7.4.1

二項分布

高二數學選擇性必修第三冊第七章隨機變量及其分布學習目標1.理解伯努利試驗以及n重伯努利試驗的概念,掌握隨機變量服從二項分布的有關計算;2.能夠解決隨機變量服從二項分布的實際應用問題，會求服從二項分布的隨機變量的均值和方差;3.核心素養:

數學抽象、數學運算。一、回顧舊知1.兩點分布列X01P1－PP2.二項展開式的通項第項為在實際問題中，有許多試驗與擲硬幣試驗具有相同的特征，它們只包含兩個可能的結果.如檢驗一件產品結果為合格或不合格,飛碟射擊時中靶或脫靶，醫學檢驗結果為陰性或陽性等.二、探究新知1.伯努利試驗

我們把只包含兩個可能結果的試驗叫做伯努利試驗.2.

n重伯努利試驗

我們將一個伯努利試驗獨立地重復進行n次所組成的隨機試驗稱為n重伯努利試驗.n重伯努利試驗具有如下共同特征:(1).同一個伯努利試驗重復做n次;(2).各次試驗的結果相互獨立.3.在n重伯努利試驗中,"在相同條件下"等價于各次試驗的結果不會受其他試驗結果的影響即,(1)每次試驗是在同樣的條件下進行的;(2)各次試驗中的事件是相互獨立的;(3)每次試驗都只有兩種結果:發生與不發生;(4)每次試驗,某事件發生的概率是相同的.解:隨機試驗是否是n重伯努利試驗伯努利試驗重復試驗的次數(1)(2)(3)4.例1.下面3個隨機試驗是否為n重伯努利試驗?如果是，那么其中的伯努利試驗是什么?對于每個試驗，定義“成功”的事件為A，那么A的概率是多大？重復試驗的次數是多少?(1).拋擲一枚質地均勻的硬幣10次.(2).某飛碟運動員每次射擊中靶的概率為0.8,連續射擊3次.(3).一批產品的次品率為5,有放回地隨機抽取20次.判斷下列試驗是否為n重伯努利試驗(2)某人射擊,擊中目標的概率是穩定的,他連續射擊

了10次,其中6次擊中;(3)口袋裝有5個白球,3個紅球,2個黑球,從中依次抽

取5個球,恰好抽出4個白球;(4)口袋裝有5個白球,3個紅球,2個黑球,從中有放回

的抽取5個球,恰好抽出4個白球.不是不是是是(1)依次投擲四枚質地不同的硬幣,3次正面向上;5.變式訓練1而在n重伯努利試驗中,我們關注某個事件A發生的次數X.在伯努利試驗中，我們關注某個事件A是否發生.進一步，因為X是一個離散型隨機變量，所以我們實際關心的是X的分布列.6.探究··思考:如果連續射擊4次，類比上面的分析，表示中靶次數X等于2的結果有哪些?寫出中靶次數X的分布列.表示中靶次數X等于2的結果中靶次數X的分布列7.二項分布如果隨機變量X的分布具有上式的形式，則稱隨機變量X服從二項分布，記作X~B(n,p).

一般地,在n重伯努利試驗中,設每次試驗中事件Ａ發生的概率為

,用X表示事件A發生的次數，則X的分布列為(1)公式適用的條件(2)公式的結構特征（其中k=0，1，2，···，n）實驗總次數n事件A發生的次數事件A發生的概率公式意義理解(其中k=0，1，2，···，n)隨機變量X的分布列:與二項式定理有聯系嗎?

X01kn

P三、鞏固新知1.例2.解:某射手每次射擊擊中目標的概率是0.8,求這名射手在10次射擊中，(1)恰有8次擊中目標的概率；解:設X為擊中目標的次數,則X~B(10,0.8)(1)在10次射擊中,恰有8次擊中目標的概率為(2)至少有8次擊中目標的概率.2.變式訓練2(2)在10次射擊中,至少有8次擊中目標的概率為3.例3.解:4.例4.解法1:解法2:歸納

(1).已知諸葛亮解出問題的概率為0.9,三個臭皮匠各自獨立解出問題的概率都為0.6,皮匠中至少一人解出題目即勝出比賽,問臭皮匠團隊和諸葛亮哪個勝出的可能性大?解:設皮匠中解出題目的人數為X,則X~B(3,0.6)皮匠中至少一人解出題目的概率所以臭皮匠團隊勝出的可能性大5.變式訓練3解:由題意可知:X~B(3,)(2).某一中學生心里咨詢中心服務電話接通率為,某班3名同學商定明天分別就同一問題詢問該服務中心,且每人只撥打一次,求他們中成功咨詢的人數X的分布列.5.變式訓練3所以X分布列為:X0123

P(3).10件產品有2件次品,連續抽3次,每次抽1件,求：

①.不放回抽樣時,抽到次品數X的分布列;②.放回的抽樣時,抽到次品數Y的分布列.

X0123P

X012

P①.②.5.變式訓練36.探究:∴E(X)=0×Cn0p0qn+1×Cn1p1qn-1+2×Cn2p2qn-2

+…+k×Cnkpkqn-k+…+n×Cnnpnq0∵P(X=k)=Cnkpkqn-k證明：=np(Cn-10p0qn-1+Cn-11p1qn-2+…+

Cn-1k-1pk-1q(n-1)-(k-1)+…+Cn-1n-1pn-1q0)=np(p+q)n-1=np

X0

1

…

k

…n

P

Cn0p0qn

Cn1p1qn-1

…

Cnkpkqn-k

…

Cnnpnq0(∵kCnk=n

Cn-1k-1)若X~B(n，p)，則E(X)=np7.例4.

一個袋子里裝有大小相