第13頁惠更斯與概率論的奠基:惠更斯是概率論學科的奠基者之一。其?論賭博中的計算?是第一部概率論著作,該書首次提出數學期望的概念,創立了“惠更斯分析法〞,第一次把概率論建立在公理、命題和問題上而構成一個較完整的理論體系。:點子問題概率論惠更斯遞推法數學期望在紀元之初,民間就流行用抽簽來解決人們彼此間的爭端,這可能是最早的概率應用。隨著社會的開展,隨機現象愈來愈左右著人類的生活。因而在不確定性因素的情境中,尋找行為的理性規那么,使理性服從機遇的愿望成為數學家研究的課題之一。直到文藝復興時期,隨機世界依然撲朔迷離、不能辨析。作為研究隨機現象的概率論出現在17世紀中葉,象征著概率論誕生的標志,就是克里斯蒂安·惠更斯(ChristianHuy-gens,1629-1695)在1657年發表的?論賭博中的計算?(OnReckoningatGamesofChance)一文。一、論文的來源惠更斯1629年誕生于海牙的一個富豪之家。其父知識淵博,擅長數學研究,同時又是一杰出的詩人和外交家。惠更斯從小受到了父親的熏陶,喜歡學習和鉆研科學問題。16歲進入萊頓大學學習,后轉到布雷達大學學習法律和數學。26歲獲得法學博士學位。數學老師范·舒藤(FransVanSehooten)指導他學習當時的著名數學家、哲學家卡卡維(Carcavi)的數學著作及其哲學著作。惠更斯從中感悟到數學的微妙而對數學很感興趣。1650—1666年期間,他大多時間在家中潛心研究光學、天文學、物理學和數學等領域,成果顯著,一舉成為當時聞名遐邇的科學家。除去在光學、天文學等領域的奉獻外,惠更斯也有出眾的數學才能,可謂是一個解題大師,早在22歲時就寫出關于計算圓周長、橢圓弧及雙曲線的論文。他發現了許多數學技巧,解決了大量數學問題。如他改良了計算π值的經典方法;繼續笛卡爾、費馬和帕斯卡的工作,對多種平面曲線,如懸鏈線、曳物線、對數螺線、旋輪線等都進行過研究;對許多特殊函數求得其面積、體積、重心及曲率半徑等,某些方法與積分方程的積分法相似。伯努利兄弟對惠更斯的研究極為佩服,尤其是約翰(JohnBernoulli,1667—1748)發現旋輪線也是最速降線時甚是沖動。他說:“這惠更斯等時曲線(旋輪線)就是我們正在尋求的最速降線!我感到十分驚奇!〞惠更斯在數學方面的最大奉獻,就是以?論賭博中的計算?一文奠基了概率論的根底。1654年,賭徒梅勒向當時的“數學神童〞帕斯卡(B1Pascal,1623-1662)提出了其在賭場上遇到的幾個不解問題。后帕斯卡與費馬(PierredeFermat,1601-1665)以通信的方式對這些問題進行了較為詳盡的討論,并將其推廣到一般情形,這就使概率計算由單純計數而轉向更為精確的階段,但二人都不愿意發表研究成果,故有關概率知識沒有得到及時傳播。1655年秋,惠更斯第一次訪問巴黎。他遇到羅貝瓦爾(G1P1deRoberval)及梅勒恩(Mylon),但沒有見到帕斯卡和費馬。他獲知去年有一場關于概率問題的討論,但不知其具體解決方法及結果。由于羅貝瓦爾對此問題毫無興趣,因而惠更斯對費馬和帕斯卡的討論結果幾乎一無所知。1656年4月,回國后的惠更斯自己解決了這些概率問題,并將其手稿送給范·舒藤審閱,同時寫信給羅貝瓦爾,尋求幾個概率問題的解答。此時范·舒藤正在籌印其?數學習題集?,因而他建議惠更斯將此文印刷發表,并親自替學生將該文譯成拉丁文。由于惠更斯沒有收到羅貝瓦爾的信,便又寫信給梅勒恩,并通過卡卡維將信轉給費馬。在1656年6月22日費馬的回信中,給出與惠更斯相一致的解決方案,但無證明過程。此外,費馬又向惠更斯提出了5個概率問題。閱信后,惠更斯很快解出這些問題,并把其中2個問題收錄在著作中。他于7月6日將結果送給卡卡維讓其轉給梅勒恩、帕斯卡和費馬確定解答正確與否。卡卡維在9月28日的回信中肯定了惠更斯的解答,并給出帕斯卡與費馬對點子問題的解決方案,但無證明。惠更斯在10月12日給卡卡維的回信中也提出了一個無證明的解決方法。1657年3月在最后一次校訂時,惠更斯將其論文增加為9個命題和5個問題,形成了?論賭博中的計算?的根本構架。惠更斯還將給范·舒藤的一封信作為該文的前言,這篇前言形成了全文的思想根底。他在其中明確地提出:“盡管在一個純粹運氣的游戲中結果是不確定的,但一個游戲者或贏或輸的可能性卻可以確定。〞〔1〕可能性用的是“probability〞,其意義與今天的概率幾無差異。惠更斯的這種思想使得“可能性〞成為可以度量、可以計算、具有客觀實際意義的概念。信中惠更斯強調了這一新理論的重要性:“我相信,只要仔細研究這個課題,就會發現它不僅與游戲有關,而且蘊含著有趣而深刻的推理原那么。〞并惋惜地說“,法國的杰出數學家已經解決了這些問題,無人會把這個創造權授予給我。〞其內容被編排在范·舒藤之書的519-534頁。該書出版于1657年9月,而荷蘭文版出版于1660年,英文版出版于1692年,德文版出版于1899年,法文版出版于1920年,意大利文版出版于1984年。二、創立數學期望?論賭博中的計算?的寫作方式很像一篇現代的概率論論文。先從關于公平賭博值的一條公理出發,推導出有關數學期望的三個根本定理,利用這些定理和遞推公式,解決了點子問題及其他一些博弈問題。最后提出5個問題留給讀者解答,并僅給出其中的3個答案。通常所謂惠更斯的14個命題,指的就是書中3條定理加上11個問題。公理:每個公平博弈的參與者愿意拿出經過計算的公平賭注冒險而不愿拿出更多的數量。即賭徒愿意押的賭注不大于其獲得賭金的數學期望數〔2〕。對這一公理至今仍有爭議。所謂公平賭注的數額并不清楚,它受許多因素的影響。但惠更斯由此所得關于數學期望的3個命題具有重要意義。這是數學期望第一次被提出,由于當時概率的概念還不明確,后被拉普拉斯(P1S1M1deLaplace,1749—1827)用數學期望來定義古典概率。在概率論的現代表述中,概率是根本概念,數學期望那么是二級概念,但在歷史開展過程中卻順序相反。關于數學期望的三個命題為:命題1假設在賭博中獲得賭金a和b的概率相等,那么其數學期望值為(a+b)P21命題2假設在賭博中獲得賭金a、b和c的概率相等,那么其數學期望值為(a+b+c)P31命題3假設在賭博中分別以概率p和q(p≥0,q≥0,p+q=1)獲得賭金a和b,那么獲得賭金的數學期望值為pa+qb1這些今天看來都可作為數學期望定義。但對惠更斯來說,必須給出演繹證明,因當時對數學的一種公認處理方法是從盡可能少的公理推導其他內容。惠更斯所給的命題1證明為:假設在一公平的賭博中,勝者愿意拿出局部賭金分給輸者。假設二人的賭注均為x,勝者給輸者的為a,因而所剩賭金為2x-a=b,故x=(a+b)P2。帕斯卡與費馬在通信中所說的“值〞等于賭注乘以獲勝的概率,因而已于概率無本質區別。而惠更斯在這里將“值〞改稱為“數學期望〞是一個進步(在該書荷蘭版中,惠更斯仍沿用“值〞的概念)。將命題3推廣便得到今日數學期望的定義。因此惠更斯當之無愧是數學期望概念的奠基人。三、求解點子問題所謂點子問題是:甲乙二人賭博,其技巧相當,約定誰先勝s局那么獲全部賭金。假設進行到甲勝s1局而乙勝s2局時(s1s,s2s),因故停止,賭金應如何分配才公平?惠更斯深刻認識到點子問題的重要性,因而在其著作中有6個命題討論了該問題。命題4-7都是有關二人的點子問題,而命題8和命題9將問題推廣到三人及假設干個人。惠更斯的解決思路為:賭徒分得賭注的比例等于其獲勝的概率。他假設賭徒在每局獲勝的概率不變,且各局間相互獨立。這樣就可以歸結為一般問題:設隨機試驗中某隨機事件每次成功的概率為p,重復獨立進行該試驗假設干次,求在b次失敗前取得a次成功的概率。惠更斯認識到點子問題的關鍵與已勝局數無關,而與離全勝所差局數相關。設甲離全勝所差局數為a=s-s1,而乙為b=s-s2,那么至多再進行的局數為a+b-1。由全概率公式得一有限差分方程而解之。命題4-7分別為(a,b)=(1,2),(1,3),(2,3),(2,4)。點子問題推廣后可應用于當今一些體育比賽問題。如甲、乙兩隊進行某種比賽,每局甲勝的概率為016,乙勝的概率為014。可采用3局2勝制或5局3勝制進行比賽,問哪種比賽制度對甲有利?點子問題可轉化為古典概型中的三大概型之一的摸球問題。即從裝有m個白球n個黑球的袋子中有放回摸球,求在摸到a次黑球前摸到b次白球的概率。由此又可以轉化為大量的應用問題。二項分布、幾何分布、負二項分布等常見離散型分布均可由點子問題引申出來,所以點子問題的圓滿解決是概率論誕生的標志之一。當時梅勒問帕斯卡的另一個問題是:據經驗知,一顆骰子連擲4次“至少出現一個6點〞的概率大于1P2;兩顆骰子擲一次的結果6倍于一顆骰子擲一次的結果,那么,兩顆骰子擲24次“至少出現一對6點〞的概率也應大于1P2,但賭場的經驗并非如此,應如何解釋?!梅勒憤怒地譴責數學,粗暴地斷言,算術是自相矛盾的。惠更斯對此也進行了深刻討論,并將其分解成如下三個命題。命題10一顆骰子連擲多少次有利于“至少出現一個6點〞?命題11兩顆骰子連擲多少次有利于“至少出現一對6點〞?命題12一次擲多少顆骰子有利于“至少出現一對6點〞?惠更斯利用命題3及遞推法圓滿解決了上述問題。四、獨創分析法在?論賭博中的計算?的最后兩個命題中,惠更斯創立了著名的“惠更斯分析法〞來解決概率問題。命題13甲、乙二人賭博,將兩顆骰子擲一次,假設其點子和為7那么甲贏,為10那么乙勝,為其它點那么平分賭注。試求二人分配賭注的比例。命題14A,B二人輪流擲兩顆均勻的骰子,假設A先擲出7點,那么A勝;假設B先擲出6點,那么B勝。B先擲,求A獲勝的概率。對命題14,惠更斯的解法為:設全部賭注為t,A的期望為x,那么B的期望為t-x,那么當B擲時,A的期望為x;當A擲時,A的期望為y。因每次投擲時,A的獲勝概率為6P36,B的獲勝概率為5/36,由命題3得5/36×0+31/36y=x6/36t+30/36x=y。解得x=31t/36即A獲勝的概率為31/36。這個問題的求解與前面的方法不同,通過列代數方程來求解,這是惠更斯的獨創,該方法后被雅可布(JacobBernoulli,1654—1705)稱之為“惠更斯分析法〞〔4〕。惠更斯沒有給出進一步的討論,但按其思想可得更一般解法。可見,惠更斯從數學期望入手,明確給出了概率的客觀意義,但他的概率計算全是通過期望來進行的。從期望出發解釋概率,與以概率定義期望的現代概率論恰恰相反。因此,惠更斯的概率思想值得探究。五、惠更斯的5個問題惠更斯的最后5個問題,雖也都是在形形色色的賭博機制中,計算一方取勝的概率,但在概率論誕生初期,這無疑是向同時代數學家的挑戰〔5〕。他說:“給我的讀者(如果有的話)留下一些思考題應該是有益的,這將供他們練習或者打發時間。〞問題1兩人玩擲雙骰子游戲。假設A擲出6點那么贏,而B擲出7點勝。A先擲一次后,B擲二次,A再擲二次,如此下去直至一方獲勝。A與B的勝負比是多少?(答案:10355比12276)該問題是費馬在1656年6月向惠更斯提出的,顯然它是命題14的推廣。在1656年7月6日惠更斯寫給卡卡維的信中提到問題解決方案。問題2一袋中裝有4個白球8個黑球,3人蒙住眼睛輪流摸球。先得白球者獲勝,求三人獲勝的時機比。惠更斯在其1665年的筆記中給出問題答案為9∶6∶4。問題3有40張牌,每種花色10張。甲同乙打賭他能抽出花色不同的4張牌,每人投的賭注應是多少?(答案:1000∶8139)這個問題由費馬在1656年6月向惠更斯提出,在1656年7月6日惠更斯寫給卡卡維的信中提出問題解決方案。問題4一袋中裝有4個白球8個黑球,甲同乙打賭他能在摸出的7個球中含有3個白球。求二人獲勝的時機比。惠更斯在其1665年的筆記中記錄著這個問題的答案為35∶99。問題5二人玩擲三顆骰子游戲,甲乙各有12個籌碼,假設擲出11點,甲給乙一個籌碼,而擲出14點,那么乙給甲一個籌碼,直至兩人中有一人輸光。求甲乙獲勝的時機比。(答案:244140625∶282429536481)這個問題就是著名的賭徒輸光問題,也叫具有兩個吸收壁的隨機游動問題。它由帕斯卡向費馬提出,后卡卡維于1656年9月28日的信中告知惠更斯,其中含有帕斯卡和費馬的解答。惠更斯在1656年10月12日給卡卡維的回信中提出自己的解法,其證明過程可在其1676年的讀書筆記中發現。六、歷史評價到17世紀時,不少學者已對賭博中的某些問題進行了討論,并挖掘了其中的數學原理。但對當時的大多數學家來說,概率論是庸俗的賭博游戲,難登大雅之堂。正是社會的開展及其需要,才推動了概率論的開展。如果沒有社會的需要,概率論至今恐怕仍然只能在牌桌上顯示神通。“概率論產生于賭博〞,這個觀點是錯誤的或者說是不完全對的。“賭博問題〞和“理性思考〞是概率論產生的兩個必要條件,而后者更重要。猶如蘋果落地千千萬,而只有牛頓從中發現了萬有引力定律。不少學者錯誤地認為,帕斯卡、費馬和惠更斯三人一起討論了概率問題,而后者僅是將前二者的結果著書立說。從該書的撰寫過程來看,惠更斯幾乎全是自己獨立解決的這些概率問題,雖帕斯卡、費馬間接給他提供了一些問題,但均無解答過程。概率史界認為,帕斯卡與費馬的通信標志著概率論的誕生。然而他們的通信直至1679年才完全公布于世,故惠更斯的?論賭博中的計算?標志著概率論的誕生。因此,不少學者宣稱惠更斯為概率論的正式創始人。惠更斯的?論賭博中的計算?不僅是第一部概率論著作,而且是第一個把該學科建立在公理、命題和問題上而構成一個較完整的理論體系,第一次對以前概率論知識系統化、公式化和一般化。該書為概率論的進一步開展奠定了堅實的根底〔6〕。1657年9月?論賭博中的計算?出版后立即得到學術界的認可和重視。該書在歐洲屢次再版,作為概率論的標準教材長達50年之久。直至1713年雅可布的?猜度術?出版才遏制住該書的再版,然而該書的影響還在繼續。因?猜度術?的第一卷就是?論賭博的計算?的注釋,并籍此建立了第一個大數定理。法國數學家棣莫弗(A1deMoiver,1667—1754)的?時機學說?也是在該書的根底上,由二項分布的逼近得到了正態分布的密度函數表達式。拉普拉斯在此根底上給出古典概率的定義。因此,惠更斯的概率思想對古典概率的影響是重要而持久的,其方法可以看作那一時期的特點。但是,至于什么是“理想理論〞,需要考慮它的歷史開展階段,不能苛求古人,也不能執于一偏。盡管惠更斯的?論賭博中的計算?已出版300余年了,但其科學的思想方法已跨越時空在數學教育尤其是