2022年湖南長沙中考數(shù)學(xué)試題

注意事項(xiàng)：

1.答題前，請考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，并認(rèn)真核對條形碼上的姓名、準(zhǔn)

考證號、考室和座位號；

2.必須在答題卡上答題，在草稿紙、試題卷上答題無效；

3.答題時(shí)，請考生注意各大題題號后面的答題提示；

4.請勿折疊答題卡，保持字體工整、筆跡清晰、卡面清潔；

5.答題卡上不得使用涂改液、涂改膠和貼紙；

6.本學(xué)科試卷共25個(gè)小題，時(shí)量120分鐘，.

一、選擇題（在下列各題的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題意的.請?jiān)诖痤}卡中填涂符合

題意的選項(xiàng).本大題共10個(gè)小題，每小題3分，共30分）

1.一6的相反數(shù)是（）

A.6B.一6C.6D.6

D

2.如圖是由5個(gè)大小相同的正方體組成的幾何體，該幾何體的主視圖是（）

3.下列說法中，正確的是（）

A.調(diào)查某班45名學(xué)生的身高情況宜采用全面調(diào)查

B.“太陽東升西落”是不可能事件

C.為了直觀地介紹空氣各成分的百分比，最適合使用的統(tǒng)計(jì)圖是條形統(tǒng)計(jì)圖

D.任意投擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣26次，出現(xiàn)正面朝上的次數(shù)一定是13次

A

4.下列計(jì)算正確的是（）

A,優(yōu)+。'=。2B,5〃-4Q=1C.3a2-2a3=6a6p

（a-h）2=a2-b2

A

5.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)（5，D關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（）

A.（一51）B.（51）C.（L5）D,

（-5,-1）

D

6.《義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》首次把學(xué)生學(xué)會炒菜納入勞動教育課程，并做出明

確規(guī)定.某班有7名學(xué)生已經(jīng)學(xué)會炒的菜品的種數(shù)依次為：3,5,4,6,3,3,4,則這組

數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)分別是（）

A.3,4B.4,3C.3,3D.4,4

A

7.為落實(shí)“雙減”政策，某校利用課后服務(wù)開展了主題為“書香滿校園”的讀書活動.現(xiàn)

需購買甲，乙兩種讀本共100本供學(xué)生閱讀，其中甲種讀本的單價(jià)為10元/本，乙種讀本

的單價(jià)為8元/本，設(shè)購買甲種讀本x本，則購買乙種讀本的費(fèi)用為（）

A.8x元B.一x）元c8（1007）元江

（100-8x）-

C

8如圖，ABHCD/JAECFNB4E=75。，則ZDCF的度數(shù)為（)

A.65°B.70°C.75。D.105。

C

9.如圖，PA,如是的切線，4、6為切點(diǎn)，若N〃°8=128°,則/尸的度數(shù)為（

)

C.64。D.72。

B

10.如圖，在AZBC中，按以下步驟作圖：

-AB

①分別過點(diǎn)4、8為圓心，大于2的長為半徑畫弧，兩弧交于0、0兩點(diǎn);

②作直線PQ交46于點(diǎn)D-,

③以點(diǎn)。為圓心，4〃長為半徑畫弧交網(wǎng)于點(diǎn)以連接BM.

若/8=2正，則4〃的長為（）

D.母

A.4B.2C.6

B

二、填空題（本大題共6個(gè)小題，每小題3分，共18分）

11.若式子Jx-19在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義,則實(shí)數(shù)的取值范圍是—

x>19

【詳解】???式子J%—19在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義,

.-.x-19>0

解得xA19,

故x?19.

25

12.分式方程1=7內(nèi)的解是.

尸2

【詳解】解：兩邊同乘x（廣3）,得2（戶3）=5筋

解得尸2,

經(jīng)檢驗(yàn)產(chǎn)2是原方程的根；

故x=2.

13.如圖，/、B、C是。。上的點(diǎn)，℃上/8,垂足為點(diǎn)〃，且〃為比'的中點(diǎn)，若

0A=7,則%的長為.

【詳解】解：如圖，連接。民

A.氏C是°°上的點(diǎn)，0c工/8,

AD=DB,

???〃為宓的中點(diǎn)，

OD=DC

，四邊形是菱形，%=7,

BC=AO=7.

故7.

14.關(guān)于的一元二次方程/+2》+/=°有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)t的值為

t<1

【詳解】???關(guān)于x的一元二次方程/+2》+/=°有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

/.A=22-4xlxr>0

?，＜1,

故f＜1.

15.為了解某校學(xué)生對湖南省“強(qiáng)省會戰(zhàn)略”的知曉情況，從該校全體1000名學(xué)生中，隨

機(jī)抽取了100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查.結(jié)果顯示有95名學(xué)生知曉.由此，估計(jì)該校全體學(xué)生中知

曉湖南省“強(qiáng)省會戰(zhàn)略”的學(xué)生有名.

950

【詳解】解：估計(jì)該校全體學(xué)生中知曉湖南省“強(qiáng)省會戰(zhàn)略”的學(xué)生有

95

lOOOx—

100=950（名）

故950

16.當(dāng)今大數(shù)據(jù)時(shí)代，“二維碼”具有存儲量大.保密性強(qiáng)、追蹤性高等特點(diǎn)，它已被廣泛

應(yīng)用于我們的日常生活中，尤其在全球“新冠”疫情防控期間，區(qū)區(qū)“二維碼”已經(jīng)展現(xiàn)

出無窮威力.看似“碼碼相同”，實(shí)則“碼碼不同”.通常，一個(gè)“二維碼”由1000個(gè)小小

的黑白小方格組成，其中小方格專門用做糾錯(cuò)碼和其他用途的編碼，這相當(dāng)于1000個(gè)方格

只有200個(gè)方格作為數(shù)據(jù)碼.根據(jù)相關(guān)數(shù)學(xué)知識，這200個(gè)方格可以生成22°°個(gè)不同的數(shù)

據(jù)二維碼，現(xiàn)有四名網(wǎng)友對22°°的理解如下：

J%ZS■（永遠(yuǎn)的神）：22°°就是200個(gè)2相乘，它是一個(gè)非常非常大的數(shù)；

勿勿（懂的都懂）：22°°等于20（）2；

必以（覺醒年代）：22°°的個(gè)位數(shù)字是6；

QGYW（強(qiáng)國有我）：我知道*=1024,IO,=1000,所以我估計(jì)Z?00比10，°大.

其中對的理解錯(cuò)誤的網(wǎng)友是（填寫網(wǎng)名字母代號）.

DDDD

【詳解】2?°°是200個(gè)2相乘，力紡（永遠(yuǎn)的神）的理解是正確的；

2"O=（2"'"）2HZOO,如如（懂的都懂）的理解是錯(cuò)誤的；

???2i=2,2?=4,23=8,24=16,2、=32…，

???2的乘方的個(gè)位數(shù)字4個(gè)一循環(huán)，

200+4=50

?12?°°的個(gè)位數(shù)字是6,以⑦（覺醒年代）的理解是正確的；

20010206032010103

?.-2=（2）,10=（10）12=1024,10,=1000,a2＞10

2”＞。＞10"’,故宛勿，（強(qiáng)國有我）的理解是正確的；

故DDDD.

三、解答題（本大題共9個(gè)小題，第17、18、19題每小題6分，第20、21題每小題8分,

第22、23題每小題9分，第24、25題每小題10分，共72分.解答應(yīng)寫出必要的文字說

明、證明過程或演算步驟）

|一4|+仕］一（血）2+2035。

17.計(jì)算：⑴.

6

|-41+（-1-（何+2035。

【詳解】解：

=4+3—2+1

=6

3x>-8-x①

18.解不等式組：［2（xT）W6②

-2<x<4

【詳解】解不等式①，得》>-2,

解不等式②，得xK4,

所以，不等式組的解集為一2<X44.

19.為了進(jìn)一步改善人居環(huán)境，提高居民生活的幸福指數(shù).某小區(qū)物業(yè)公司決定對小區(qū)環(huán)

境進(jìn)行優(yōu)化改造.如圖，表示該小區(qū)一段長為20m的斜坡，坡角

NBAD=30。,BDL4D于點(diǎn)、n為方便通行，在不改變斜坡高度的情況下，把坡角降為

（1）求該斜坡的高度加；

（2）求斜坡新起點(diǎn),與原起點(diǎn)/之間的距離.（假設(shè)圖中C,A,〃三點(diǎn)共線）

（1）10m（2）20m

【小問1詳解】

..NBAD=30°,BD1ADAB=20m

：.BD^-AB

2=10m

【小問2詳解】

???aA,〃三點(diǎn)共線，N8ZO=30°,NZCB=15。

...NABC=/BAD—NC=15°

/.AC-AB-20m

20.2022年3月22日至28日是第三十五屆“中國水周”，在此期間，某校舉行了主題

“為推進(jìn)地下水超采綜合治理，復(fù)蘇河湖生態(tài)環(huán)境”的水資源保護(hù)知識競賽.為了了解本

次知識競賽成績的分布情況，從參賽學(xué)生中隨機(jī)抽取了150名學(xué)生的初賽成績進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，

得到如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖表.

成績，分頻數(shù)頻率

60<x<70150.1

70<x<80a0.2

80<x<9045b

90<x<10060C

(2)請補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖：

(3)若某班恰有3名女生和1名男生的初賽成績均為99分，從這4名學(xué)生中隨機(jī)選取2

名學(xué)生參加復(fù)賽，請用列表法或畫樹狀圖法求選出的2名學(xué)生恰好為一名男生、一名女生

的概率.

(1)30,0.3,0.4

(2)見解析(3)選出的2名學(xué)生恰好為一名男生、一名女生的概率為萬

【小問1詳解】

。=150-15-45-60=30,

—=0.3

150

60彳

c-------=0A.4

150,

故30,0.3,0.4；

【小問3詳解】

用4民C分別表示3名女生，用d表示1名男生，列表如下:

ABCd

ABACAdA

BABCBdB

CACBCdC

dAdBdCd

共有12種等可能結(jié)果，其中選出的2名學(xué)生恰好為一名男生、一名女生的結(jié)果有6種,

_9_

???P（選出的2名學(xué)生恰好為一名男生、一名女生）122

???選出的2名學(xué)生恰好為一名男生、一名女生的概率為5.

21.如圖，4c平分NB4D,CB1ABCD1ADt垂足分別為ED.

(1)求證：△WC絲ADC.

(2)若4B=4,0=3,求四邊形/成力的面積.

(1)見解析(2)12

【小問1詳解】

...4c平分NB4D,CBJ_ABCD_LAD

：.Z.CAB=ACAD,ZB=ZD

-：AC=AC,

：.^ABC^ADC{AAS)

【小問2詳解】

?：/\ABCADC,”=4,8=3,

AB=AD=4,BC=CD^3

,"=々=90°,

.■-SS=--AD-CD

△ABBLC=2-ABBC=-2X4X3=6,^AaCcUd2=-2%4X3=6

二四邊形ABCD的面積=S.ABC+S.ACD=6+6=12.

22.電影《劉三姐》中，有這樣一個(gè)場景，羅秀才搖頭晃腦地吟唱道：”三百條狗交給你,

一少三多四下分，不要雙數(shù)要單數(shù)，看你怎樣分得勻？”該歌詞表達(dá)的是一道數(shù)學(xué)題.其

大意是：把300條狗分成4群，每個(gè)群里，狗的數(shù)量都是奇數(shù)，其中一個(gè)群，狗的數(shù)量少:

另外三個(gè)群，狗的數(shù)量多且數(shù)量相同.問：應(yīng)該如何分？請你根據(jù)題意解答下列問題：

(1)劉三姐的姐妹們以對歌的形式給出答案：“九十九條打獵去，九十九條看羊來，九十

九條守門口，剩下三條給財(cái)主.”請你根據(jù)以上信息，判斷以下三種說法是否正確，在題后

相應(yīng)的括號內(nèi)，正確的打“J”，錯(cuò)誤的打“X”.

①劉三姐的姐妹們給出的答案是正確的，但不是唯一正確的答案.()

②劉三姐的姐妹們給出的答案是唯一正確的答案.()

③該歌詞表達(dá)的數(shù)學(xué)題的正確答案有無數(shù)多種.()

(2)若羅秀才再增加一個(gè)條件：“數(shù)量多且數(shù)量相同的三個(gè)群里，每個(gè)群里狗的數(shù)量比數(shù)

量較少的那個(gè)群里狗的數(shù)量多40條”，求每個(gè)群里狗的數(shù)量.

(1)V,X,X

(2)數(shù)量少的群里狗的數(shù)量為45只，狗的數(shù)量多且數(shù)量相同的群里狗的數(shù)量為85只

【小問1詳解】

根據(jù)題意，姐妹們給出的答案是符合要求的；除此之外，還可分成97,97,97,9等,

，劉三姐的姐妹們給出的答案是正確的，但不是唯一正確的答案，

???這里的每群狗的數(shù)量還需要是正整數(shù)，

...答案不是無數(shù)種，

.?.①②X,③X,

故，，X,X；

【小問2詳解】

設(shè)數(shù)量少的狗群的數(shù)量為x只，則狗的數(shù)量多且數(shù)量相同的群里狗的數(shù)量為(x+40)只，

由題意得：

x+3(x+40)=300

解得x=45,

x+40=85(只)，

所以，數(shù)量少的堀里狗的數(shù)量為45只，狗的數(shù)量多且數(shù)量相同的群里狗的數(shù)量為85只.

23.如圖，在中，對角線4C,即相交于點(diǎn)0,4B=AD.

(1)求證：ACLBD

3

EF=~,AO=2

(2)若點(diǎn)笈b分別為4。的中點(diǎn)，連接外5’,求班的長及四邊形

4及力的周長.

(1)見解析(2)BD=6,四邊形/版的周長為4而

【小問1詳解】

證明：；四邊形/SCO是平行四邊，AB=AD,

，四邊形是菱形，

ACLBD.

【小問2詳解】

解：,??點(diǎn)區(qū)尸分別為44,的中點(diǎn)，

EF是A4°D的中位線，

:.EF==OD

2

3

2

:.OD3

四邊形488是菱形,

，BD=2OD=6

?.?ACLBD

在RtA/OD中，/O=2,0D=3,

AD=yjAO2+OD2=V22+32=V13

，菱形形ABCD的周長為4屈.

24.如圖，四邊形被笫內(nèi)接于對角線如相交于點(diǎn)色點(diǎn)尸在邊上，連接

EF.

(2)當(dāng)DC=CB,Z.DFE-2ZCDB時(shí),則

AEDEAFFE

--------=----1----=1J____1_

+

BECE.ABAD.~AB7D~7F

（直接將結(jié)果填寫在相應(yīng)的橫線上）

⑶①記四邊形/況△&ECDE的面積依次為S.SM,若滿足石=質(zhì)+病,

試判斷，COE的形狀，并說明理由.

②當(dāng)DC=CB,AB=m,AD=nCZ）=p時(shí)，試用含勿，〃，0的式子表示.

（1）見解析（2）0,1,0

p~mn

（3）①等腰三角形，理由見解析，②p2+m〃

【小問1詳解】

證明：???//)=〃/),

Z.ACD=NABD,

即乙4BE=ZDCE\

又/DEC=NAEB,

/\ABEsDCE.

【小問2詳解】

?:4ABEsDCEf

ABBEAE

"~DC~~CE~~DE,

：.AECE=BEDE,

4EDE_AECE-BE-DE0

"~BE~~CE~BECE一,

NCDB+NCBD=180°-/BCD=NDAB=24CDB

...ADFE=2NCDB

：.ZDFE=NDAB,'

EF//AB,

：.NFEA=ZEAB,

...DC=CB,

NDAC=4BAC

NFAE=NFEA,

/.FA=FE,

EF//AB,

:ADFESADAB,

EFDF

下.而

AFFEEFAFDFAFAD

----1---------1----—----1----=—

ABADABADADADAD

AFAFAFEF

----1----=----1----=1

ABADABAD

AFAF

----1----=1

ABAD

111C

----1------------=0

ABADAF.

故0,1,0

【小問3詳解】

①記"OEQEBC的面積為邑，S’，

則s=s1+S+S3+，

??8=顯=竺

?S3S2DE

RS?=6384①

，#=&+厄,

即5=岳+52+2扇，

§3+S4=2邪凡②

由①②可得邑+$4=2病后,

即的一陽六°,

：.s3=s4

S/ABE+S-ADE=S6BE+S4KBe,

<?-<?

即Q"BD~0“oc,

:.CD//ABt

：.NACD=ABAC,NCDB=ZDBA,

;ZACD=NABD,ZCDB=ZCAB,

NEDC=ZECD=ZEBA=NEAB'

：,^ABE,^DCE都為等腰三角形；

②?岳=元，

ADAC=AEAB,

ZDCA=ZEBA:

:.ADACS^EAB,

ADAC

"~EA~^4B,

..AB-m,4D-nCD-p

：.EA-AC=DAxAB=mn,

???ZBDC=ABAC=ADAC,

NCDE=ACAD,

又NECD=ZDCA:

:.ADCES^ACD,

.CDCE

"7C~'CD,

:.CECA^CD-=p\

EA-AC+CE-AC=AC2=mn+p2

AC=yjmn+p-,EC=.P

RUIAC/mn+p-

：.AE=AC—CE=

.r-r'mnP2

AAEr-EC=-----

mn+p

25.若關(guān)于x的函數(shù)y,當(dāng)22時(shí)，函數(shù)y的最大值為M最小值為凡令函

,M-N

h二--------

數(shù)2，我們不妨把函數(shù)方稱之為函數(shù)y的“共同體函數(shù)”.

⑴①若函數(shù)V=4044X,當(dāng)"1時(shí)，求函數(shù)y的“共同體函數(shù)”力的值;

②若函數(shù)夕=丘+%(%H°,k,6為常數(shù))，求函數(shù)y的“共同體函數(shù)”方的解析式；

y=—(力21

(2)若函數(shù)了,求函數(shù)y的“共同體函數(shù)”力的最大值；

(3)若函數(shù)卜=—/+4'+4，是否存在實(shí)數(shù)上使得函數(shù)y的最大值等于函數(shù)y的“共

同體函數(shù)”方的最小值.若存在，求出衣的值；若不存在，請說明理由.

h_k卜_k

⑴①2022；②左〉0時(shí)，2,左<0時(shí)，2

(2)2

31

k7------

(3)，=2時(shí)，存在8

【小問1詳解】

1113

1一一<x<l+--<x<-

解：①當(dāng)，=1時(shí)，則22,即22,

...y_4044x,左=4044>0,>隨x的增大而增大,

31

4044X--4044X-

=——2-----------1=2022

22

t—WxW/H—

②若函數(shù)工丘+6,當(dāng)左〉0時(shí)，22,

M=k^t+^+b,N=k\^t

+b

,M-Nk

h=---------=—

2

當(dāng)無<0時(shí),則

小=?一

22

,k.k

n=——h=—

綜上所述，Q0時(shí)，2,左<0時(shí)，2

【小問2詳解】

^=-(x>l)

解：對于函數(shù)X,

2>o,x>\,函數(shù)在第一象限內(nèi)，y隨x的增大而減小,

解得2,

當(dāng)22時(shí),

.h_M—N_J/____4_\_2⑵+1)-2(2/7)_4_4

一“-T~-2U^-l-2z+lJ-(2/-1)(2/+1)-⑵-1)(27+1)-4/2-1

3

t2一2

?.?當(dāng)2時(shí)，4廠一1隨f的增大而增大，

(_3

.?.當(dāng)一2時(shí)，41取得最小值，此時(shí)〃取得最大值，

h441

導(dǎo)+/吉*

最大值為'Clt—八1)(2/+"1)2x42；

【小問3詳解】

對于函數(shù)k一J+4x+左=-（x-2y+4+A,

。=一1<0,拋物線開口向下，

x<2時(shí)，>隨x的增大而增大，

x〉2時(shí)，了隨*的增大而減小，

當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)y