是先繪圖，用A圓表示參加體育活動的30人，用B圓表示參加文藝活動的28人，整個圖表示全班的總人數50人，兩圓的公共部分表示兩項活動都參加的人數。從圖中能夠看出：參加體育活動的30人加上參加文藝活動的28人就是：30+28=58人，比全班的總人數50人還多出：58－50=8人，這里的8個人就是因為公共部分重復統計了一次。解答：30+28=58人表示全班的總人數50人和公共部分重復統計了一次的總數目，58－50=8人，這里的8個人就是這個班這兩項活動都參加的人數。3．育才小學參加數學思想訓練班的100名學生中，會騎自行車的有95人，會滑旱冰的有48人，這兩項體育活動都不會的有3人，請問：這兩項體育活動都會的有多少人？剖析與解答：我們用A圓表示會騎車的人數，B圓表示會滑旱冰的人數，兩圓公共部分表示這兩項體育活動都會的人數，長方形表示100人，長方形內兩圓以外的部分表示這兩項體育活動都不會的人數。從圖中你不難發現，用總人數100人減去這兩項體育活動都不會的人數獲得的是會騎車或會滑旱冰的總人數，即起碼會一項體育活動的人數為100-3=97人。又因為會騎車人數加上會滑旱冰人數有95+48=143人，比97人多143-97=46人。即兩圓公共部分為重復計算的46人。所以這兩項體育活動都會的有46人。4．請問：在1——100的這100個自然數中，除以4或除以5。沒有余數的自然數一共有多少個？剖析與解答：我們能夠這樣想，1——100中除以4沒有余數的數挨次有4，8，12，16，20，92，96，100共25個，而被5除沒有余數的挨次有5，10，15，20，，95，100共20個。此外我們還發現像20這樣的數，在除以4而沒有余數的數中被統計了一次，在除以5而沒有余數的數中又被統計了一次，即統計了兩次，多統計了一次，應當將它們清除出去。像這樣的數還有40，60，80，100，共有5個。所以正確的答案應當是25+20-5=40個。5．兩張長15厘米，寬5厘米的長方形紙，擺放成以下形狀，將它們放在桌面上，請問：覆蓋桌子的面積是多少平方厘米？剖析與解答：已知長方形的長是15厘米，寬是5厘米，依據長方形面積公式能夠求出每塊長方形紙的面積是15×5=75平方厘米，它們的面積和是75×2=150平方厘米。此外，我們還發現這兩個長方形紙如圖擺放產生了重疊，重疊部分正好是一個正方形，邊長是5厘米，面積是25平方厘米，求覆蓋桌面面積還應減去25平方厘米。所以覆蓋面積是150-25=125平方厘米。答：它的覆蓋面積是125平方厘米。6．一次數學小測試只有兩道題，結果全班有10人全對，第一題有25人做對，第二題有18人做錯。請問：兩道題都做錯的有幾個人？剖析與解答：我們用A圓表示第一題全對的，B圓表示第二題全對的，兩圓公共部分表示兩題全對的，長方形表示參加考試人數，長方形內兩個圓表面示兩道題全錯的人數。因為第一題對的有25人，兩道題全對的有

10人，所以第一題對第二題錯的有

15人。又因為第二題

18人做錯，

18人比

15人多

3人，所以這三人只好是第一題錯，第二題也錯，即兩道題都錯的有

3人。答：全錯的有

3人。7．有50個女孩，她們的皮膚有白的或淺黑色的，眼睛則是藍色的或褐色的，假如有14個藍眼睛白膚色，31個是淺黑膚色，18個是褐色眼睛，請問：褐色眼睛淺黑膚色的女孩有多少個？剖析與解答：建議同學們畫一個“統計表”，因為褐色眼睛女孩是18人，所以藍色眼睛女孩是：50-18=32

人。又因為藍眼睛白膚色女孩是

14人，所以藍眼睛淺黑膚色女孩是

32-14=18人。又因為淺黑膚色女孩是

31人，所以褐色眼睛淺黑膚色女孩有

31-18=13

人。還有一種方法，請你試一試。8．一個班有

42名同學，參加體育代表隊的學生有

30人，參加文藝代表隊的學生有

25人，而且這個班的每一名學生都起碼參加了一個隊，請問；這個班兩個隊都參加的有多少名學生？剖析：往常能夠畫一個圖幫助思慮，畫兩個訂交的圓，此中一個圓表示體育代表隊，另一個圓表示文藝代表隊，兩個圓交錯的部分表示兩個隊都參加的。兩個圓的內部一共有

42個人，而體育代表隊的圓中有

30個人，文藝代表隊的圓中有

25個人，但是

30+25=55

大于

42，這是因為兩個隊都參加的那些學生被計算了兩次。解答：從這個班的42名同學和被計算了兩次的那些兩個隊都參加的學生中減去全班的學生人數就是兩個隊都參加的學生的人數。30+25－42=1