分層隨機抽樣9．獲取數據的途徑新課程標準解讀核心素養1.通過實例，了解分層隨機抽樣的特點和適用范圍，了解分層隨機抽樣的必要性，掌握各層樣本量比例分配的方法數學建模，掌握分層隨機抽樣的樣本均值數據分析，包括：統計報表和年鑒、社會調查、試驗設計、普查和抽樣、互聯網等數學抽象某校高一新生共900人，其中男生500人，女生400人．學校現想了解高一新生對文史類課程的看法，以便開設相關選修課程，準備從高一新生中抽取45人進行訪談．[問題](1)如果直接采用簡單隨機抽樣，會有什么缺點？(2)采用怎樣的抽樣方法較好？知識點一分層隨機抽樣1．定義：一般地，按一個或多個變量把總體劃分成若干個子總體，每個個體屬于且僅屬于一個子總體，在每個子總體中獨立地進行簡單隨機抽樣，再把所有子總體中抽取的樣本合在一起作為總樣本，這樣的抽樣方法稱為分層隨機抽樣，每一個子總體稱為eq\a\vs4\al(層)．2．比例分配：在分層隨機抽樣中，如果每層樣本量都與層的大小成比例，那么稱這種樣本量的分配方式為比例分配．3．平均數的計算公式在分層隨機抽樣中，如果層數分為2層，第1層和第2層包含的個體數分別為M和N，抽取的樣本量分別為m和n.我們用X1，X2，…，XM表示第1層各個個體的變量值，用x1，x2，…，xm表示第1層樣本的各個個體的變量值；用Y1，Y2，…，YN表示第2層各個個體的變量值，用y1，y2，…，yn表示第2層樣本的各個個體的變量值，則第1層的總體平均數和樣本平均數分別為eq\x\to(X)＝eq\f(X1＋X2＋…＋XM,M)＝eq\f(1,M)eq\i\su(i＝1,M,X)i，eq\x\to(x)＝eq\f(x1＋x2＋…＋xm,m)＝eq\f(1,m)eq\i\su(i＝1,m,x)i.第2層的總體平均數和樣本平均數分別為eq\x\to(Y)＝eq\f(Y1＋Y2＋…＋YN,N)＝eq\f(1,N)eq\i\su(i＝1,N,Y)i，eq\x\to(y)＝eq\f(y1＋y2＋…＋yn,n)＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,y)i.總體平均數和樣本平均數分別為eq\x\to(W)＝eq\f(\i\su(i＝1,M,X)i＋\i\su(i＝1,N,Y)i,M＋N)，eq\x\to(w)＝eq\f(\i\su(i＝1,m,x)i＋\i\su(i＝1,n,y)i,m＋n).由于用第1層的樣本平均數eq\x\to(x)可以估計第1層的總體平均數eq\x\to(X)，用第2層的樣本平均數eq\x\to(y)可以估計第2層的總體平均數eq\x\to(Y)，因此我們可以用eq\f(M×\x\to(x)＋N×\x\to(y),M＋N)＝eq\f(M,M＋N)eq\x\to(x)＋eq\f(N,M＋N)eq\x\to(y)估計總體平均數eq\x\to(W).在比例分配的分層隨機抽樣中，eq\f(m,M)＝eq\f(n,N)＝eq\f(m＋n,M＋N)，可得eq\f(M,M＋N)eq\x\to(x)＋eq\f(N,M＋N)eq\x\to(y)＝eq\f(m,m＋n)eq\x\to(x)＋eq\f(n,m＋n)eq\x\to(y)＝eq\x\to(w).因此，在比例分配的分層隨機抽樣中，我們可以直接用樣本平均數eq\x\to(w)估計總體平均數eq\x\to(W).eq\a\vs4\al()1．分層隨機抽樣的實施步驟第一步，按一個或多個變量把總體劃分成若干個子總體，每個個體屬于且僅屬于一個子總體；第二步，在每個子總體中獨立地進行簡單隨機抽樣；第三步，把所有子總體中抽取的樣本合在一起作為總樣本.2．在比例分配的分層隨機抽樣中需注意兩點(1)抽樣比＝eq\f(樣本量,總樣本量)；(2)可以直接用樣本平均數估計總體平均數．1．判斷正誤．(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)在統計實踐中選擇哪種抽樣方法關鍵是看總體的個體數的大小．()(2)分層隨機抽樣中，個體數量較少的層抽取的樣本量較少，這是不公平的．()(3)從全班50名同學中抽取5人調查作業完成情況適合用分層隨機抽樣．()答案：(1)×(2)×(3)×2．某單位有職工160人，其中業務員104人，管理人員32人，后勤服務人員24人，現用比例分配的分層隨機抽樣法從中抽取一容量為20的樣本，則抽取管理人員有()A．3人 B．4人C．7人 D．12人解析：選B由eq\f(20,160)＝eq\f(1,8)，設抽取管理人員x人，則eq\f(x,32)＝eq\f(1,8)，得xB.知識點二獲取數據的基本途徑獲取數據的基本途徑適用類型注意問題通過調查獲取數據對于有限總體問題，一般通過抽樣調查或普查的方法獲取數據要充分有效地利用背景信息選擇或創建更好的抽樣方法，并有效地避免抽樣過程中的人為錯誤通過試驗獲取數據沒有現存的數據可以查詢嚴格控制試驗環境，通過精心的設計安排試驗，以提高數據質量通過觀察獲取數據自然現象借助專業測量設備通過長久的持續觀察獲取數據通過查詢獲得數據眾多專家研究過，其收集的數據有所存儲必須根據問題背景知識“清洗”數據，去偽存真利用統計報表和年鑒屬于哪種獲取數據的途徑？提示：屬于通過查詢獲取數據的途徑．1．為了研究近年我國高等教育發展狀況，小明需要獲取近年來我國大學生入學人數的相關數據，他獲取這些數據的途徑最好是()A．通過調查獲取數據 B．通過試驗獲取數據C．通過觀察獲取數據 D．通過查詢獲得數據答案：D2．(多選)影響獲取數據可靠程度的因素包括()A．獲取方法設計 B．所用專業測量設備的精度C．調查人員的認真程度 D．數據的大小解析：選ABC數據的大小不影響獲取數據的可靠程度，其他三項均影響獲取數據的可靠程度．3．研究下列問題：①某城市元旦前后的氣溫；②某種新型電路元件使用壽命的測定；③電視臺想知道某一個節目的收視率；④銀行在收進儲戶現金時想知道有沒有假鈔．一般通過試驗獲取數據的是________．解析：①通過觀察獲取數制，③④通過調查獲取數據，只有②通過試驗獲取數據．答案：②分層隨機抽樣的概念[例1](鏈接教科書第184頁練習4題)下列問題中，最適合用分層隨機抽樣抽取樣本的是()A．從10名同學中抽取3人參加座談會B．紅星中學共有學生1600名，其中男生840名，防疫站對此校學生進行身體健康調查，抽取一個容量為200的樣本C．從1000名工人中，抽取100人調查上班途中所用時間D．從生產流水線上，抽取樣本檢查產品質量[解析]A中總體所含個體無差異且個數較少，適合用簡單隨機抽樣；C和D中總體所含個體無差異且個數較多，不適合分層隨機抽樣；B中總體所含個體差異明顯，適合用分層隨機抽樣．[答案]Beq\a\vs4\al()分層隨機抽樣的前提和遵循的兩條原則(1)前提：分層隨機抽樣使用的前提是總體可以分層，層與層之間有明顯區別，而層內個體間差異較小，每層中所抽取的個體數可按各層個體數在總體的個體數中所占比例抽取；(2)遵循的兩條原則：①每層的各個個體互不交叉，即遵循不重復、不遺漏的原則；②每層樣本量與每層個體數量的比等于抽樣比．[跟蹤訓練]某政府機關在編人員共100人，其中副處級以上干部10人，一般干部70人，工人20人，上級部門為了了解該機關對政府機構改革的意見，要從中抽取20人，用下列哪種方法最合適()A．抽簽法 B．簡單隨機抽樣法C．分層隨機抽樣法 D．隨機數法解析：選C總體由差異明顯的三部分構成，應選用分層隨機抽樣．故選C.分層隨機抽樣中的計算問題[例2](鏈接教科書第184頁練習3題)(1)交通管理部門為了解機動車駕駛員(簡稱駕駛員)對某新法規的知曉情況，對甲、乙、丙、丁四個社區做分層隨機抽樣調查，假設四個社區駕駛員的總人數為N，其中甲社區有駕駛員96人．若在甲、乙、丙、丁四個社區抽取駕駛員的人數分別為12，21，25，43，則這四個社區駕駛員的總人數N為()A．101 B．808C．1212 D．2012(2)將一個總體分為A，B，C三層，其個體數之比為5∶3∶，則應從C中抽取________個個體；(3)分層隨機抽樣中，總體共分為2層，第1層的樣本量為20，樣本平均數為3，第2層的樣本量為30，樣本平均數為8，則該樣本的平均數為________．[解析](1)因為甲社區有駕駛員96人，并且在甲社區抽取的駕駛員的人數為12人，所以甲社區抽取駕駛員的比例為eq\f(12,96)＝eq\f(1,8)，所以駕駛員的總人數為(12＋21＋25＋43)÷eq\f(1,8)＝808(人)．(2)因為A，B，C三層個體數之比為5∶3∶2，又有總體中每個個體被抽到的概率相等，所以分層隨機抽樣應從C中抽取100×eq\f(2,10)＝20(個)個體．(3)eq\x\to(w)＝eq\f(20,20＋30)×3＋eq\f(30,20＋30)×8＝6.[答案](1)B(2)20(3)6eq\a\vs4\al()進行分層隨機抽樣的相關計算時，常用到的關系(1)eq\f(樣本量n,總體的個數N)＝eq\f(該層抽取的個體數,該層的個體數)；(2)總體中某兩層的個體數之比等于樣本中這兩層抽取的個體數之比；(3)如果總體分為2層，兩層包含的個體數分別為M，N，兩層抽取的樣本量分別為m，n，兩層的樣本平均數分別為eq\x\to(x)，eq\x\to(y)，兩層的總體平均數分別為eq\x\to(X)，eq\x\to(Y)，總體平均數為eq\x\to(W)，樣本平均數為eq\x\to(w)，則eq\x\to(w)＝eq\f(m,m＋n)eq\x\to(x)＋eq\f(n,m＋n)eq\x\to(y)，eq\x\to(W)＝eq\f(M,M＋N)eq\x\to(X)＋eq\f(N,M＋N)eq\x\to(Y).[跟蹤訓練]有4萬個大于70的兩位數，從中隨機抽取了3000個數，統計如下表：數據x70＜x＜7980＜x＜8990＜x＜99個數8001300900平均數85請根據表格中的信息，估計這4萬個數的平均數約為________．解析：這3000個數的平均數為eq\f(1,3000)×(×800＋85×1×900)＝85.23.于是用樣本的平均數去估計總體的平均數，則這4萬個數的平均數約為85.23.答案：分層隨機抽樣的方案設計[例3]在100個產品中，有一等品20個，二等品30個，三等品50個，現要抽取一個容量為30的樣本，請說明抽樣過程．[解]先將產品按等級分成三層：第一層，一等品20個；第二層，二等品30個；第三層，三等品50個．然后確定每一層抽取的個體數，因為抽樣比為eq\f(30,100)＝eq\f(3,10)，所以應在第一層中抽取產品20×eq\f(3,10)＝6(個)，在第二層中抽取產品30×eq\f(3,10)＝9(個)，在第三層中抽取產品50×eq\f(3,10)＝15(個)．分別給這些產品編號并貼上標簽，用抽簽法或隨機數法在各層中抽取，得到一等品6個，二等品9個，三等品15個，這樣就通過分層隨機抽樣得到了一個容量為30的樣本．eq\a\vs4\al()設計分層隨機抽樣方案的思路在分層隨機抽樣中，確定抽樣比k是抽樣的關鍵．一般地，按抽樣比k＝eq\f(n,N)(N為總體容量，n為樣本量)在各層中抽取個體，就能確保抽樣的公平性．注意在每層抽樣時，應靈活采用簡單隨機抽樣的方法．[跟蹤訓練]一個地區共有5個鄉鎮，人口3萬人，其人口比例為3∶2∶5∶2∶3，從3萬人中抽取一個300人的樣本，分析某種疾病的發病率，已知這種疾病與不同的地理位置及水土有關，問應采取什么樣的方法？并寫出具體過程．解：因為疾病與地理位置和水土均有關系，所以不同鄉鎮的發病情況差異明顯，因而采用分層隨機抽樣的方法．具體過程如下：第一步，將3萬人分為5層，一個鄉鎮為一層；第二步，按照抽樣比求得各鄉鎮應抽取的人數分別為60，40，100，40，60；第三步，采用簡單隨機抽樣的方法，按照各層抽取的人數抽取各鄉鎮的樣本；第四步，將300人合到一起，即得到一個樣本.獲取數據途徑的方法的設計[例4]為了緩解城市的交通擁堵情況，某市準備出臺限制私家車的政策，為此要進行民意調查．某個調查小組調查了一些擁有私家車的市民，你認為這樣的調查結果能很好地反映該市市民的意愿嗎？[解](1)一個城市的交通狀況的好壞將直接影響著生活在這個城市中的每個人，關系到每個人的利益．為了調查這個問題，在抽樣時應當關注到各種人群，既要抽到擁有私家車的市民，也要抽到沒有私家車的市民．(2)調查時，如果只對擁有私家車的市民進行調查，結果一定是片面的，不能代表所有市民的意愿．因此，在調查時，要對生活在該城市的所有市民進行隨機抽樣調查，不要只關注到擁有私家車的市民．eq\a\vs4\al()在統計活動中，尤其是大型的統計活動，為避免一些外界因素的干擾，通常需要確定調查的對象、調查的方法與策略，需要精心設計前期的準備工作和收集數據的方法，然后對數據進行分析，得出統計推斷．[跟蹤訓練]為了創建“和諧平安”校園，某校決定在開學前將學校的電燈電路使用情況進行檢查，以排除安全隱患，獲取電燈電路的相關數據應該用什么方法？為什么？解：由于一個學校的電燈電路數目不算大，屬于有限總體問題，所以應該通過調查獲取數據，并且對創建“和諧平安”校園來說，必須排除任一潛在或已存在的安全隱患，故必須用普查的方法．1．某單位有老年人28人，中年人54人，青年人81人，為了調查他們的身體情況，需從中抽取一個樣本量為36的樣本，則適合的抽樣方法是()A．抽簽法隨機抽樣B．隨機數法隨機抽樣C．直接運用分層隨機抽樣D．先從老年人中剔除1人，再用分層隨機抽樣解析：選C因為總體由差異明顯的三部分組