2021年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試?全國甲卷

理科數(shù)學(xué)

一、選擇題:本題共12小題,每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.

1.設(shè)集合M={x|0<x<4},N={x|5},則MCN=

A.{X[0<￡}B.{x|i<x<4}

C.{x|4<x<5}D.{X|0<A<5}

2.為了解某地農(nóng)村經(jīng)濟(jì)情況，對該地農(nóng)戶家庭年收入進(jìn)行抽樣調(diào)查,將農(nóng)戶家庭年收入的調(diào)查數(shù)據(jù)整理得到如

下頻率分布直方圖：

根據(jù)此頻率分布直方圖，下面結(jié)論中不正確的是

A.該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬元的農(nóng)戶比率估計為6%

B.該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬元的農(nóng)戶比率估計為10%

C.估計該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值不超過6.5萬元

D.估計該地有一半以上的農(nóng)戶，其家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間

3.已知（l-ipz=3+2i,貝!|z=

A.-l-|iB,-l+|i

33

C.--+i

22

4.青少年視力是社會普遍關(guān)注的問題，視力情況可借助視力表測量.通常用五分記錄法和小數(shù)記錄法記錄視力

數(shù)據(jù)，五分記錄法的數(shù)據(jù)L和小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)V滿足L=5+lg憶已知某同學(xué)視力的五分記錄法的數(shù)據(jù)為4.9,

則其視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)約為CVIUkLzsg）

A.1.5B.1.2

C.0.8D.0.6

5.已知F1,B是雙曲線C的兩個焦點(diǎn),P為。上一點(diǎn)，且/心尸產(chǎn)2=60。,伊外|二3|尸&|,則C的離心率為

A-TB-VCSD.V13

6.在一個正方體中,過頂點(diǎn)A的三條棱的中點(diǎn)分別為E,F,G該正方體截去三棱錐A-EFG后，所得多面體的三

視圖中，正視圖如圖所示，則相應(yīng)的側(cè)視圖是

正視圖

7.等比數(shù)列｛如｝的公比為q,前〃項和為S”.設(shè)甲:g>0,乙:⑸｝是遞增數(shù)列，則

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件

B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件

D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

8.2020年12月8日，中國和尼泊爾聯(lián)合公布珠穆朗瑪峰最新高程為8848.86（單位:m）,三角高程測量法是珠

峰高程測量方法之一.如圖是三角高程測量法的一個示意圖，現(xiàn)有A,8,C三點(diǎn)，且A,B,C在同一水平面上的投

影滿足NAC?=45o,NA5C=60。.由C點(diǎn)測得8點(diǎn)的仰角為與CC的差為100面8點(diǎn)

測得A點(diǎn)的仰角為45。,則A,C兩點(diǎn)到水平面A7TC的高度差A(yù)4-CC約為（百旬.732）

A.346B.373C.446D.473

9.若aW%),tan2a嗖冷,則tana=

A.誓B（若喑

10.將4個1和2個0隨機(jī)排成一行，則2個0不相鄰的概率為

A-iC.|D.|

11.已知A,B,C是半徑為1的球。的球面上的三個點(diǎn)，且ACJ_8GAe=BC=1,則三棱錐O-ABC的體積為

D包

A噂B.g若4

12.設(shè)函數(shù)式x）的定義域?yàn)镽於+1）為奇函數(shù)於+2）為偶函數(shù)，當(dāng)xe“,2］時十x）=o?+A若40）+/（3）=6,則.媳）=

A-7B.-|egD1

二、填空題:本題共4小題,每小題5分，共20分.

13.曲線尸整在點(diǎn)（-1,-3）處的切線方程為一

14.已知向量。=(3]),6=(1,0),c=〃+心若〃_Lc,則k=

15.已知尸昭為橢圓c：1+。=1的兩個焦點(diǎn),P,Q為C上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)，且|尸。=下典,則四邊形

164

PFyQFz的面積為.

16.已知函數(shù)危)=2cos(s+°)的部分圖象如圖所示，則滿足條件如討T))(/(x)力⑶>0的最小正整數(shù)x

為.

三、解答題:共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個試題考生都必

須作答.第22、23題為選考題,考生根據(jù)要求作答.

(一)必考題:共60分.

17.(12分)

甲、乙兩臺機(jī)床生產(chǎn)同種產(chǎn)品，產(chǎn)品按質(zhì)量分為一級品和二級品，為了比較兩臺機(jī)床產(chǎn)品的質(zhì)量，分別用兩臺

機(jī)床各生產(chǎn)了200件產(chǎn)品，產(chǎn)品的質(zhì)量情況統(tǒng)計如下表:

一級二級

合計

品品

甲機(jī)

15050200

床

乙機(jī)

12080200

床

合計，270130400

(1)甲機(jī)床、乙機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級品的頻率分別是多少？

(2)能否有99%的把握認(rèn)為甲機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異?

附.K2_n(ad-bc)2

?(a+匕)(c+d)(a+c)(b+d)'

尸(心0.00.00.0

>k)501001

3.86.610.

k

4135828

18.（12分）

己知數(shù)列｛為｝的各項均為正數(shù)，記S“為｛““｝的前〃項和，從下面①②③中選取兩個作為條件，證明另外一個成

立.

①數(shù)列｛斯｝是等差數(shù)列；②數(shù)列（國｝是等差數(shù)列；③a2=3aL

注:若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分.

19.（12分）

已知直三棱柱ABC-AiBCi中，側(cè)面AA\B\B為正方形4B=2C=2,E,F分別為AC和CG的中點(diǎn)為棱4以上

的點(diǎn)

（1）證明:8尸，?！?/p>

⑵當(dāng)為何值時，面B8GC與面OFE所成的二面角的正弦值最?。?/p>

20.(12分)

拋物線C的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)。，焦點(diǎn)在x軸上，直線l:x=\交C于尸,。兩點(diǎn)，且OPLOQ.已知點(diǎn)M(2,0),且0M

與/相切.

(1)求C,OM的方程；

(2)設(shè)442力3是C上的三個點(diǎn)，直線4A2AA3均與。M相切.判斷直線A2A3與。M的位置關(guān)系,并說明理由.

21.（12分）

己知〃>0且a聲1,函數(shù)式x)=5(x>0).

⑴當(dāng)〃=2時，求心)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若曲線)，=_")與直線y=l有且僅有兩個交點(diǎn)，求a的取值范圍.

(二)選考題:共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計分.

224選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程］(10分)

在直角坐標(biāo)系X。)，中,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為p=2&cos

0.

(1)將C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；

(2)設(shè)點(diǎn)A的直角坐標(biāo)為(1,0)"為C上的動點(diǎn)，點(diǎn)P滿足麗=魚而7,寫出P的軌跡G的參數(shù)方程,并判斷C

與Ci是否有公共點(diǎn).

23.［選修4-5:不等式選講］(10分)

己知函數(shù)/(x)=|x-2|,g(x)=|2x+3H2x-11.

(1)畫出yJx)和y=g(x)的圖象；

⑵若./(x+a)溝(x),求a的取值范圍.

12345678910111213141516

BCBCADBBACADy=5x+2-y82

1.B【考查目標(biāo)】本題主要考查集合的運(yùn)算，考查的學(xué)科素養(yǎng)是理性思維.

【解析】MnN={x|3<4}.

2.C【考查目標(biāo)】本題主要考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，考查的學(xué)科素養(yǎng)是數(shù)學(xué)應(yīng)用.

【解析】對于A,根據(jù)頻率分布直方圖可知，家庭年收入低于4.5萬元的農(nóng)戶比率約為

(0.02+0.04)x1xl00%=6%,故A正確;對于B,根據(jù)頻率分布直方圖可知，家庭年收入不低于10.5萬元的農(nóng)戶比

率約為(0.04+0.02+0.02+0.02)xlxl00%=10%,故B正確;對于C,根據(jù)頻率分布直方圖可知，該地農(nóng)戶家庭年

收入的平均值約為

3x0.02+4x0.04+5x0.10+6x0.14+7x0.20+8x0.20+9x0.10+10x0.10+11x0.04+12x0.02+13x0.02+14x0.02=7

.68(萬元)，故C錯誤;對于D,根據(jù)頻率分布直方圖可知，家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間的農(nóng)戶比率

約為(0.10+0.14+0.20+0.20)x1xl00%=64%>50%,故D正確.

【解題妙招】由于C難以計算，可以在判斷選項A,B,D后，利用排除法得到答案為C.

3.B【考查目標(biāo)】本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算,考查運(yùn)算求解能力.

【解析一=券=囁等小女

4.C【考查目標(biāo)】本題主要考查對數(shù)的運(yùn)算，考查運(yùn)算求解能力，考查的學(xué)科素養(yǎng)是數(shù)學(xué)應(yīng)用、數(shù)學(xué)探索.

【解析】4.9=5+IgV=>lgy=-0.1=U=10*=/得=0.8,所以該同學(xué)視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)約為0.8.

V101.259

5.A【考查目標(biāo)】本題主要考查雙曲線的定義與簡單幾何性質(zhì),考查運(yùn)算求解能力、邏輯思維能力，考查

的學(xué)科素養(yǎng)是理性思維、數(shù)學(xué)探索.

【解析】設(shè)|PF2|=，W,|PQ|=3皿則向F^-yJm2'+9m2-2x3mxmxcos60°=V7nz,所以C的離心率

e/_2c_|F/2|

a2a\PF1\-\PF2\2m2,

6.D【考查目標(biāo)】必備知識:本題主要考查三視圖.關(guān)鍵能力:空間想象能力.學(xué)科素養(yǎng):理性思維、數(shù)學(xué)探

索.

【解析】根據(jù)題目條件以及正視圖可以得到該幾何體的直觀圖，如圖，結(jié)合選項可知該幾何體的側(cè)視圖為

7.B【考查目標(biāo)】必備知識:本題主要考查充分條件、必要條件.關(guān)鍵能力:邏輯思維能力.學(xué)科素養(yǎng):數(shù)學(xué)

應(yīng)用、理性思維.

【解析】當(dāng)時/<0,此時數(shù)列⑸｝遞減，所以甲不是乙的充分條件.當(dāng)數(shù)列⑸｝遞增時，有

若。1>0,則0，>O(〃eN*),即q>0;若0<0,則/<0(〃eN*),不存在.所以甲是乙的必要條件

【方法點(diǎn)撥】對于此類問題，當(dāng)難于直接推理判斷時，可以借助特殊例子進(jìn)行否定.

8.B【考查目標(biāo)】必備知識:本題主要考查正弦定理在解三角形中的應(yīng)用.關(guān)鍵能力:邏輯思維能力、空間

想象能力.學(xué)科素養(yǎng):數(shù)學(xué)應(yīng)用、數(shù)學(xué)探索、數(shù)學(xué)文化.

【解析】如圖所示，根據(jù)題意過C作CE〃C3；交BB'于E,過3作BD〃4夕，交4r于。，則

8E=100,CB，=CE=熱.在△ACB，中,/。4夕=75。,則BO=A3，=嗡詈;又在8點(diǎn)處測得A點(diǎn)的仰角為

45。,所以嚼暇，所以高度差

C'B'xsin45°——^―xsin45°100sin45°100x-^.—

CC=AD+8E=+100=^^---------+100=+100=行谷+100=100（將1）+

sin75°sin75°sinl5°&律力

100^373.

9.A【考查目標(biāo)】必備知識:本題主要考查二倍角公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系的應(yīng)用.關(guān)鍵能力:運(yùn)算

求解能力.學(xué)科素養(yǎng):理性思維.

【解析】因?yàn)椋荨辏?月所以tan2。=等警=/等、=2cos2a-l=4sin?-

22cos2a-l2-sina2cos2a-l2-sma

o..171j

2sin-?=^2sina+2cos-a-1=4sina=?sina=-=>tana=—.

415

【易錯提醒】在應(yīng)用公式化簡轉(zhuǎn)化過程中，約去的式子必須不能為0,本題式子變形過程中除以cosa是在

aW（09的前提下進(jìn)行的.

10.C【考查目標(biāo)】必備知識:本題主要考查排列組合的應(yīng)用與古典概型概率的求解.關(guān)鍵能力:邏輯思維

能力、數(shù)學(xué)建模能力.學(xué)科素養(yǎng):理性思維、數(shù)學(xué)應(yīng)用.

【解析】解法一（將4個1和2個0視為完全不同的元素）4個1分別設(shè)為1418,1仁1。,2個0分別設(shè)為

0A,08,將4個1和2個0隨機(jī)排成一行有線種排法，將14,18,1。,1。排成一行有筋種排法,再將0408插空有

Ag種排法，所以2個0不相鄰的概率。=繚=|.

A63

解法二（含有相同元素的排列）將4個1和2個0安排在6個位置，則選擇2個位置安排。，共有髭種排法;將

4個1排成一行，把2個0插空，即在5個位置中選2個位置安排0,共有髭種排法.所以2個0不相鄰的概率

c12

PD=-^=~.

髭3

［易錯警示】元素相同的排列與元素不同的排列不要混淆,在一種解法中應(yīng)保持一致.

H.A【考查目標(biāo)】必備知識:本題主要考查球的結(jié)構(gòu)特征、錐體的體積公式.關(guān)鍵能力:運(yùn)算求解能力、

空間想象能力.學(xué)科素養(yǎng):理性思維、數(shù)學(xué)探索.

【解析】如圖所示，因?yàn)锳CLBC,所以AB為截面圓Oi的直徑，且AB=&.連接。01,則。0」面

ABC,OOi=J1-鬻）2=Ji一凈2#所以三棱錐O-ABC的體積V=|5AASOO產(chǎn)/X1x1吟畛

12.D【考查目標(biāo)】必備知識:本題主要考查函數(shù)的圖象與性質(zhì)，函數(shù)求值.關(guān)鍵能力:邏輯思維能力、運(yùn)算

求解能力.學(xué)科素養(yǎng):理性思維、數(shù)學(xué)應(yīng)用、數(shù)學(xué)探索.

【解析】由于公+1）為奇函數(shù)，所以函數(shù)於）的圖象關(guān)于點(diǎn)（1,0）對稱，即有?r）+/（2-x）=0,所以川）+人2-1）=0,

得川）=0,即a+b=0①.由于於+2）為偶函數(shù)，所以函數(shù)火x）的圖象關(guān)于直線x=2對稱，即有危）二44-x）=0,所以

購t/（3）=十2）如）=-4。6+。+人=-3。=6②.

根據(jù)①②得。=-24=2,所以當(dāng)［1,2］時於）=-2『+2.

根據(jù)函數(shù)段）的圖象關(guān)于直線x=2對稱，且關(guān)于點(diǎn)（1,0）對稱，可得函數(shù)段）的周期為4,所以媳）=/（｝=-

&）=2x（滬2等

13.y=5x+2【考查目標(biāo)】必備知識:本題主要考查導(dǎo)數(shù)在求曲線切線方程中的應(yīng)用.關(guān)鍵能力:通過求導(dǎo)數(shù)

體現(xiàn)對運(yùn)算求解能力的考查.學(xué)科素養(yǎng):通過導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用體現(xiàn)了數(shù)學(xué)應(yīng)用的學(xué)科素養(yǎng).

【解析】丫'=（筌）'="崇工=總焉，所以V1="=7』=5,所以切線方程為y+3=5（x+l）,即y=5x+2.

【一題多解】本題可以先將函數(shù)轉(zhuǎn)化為）'=寫緡=2-亮，再求導(dǎo)數(shù).

14.-y【考查目標(biāo)】必備知識:本題主要考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算.關(guān)鍵能力:通過坐標(biāo)的運(yùn)算體現(xiàn)了運(yùn)算

求解能力.學(xué)科素養(yǎng):理性思維.

［解析］c=（3,l）+（匕0）=（3+￡1）,℃=3（3+幻+1x1=10+3k=0,得仁學(xué)

15.8【考查目標(biāo)】必備知識:本題主要考查橢圓的定義及幾何性質(zhì).關(guān)鍵能力:邏輯思維能力、運(yùn)算求解

能力.學(xué)科素養(yǎng):通過知識的轉(zhuǎn)化過程體現(xiàn)了理性思維、數(shù)學(xué)探索學(xué)科素養(yǎng).

【解析】根據(jù)橢圓的對稱性及|PQ|=|FE|可以得到四邊形尸QQB為對角線相等的平行四邊形，所以四邊

形PQQ&為矩形.設(shè)|「人|=〃?,則|PF2l=2a-|PQ|=8-〃?,則|尸尸1|2+|尸&|2=川+（8-〃?）2=2〃F+64-

16根=尸產(chǎn)2|2=4/=432一從）=48,得皿8加）=8,所以四邊形PF\QF2的面積為|PQ|x|PF2|=m（8加）=8.

【解題妙招】皿8加）=8整體的直接應(yīng)用，避免了求解m的運(yùn)算過程！

16.2【考查目標(biāo)】必備知識:本題主要考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì).關(guān)鍵能力:通過函數(shù)解析式的求解體

現(xiàn)了邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力.學(xué)科素養(yǎng):通過對不等式的分析體現(xiàn)了理性思維、數(shù)學(xué)探索學(xué)科素養(yǎng).

【思維導(dǎo)圖】

已知■*函數(shù)段）的解析式一k-巧力斗一原不等式轉(zhuǎn)化為（/W-1次x）＞0—力^⑵與〉：或COS（2%T）V0T分析

43626

不等式一結(jié)果

【解析】由題圖可知,?=詈?哼（T為小）的最小正周期），得7=兀，所以。=2,所以火x）=2cos（2x+姆點(diǎn)（軸

可看作“五點(diǎn)作圖法”中的第二個點(diǎn)，則2x9+9小得夕=T，所以段）=2cos（2xq）,所以式r）=2cos[2x（r）-

326644

7]=2cos（-￥）=2cos11yo=2cos（2x;-6=2cos?=0,所以如）夫?））如）爪9）＞0,即如）-1）段）＞0,可得

O5D5oOZ43

危）＞1或段）＜0,所以cos（2x?）甘或cos（嗚）＜0.當(dāng)x=l時2弓=2-/職）,cos（2x-3G（0$,不符合題意;當(dāng)

x=2時23=436（兀,1）,8式2%]）＜0,符合題意.所以滿足題意的最小正整數(shù)》為2.

6666

【技巧點(diǎn)撥】本題在處理不等式cos（2r$＞；或COS（2X-7）＜0時,沒有采用直接求解不等式的方法來確定最

626

小正整數(shù)x的值，而是采取驗(yàn)證正整數(shù)得到最小正整數(shù)的方法，相對快捷！

17.【考查目標(biāo)】必備知識:本題主要考查樣本頻率、獨(dú)立性檢驗(yàn)等知識.關(guān)鍵能力:通過求頻率和計算心

考查了運(yùn)算求解能力.學(xué)科素養(yǎng):理性思維、數(shù)學(xué)應(yīng)用.

【解題思路】（1）利用公式求解樣本的頻率;（2）利用照的計算公式求出院,結(jié)合臨界值表，得出結(jié)論.

解：（1）根據(jù)題表中數(shù)據(jù)知，甲機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級品的頻率是黑=0.75,乙機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級品的頻率

是翳°6

（2）根據(jù)題表中的數(shù)據(jù)可得心=4°黑制靠黑明攀10256.

因?yàn)?0.256＞6.635,所以有99%的把握認(rèn)為甲機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異.

18.【考查目標(biāo)】必備知識:本題主要考查等差數(shù)列的定義、通項公式、前〃項和公式等知識.關(guān)鍵能力:邏

輯思維能力、運(yùn)算求解能力.學(xué)科素養(yǎng):理性思維、數(shù)學(xué)探索.

【解題思路】在題設(shè)條件下，可構(gòu)造三個命題:①③①②②③XD.對于①③今②，找到｛斯｝的首項

和公差間的關(guān)系,表示出S“再利用等差數(shù)列的定義進(jìn)行判斷即可;對于①②=@,利用數(shù)列｛如｝的前〃項和公

式、等差數(shù)列通項公式的特征，得出數(shù)列｛斯｝的首項和公差間的關(guān)系即可;對于②茹①，利用｛、腐｝是等差數(shù)

列求出S,,再利用斯=*5」（吟2）結(jié)合等差數(shù)列通項公式的特征判斷即可.

解:①②

已知｛斯｝是等差數(shù)列,42=30.

設(shè)數(shù)列｛斯｝的公差為"，則。2=3“1=。|+",得d-2a\,

ra

所以Sn-na\+^

因?yàn)閿?shù)列｛&｝的各項均為正數(shù),所以醫(yī)=〃斯，

所以疝二房=(1+1)病?-八年=后(常數(shù))，所以數(shù)列｛房｝是等差數(shù)列.

①②夜

已知｛%｝是等差數(shù)列,｛店｝是等差數(shù)列.

設(shè)數(shù)列｛如｝的公差為4

n

貝ijSn=na\+(；i)d=\〃2d+(a1.|)n,

因?yàn)閿?shù)列｛居｝是等差數(shù)列，所以數(shù)列｛醫(yī)｝的通項公式是關(guān)于n的一次函數(shù)，則03=0,即1=2?,所以

〃2=〃i+d=3m.

②③g.

已知數(shù)列｛同j是等差數(shù)列,。2=3內(nèi),所以Si=a\,Si=a\+a2=^a\.

設(shè)數(shù)列｛Gj的公差為",d>0,則得。1=法，所以6j=\Z^i+("-l)"=""，所以5"=//，

所以如=5"$一1="2￡(〃-1)2屋=2(/2"-#(*2),是關(guān)于n的一次函數(shù)，所以數(shù)列｛斯｝是等差數(shù)列.

【題型風(fēng)向】本題給出多個條件，要求我們根據(jù)試題要求構(gòu)建一個命題，屬于“結(jié)構(gòu)不良試題”，充分考查對

數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解，引導(dǎo)中學(xué)數(shù)學(xué)在數(shù)學(xué)概念與數(shù)學(xué)方法的教學(xué)中，重視培養(yǎng)數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)，克服“機(jī)械刷題”現(xiàn)

象.這將是今后命題的一個方向.

19.【考查目標(biāo)】必備知識:本題主要考查直三棱柱中的線線垂直、二面角的正弦值、空間向量等知識.關(guān)

鍵能力:通過線線垂直的證明和二面角的求解考查了空間想象能力、邏輯思維能力和運(yùn)算求解能力.學(xué)科素

養(yǎng):理性思維、數(shù)學(xué)探索.

【解題思路】⑴先證明BALBC,再利用AB,BC,BBi兩兩垂直建立空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，利

用向量證明;(2)分別求出面防￡C和面DEF的一個法向量，通過求出兩法向量夾角的余弦值的最大值來解

決.

解:⑴因?yàn)镋,F分別是4c和CC的中點(diǎn)，且AB=BC=2,

所以CF=\,BF=y[5.

如圖，連接AF,由8凡1_48|,48〃4|81,得BA8,于是AF^BF2+AB2=3,J?rWAC=yjAF2-CF2=2V2.

AB2+BC2=AC2,得J_8c，故以8為坐標(biāo)原點(diǎn)，以A2,8C,BB|所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系B-

xyz,

則B(O,O,O),E(1,l,0),F(0,2,l),BF=(0,2,1).

設(shè)加(00彷2),則D(m,0,2),

于是DE=(1-/77,1,-2).

所以喬?反=0,所以BF1DE.

(2)易知面8SGC的一個法向量為?i=(1,0,0).

設(shè)面OFE的法向量為〃2=(x,y,z),

則留改=0

(FF-n2=0

又麗=(l-/n,l,-2),FF=(-1,1,1),

所以一。，令尸3,得產(chǎn)〃1+12=2-肛

于是，面OFE的一個法向量為"2=(3,〃?+1,2-㈤，

所以

2

設(shè)面B8GC與面QFE所成的二面角為。，則sin0=y/l-cos<n1(n2>,

故當(dāng)，話時，面88CC與面QFE所成的二面角的正弦值最小，為拳即當(dāng)3。=；時，面B5CC與面QFE所成

的二面角的正弦值最小.

【解題關(guān)鍵】本題求解關(guān)鍵是建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，確定相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用空間向量進(jìn)行運(yùn)算.

20.【考查目標(biāo)】必備知識:本題主要考查拋物線與圓的方程、點(diǎn)到直線的距離、直線與圓的位置關(guān)系等

知識.關(guān)鍵能力:通過求拋物線與圓的方程和判斷直線與圓的位置關(guān)系考查邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力.學(xué)

科素養(yǎng):理性思維、數(shù)學(xué)探索.

［解題思路］(1)由已知求得P,Q的坐標(biāo)，進(jìn)而得C的方程，由。M與I相切求得。M的半徑，即可得。M的

方程;(2)設(shè)出4,A2,小的坐標(biāo)，分兩種情況討論，利用圓心到直線的距離與半徑的關(guān)系判斷直線AM3與OM的

位置關(guān)系.

解：(1)由題意，直線x=l與C交于P,Q兩點(diǎn)，且OPLOQ,設(shè)C的焦點(diǎn)為F,P在第一象限，

則根據(jù)拋物線的對稱性,ZPOF=ZQOF=45。，

設(shè)C的方程為則l=2p,得p=1,

所以C的方程為V=x.

因?yàn)閳A心歷(2,0)到/的距離即。M的半徑，且距離為1,

所以。M的方程為(/2)2+)2=1.

⑵設(shè)A(?,yi),A2(X2J2)A(X3?3),

當(dāng)4/2,A3中有一個為坐標(biāo)原點(diǎn)，另外兩個點(diǎn)的橫坐標(biāo)均為3時，滿足條件，此時直線A2A3與。M相切.

當(dāng)汨加2方3時，直線442洸心1+丫2?+力丫2=0,

則I；蕓a+黃1，即(資-1)無+2M以+3-比=0,

viyi+y2)十，

同理可得(y+1)川+2)，?+3-弁=0,

所以>2,丁3是方程(y%l)y+2)，iy+3M=0的兩個根,

則丁2+乃=簫卬3=?^.

直線A2A3的方程為x-(y2+y3)y+y2y3=0,

設(shè)點(diǎn)M到直線4么3的距離為d(d>0),貝I片=詭鬻2==1,EPd=\,

以栗)2

所以直線4M3與0M相切.

綜上可得，直線A2A3與。M相切.

21.【考查目標(biāo)】必備知識:本題主要考查導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)單調(diào)性以及方程根的問題中的應(yīng)用.關(guān)鍵能力:邏

輯思維能力、運(yùn)算求解能力.學(xué)科素養(yǎng):理性思維、數(shù)學(xué)探索、數(shù)學(xué)應(yīng)用.

【思維導(dǎo)圖】

求導(dǎo)

(1l/w-f'(x)f函數(shù)段)的單調(diào)區(qū)間

(2)曲線y/x)與直線y=l有且僅有兩個交點(diǎn)黃冬方程岑二等有兩個不同的解一構(gòu)造函數(shù)g(x)二等類士函數(shù)g(x)

的單調(diào)性f晨工)皿=g(e)WX(1)~~~>0<^<|-a的取值范圍

解:⑴當(dāng)。=2時段)=?x>0),

/w=z(2^n2)(x>0)5

令/'(x)>0,則0<x〈意，此時函數(shù),/(x)單調(diào)遞增,

令/(x)<0,則x嗯，此時函數(shù)/)單調(diào)遞減，

所以函數(shù)於)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0.舟，單調(diào)遞減區(qū)間為信，+8).

(2)曲線y/x)與直線y=l有且僅有兩個交點(diǎn)，

可轉(zhuǎn)化為方程a1(*>0)