4/4地震波的吸收五、地震波的吸收

1.對吸收的概括說明

彈性介質是實際介質的近似，實際介質對地震波有吸收。使波傳播時能量很快衰減。地震波的能量不可逆地轉化成了熱能散發掉叫做吸收。

目前公認巖石顆粒之間的內摩擦力是吸收的主要原因，這種內摩擦力也叫粘滯力。

不同的介質中，內摩擦力所遵守的規律不同，其中沃尹特（Voigt）的假設比較有代表性。

2．沃尹特（Voigt）假設下的波動方程

（1）沃尹特假設

前面討論的完全彈性介質中的波動方程是在應力與應變成正比（虎克定律）的條件下得到的。沃尹特假設：應力與應變的關系包括兩部分，一部分是應力與應變成正比的滿足虎克定律的應變，另一部分是應力與應變的時間變化率成比例的粘滯效應。

（2）沃尹特假設的粘彈介質中的波動方程

t

ututu???+???+?+?+=??222231)(ηθημθμλρ(6.1-45)kz

jyixgrad??+??+??==?η是粘滯系數。

對（6.1-45）求散度，可得縱波的波動方程為：

θημλθρ222]34)2[(???++=??tt

(6.1-46)對（6.1-45）求旋度，可得橫波的波動方程為：

urott

urott222)(???+=??ημρ(6.1-47)3.沃尹特粘彈介質中一維諧波方程的求解

（1）求解

分析平面諧波沿X方向傳播，以縱波為例。

假設縱波的位移位是：

)(0)(0),(Kxtjvxtjeetx--==ωωφφφ(6.1-48)xuzwyvxu??=??+??+??=θ（注：波沿x方向傳播，y

v??=0，zw??=0）又xu??=

φ(注：wvuxgradu++=++??==00φφ)φφθ222Kx

xu-=??=??=∴(6.1-49)將(6.1-49)代入(6.1-46)，得

22234)2(KjKηωμλρω++=

ωημλρωηωμλρω'++=++=∴jjK)2(3

)2(2

2

2（ηη34'=）(6.1-50)將上式有理化，得

}])2[(])2[(2{])2[(2122221222212222

2ωημλωηωημλμλωημλρω'++'-'+++'++=jK(6.1-51)222)2(ωημλ'++ωη'

β

μλ2+

βωημλμ

λcos])2[(221222='+++

βωημλω

ηsin])2[(21222='++'

βμ

λωηtan2=+'

)2(tan1μ

λωηβ+'=-這樣，(6.1-51)可寫成

)]2(tanexp[])2[(1212222

2μ

λωηωημλρω+'-'++=-jK（βββsincosjej-=-βββsincosjej+=）

)]2(tan21exp[])2([142

224

21μλωηωημλωρ+'-'++=-jK或)]}2(tan21sin[)]2(tan21{cos[])2([114222421μ

λωημλωηωημλωρ+'-+''++=--jK(6.1-52)令R表示上式中的實數部分，α表示虛數部分，

則)]2(tan21cos[])2([142

224

21μλωηωημλωρ+''++=-R(6.1-53))]2(tan21sin[])2([142224

21μ

λωηωημλωρα+''++=-(6.1-54)于是αjRK-=(6.1-55)將(6.1-55)代入(6.1-48)，得

)(0),(Rxtjxeetx--=ωαφφ(6.1-56)

(2)對上述求解過程的大致說明

假設的解為)(0),(Kxtje

tx-=ωφφ（6.1-48）真正的解為)(0),(Rxtjxeetx--=ωαφφ（6.1-56）二者的差別在于衰減項xeα-，這正是吸收項。

吸收作用的實測結果是隨傳播距離的增加振幅呈指數衰減，我們正希望最終的解當中出現xeα-。

分析（6.1-48）只有K變成復數才能出現xeα-項，可以認為沃尹特已經按這套思路去處理了。

另一點要說明的就是：沃尹特假設下的波動方程（6.1-46）無法求解。所以沃尹特先假設解為（6.1-48）的形式，然后代入（6.1-46）來確定K值。最

終確定的αjRk-=達到了開始的設想。（3）沃尹特介質中的波動方程解（6.1-56）的物理意義

①有頻散

波在沃尹特介質中傳播速度是頻率的函數，即有頻散。

)]2(tan21cos[])2([1

1422221μλωηωημλρω

+''++==-kV（6.1-57）

均勻介質：ρμλ2+=pV，ρ

μ=sV不同頻率的波傳播速度不同，結果會改變波剖面的長度。例如：前進中的隊伍。②波的吸收與頻率有關

從解（6.1-56）可見，α是吸收系數。

)]2(tan21sin[])2([142224

21μ

λωηωημλωρα+''++=-(6.1-54)介質對不同頻率的波吸收不同，（6.1-54）與頻率的關系不直觀。

目前公認的結果為：

在地震勘探范圍內，f<200HZ，α=α0f

高頻吸收重，低頻吸收輕。

4．品質因數

（1）品質因數的定義

在一個周期內（或傳播一個波長的距離內）波動所損耗的能量ΔE與總能量E之比的倒數叫品質因數Q。

即E

EQπ21?=（6.1-62）或E

EQ?=π2(2)品質因數Q的物理意義

Q值是一個無量綱的量。

Q值越大，介質的吸收越小，介質越接近于完全彈性介質。

Q值越小，介質的吸收越大。

(3)品質因數Q與吸收系數α之間的關系

設波的初始振幅為A，能量E∝A2

則波傳播λ距離后振幅為Ae-αλ，能量E∝A2e-2αλ

ΔE∝A2-A2e-2αλαλ21--=?eE

Ef

VTVeQppπαπαπαλπαλ==≈-=-2112注：展級數，去高次項。

p

VfQαπ≈吸收系數與品質因數成反比。當Q值與頻率f無關時，則上式成為：

fQVf

p0απα==這是目前地震頻帶內公認的結果。

（4）說明

①用吸收系數研究介質的吸收不方便

因為α與頻率有關，所以吸收系數α與震源有關,也與介質有關。

②用Q值研究介質的吸收較方便

當f0αα=時（在地震頻帶內經得起實際考驗）

則Q值與頻率無關，即Q值與震源無關，Q值只與介質有關。即：Q=Q(x,y,z)。又因為Q值橫向變化不大，近似有Q=Q(z)。

③李慶忠經驗公式

2.214pVQ≈(pV單位取km/s)

或62.22.210516.3)1000

(14-??=?=ppVVQ(pV單位取m/s)說明:李氏公式并不是用pV求取Q，而是可大致了解Q值趨勢。不過有工區的VP資料，可用這個公式建立初始Q值模型，進行理論模型的研究。

(5)地震中幾點經驗

①介質對高頻的吸收比對低頻的吸收厲害（用f0αα=說明）

②淺層的吸收比深