第十章統(tǒng)計、統(tǒng)計案例及算法初步第二節(jié)統(tǒng)計圖表、數(shù)據(jù)的數(shù)字特征、用樣本估計總體基礎(chǔ)知識自主學(xué)習(xí)熱點命題深度剖析思想方法感悟提升最新考綱

1.了解分布的意義和作用，會列頻率分布表，會畫頻率分布直方圖、頻率折線圖、莖葉圖，理解他們各自的特點；2.理解樣本數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差的意義和作用，會計算數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差；3.能從樣本數(shù)據(jù)中提取基本的數(shù)字特征(如平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差)，并作出合理的解釋；4.會用樣本的頻率分布估計總體分布，會用樣本的基本數(shù)字特征估計總體的基本數(shù)字特征，理解用樣本估計總體的思想；5.會用隨機抽樣的基本方法和樣本估計總體的思想解決一些簡單的實際問題。J

基礎(chǔ)知識自主學(xué)習(xí)(2)作頻率分布直方圖的步驟：①求極差(即一組數(shù)據(jù)中_________與________的差；②決定____________與________；③將數(shù)據(jù)________；④列_______________；⑤畫______________________。Δxi(分組的寬度)頻率fi

1最大值最小值分組的寬度組數(shù)分組頻率分布表頻率分布直方圖2．頻率折線圖(1)定義：在頻率分布直方圖中，按照分組原則，再在______和_____各加一個區(qū)間。從所加的左邊區(qū)間的_______開始，用線段依次連接各個矩形的____________，直至右邊所加區(qū)間的_______，就可以得到一條折線，我們稱之為頻率折線圖。(2)作用：可以用它來估計________________情況。3．莖葉圖(1)莖葉圖表示數(shù)據(jù)的優(yōu)點：①莖葉圖上___________的損失，所有的____________都可以從這個莖葉圖中得到。②莖葉圖可以隨時記錄，方便________________。(2)莖葉圖表示數(shù)據(jù)的缺點：當(dāng)數(shù)據(jù)量很大或有多組數(shù)據(jù)時，莖葉圖就不那么直觀清晰了。左邊右邊中點頂端中點中點總體的分布沒有信息原始數(shù)據(jù)表示與比較4．樣本的數(shù)字特征及意義(1)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)：數(shù)字特征定義與求法眾數(shù)一組數(shù)據(jù)中重復(fù)出現(xiàn)次數(shù)________的數(shù)中位數(shù)把一組數(shù)據(jù)按__________排列，處在_________位置的一個數(shù)據(jù)(或兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù))平均數(shù)如果有n個數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn，那么這n個數(shù)的平均數(shù)＝__________________最多大小順序最中間(2)標(biāo)準(zhǔn)差、方差：①標(biāo)準(zhǔn)差：表示樣本數(shù)據(jù)到平均數(shù)的一種平均距離，一般用s表示，s＝

______________________________________。②方差：標(biāo)準(zhǔn)差的平方s2叫做方差。s2＝__________________________________，其中xi(i＝1,2,3，…，n)是樣本數(shù)據(jù)，n是__________，是_______________。樣本容量樣本平均數(shù)[判一判](1)在頻率分布直方圖中，小矩形的高表示頻率。(

)解析錯誤。在頻率分布直方圖中，小矩形的高表示頻率/組距。(2)頻率分布直方圖中各個長方形的面積之和為1。(

)解析正確。根據(jù)頻率分布直方圖的意義可知，其中各個長方形的面積之和為1。(3)莖葉圖中的數(shù)據(jù)要按從小到大的順序?qū)懀嗤臄?shù)據(jù)可以只記一次。(

)解析錯誤。在莖葉圖中，數(shù)據(jù)不需要按從小到大的順序?qū)懀蚁嗤臄?shù)據(jù)需重復(fù)記錄，不能只記一次。×√×(4)平均數(shù)、眾數(shù)與中位數(shù)從不同的角度描述了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢。(

)

解析正確。根據(jù)平均數(shù)、眾數(shù)與中位數(shù)的意義可知正確。(5)一組數(shù)據(jù)的方差越大，說明這組數(shù)據(jù)的波動越大。(

)解析正確。方差是描述數(shù)據(jù)集中與離散程度的量，方差越小，說明這組數(shù)據(jù)越集中，反之則說明這組數(shù)據(jù)的波動越大。√√[練一練]

1．(2015·重慶卷)重慶市2013年各月的平均氣溫(℃)數(shù)據(jù)的莖葉圖如下：則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是(

)A．19 B．20C．21.5 D．232．容量為20的樣本數(shù)據(jù)，分組后的頻率如下表：則樣本數(shù)據(jù)落在區(qū)間[10,40)的頻率為(

)A．0.35 B．0.45C．0.55 D．0.65分組[10,20)[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)[60,70]頻數(shù)2345423．為了解一片大約10000株樹木的生長情況，隨機測量了其中100株樹木的底部周長(單位：cm)。根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫出的樣本頻率分布直方圖如圖所示，那么在這片樹木中，底部周長小于110cm的株數(shù)大約是(

)A．3000 B．6000C．7000 D．8000解析底部周長小于110cm的頻率為(0.01＋0.02＋0.04)×10＝0.7，所以底部周長小于110cm的株數(shù)大約是10000×0.7＝7000。答案C4．某老師從星期一到星期五收到的信件數(shù)分別為10,6,8,5,6，則該組數(shù)據(jù)的方差s2＝________。3.240R熱點命題

深度剖析【例1】

(1)(2015·安徽卷)若樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，x10的標(biāo)準(zhǔn)差為8，則數(shù)據(jù)2x1－1,2x2－1，…，2x10－1的標(biāo)準(zhǔn)差為(

)A．8 B．15C．16 D．32考點一樣本的數(shù)字特征(2)甲、乙兩人在一次射擊比賽中各射靶5次，兩人成績的條形統(tǒng)計圖如圖所示，則(

)A．甲的成績的平均數(shù)小于乙的成績的平均數(shù)B．甲的成績的中位數(shù)等于乙的成績的中位數(shù)C．甲的成績的方差小于乙的成績的方差D．甲的成績的極差小于乙的成績的極差變式訓(xùn)練1

(1)在某次測量中得到的A樣本數(shù)據(jù)如下：82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若B樣本數(shù)據(jù)恰好是A樣本數(shù)據(jù)每個都加2后所得數(shù)據(jù)，則A，B兩樣本的下列數(shù)字特征對應(yīng)相同的是(

)A．眾數(shù)

B．平均數(shù)C．中位數(shù)

D．標(biāo)準(zhǔn)差解析(1)對樣本中每個數(shù)據(jù)都加上一個非零常數(shù)時不改變樣本的方差和標(biāo)準(zhǔn)差，眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)都發(fā)生改變。答案D(2)甲乙二人參加某體育項目訓(xùn)練，近期的五次測試成績得分情況如圖。①分別求出兩人得分的平均數(shù)與方差；②根據(jù)圖和上面算得的結(jié)果，對兩人的訓(xùn)練成績作出評價。【例2】

(1)(2015·山東卷)為比較甲、乙兩地某月14時的氣溫狀況，隨機選取該月中的5天，將這5天中14時的氣溫數(shù)據(jù)(單位：℃)制成如圖所示的莖葉圖。考慮以下結(jié)論：①甲地該月14時的平均氣溫低于乙地該月14時的平均氣溫；②甲地該月14時的平均氣溫高于乙地該月14時的平均氣溫；③甲地該月14時的氣溫的標(biāo)準(zhǔn)差小于乙地該月14時的氣溫的標(biāo)準(zhǔn)差；④甲地該月14時的氣溫的標(biāo)準(zhǔn)差大于乙地該月14時的氣溫的標(biāo)準(zhǔn)差。其中根據(jù)莖葉圖能得到的統(tǒng)計結(jié)論的編號為(

)A．①③

B．①④C．②③

D．②④考點二

莖葉圖

(2)某學(xué)校隨機抽取20個班，調(diào)查各班中有網(wǎng)上購物經(jīng)歷的人數(shù)，所得數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖所示，以組距為5將數(shù)據(jù)分組成[0,5)，[5,10)，…，[30,35)，[35,40]時，所作的頻率分布直方圖是(

)【解析】

由分組可知C，D一定不對；由莖葉圖可知[0,5)有1人，[5,10)有1人，∴第一、二小組頻率相同，頻率分布直方圖中矩形的高應(yīng)相等，可排除B。【答案】

A【規(guī)律方法】

在使用莖葉圖時，一定要觀察所有的樣本數(shù)據(jù)，弄清楚這個圖中數(shù)字的特點，不要漏掉了數(shù)據(jù)，也不要混淆莖葉圖中莖與葉的含義。變式訓(xùn)練2

(1)將某選手的9個得分去掉1個最高分，去掉1個最低分，7個剩余分?jǐn)?shù)的平均分為91，現(xiàn)場做的9個分?jǐn)?shù)的莖葉圖后來有一個數(shù)據(jù)模糊，無法辨認，在圖中以x表示：(2)為了比較兩種治療失眠癥的藥(分別稱為A藥，B藥)的療效，隨機地選取20位患者服用A藥，20位患者服用B藥，這40位患者在服用一段時間后，記錄他們?nèi)掌骄黾拥乃邥r間(單位：h)。試驗的觀測結(jié)果如下：服用A藥的20位患者日平均增加的睡眠時間：0．6'1.2'2.7'1.5'2.8'1.8'2.2'2.33．2'3.5'2.5'2.6'1.2'2.7'1.5'2.93．0'3.1'2.3'2.4服用B藥的20位患者日平均增加的睡眠時間：3．2'1.7'1.9'0.8'0.9'2.4'1.2'2.61．3'1.4'1.6'0.5'1.8'0.6'2.1'1.12．5'1.2'2.7'0.5①分別計算兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，從計算結(jié)果看，哪種藥的療效更好？②根據(jù)兩組數(shù)據(jù)完成下面莖葉圖，從莖葉圖看，哪種藥的療效更好？

②由觀測結(jié)果可繪制如下莖葉圖：【例3】

(1)為了研究某藥品的療效，選取若干名志愿者進行臨床試驗。所有志愿者的舒張壓數(shù)據(jù)(單位：kPa)的分組區(qū)間為[12,13)，[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17]，將其按從左到右的順序分別編號為第一組，第二組，……，第五組。下圖是根據(jù)試驗數(shù)據(jù)制成的頻率分布直方圖。已知第一組與第二組共有20人，第三組中沒有療效的有6人，則第三組中有療效的人數(shù)為(

)A．6 B．8C．12 D．18考點三頻率分布直方圖【解析】

設(shè)樣本容量為n，由題意，得(0.24＋0.16)×1×n＝20，解得n＝50，所以第三組頻數(shù)為0.36×1×50＝18。因為第三組中沒有療效的有6人，所以第三組中有療效的人數(shù)為18－6＝12。【答案】

C(2)(2015·湖北卷)某電子商務(wù)公司對10000名網(wǎng)絡(luò)購物者2014年度的消費情況進行統(tǒng)計，發(fā)現(xiàn)消費金額(單位：萬元)都在區(qū)間[0.3,0.9]內(nèi)，其頻率分布直方圖如圖所示。①直方圖中的a＝________；②在這些購物者中，消費金額在區(qū)間[0.5,0.9]內(nèi)的購物者的人數(shù)為________。3

6000【解析】

①由頻率分布直方圖，得(1.5＋2.5＋a＋2.0＋0.8＋0.2)×0.1＝1，解得a＝3；②消費金額在[0.5,0.9]的購物者的人數(shù)為：10000×(1－1.5×0.1－2.5×0.1)＝10000×0.6＝6000。變式訓(xùn)練3

為了了解某校九年級1600名學(xué)生的體能情況，隨機抽查了部分學(xué)生，測試1分鐘仰臥起坐的成績(次數(shù))，將數(shù)據(jù)整理后繪制成如圖所示的頻率分布直方圖，根據(jù)統(tǒng)計圖的數(shù)據(jù)，下列結(jié)論錯誤的是(

)A．該校九年級學(xué)生1分鐘仰臥起坐的次數(shù)的中位數(shù)為26.25次B．該校九年級學(xué)生1分鐘仰臥起坐的次數(shù)的眾數(shù)為27.5次C．該校九年級學(xué)生1分鐘仰臥起坐的次數(shù)超過30次的人數(shù)約有320人D．該校九年級學(xué)生1分鐘仰臥起坐的次數(shù)少于20次的人數(shù)約有32人解析由題圖可知中位數(shù)是26.25次，眾數(shù)是27.5次，1分鐘仰臥起坐的次數(shù)超過30次的頻率為0.2，所以估計該校九年級學(xué)生1分鐘仰臥起坐的次數(shù)超過30次的人數(shù)約有320人；1分鐘仰臥起坐的次數(shù)少于20次的頻率為0.1，所以該校九年級學(xué)生1分鐘仰臥起坐的次數(shù)少于20次的人數(shù)約有160人。故D是錯誤的，選D。答案DS