(1)(1)如圖1,當ZBAC=120°時，ZDAE=60。時，求證：DE=DE；初中數學試卷金戈鐵騎整理制作小專題（七）旋轉中的計算與證明類型1基于“半角”的旋轉在很多題目中都有這樣的題設條件：一個大角中有一個共頂點的小角，小角正好是大角的一半（如例1）.當面對這樣的信息時，往往可以考慮使用旋轉變換，并且旋轉后，多半還有一對軸對稱的全等三角形出現，此時，很多問題即可迎刃而解了.總結此類問題解題的思路即是：半角信,——帶形旋轉——軸對稱的全等三角形.【例1】如圖，已知四邊形ABCD是正方形，對角線AC,BD相交于O.設E,F分別是AB上不同的兩個點，且ZEOF=45°，請你用等式表示線段AE，BF和EF之間的數量關系，并證明.【思路點撥】將△OFB繞點O順時針旋轉90°,得△OHA.連接HE,利用條件可證△EOH^AEOF,從而得EH=EF.然后在RtAAEH中，利用勾股定理得EH2=AH2+AE2,進而得出結論.針對訓練1.已知在厶ABC中，AB=AC，D，E是BC邊上的點，將△ABD繞點A旋轉，得到△ACD，，連接DE.ABDECBDECBDEC圖1圖2圖3(2)如圖2,當DE=DE時，ZDAE與ZBAC有怎樣的數量關系？請寫出，并說明理由.(3)如圖3,在(2)的結論下，當ZBAC=90°,BD與DE滿足怎樣的數量關系時，小EC是等腰直角三角形?(直接寫出結論，不必說明理由)類型2基于“等邊三角形”的旋轉方法歸納：將等邊三角形內的一個小三角形，旋轉60度，從而使小三角形的一邊與原等邊三角形的邊重合，連接小三角形的鈍角頂點，得三角形.通過旋轉將不相關的線段轉化到同一個三角形中，將分散的已知條件集中起來，使問題得以解決.【例2】如圖，點P為等邊△ABC內一點，且PA=2,PB=1，PC=￡，求ZAPB的度數.【思路點撥】將AAPC繞點A順時針旋轉60°，得AADB.連接DA,DP,DB,得AD=AP,DB=PC=打，么DAP=60°.從而可證△ADP為等邊三角形，所以DP=AP=2，ZDPA=60°.在ADPB中，利用勾股定理逆定理可得ZDBP=90°，ZDPB=60°.從而可得ZAPB=120°.針對訓練2.如圖所示，點P是等邊△ABC內一點，PB=2,PC=1,ZBPC=150°，求PA的長.3.如圖所示，AABC是邊長為1的等邊三角形，△BDC是頂角ZBDC=120°的等腰三角形，以D為頂點作一角等于60°.角的兩邊分別交AB、AC于M、N，連接MN，構成一個厶AMN，求AAMN的周長.參考答案【例1】AE2+BF2=EF2.證明：將△OFB繞點O順時針旋轉90°，得△OHA.連接HE，?：OH=OF，AH=BF，ZBOF=ZAOH，ZHOF=90°二?四邊形ABCD是正方形，.??ZDAB=90°，ZAOB=90°.VZEOF=45°，AZAOE+ZBOF=ZAOB-ZEOF=90°-45°=45°.AZAOE+ZAOH=ZEOH=45°.AZEOH=ZEOF.在△EOH和厶EOF中，OH=OF，ZEOH=ZEOF，OE=OE，A^EOH^^EOF(SAS).AEF=EH.V在Rt^AEH中，由勾股定理得EH2=AH2+AE2，AH=BF，AAE2+BF2=EF2.1.(1)證明：?△ABD繞點A旋轉得到厶ACD，，AAD=AD，，ZCAD,=ZBAD.VZBAC=120°，ZDAE=60°，AZD，AE=ZCAD,+ZCAE=ZBAD+ZCAE=ZBAC-ZDAE=120°-60°=60°,?.ZDAE=ZD'AE.在△ADE和厶AD'E中，AD=AD'，ZDAE=ZD'AE，AE=AE，A^ADE^^ADZE(SAS).ADE=D'E.ZDAE=2ZBAC.理由如下：在△ADE和厶AD'E中，AD=AD'，AE=AE，DE=D'E，?:△ADEAD/E(SSS).AZDAE=ZD'AE.AZBAD+ZCAE=ZCAD'+ZCAE=ZD'AE=ZDAE.AZDAE=2zBAC.?.?ZBAC=90°，AB=AC，AZB=ZACB=ZACD'=45°.AZD，CE=45°+45°=90°.?△D,EC是等腰直角三角形，AD'E=\hCD'.由(2)可得DE=D'E，?△ABD繞點A旋轉得到厶ACD'，ABD=CD'.ADE=；2BD.【例2】?△ABC為等邊三角形，AAB=AC，ZBAC=60°.將AAPC繞點A順時針旋轉60°，得△ADB.連接DA，DP，DB，得AD=AP=2，DB=PC=.'3，ZDAP=60°..?.△ADP為等邊三角形，所以DP=AP=2，ZDPA=60°.在ADPB中，DB=\：E,BP=1,DP=2,ADP2+BP2=DB2,??ZDBP=90°，ZDPB=60°.AZAPB=ZDPB+ZDPA=60°+60°=120°.2?將△APC繞點C按逆時針旋轉60°，使CA移至CB處，PC移到P'C,PA移到P'B.VZPCP'=60°，\^PCP,是等邊三角形.AZP'PC=60°，PP'=PC=1.???ZBPC=150°，AZBPP'=90°.在Rt^BP'P中，BP=2，PP'=PC=1,由勾股定理得Pz肌22+1=虧=PA.???PA=V5.3.因為△ABC為等邊三角形，ADBC為等腰三角形，ZBDC=120°，所以以D為旋轉中心，按順時針方向將△DBM旋轉120°如圖，且N、C、E三點在同一條直線上.所以DM=DE,CE=BM,ZBDM=ZCDE.因為ZMDN=60。，所以ZBDM+ZNDC=60°.所以ZNDE=60°.在△DMN和厶DEN中，DM=DE，Z