1/16第1頁共16頁Q橢圓專題復習Q★知識梳理★(1)第一定義：平面內與兩個定點F、F的距離之和為常數2a(2a>|FF|)的動點P的軌跡叫橢圓,其中兩個定1222(2)橢圓的第二定義:平面內到定點F與定直線l(定點F不在定直線l上)的距離之比是常數e(0e1)的點的軌跡為橢圓(利用第二定義,可以實現橢圓上的動點到焦點的距離與到相應準線的距離相互轉化).2.橢圓的方程與幾何性質:++=1(a>b>0)+=1(a>b>0)abab2ab+c2x=士cca對稱性離心率xyy2x2性質22考點1橢圓定義及標準方程題型1:橢圓定義的運用反射光線經過橢圓的另一個焦點，今有一個水平放置的橢圓形臺球盤，點A、B是它的焦點，長軸長為2a，焦距為2c，靜放在點A的小球(小球的半徑不計)，從點A沿直線出發，經橢圓壁反彈后第一次回到點A時，小球經過的路程是yCAOBxA．4aB．2(a－c)C．2(a+c)CAOBx[解析]按小球的運行路徑分三種情況:2作直線交橢圓于A、B兩點，則△ABF的周長為()1.短軸長為5，離心率e=作直線交橢圓于A、B兩點，則△ABF的周長為()231212A.3B.62/16第2頁共16頁x2y2y2x2y2x2x2y216x2y2y2x2y2x2x2y2PM+PN的最小值為()4．橢圓9x2+y2=9的長軸長為()A．2B.3C.6D.9xyabFFFFa2b2121212題型2求橢圓的標準方程[例2]設橢圓的中心在原點，坐標軸為對稱軸，一個焦點與短軸兩端點的連線互相垂直，且此焦點與長軸上較近的端點距離為42－4，求此橢圓方程.【解題思路】將題中所給條件用關于參數a,b,c的式子“描述”出來||xyxy2解之得：a=42，b=c＝4.則所求的橢圓的方程為+=xyxy2【名師指引】準確把握圖形特征，正確轉化出參數a,b,c的數量關系．[警示]易漏焦點在y軸上的情況．1212程為()43432()3/16第3頁共16頁DA求這個橢圓方程.考點2橢圓的幾何性質題型1:求橢圓的離心率(或范圍)【解題思路】由條件知三角形可解，然后用定義即可求出離心率1[解析]S=|AB|.|AC|sinA=3，e===e【名師指引】(1)離心率是刻畫橢圓“圓扁”程度的量，決定了橢圓的形狀；反之，形狀確定，離心率也隨之確定(2)只要列出a、b、c的齊次關系式，就能求出離心率(或范圍)(3)“焦點三角形”應給予足夠關注【新題導練】1.如果一個橢圓的長軸長是短軸長的兩倍,那么這個橢圓的離心率為B.....4x2y22.已知m,n,m+n成等差數列，m，n，mn成等比數列，則橢圓+=x2y2mn，橢圓，橢圓上點M到該橢圓一個焦點F的距離是2，N是MF的中點，O是橢圓的中心，那么1橢圓方程線段ON的長是()AA.2B.4C.8.12a2b21若三PFF=30。，則橢圓C的離心率為()121 61 333633312b2124/16第4頁共16頁且三FPF=90。,則橢圓的離心率為()66(B)(C)((B)(C)(D)66．已知橢圓C的上、下頂點分別為B、B，左、右焦點分別為F、F，若四邊形BFBF是正方形，則此橢圓1211221A．31B．2222332橢圓C的離心率為()121212()111111244242x2y29．橢圓＋＝1(a>b>0)的兩頂點為A(a,0)，B(0，b)，且左焦點為F，△FAB是以角B為直角的直角三角形，a2b22211+5411+34題型2:橢圓的其他幾何性質的運用(范圍、對稱性等)【解題思路】把x2+y2x看作x的函數x2y21x2y2142212x202x22113x2+y2x=x2x+2=(x1)2+,x[2,2]222325/16第5頁共16頁x【新題導練】xm2n2則PF+PF+PF+PF+PF+P則PF+PF+PF+PF+PF+PF+PF=________________12345677考點3橢圓的最值問題[例5]橢圓+=1上的點到直線l:x+y9=【解題思路】把動點到直線的距離表示為某個變量的函數12+122【名師指引】也可以直接設點P(x,y)，用x表示y后，把動點到直線的距離表示為x的函數，關鍵是要具有“函數思想”【新題導練】1.橢圓+169a2b2121224PB6/16第6頁共16頁x2y2x43x2y2xA.4B.5C.2D.35．點P(x,y)是橢圓2x2+3y2=12上的一個動點，則x+2y的最大值為()．222221 222D．1 227．動點P(x,y)在橢圓x+y=1上,若A點坐標為(3,0),|AM|=1,且PM.AM=0,則|PM|的最小值是(222516A.2B.3C.2D.38．在橢圓x2+y2=1上有兩個動點P,Q，E(3,0)為定點，EP」EQ，則EP.QP的最小值為()369A.6B.33C.9x2y29．[2014·福建調研]若點O和點F分別為橢圓＋＝1的中心和左焦點，點P為橢圓上的任意一點，則43A.2B.3C.6D.8x2y21．已知橢圓+=1，則以點M(1,1)x2y243C．4x3y+7=0D．4x+3y+1=02．已知橢圓x2+y2=1，則以點M(1,2)為中點的弦所在直線方程為()．C．2x3y+8=0D．2x+3y4=03697/16第7頁共16頁若率為________．考點4橢圓的綜合應用題型：橢圓與向量、解三角形的交匯問題(1)求橢圓方程；(2)求m的取值范圍．式[解析](1)由題意可知橢圓C為焦點在y軸上的橢圓，可設C:y2+x2=1(a>b>0)a2b2由條件知a=1且b=c，又有a2=b2+c2，解得a=1,b=c=22ya21 2〈|(y＝kx＋m得(k2＋2)x2＋2kmx＋(m2－1)＝0Δ＝(2km)2－4(k2＋2)(m2－1)＝4(k2－2m2＋2)>0(*)－2kmm2－1kxxkx|x1x2＝－3x－2kmm2－1消去x2，得3(x1＋x2)2＋4x1x2＝0，∴3(k2＋2)2＋4k2＋2＝0112－2m2m2＝4時，上式不成立；m2≠4時，k2＝4m2－1容易驗證k2>2m2－2成立，所以(*)成立11即所求m的取值范圍為(－1，－2)∪(2，1)【名師指引】橢圓與向量、解三角形的交匯問題是高考熱點之一，應充分重視向量的功能【新題導練】O222222.如圖，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AB=2，AC=。一曲線E過點C，動點P在曲線E上運動，且保持|PA|+|PB|2(2)設直線l的斜率為(2)設直線l的斜率為k，若∠MBN為鈍角，求k的取值范圍。22x2(2)直線MN的方程為y=k(x+1),設M(x,y),設M(x,y,),N(x,y)111122∴方程有兩個不等的實數根8/16第8頁共16頁9/16第9頁共16頁x：x+x=一x.xx22+2k2,121+2k212212121211121277777777基礎鞏固訓練11AA2B2C2D3222.設F1、F2為橢圓4+y2=1的兩焦點，P在橢圓上，當△F1PF2面積為1時，412122112_________.6.在平面直角坐標系中，橢圓x2+y2=1(a>b>0)的焦距為2，以O為圓心，a為半徑的圓，過點(|a2,0)|作圓a2b2(c)的兩切線互相垂直，則離心率e=．綜合提高訓練10/16第10頁共16頁xy2y直線l的方程;若不存在,說明理由xy2y直線l的方程;若不存在,說明理由.CA2ab22(1)求橢圓的標準方程；(2)點C是橢圓上異于長軸端點的任意一點，對于△ABC，求的值。O42421122聯立方程:〈1212121212128-4k2a2b21⑴、求該橢圓的離心率.1PcycPcycPF=b2，：b=c,a2b21a2BOOAa1222.2、設F,F是橢圓的兩個焦點，2c105爪P是橢圓上一點，若三FPF=，證明：AFPF的面積只與橢圓的短軸長有關231212123AF1PF211/16第11頁共16頁22123b2，命題得證312/16第12頁共16頁61．已知橢圓(a＞b＞0)和直線l：y＝bx＋2，橢圓的離心率e＝，坐標原點到直線l的距離為2．3(1)求橢圓的方程；(2)已知定點E(﹣1，0)，若直線y＝kx＋2(k≠0)與橢圓相交于C，D兩點，試判斷是否存在實數k，使得以k12．已知橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上，離心率等于，它的一個頂點恰好是拋物線x2=83y的焦點.2(Ⅰ)求橢圓C的方程；122xa2b222x(1)求橢圓的標準方程：2(2)四邊形ABCD的頂點在橢圓上，且對角線AC，BD過原點O，若kAC.kBD=a22(ⅰ)求OA.OB的最值：(ⅱ)求證：四邊形ABCD的面積為定值.a2b222(1)求橢圓E的方程；14212左、右頂點分別是C1的左、右焦點．(1)求雙曲線C2的方程；(2)若直線l:y=kx+BOk213/16第13頁共16頁14/16第14頁共16頁(1)求橢圓C的方程；(2)當四邊形AEBF(1)求橢圓C的方程；(2)當四邊形AEBF面積取最大值時，求k的值．x2y2x6．設F,F分別是橢圓+y2=1的左，右焦點.1245(1)若P是橢圓在第一象限上一點，且PF.PF=，求P點坐標；(2)設過定點(0,2)的直線l與橢圓交于不同兩點A,B，且三AOB為銳角(其中O為原點)，求直線l的斜率k的取值范圍.y2x237．已知橢圓C:+=1(a>b>0)的離心率為，以原點為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線a2b2