學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精PAGE18學必求其心得，業必貴于專精PAGE§3.2三角函數的圖象和性質考綱解讀考點內容解讀要求五年高考統計常考題型預測熱度201320142015201620171。三角函數的圖象及其變換1。由圖象求參數2.由表達式確定圖象B填空題解答題★★☆2.三角函數的性質及其應用1.判斷三角函數的性質2.由性質求相關參數B填空題解答題★★☆分析解讀三角函數的圖象與性質是研究三角函數的基礎，也是江蘇高考的熱點，考查重點在以下幾個方面：函數解析式、函數圖象及圖象變換、兩域（定義域、值域)、四性（單調性、奇偶性、對稱性、周期性）。五年高考考點一三角函數的圖象及其變換1.（2017課標全國Ⅰ理改編，9，5分）已知曲線C1:y=cosx，C2：y=sin，則下面結論正確的是。

①把C1上各點的橫坐標伸長到原來的2倍,縱坐標不變,再把得到的曲線向右平移個單位長度，得到曲線C2;②把C1上各點的橫坐標伸長到原來的2倍,縱坐標不變，再把得到的曲線向左平移個單位長度,得到曲線C2;③把C1上各點的橫坐標縮短到原來的,縱坐標不變，再把得到的曲線向右平移個單位長度，得到曲線C2；④把C1上各點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變,再把得到的曲線向左平移個單位長度，得到曲線C2.答案④2。（2016課標全國Ⅰ改編,6，5分）將函數y=2sin的圖象向右平移個周期后,所得圖象對應的函數為.

答案y=2sin3。(2016四川理改編，3，5分)為了得到函數y=sin的圖象,只需把函數y=sin2x的圖象上所有的點向平移個單位長度.

答案右；4.(2016課標全國Ⅲ，14,5分)函數y=sinx—cosx的圖象可由函數y=2sinx的圖象至少向右平移個單位長度得到.

答案5。(2015湖南改編,9，5分）將函數f(x）=sin2x的圖象向右平移φ個單位后得到函數g(x)的圖象。若對滿足｜f(x1)-g(x2)|=2的x1,x2，有|x1-x2｜min=,則φ=。

答案6.（2014遼寧改編，9,5分)將函數y=3sin的圖象向右平移個單位長度，所得圖象對應的函數在區間上單調遞增.

答案(k∈Z）7.（2013湖北理改編,4，5分）將函數y=cosx+sinx(x∈R)的圖象向左平移m(m〉0)個單位長度后，所得到的圖象關于y軸對稱，則m的最小值是。

答案教師用書專用（8-9)8。(2015湖北，17，11分)某同學用“五點法”畫函數f（x)=Asin(ωx+φ）在某一個周期內的圖象時,列表并填入了部分數據，如下表：ωx+φ0π2πxAsin（ωx+φ)05-50（1)請將上表數據補充完整,并直接寫出函數f（x）的解析式;(2)將y=f(x)圖象上所有點向左平行移動θ(θ>0)個單位長度,得到y=g（x)的圖象.若y=g(x)圖象的一個對稱中心為,求θ的最小值.解析(1）根據表中已知數據,解得A=5，ω=2,φ=-.數據補全如下表:ωx+φ0π2πxπAsin(ωx+φ）050—50且函數表達式為f（x)=5sin。（2)由（1)知f(x)=5sin，得g(x)=5sin.因為y=sinx的對稱中心為(kπ,0)，k∈Z。所以令2x+2θ-=kπ，k∈Z,解得x=+—θ，k∈Z。由于函數y=g(x）的圖象關于點中心對稱，所以令+—θ=,k∈Z，解得θ=-，k∈Z。由θ>0可知，當k=1時,θ取得最小值.9.(2013福建理，20，14分）已知函數f（x）=sin(ωx+φ)（ω>0，0<φ<π)的周期為π,圖象的一個對稱中心為.將函數f（x)圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變)，再將所得到的圖象向右平移個單位長度后得到函數g（x)的圖象。（1）求函數f(x）與g（x）的解析式；(2)是否存在x0∈,使得f(x0），g（x0)，f(x0)g(x0）按照某種順序成等差數列?若存在,請確定x0的個數；若不存在，說明理由;（3)求實數a與正整數n,使得F(x)=f(x)+ag（x)在(0,nπ）內恰有2013個零點.解析(1）由函數f(x）=sin(ωx+φ）的周期為π,ω>0,得ω==2。又曲線y=f（x)的一個對稱中心為,φ∈（0，π)，故f=sin=0,得φ=,所以f（x)=cos2x。將函數f（x)圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變)后可得到y=cosx的圖象，再將y=cosx的圖象向右平移個單位長度后得到函數g（x)=cos的圖象，所以g（x)=sinx。（2)當x∈時，<sinx<,0<cos2x〈,所以sinx>cos2x>sinxcos2x.問題轉化為方程2cos2x=sinx+sinxcos2x在內是否有解.設G（x)=sinx+sinxcos2x—2cos2x,x∈，則G'(x）=cosx+cosxcos2x+2sin2x（2-sinx）。因為x∈，所以G'（x)>0,G（x）在內單調遞增.又G=-〈0,G=〉0，且函數G（x）的圖象連續不斷,故可知函數G(x)在內存在唯一零點x0，即存在唯一的x0∈滿足題意。(3）依題意得，F(x）=asinx+cos2x，令F（x)=asinx+cos2x=0.當sinx=0,即x=kπ（k∈Z)時，cos2x=1,從而x=kπ（k∈Z）不是方程F（x）=0的解,所以方程F(x)=0等價于關于x的方程a=—，x≠kπ(k∈Z)。現研究x∈（0，π）∪（π,2π）時方程a=—的解的情況.令h(x)=-，x∈（0,π)∪（π，2π),則問題轉化為研究直線y=a與曲線y=h(x)，x∈（0，π）∪(π，2π)的交點情況.h'（x）=，令h'(x）=0，得x=或x=.當x變化時,h'(x),h（x）的變化情況如下表:xh'（x)+0——0+h（x)↗1↘↘—1↗當x>0且x趨近于0時，h（x)趨向于-∞，當x〈π且x趨近于π時,h（x）趨向于—∞,當x>π且x趨近于π時,h（x)趨向于+∞，當x<2π且x趨近于2π時，h（x)趨向于+∞。故當a〉1時,直線y=a與曲線y=h（x）在(0,π)內無交點，在（π，2π)內有2個交點；當a<-1時,直線y=a與曲線y=h(x)在（0,π）內有2個交點,在（π,2π)內無交點;當—1〈a〈1時,直線y=a與曲線y=h(x）在(0,π)內有2個交點,在（π,2π）內有2個交點。由函數h（x)的周期性,可知當a≠±1時,直線y=a與曲線y=h(x)在（0,nπ）內總有偶數個交點,從而不存在正整數n，使得直線y=a與曲線y=h(x）在(0,nπ)內恰有2013個交點；又當a=1或a=—1時,直線y=a與曲線y=h(x)在（0,π)∪(π，2π)內有3個交點，由周期性，2013=3×671,所以依題意得n=671×2=1342.綜上,當a=1，n=1342或a=—1，n=1342時，函數F（x)=f(x）+ag(x）在（0，nπ）內恰有2013個零點.考點二三角函數的性質及其應用1。（2017課標全國Ⅲ文改編,6，5分)函數f(x)=sin+cos的最大值為。

答案2。（2016課標全國Ⅱ理改編,7，5分)若將函數y=2sin2x的圖象向左平移個單位長度,則平移后圖象的對稱軸為。

答案x=+(k∈Z）3.(2015浙江,11,6分）函數f（x）=sin2x+sinxcosx+1的最小正周期是，單調遞減區間是。

答案π;（k∈Z）4。(2014安徽改編，6,5分）設函數f(x)（x∈R)滿足f(x+π）=f（x)+sinx.當0≤x〈π時，f(x）=0,則f=.

答案5.（2015山東,16,12分)設f(x)=sinxcosx—cos2.（1）求f（x)的單調區間;（2）在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a,b，c。若f=0,a=1，求△ABC面積的最大值.解析（1）由題意知f(x）=-=—=sin2x-。由-+2kπ≤2x≤+2kπ，k∈Z,可得—+kπ≤x≤+kπ，k∈Z;由+2kπ≤2x≤+2kπ，k∈Z，可得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.所以f(x）的單調遞增區間是(k∈Z）;單調遞減區間是(k∈Z）。（2）由f=sinA-=0，得sinA=,由題意知A為銳角,所以cosA=.由余弦定理可得1+bc=b2+c2≥2bc，即bc≤2+,且當b=c時等號成立.因此bcsinA≤.所以△ABC面積的最大值為.教師用書專用（6）6.(2013湖南理,17，12分）已知函數f（x）=sin+cos,g(x）=2sin2.(1）若α是第一象限角,且f（α）=,求g(α）的值;(2)求使f（x)≥g(x）成立的x的取值集合.解析f(x）=sin+cos=sinx—cosx+cosx+sinx=sinx,g（x）=2sin2=1-cosx。(1）由f（α）=得sinα=。又α是第一象限角,所以cosα〉0。從而g(α）=1-cosα=1-=1—=.（2)f(x)≥g（x）等價于sinx≥1—cosx，即sinx+cosx≥1。于是sin≥。從而2kπ+≤x+≤2kπ+，k∈Z,即2kπ≤x≤2kπ+，k∈Z.故使f（x)≥g（x)成立的x的取值集合為x2kπ≤x≤2kπ+,k∈Z。三年模擬A組2016—2018年模擬·基礎題組考點一三角函數的圖象及其變換1。(2018江蘇天一中學調研)將函數y=5sin的圖象向左平移φ個單位后,所得函數圖象關于直線x=對稱，則φ=.

答案2。（蘇教必4,二，3，變式)函數y=sinx的圖象和y=的圖象交點的個數是。

答案33。(蘇教必4，二,3,變式）定義在區間上的函數y=6cosx的圖象與y=5tanx的圖象的交點為P,過點P作PP1⊥x軸于點P1，直線PP1與y=sinx的圖象交于點P2,則線段P1P2的長為。

答案4.（2017江蘇南京、鹽城一模,9)將函數y=3sin的圖象向右平移φ個單位后，所得圖象對應的函數為偶函數，則φ=。

答案考點二三角函數的性質及其應用5。（2018江蘇徐州銅山中學期中）函數f（x）=2sin的最小正周期為。

答案66。（2018江蘇南通中學高三階段練習)已知函數y=cosx與y=sin(2x+φ)(0≤φ〈π）的圖象有一個橫坐標為的交點，則φ的值是。

答案7.(2018江蘇常熟期中)函數y=sin（2x+φ)圖象的一條對稱軸是x=，則φ的值是。

答案8。（2017江蘇南京學情檢測，4)若函數f（x）=sin（ω〉0)的最小正周期為π,則f的值是.

答案9。(2017江蘇南通中學高三上學期期中，7）函數y=2sin的圖象與y軸最近的對稱軸方程是.

答案x=—10.（蘇教必4,二，3,變式)已知函數f（x)=sin(x∈R），下面結論錯誤的是.(只填序號)

①函數f（x）的最小正周期為2π;②函數f（x）在區間上是增函數；③函數f（x)的圖象關于直線x=0對稱；④函數f（x)是奇函數。答案④11。(2016江蘇如東期中，9）函數f(x）=sinx-cosx(—π≤x≤0)的單調增區間是.

答案B組2016—2018年模擬·提升題組（滿分:35分時間：20分鐘）一、填空題(每小題5分，共20分)1.（2018江蘇常熟期中)已知函數f（x）=sin,若對任意的實數α∈,都存在實數β∈[0,m］，使f(α)+f（β）=0,則實數m的最小值是。

答案2。（2018江蘇揚州中學高三月考）已知函數y=sinωx(ω〉0)在區間上為增函數,且圖象關于點（3π,0)對稱,則ω的取值集合為.

答案3.(2017江蘇徐州沛縣中學質檢，12)若函數y=sinx+mcosx圖象的一條對稱軸方程為x=，則實數m的值為.

答案4。（2016江蘇常州武進期中，9）已知函數f（x)=2sin,x∈的圖象與直線y=m的三個交點的橫坐標分別為x1，x2，x3，其中x1〈x2〈x3，那么x1+2x2+x3的值為.

答案二、解答題(共15分）5.（2018江蘇常熟期中)已知函數f(x)=-sin++b（a〉0,b>0）的圖象與x軸相切，且圖象上相鄰兩個最高點之間的距離為.（1)求a，b的值；(2)求f（x）在上的最大值和最小值.解析(1）∵f(x）圖象上相鄰兩個最高點之間的距離為，∴f（x)的周期為,∴=，∵a〉0，∴a=2，此時f（x)=—sin++b，又∵f（x)的圖象與x軸相切,∴=,∵b〉0,∴b=-.(2)由(1)可得f(x）=-sin+,∵x∈,∴4x+∈，∴當4x+=，即x=時,f（x）取得最大值;當4x+=,即x=時,f（x)取得最小值0。C組2016—2018年模擬·方法題組方法1三角函數性質1.函數y=3tan的對稱中心是.

答案(k∈Z)2.函數y=-3sin2x+9sinx+的最大值為