基本不等式的證明(1)教課目的1）認識兩個正數的算術均勻數與幾何均勻數的觀點，能推導并掌握基本不等式；2）理解定理的幾何意義，可以簡單應用定理證明不等式。教課要點，難點：基本不等式的證明及其簡單應用。教課過程一．問題情境1．情境：把一個物體放在天平的盤子上，在另一個盤子上放砝碼使天均勻衡，稱得物體的質量為a，假如天平制造得不精準，天平的兩臂長略有不一樣（其余要素不計），那么a并不是物體的重量。可是，我們可作第二次丈量：把物體調動到天平的另一個盤子上，此時稱得物體的質量為b。2．問題：怎樣合理地表示物體的質量呢？二．學生活動指引學生作以下思慮：1）把兩次稱得的物體的質量“均勻”一下：（2）依據力學原理：設天平的兩臂長分別為l1,l2，物體的質量為M，則l1Ml2a，①l2Ml1b，②，①，②相乘在除以l1l2，得Mab（3）ab與ab哪個大？2三．建構數學1．算術均勻數與幾何均勻數：設a,b為正數，則ab稱為a,b的算術均勻數，ab稱為a,b的幾何均勻數。22．用詳細數據考證得：ab基本不等式：ab(a0,b0)2即兩個正數的幾何均勻數不大于它們的算術均勻數，當兩數相等時二者相等。下邊給出證明：證法1：abab1[(a)2(b)22ab]1(ab)20222當且僅當ab即ab時，取“”。證法2：要證abab，只需證2abab2只需證0a2abb，只需證0(ab)2由于最后一個不等式建立，因此abab建立，當且僅當ab即ab時，2取“”。證法3：關于正數a,b有(ab)20，ab2ab03．說明：1）基本不等式建立的條件是：a0,b02）不等式證明的三種方法：比較法（證法1）、剖析法（證法2）、綜合法（證法3）（3）abab的幾何解說：（如圖1）以ab為直徑作圓，在直徑AB上取一2AB，則CD2CACBab，點C，過C作弦DDDab，而半徑ab進而CDCDab2AaB（4）當且僅當ab時，取“”的含義：一方面是當aCbb時取等號，即ababab；另一方面是僅當ab時取等號，即（圖1）Dab2abab。2R，那么a2b2（5）假如a,b2ab（當且僅當ab時取“”）．四．數學運用1．例題：例1．設a,b為正數，證明以下不等式建立：（1）ba2（）1ab；2a2a證明：（1）∵a,b為正數，∴b,a也為正數，由基本不等式得ba2ba2ababab∴原不等式建立。（2）∵a,1均為正數，由基本不等式得a12a12，∴原不等式建立。aaa例2．已知a,b,c為兩兩不相等的實數，求證：a2b2c2abbcca證明：∵a,b,c為兩兩不相等的實數，∴a2b22ab，b2c22bc，c2a22ca，以上三式相加：2(a2b2c2)2ab2bc2ca因此，a2b2c2abbcca．例3．已知a,b,c,d都是正數，求證(abcd)(acbd)4abcd．證明：由a,b,c,d都是正數，得：abcdabcd0，2acbdacbd0，∴(abcd)(acbd)abcd，24即(abcd)(acbd)4abcd．例4．求證：x242．x231證明：∵x230，又x231，∴x23，x23∴x24(x23)1x2312x212，x2x2x23333x23即x24．x2232．練習：給出以下結論：（1）若x0,y0,則lgxlgy2lgxlgy（2）若x0,則1cosx21cosx2cosxcosx（3）若x0，則x42x44xx（4）若x0，則2x2x22x2x2此中正確的有2．課本P901,2五．回首小結：1．算術均勻數與幾何均勻數的觀點；2．基本不等式及其應用條件；3．不等式證明的三種常用方法。六．課外作業：P903P931