2021-2022學年河北省石家莊市高一下學期期末數學試題

一、單選題

1.已知。為實數，若復數z=（"--4）+（a+2）,為純虛數，則復數z的虛部為（〉

A.2B.4/C.±2D.4

D

由實部為0且虛部不為0列式求得。值，則答案可求.

【詳解】“二面一町+^^廠為純虛數，

斤-4=0

...[〃+2片0,即“=2.

???復數z的虛部為4.

故選：D.

本題考查復數的基本概念，是基礎題.

2.某校高一年級15個班參加朗誦比賽的得分如下：

918990929487939691858993889893

則這組數據的40%分位數、70%分位數分別為（）

A.90,94B.91,93C.90.5,93D.90.5,94.2

C

【分析】將數據從小到大依次排列，而且15x40%=6,15'70%=10.5,故這組數據的40%分

位數是第6、7個數的平均數，70%分位數是第11個數.

【詳解】將數據從小到大依次排列如下：

85,87,88,89,89,90,91,91,92,93,93,93,94,96,98,

而15x40%=6,15x70%=10.5,

-x（90+91）=90.5

故這組數據的40%分位數是2,

這組數據的70%分位數是93,

故選：D.

3.平面向量送5的夾角為60°,。=（3,0）,W-則卜+2%（）

A.2GB.MC.4D.5

B

【分析】計算出H,利用平面向量的數量積可計算得出1"+28|的值.

【詳解】由已知可得卜卜""=3,由平面向量數量積的定義可得

6T-i=|6f|-|fe|cOs60=-1

、k+26|=+j=+4屋1+4彳=^9+4x-|+4=-J\9

故選：B.

4.定義：24小時內降水在平地上積水厚度（mm）來判斷降雨程度.其中小雨（

中雨（10mm-25mm）,大雨（25mm-50mm）,暴雨（50mm-100mm）,小明用

一個圓錐形容器接了24小時的雨水，如圖，則這天降雨屬于哪個等級（）

A.小雨B.中雨C.大雨D.暴雨

B

【分析】計算出圓錐體積，除以圓面的面積即可得降雨量，即可得解.

—=100（mm）

【詳解】由題意，一個半徑為2的圓面內的降雨充滿一個底面半徑為

200150_.z、

『荻一n（皿11）,高為150（mm）的圓錐，

-^-X502X150

d=----------------=12.5（mm）

所以積水厚度乃,I。。，屬于中雨.

故選：B.

JD=-DC--------

5.已知在邊長為6的等邊三角形/8C中，2，則ZOYC=（）

A.24B.6C.18D.-24

A

【分析】由已知條件將而用荏，刀表示出來，然后再計算亞?就即可

BD=-DC

【詳解】因為2,

百萬=1肥=，（彳心一萬）

所以331

AD=AB+BD=AB+-（AC-AB）=-AB+-AC

所以333

因為邊三角形Z8C的邊長為6,

所以4。48=6x6cos60°=18,

JD-AC=\-AB+-AC\-AC

所以（33）

2—?—?1--）

=-ABAC+-AC~

33

=-xl8+-x36=24

33,

故選：A

6.從四雙不同的鞋中任意取出4只，事件“4只全部不成對，，與事件“至少有2只成對，，

（）

A.是對立事件B.不是互斥事件

C.是互斥但不對立事件D.都是不可能事件

A

從4雙不同的鞋中任意摸出4只，可能的結果為:“恰有2只成對，，,“4只全部成對，，,“4只都

不成對”,即可求得答案.

【詳解】從4雙不同的鞋中任意摸出4只，可能的結果為：

“恰有2只成對”,“4只全部成對，，,“4只都不成對”，

故:事件“4只全部成對”的對立事件為“恰有2只成對，，+“4只都不成對”=“至少有兩只不

成對

二事件“4只全部不成對，，與事件“至少有2只成對，，是:對立事件.

故選:A.

本題主要考查了判斷2個事件是否是對立事件，解題關鍵是掌握對立事件概念和結合實

際問題具體分析，考查了分析能力,屬于基礎題.

7.圭表（如圖1）是我國古代一種通過測量正午日影長度來推定節氣的天文儀器，它

包括一根直立的標竿（稱為“表”）和一把呈南北方向水平固定擺放的與標竿垂直的長

尺（稱為“圭，當正午太陽照射在表上時，日影便會投影在圭面上，圭面上日影長度

最長的那一天定為冬至，日影長度最短的那一天定為夏至.圖2是一個根據北京的地

理位置設計的圭表的示意圖，己知北京冬至正午太陽高度角（即48C）為265,夏

至正午太陽高度角（即/"℃）為735,圭面上冬至線與夏至線之間的距離（即。B

的長）為m則表高（即力C的長）為（）

夏至正午陽光

圖1圖2

asin53"2sin47

A.2sin470B.asin530

tztan26.5tan73.5asin26.5°sin73.5

C.tan47°D.sin47°

D

先求N54）,在中利用正弦定理求力。，在劉△/C。中即可求4C.

【詳解】NBNO=73.5°-265=47。，

BD_a_AD

在△A4￡>中由正弦定理得：sinZBADsin/.ABD,即sin47sin26.5°,

asin26.5°

AD=--------------

所以sin47,

Ar

……—=sinZJDC=sin73.5°

又因為在RfA4C。中，AD,

asin265sin73.5

NC=4)xsin735=

所以sin47°

故選：D

本題主要考查了解三角形應用舉例，考查了正弦定理，屬于中檔題.

8.我國古代《九章算術》中將上下兩面為平行矩形的六面體稱為芻童.如圖的芻童

4BCD-EFGH有外接球,且"8=46,AD=4,EH=岳,EF=M,平面

N8C3與平面E/G”間的距離為1,則該童外接球的表面積為（）

Q164兀D.48兀

【分析】設上底面中心為a,下底面中心為°?,芻童外接球的球心為0,則°,

O',儀共線，由已知求出兩個長方形的對角線長，再由勾股定理列式求得芻童的外接

球的半徑，則表面積可求.

【詳解】解：如圖，設上底面中心為a,下底面中心為°?,

芻童外接球的球心為°,則°,°、儀共線，

連接。￡,。",OE,0A,

由已知可得=石，°3=4,。02=1.

設該芻童的外接球的半徑為&,°°2=h,

22

則2=16+吃R=5+(h+\)t聯立解得&2=41.

?1.該芻童的外接球的表面積為$==164萬.

故選：C.

二、多選題

9.某保險公司為客戶定制了5個險種：甲，一年期短險；乙，兩全保險；丙，理財類

保險；丁，定期壽險；戊，重大疾病保險.各種保險按相關約定進行參保與理賠.該

保險公司對5個險種的參保客戶進行抽樣調查，得出如下統計圖例，則以下四個選項

正確的是()

A.18?29周歲人群參保總費用最少B.30周歲以上的參保人群約占參保人

群的20%

C.54周歲以上的參保人數最少D.丁險種更受參保人青睞

CD

【分析】根據選項逐一對相應的統計圖進行分析判斷即可.

【詳解】對A：由不同年齡段人均參保費用圖可知，18?29周歲人群人均參保費用最

少，但是這類人所占比例為20%,所以總費用不一定最少，故A錯誤：

對B：由扇形圖可知，30周歲以上的參保人數約占總參保人數的80%,故B錯誤；

對C：由扇形圖可知，54周歲以上的參保人數最少，故選項C正確；

對D：由柱狀圖可知，丁險種參保比例最高，故選項D正確.

故選：CD.

10.下列命題中，正確的是（）

A.在中，乙4是sin4>sin8的充要條件

B.在銳角中，不等式sin/>cos8恒成立

C.在中，若acos"=6cos5,則是等腰直角三角形

D.在A48C中，若8=60。，b2=ac,則“8C是等邊三角形

ABD

【分析】對于A,應用正弦定理及三角形中大邊對大角以及充要條件的定義即可判斷

正誤；對于B由銳角三角形易得22,根據銳角正弦函數的大小關系及

誘導公式即可判斷正誤；對于C由正弦定理邊角關系，結合三角形內角的性質判斷內

角2、8的數量關系；對于D利用余弦定理，結合已知得S-cP=0,進而判斷4

/8C的形狀.

a_b

［詳解］解：對于A：若sin/>sin8,而sin/f-sinB,即故/>8,

a_b

同理，若即。>6,而sinXsin8,故sin4>sin8,

所以ZB是sin/>sin8的充要條件，故A正確；

A+B>——>A>--B>0

對于B：由銳角知：2,g|j22,則

冗

sinA>sin(----B)=cosB

2,故B正確；

對于C：由題設得sin4cos4=sin8cos8,可得sin24=sin28,又48‘(0,乃)，則

24=28或24+28=4，

A+B=-

即力=8或2,故△Z8C為等腰或直角三角形，故c錯誤；

°a2+c2-b21

cosB=------=-,),

對于D：由題設，2皿2,即=〃+c-匕,

又從=%,所以ac="+c2-ac,故(。-。)2=0,即。=。，

又8=60。，所以a=6=c,故△/8C必是等邊三角形，故D正確.

故選：ABD.

11.棱長為2的正方體188-44Gq中，M是線段//上的動點，下列正確的是

()

A./"⑷的最大值為90。B.DC'1D'M

c.三棱錐”一℃G的體積為定值D.""+"4的最小值為4

BC

【分析】對A,令4"=2"(04"),在△44〃中，根據余弦定理求得“A/，再

在△/用4中根據余弦定理求解cosN/MR的表達式，判斷出當°<‘(5時，

cos/力尸。］<0即可；

對B,根據線面垂直的性質與判定，證明平面48cA即可；

對C,根據體積公式結合長方體的性質證明即可；

對D,把A""0與矩形4BC2展開在同一平面內，再分析最小值即可

【詳解】對A,在正方體"88-4AGR中，連接血血。眼，如圖，而/8=2,

則48=2應，令4〃=2"(04/41),

在例中，乙44"=45’,由余弦定理得

AM2=22+(26>-2x2x2"cos45°=8/-8/+4,

根據線面垂直的性質有AC,則4"=22+(2何2=4+8/，中，

““八AM2+RM2-AD；8/(2?-1)1

Lcos/AMD]=------------!-------------=——---------o</<-

AD、=2g,1AM-D}M2AM-D.M；當2時，

cosZAPDt<0(即4股是鈍角，A不正確；

對B,因平面CD￡>C,。|。<=平面0")?,則4R，G。，正方形CDQG中，

CD}A.C}DtAtDtnCD}=Dt；44，CZ)|u平面,于是得G。_L平面,又

平面48C%因此，D,M1QDfB正確；

對c,由題意，用到平面℃G的距離為定值BC,故田山。為定值,

C正確；

對D,把A44田與矩形48cA展開在同一平面內，連接'。交48于點/，，如圖,

在中，N/4〃=135”，由余弦定理得：

AD,=Vl2+l2-2xlxcosl350=42+及,

因點“在線段"田上，/"+加。2"也="/'+"9,當且僅當點M與初'重合時取

所以/P+P2的最小值為+忘,D錯誤；

故選：BC

12.著名數學家歐拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線

上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，此直線被稱為三角形的歐拉線，

該定理被稱為歐拉線定理.已知A/8C的外心為°,垂心為7/,重心為G,且45=3,

4c=4,下列說法正確的是()

---------AGBC=--AOBC=-

A.4H.BC=GB.3c.2D.

OH=OA+OB+OC

ACD

【分析】設。是8c中點，由H為垂心，得4H1BC,判斷A；利用

~AD=-(AB+~AC\AG=-AD

2、),3，計算數量積判斷B,再結合8C可判斷c,由重

心性質得力〃=20。，然后由向量的線性運算判斷D.

【詳解】對于A選項，由垂心的性質可知/"'8C,貝ij屈?前=°,A對;

AG=-AD

對于B選項，設。為8c的中點，則3,

AD=AB+BD=AB+^BC=AB+^(AC-AB^=^(AB+AC^

AG=-AD=-(AB+7C}

所以，33、),

GJc（ACB（ACABACAB

所以，7=3-、+7八\-'7\-C3\-~/\-3,B錯；

對于C選項，由外心的性質可知08=°C,則ODRC,

.-.AOBC=（AD+Dd）SC=ADBC=^（lB+AC）（AC-AB）=~^C：-AB：y^

C對；

AHAGc

--=---=2

對于D選項，由4H//OD得ODGD,所以Z"=2°D,

OD^OB+JD^OB+-BC=OB+-（OC-OB}=~（OB+OC}

因為22、J2、）,

所以而一方=而=2歷=礪+反，即而=厲+礪+雙，D對.

故選：ACD.

13.已知向量。=（4區）,向量入（2-似+1）,若卜++卜-4則上的值為.

5

【分析】由條件求得展b=°,再根據數量積的坐標表示求h

【詳解】中+可中-可，兩邊平方后得,4=0,

即4（2-%）+29+1）=0,解得上=5

故5

__2____1

AN=_&AP=tAB+-AC

14.如圖，在A/8C中，3,P是BN上一點、,若3,則實數

，的值為.

A

爪N

T

B

1

6.

———5——?5

AP=tAB+-AN/+-=1

【分析】根據條件化簡得6,再根據B,P,N三點共線，得6，求

出t值

—2——5—

AN=-NCAC=-AN

【詳解】因為3,所以2

萬=/而+1衣=/萬+1?2亦=/次+?而

則3326

5?1

t4—=1-

根據B,P,N三點共線，6，則t=6

故答案為6.

在平面中，若P,A,B,C四點不共線，且方=灰+。而，若A,B,C三點共線，則

4+。=1

本題考查學生對向量中點共線問題的考察

15.甲、乙、丙三人向同一飛機射擊，設擊中的概率分別為0.4,0.5,0.8,若只有1

人擊中，則飛機被擊落的概率為0.4,若2人擊中，則飛機被擊落的概率為0.7,若3

人擊中則飛機一定被擊落，求飛機被擊落的概率為.

0.604

【分析】設甲、乙、丙三人擊中飛機為事件4民C依題意，C相互獨立，故所

求事件概率為

P=[2(/而)+尸@①+月C)]x0.4+P(l8C)+x0.7+P(NBC)

，代入相關數據，即可得到答案.

【詳解】設甲、乙、丙三人擊中飛機為事件4民。依題意，48,C相互獨立，故所

求事件概率為

P=[p(7<5C)+P(/(SC)+/,p5C)]x0.4+[/?(^5C)+Pp5C)+P(^SC)]x0.7+/>(74SC)

=(0.4x0.5x0.2+0.6x0.5x0.2+0.6x0.5x0.8)x0.4+

(0.4x0.5x0.2+0.4x0.5x0.8+0.6x0.5x0.8)x0.7+0.4x0.5x0.8

=0.604

故答案為.0604

四、雙空題

16.某同學在解題中發現，以下三個式子的值都等于同一個常數(i是虛數單位).

2+i-4+3i-1-i

①1—2i；②3+4i；③—1+i.

從三個式子中選擇一個，求出這個常數為;根據三個式子的結構特征及計算結

果，將該同學的發現推廣為一個復數恒等式.

a+hi

-----=1

ib-a\

【分析】根據復數的運算法則求得這個常數，再結合三個式子的結構特征及計算結果

得出推廣式，即可求解.

-1-i(-l-i)(-l-i)2i.

【詳解】由復數的運算法則，可得T+i(-l+i)(-l-i)2

4+bi

根據三個式子的結構特征及上式的計算結果，可以得到：w

證明如下：

a+bi(a+hi)(b+ai)_(a+bi)0+ai)_(Y+b2)i_.

由b-ai0-Qi)(b+〃i)a2+b2a2+h21

a+bi

—1

故i；b-ai.

五、解答題

17.在銳角三角形/8C中，角4、B、C的對邊分別為“、b、c,向量“=

6=(c,sinC),且公〃g.

⑴求角N

3G

（2）若c=2,且A/BC的面積為2,求/C邊上的中線的大小.

A=-

(1)3

⑵7

【分析】（1）由向量平行的坐標表示可得2asinC=&,再由正弦定理化角即可得解:

（2）根據面積公式可得以在中再由余弦定理求解即可.

【詳解】⑴因癡〃5，a=Qa,⑸,a=?sinC）,所以2asinC=V^c.

由正弦定理得2sin/sinC=6sinC.

sin"

因為,所以sinC>0,所以2

A=-

因為I2人所以3.

3G1,.373

----besinA=---

（2）因為A/BC的面積為2.所以22.

A,——冗

因為c=2.3.所以/>=3.

AM=—h=—

在三角形力中，???〃為4C的中點.??,22,由余弦定理得

（3Y3113

BM2=AM2AB2-2AB-AMcosA=\-+4-2x-x2x-=—

3224.

BM=—

所以2.

18.全國文明城市，簡稱文明城市，是指在全面建設小康社會中市民整體素質和城市

文明程度較高的城市.全國文明城市稱號是反映中國城市整體文明水平的最高榮譽稱

號.為普及相關知識，爭創全國文明城市，某市組織了文明城市知識競賽，現隨機抽

取了甲、乙兩個單位各5名職工的成績（單位：分）如下表：

甲單位8788919193

乙單位8688919293

（1）根據上表中的數據，分別求出甲、乙兩個單位5名職工的成績的平均數和方差，并

比較哪個單位的職工對文明城市知識掌握得更好；

（2）用簡單隨機抽樣法從乙單位5名職工中抽取2人，求抽取的2名職工的成績差的絕

對值不小于4的概率.

（1）漏=90,殳=90,甲單位的職工比乙單位的職工對環保知識掌握得更好

⑵萬

【分析】（1）根據表格數據求出福麗乙S'根據均值、方差的實際意義作出判斷；

（2）利用古典概型公式即可求出抽取的2名職工的成績差的絕對值不小于4的概率

—87+88+91+91+932—86+88+91+92+93

Xm=-----------------=90x,=------------------=9n0n

【詳解】⑴5,5,

2

4=』［（87-90）2+（88-90）2+（91-90）2+（91-9+（93-90）］=—

55,

22

4=1［（86-90）+（88-90）2+（91-90）2+儂_9Q）+（93-90）1=當

，2

顯然叫而色，s-<s-,可知，甲單位的成績比乙單位穩定，即甲單位的職工比乙單位

的職工對環保知識掌握得更好.

（2）從乙單位5名職工中隨機抽取2名，他們的成績組成的所有基本事件（用數對表示）

為（86,88）（86,91）（86,92）（86,93）（88,91）（88,92）（88,93）（91,92）

（91,93）,（92,93）,共影個記“抽取的2名職工的成績差的絕對值不小于4”為事件A,

則事件A包含的基本事件為，（86,91）,（86,92）,（86,93）,（88,92）,（88,93）,共5個,由

古典概型計算公式可知102.

19.如圖，在直三棱柱/8C-48c中，AC=BC=應,4c8=90。.四=2,

。為的中點.

（1）求證："G〃平面8。；

（2）求異面直線AC'與*所成角的余弦值.

（1）證明見解析；

2

（2）§.

【分析】（1）設C/與4c的交點為E,連接。￡,由三角形中位線定理可證得

DE，小、,從而可得ACXH平面CDB、.

（2）由可得NCED為'G與8c所成的角（或其補角），在中，解三角

形可求得cos/CEO,即為所求.

【詳解】（1）證明：設G8與耳°的交點為E,連接OE,

,??四邊形8CC4為正方形,

二E是8G的中點,

又。是Z8的中點,

.057/4G

又DEu平面CDB[,“弓仁平面。。4,

平面。與

⑵解：???OE〃"G

...NCED為"G與4c所成的角（或其補角）.

ED=；AC、=母,CD=；AB=1,CE=；CB\=牛

在△SE中,

CE'DEZ-CD?

cosZCED=

2CEDE

2

???異面直線AC'與B'c所成角的余弦值為3.

20.“學習強國”學臺是由中宣部主管，以深入學習宣傳為主要內容，立足全體黨員，面

向全社會的優質平臺，現日益成為老百姓了解國家動態，緊跟時代脈搏的熱門APP,

某市宣傳部門為了解全民利用“學習強國'‘了解國家動態的情況，從全市抽取2000名人

員進行調查，統計他們每周利用“學習強國'’的時長，下圖是根據調查結果繪制的頻率

分布直方圖.

頻率

（1）根據上圖，求所有被抽查人員利用“學習強國”的平均時長和中位數：

（2）宣傳部為了了解大家利用“學習強國”的具體情況，準備采用分層抽樣的方法從

[8,1。）和110,12）組中抽取50人了解情況，則兩組各抽取多少人？再利用分層抽樣從抽

取的50入中選5人參加一個座談會，現從參加座談會的5人中隨機抽取兩人發言，求

11012）小組中至少有1人發言的概率？

20

（1）平均時長為6.8,中位數為§

p_7

⑵在艮I。）和口0,12）兩組中分別抽取30人和20人，概率一歷

【分析】（1）由頻率分布直方圖計算平均數，中位數的公式即可求解；

（2）先根據分層抽樣求出每一組抽取的人數，再列舉抽取總事件個數，從而利用古典

概型概率計算公式即可求解.

【詳解】（D解：（1）設被抽查人員利用“學習強國”的平均時長為三，中位數為V,

x=0.05x1+0.1x3+0.25x5+0.3x7+0.15x9+0.1x11+0.05x13=6.8,

被抽查人員利用“學習強國”的時長中位數滿足°3+°/+°25+°」5X（…）=05,

20

y——

解得3,

20

即抽查人員利用“學習強國”的平均時長為6.8,中位數為5.

⑵解：區10）組的人數為2000x0.15=300人，設抽取的人數為a,

口°'12）組的人數為2000x0.1=200人，設抽取的人數為6,

a_b_50

則荻一麗一麗，解得a=30,6=20,

所以在區1°）和I）°，12）兩組中分別抽取3（）人和20人，

再利用分層抽樣從抽取的50入中抽取5人，兩組分別抽取3人和2人，將[81°）組中

被抽取的工作人員標記為。，b,c,將I1°12）中的標記為人，B,

則抽取的情況如下：死可，S,以，用，W團,效，以，步，身,俗,

團，匕4},⑹為，陰共io種情況，其中在“°12）中至少抽取1人有7種,

故所求概率尸一歷.

21.為迎接冬奧會，石家莊準備進行城市綠化升級，在矩形街心廣場”88中，如圖,

其中Z8=400m,8c=300m,現將在其內部挖掘一個三角形空地。夕。進行盆景造型

八APDQ=-

設計，其中點尸在8c邊上，點。在邊上，要求3.

（1）若"0=6=100m,判斷△￡）尸。是否符合要求，并說明理由；

⑵設N8P=e,寫出AOP。面積的S關于。的表達式，并求S的最小值.

（1）不符合要求，理由見解析.

⑵12。。。。"（2-8）

（平方米）

【分析】（1）由"°=CP=1百米，得到80=3百米，8P=2百米，求得尸。。。，。尸,

在AP。。中，由余弦定理求得cos的值，即可求解.

IT

Z.ADQ——0cdc

（2）因為/8尸=夕，得到6,進而得出△。尸。的面積，結合三角函數的

性質，即可求解.

【詳解】（1）解：由題意，某城市有一矩形街心廣場/BCO,其中48=4百米，

8c=3百米，

現將在其內部挖掘一個三角形水池DPQ進行盆景造型設計，

Z-PDQ—^-

其中點P在8c邊上，點。在邊上，要求3且N°=CP=1百米，

可得8。=3百米，8尸=2百米，

所以尸。=如,。。=JT6,力尸=J17,

而產+（布）~而>71R

cosZ.PDQ=——，一q-=—==<—=cos—

在△。尸。中，可得2xV17xV10V17023,

所以AP。。不符合要求.

冗TT

ZPDQ=-AADQ=--0

⑵解：因為NC〃P=e且3,可得6

所以

所以△OPQ的面積為：

c1CDM.乃G4003003000073

S=-DP。。?sm—=——x----x----7-----T=--------7-----\

234COS。\n\/)1^/)1

cos---8cos夕cos---8

(6)[6)f

cos0cos(--0)=cos^(—cos^+—sin0)=—cos26+』sin夕cosQ

又因為62222

V31+COS2。1.IV3\.ca兀、,61

224