8.2一元線性回歸模型及其應用作業A級基礎鞏固1.已知利用回歸分析得到兩個變量x,y的經驗回歸方程為y=0.8x-3.2,若其中有兩對樣本數據(6,1.5),(10,5),則這兩對樣本數據的殘差分別為().1,0.2.1,-0.2.6,4.8.1,0.2解析:因為當x=6時的預測值為y=0.8×6-3.2=1.6,所以它的殘差為1.5-1.6=-0.1.因為當x=10時的預測值為y=0.8×10-3.2=4.8,所以它的殘差為5-4.8=0.2.答案:D2.在大學生建模比賽中,編號為1,2,3,4的4名同學對得到的數據進行分析,其中對變量x,y進行回歸分析,得到的結果如表所示.編號1234殘差平方和12.3713.989.81714.32決定系數R20.87340.93020.95920.7665則這4名同學中建立的經驗回歸方程的擬合效果最好的是 ()號號號號解析:根據回歸分析的思想,殘差平方和越小,模型擬合效果越好,決定系數R2越接近于1,經驗回歸方程的擬合效果越好,所以由表格中的數據得出3號同學的經驗回歸方程擬合效果最好.答案:C3.根據表中的樣本數據得到的經驗回歸方程為y=bx+a,若a=7.9,則x每增加1,估計y ()x34567y42.5-0.50.5-2A.增加1.4 B.減少1.4 C.增加1 D.減少1解析:由題意可得,x=5,y=0.9.因為經驗回歸方程為y=bx+a,a=7.9,且經驗回歸直線過點(5,0.9),所以0.9=5b+7.9,解得b=-1.4,所以x每增加1,估計y減少1.4.答案:B4.已知一組觀測數據(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)之間滿足yi=bxi+a+ei(i=1,2,…,n),若ei恒為0,則R2的值為1.解析:由ei恒為0,知yi=yi,即yi-y故R2=1-∑i=15.某考察團對全國十大城市居民人均工資水平x(單位:千元)與居民人均消費水平y(單位:千元)進行統計調查,調查發現y與x具有線性相關關系,經驗回歸方程為y=0.66x+1.562.若其中某城市居民人均消費水平為7.675千元,估計該城市人均消費額占人均工資收入的百分比約為83%.解析:將y=7.675代入經驗回歸方程y=0.66x+1.562,可計算得x≈9.262,所以該城市人均消費額占人均工資收入的百分比約為7.6756.某車間為了規定工時定額,需要確定加工零件所花費的時間,為此進行了四次試驗,所得數據如下表所示:加工零件的數量x/個2345加工的時間y/h2.5344.5(1)求y關于x的經驗回歸方程.(2)預測加工10個零件需要多少時間?參考公式:b=∑i=1n(xi-x)(解:(1)由已知可得,x=3.5,y=3.5,∑i=14xiyi=2×2.5+3×3+4×4+5×4.∑i所以b=∑i=14(x所以a=3.5-0.7×3.5=1.05,所以所求經驗回歸方程為y=0.7x+1.05.(2)當x=10時,y=0.7×10+1.05=8.05,所以預測加工10個零件需要8.05h.B級拓展提高7.四張殘差圖如圖所示,其中模型的擬合效果最好的是 () AB CD解析:四張殘差圖中,只有選項A,B中的殘差圖中的殘差是均勻地分布在以橫軸為對稱軸的水平帶狀區域內,且選項B中的殘差分布集中在更狹窄的范圍內,所以選項B中模型的擬合效果最好.答案:B8.已知函數模型y=sin2α+2sinα+1,若將y轉化為關于t的經驗回歸方程,則需作變換t=(sinα+1)2.

解析:因為要轉化為y關于t的經驗回歸方程,實際上就是y關于t的一次函數.由y=(sinα+1)2,若令t=(sinα+1)2,則可得y與t的函數關系式為y=t,此時變量y與變量t呈現出線性相關關系.9.假設關于某設備的使用年限x(單位:年)和支出的維修費用y(單位:萬元),統計資料如下表所示.x/年23456y/萬元2.23.85.56.57.0由資料知y與x之間具有線性相關關系.(1)求經驗回歸方程y=bx+a.(2)估計使用年限為10年時,維修費用是多少?(3)計算殘差平方和.(4)求R2,并說明模型的擬合效果.解:(1)由已知條件,得i12345xi23456yi2.23.85.56.57.0xiyi4.411.422.032.542.0x49162536x=4;y=5;∑i=15xi2=90;∑i=15所以b=∑i=15(xi-所以a=y-bx=5-1.23×4=0.所以經驗回歸方程是y=1.23x+0.08.(2)當x=10時,y=1.23×10+0.08=12.38,即估計使用10年時維修費用是12.38萬元.(3)因為y1=2.54,y2=3.77,y3=5,y4=6.23,所以殘差平方和為∑i=15(yi-yi)2(4)R2=1-∑i=15(yi-yi)210.某共享單車企業在A城市就“每天一輛單車平均成本y(單位:元)與租用單車數量x(單位:千輛)之間的關系”進行了調查,并將相關數據統計如下表所示.租用單車數量x/千輛23458每天一輛單車平均成本y/元3.22.421.91.5根據以上數據,研究人員設計了兩種不同的回歸分析模型,得到兩個擬合函數:模型甲:y(1)=4.8x+0.8,模型乙:y(1)為了評價兩種模型的擬合效果,完成以下任務:①完成下表(計算結果精確到0.1元);租用單車數量x/千輛每天一輛單車平均成本y/元模型甲模型乙預測值y殘差e預測值y殘差e23.232.42.402.30.1422.002.0051.91.80.11.9081.51.40.1②分別計算模型甲與模型乙的殘差平方和Q1及Q2,并通過比較Q1,Q2的大小,判斷哪個模型擬合效果更好.(2)這家企業在A城市投放共享單車后,受到廣大市民的熱烈歡迎并供不應求,于是該企業決定增加單車的投放量.根據市場調查,市場投放量達到1萬輛時,平均每輛單車一天能收入8元、6元的概率分別為0.6,0.4;市場投放量達到1.2萬輛時,平均每輛單車一天能收入8元、6元的概率分別為0.4,0.6.若按(1)中擬合效果較好的模型計算一天中一輛單車的平均成本,則該企業投放量選擇1萬輛還是1.2萬輛能獲得更多利潤(利潤=收入-成本)?請說明理由.解:(1)①經計算,可得下表:租用單車數量x/千輛每天一輛單車平均成本y/元模型甲模型乙預測值y殘差e預測值y殘差e23.20032.42.402.30.1422.002.0051.91.80.11.9081.51.40.11.7-②由①中數據,得Q1=0.12+0.12=0.02,Q2=0.12+(-0.2)2=0.05.因為Q1<Q2,所以模型甲的擬合效果更好.(2)若投放量為1萬輛,由(1)中模型甲可知,每天一輛單車平均成本約為4.810+0.8=1.這樣一天獲得的總利潤為(8×0.6+6×0.4-1.28)×10000=59200(元).若投放量為1.2萬輛,由(1)中模型甲可知,每天一輛單車平均成本約為4.812+0.8=1.這樣一天獲得的總利潤為(8×0.4+6×0.6-1.2)×12000=67200(元).因為67200>59200,所以選擇投放1.2萬輛能獲得更多利潤.C級挑戰創新11.多選題散點圖中的5個散點如下圖