線性代數

模擬試題（一）

一、填空題.

1.排列217986354的逆序數為.

2.6階行列式中。21al2a56443。35a64的符號為.

’1021、

4—1x0

3.設4=，問元素x的代數余子式是________.

22-10

J5-2"

4.設A為一個三階方陣，若|A|=3,則.

5.三維線性空間一組基

a,=（l,l,0）,a2=（1,0,l）,a,=（0,1,1）,

則夕=（2,0,0）在上述基底下的坐標是.

二、選擇題.

-111

1.已知|川=1-1x,則同中x的一次項系數是（）.

11-1

A.lB.-lC.2D.-2

2.要斷言矩陣A的秩為r,只需要條件（）滿足即可.

A.A中有r階子式不為0

B.A中任何r+1階子式為0

C.A中不為0的子式的階數小于等于r

D.A中不為0的子式的最高階數等于r

3.二次型/（不與卜入：+6百X2+3/2的矩陣表示為（）.

A.(xpx2)

、4

D.(/X],%2、n)7—3n"N

J

八八2,

4.一個〃維向量組…,a,（s>l）線性相關的充要條件是（）

A.含有零向量

B.有兩個向量的對應分量成比例

C.有一個向量是其余向量的線性組合

D.每一個向量是其余向量的線性組合

0

5.設a=y，若a,p為單位正交向量，則()

A.x任意，yB.x任意，y=—

22

C.x=l,y=+—D.x=l,y=——

22

三、判斷向量組

的線性相關性，若相關，把不屬于最大無關組的向量用最大無關組線性表示出來.

四、解下列方程組.

<3一20、/、

「120、

(1)設X5—30=，求X.

[—131

(008)、)

2百-x2+x3+x4=1

(2)問；l為何值時，方程組＜%+2&-占+4%=2有解，并求通解.

玉+7X2-4七+1lx4=/I

五、求一正交變換，將二次型/(xpx2,x3)=2x；+2考+2x；+2中2化為標準型.

六、若是實對稱矩陣A的兩個特征值，囚,4是其對應的特征向量，證明

必與見正交.

模擬試題（一）答案

4.2；

一、1.18；2.正號；3.-10；5.(1,1,-1).

64

—.>1.C；2.D；3.B；4.C；5.D.

(11、

'1-2-10、1-2-1。］°3°

-2426032°-01-0

三、解（以，。2，。3，。4）

2-10200013

ojoooi

、3333,000

,0000,

因此，=所以向量組線性相關，最大無關組為四,a2,%,

>a3=|a,+|a2+0a4.

3-20Y1

120

四、解（1）5-3o

-131

008、,

-320

"120、

-530

、一13

1

00

8>

'-1380、

1-1200

2-111\12-142、

(2)A12420-53-7-3

171120000

7A-57

當幾=5時，方程組有解，此時

164

1O--

5一55

373

--

A-o1-

555

0

OOOO

7

164

x

\=_產_￡工4+工，

同解方程組「/「通解為

373

X

210\

五、解4120,由

0037

2—Z10、

\A-AE\=12-20（丸-1）（丸_3）,

、003-27

得特征值為4=1,4=4=3.

（1、

一正

1

當4=1時，由（A-E）x=o得特征向量為41,單位化

正

0

T,0、

當%=4=3時，（A-3E）X=0得特征向量入1，居0,單位化

正0

1

正'e2

0

V7

因此，得正交矩陣

\

TIo

ff

o

攻

=夜

。

。1

7

用正交變換X=py,把/(Xj,x2,x3)=2x^+2xl+2xj+2X,X2化為標準型

了(必，%，%)=*+3￡+3*.

六、證明由已知得=4四,4%=4。2，因此

=(a；4)q=卜：4).%=?'(4%)=a：(4%)=/12aa2,

即有(4一為a：T=°，因為4KA2,所以a：q=。，故囚與久正交.

模擬試題(二)

一、填空題.

1.設A,5均為3階方陣，若同=；,忸|=2,則|2(4”卜.

2.設a=(2,3,5),%=(3,7,8),a3=(1,-6,1),若夕=2a,-a2-3%，則B=

3.線性方程組AX=5有解的充分必要條件是.

-x+y=0

4.設齊次線性方程組<x+@=0有非零解，則％=.

4x+y+z=0

5.將向量a=(5,0,2,4)單位化得.

二、選擇題.

1.對任意的”階方陣A,6總有().

\.AB=BAB.|AB|=|BA|

C.(W=(5A)「D.(AB)2=A2B2

2.設向量組為名,a2,…,a,“線性相關，且該向量組的秩為，則必有().

\.r=mB.m<rC.m=r+1D.r<m

k—12

3.行列式WO的充分必要條件是（）.

2k-\

人.攵。1且攵。3B.ZH-1且攵。3

C.左。1且左。—3D"，一1且人b—3

4.齊次線性方程組占+馬+…+/=0的基礎解系所含解向量的個數為（）.

,?nn+1、〃（〃+1）

A.n-1B.-C.---D.—----

222

5.〃階矩陣A與某對角陣相似的充分必要條件是（）.

A.R(A)=nB.A是實對稱矩陣

C.4有〃個不同特征值D.A有〃個線性無關的特征向量

31-12

-513”行列式的值.

三、計算C

201-1

1-53-3

-1-P」23、

四、設4=2-1-3,B=221，求（1）4，（2）BrA.

「34Q43,

五、已知向量組a

（1）求a”里,ar,，%，的一個最大無關組;

（2）將其余向量用最大無關組線性表示.

六、線性方程組

3%+&一￡-2X4=2,

X]-5X+2七+Z=T

V2

2%+6々-3%3-3%=。+1,

-%—11%2+5忍+4%4=-4

當。為何值時有解，在有解的情況下，求其全部解.

七、用正交變換將二次形/（%,々，%）=，：+々2+2工32+2須*2化成標準形，并求出所

使用的正交變換＞=尸丫

模擬試題（二）答案

5」(5,0,2,4).

、1.3；2.(—2,17,—1)；3.7?(71,h)；4.—1

3V5

—?、1.B；2.D；3.B；4.A；5.D.

1

51I

-1113-82

三、解原式=。0120==40.

0-5

-50

-5-53

401

'-495、

BTA=-6128

222

「486,

<2~22,

五、最大無關向量組為名,。2，。4，=2/-%.

六、解因為

_3__9_9、

10

-16"1616

__7_5

A—>01

161616

0000a-2

(°0000，

當。=2時，方程組有解，此時方程可化為

939

H------X

1644

575

X)=------1------H-----------X.

~1616164

(9}

16

5

方程組的一個特解為〃'=

16

0

T

取,得齊次線性方程組的基礎解系

°

方程組的全部解為X=嚙+c&+〃*.

」10、

七、解二次形的矩陣4=110,特征值為4=0,4=4=2,對應的特征向量

、002,

為7=(T1,0)T,〃2=(1,1,0)T,〃3=(°，°，1)T，且兩兩正交，將其單位化得

1(―1,1,0)(4=美(1」,0)「4=(0,0,1),.

白=正

模擬試題(三)

一、填空題.

1021

4-1x0

1.行列式中元素x的代數余子式是.

22-10

15-21

2.若〃階行列式零元素的個數超過〃(〃-1)個，則行列式為.

3.設A為一個”階方陣，若|A|=3,則.

4.與q=(1,2,-1),%=(4,0,2)都正交的向量P=.

5.線性方程組X]+W+工3+》4+工5=0的基礎解系含有個解向量.

6.若x是矩陣A的特征向量，那么是矩陣pT/iP的特征向量.

7.f(xi,x2,x3,x4)=x^-2%2+后一+2x2xy所對應的實對稱陣.

二、選擇題.

“0、

1.設A,5均為〃階可逆矩陣，則—2=()

(0"

A.(-2)n|A||B-l|B.-2|AT||B|C.-2|A||B-'|D.(-2)2"|A||B|-1

2.設4,8均為〃方陣，則()

A.（A5）*=屋加B.||B|A|=|B||A|

C.B--A2=（B-A）（B+A）D.若A,5為可逆陣，左h0,則（必5）"

k

3.若向量組A,5的秩分別為乃，A組可由8組線性表示，則｛與4的關系為（）

\.rx>r2B./]4為C.（=弓D.不能確定

4.設A為一個4x5矩陣，且A的行向量組線性無關，則（）

A.A的列向量組線性無關

B.方程組AX=b的增廣矩陣B的行向量組線性無關

C.方程組4X=）的增廣矩陣5的任意4個列向量構成的向量組線性無關

D.方程組AX=Z?有唯一解

5.若矩陣A與3相似，貝ij（）

k.\A-AE\=\B-AE\BA-AE=B-AE

C.A,5與同一對角陣相似D.A,5有相同的伴隨矩陣

6.”階方陣A可逆的充要條件是（）

A.A的所有列向量都不是零向量B.A的所有行向量都不是零向量；

C.方程組4鼠=〃有解D.只有X=0時，方程組AX=0成立

7二次型/（和々,/）=（4-1）嚀+〃；+。+1）4是正定的，則>1滿足（）

A.4>—1B./I>0C.A>1D.2>1

三、計算題.

xaa???a

axa???a

1.計算〃階行列式。=aax???a的值.

aaa???x

2.設a\=(2,3,5)㈤=(3,7,8),a；=(1,-6,1),夕=(7,-2,2).

(1)求2使用可由4,4,火線性表示；

（2）月不能由a2,%線性表示時，求向量組四,％。3，夕的一個最大無關組?

r423、

3.設A=110，且AX=A+2X,求矩陣X.

、T23,

%-5X2+2X3-3X4=11,

4.求非齊次線性方程組上玉+3/+6曰—/=-1，的通解.

2x,+4X2+2X3+x4=-6

四.綜合題

1.用正交變換將二次型/（X],%2，%3）=2x；++5x；+4玉%2-4%占一8x2x3化標準

化.

2.設4為”階非零矩陣，A*是A的伴隨矩陣，是A的轉置，當A*=A'r時，證明

|A|^0.

模擬試題(三)答案

’1000、

,,0-210

一、1.-10；2.0；3.3"|；4"(2,—3,-4)；5.4；6.PX；7.

0110

.000—5,

二、1.D；2.D；3.B；4.B；5.A；6.D；7.C.

\.D=[x+(n-l)a](x-ay-'.

2.解(1)設有數匕,42，%3,使我1.+%2a2+%3a3=2，即

2%+3k[+k3=7,

,3k\+7k]—6k3——2,

5%+8k2+k3=2,

：2317、"2317、

37-62T01-3-5

、581%9002-15J

故2=15時，月可由a”里,火線性表示.

(2)當;1。15時，囚,。2，/或。|,%，萬或4，。3，#均為向量組的最大無關組

223

3.解由已知(A—2E)X=A,|A—2E|=1-10=—1H0,A-2E可逆，則

-121

‘1-4-3、

(A-2E)T=1-5-3

、T64,

'3—8-6、

X=(A-2E)TA=2-9-6

<-2129,

9

10'11

'1-52-31P7

4.解Z=536-1-101-2令

72

340000

7

則通解為

X

四、1.解二次型的矩陣為A

"2-22-2、

|A-花|=25-2-4=_(2_1尸(/1_]0),

1—2-45—

故得特征值為4=4=1,4=1。.當4=4=1時，由

2、’0、

240

「2-4

.此二個向量正交，單位化后,得兩個單位正交的特征向量

—2、(-2](2/5}

1*=1

?2/5]

單位化得鳥=1-4/5

當4=10時，由

/

王、(T、

解得X2=k—2單位化-2

、七

因此得正交陣

2述,

1

飛

15

述321

(幾2，6)=3

1531

田2

3一

03

222

二次型的標準型為f(y,,y2,y3)=y,+y2+10y3.

2.證明反證法.

若同=0,則44*=441=同￡=0,因此，設A的行向量為q(i=1,2,…,〃)，則

名娼=()(，=1,2,…,〃)，從而4=0(，=1,2,…，明于是A=0,與已知矛盾,故|4核0.

模擬試題(四)

一、填空題.

1.排列3172645的逆序數為.

111-1

1-105,

2.設。=，則〃||+”,|+〃3]+“4|為_________.

-1113

2-1-1-3

3.設A為一個3階方陣，若閨=3,則M|ATb.

4.線性方程組（134的解空間的維數為_________.

x2+2X3—x4=0

’135、

5.設三階方陣A。。，5=24t,且=則/=.

、353,

6.線性方程組AX=b有解的充分必要條件是.

7.設可逆方陣A的一個特征值為3,則A-'的一個特征值為.

8.f(xt,x2,x3,x4)=x^-2x1+3x1-+2x2x3所對應的實對稱陣.

二、選擇題.

311

1.已知|川=20x則閨中x的系數是（).

11-1

A.1B.—3C.2D.-2

2.對任意的〃階方陣A,5下列正確的是().

A.AB^BAB.(AB)?=4的

C.（AB）T=（fiA）TD.|AB|=|BA|

3.設矩陣A”“的秩R（A）=m<〃，E,“為m階單位陣，則下列正確的是（）.

A.A的任意加個列向量組線性無關B.A的任意一個加階子式不等于零

C.A通過初等行變換必可化為（E,“,O）的形式；D.方程組AX=）一定有無窮多組解

4.若向量組外民了線性無關，a,民6線性相關，則（）.

A.a必可由￡,九5線性表示B.Q必可由線性表示

C.b必可由線性表示D.b必不可由a,尸，7線性表示

5.〃階方陣A可逆的充要條件是（）.

A.A的所有列向量都不是零向量B.A的所有行向量都不是零向量

C.只有X=0時，方程組AX=O成立D.方程組AX=b有解

6.二次型/（孫工2，X3）=（1-㈤X；+2考+（九+1）君是正定的，則4滿足（）.

A.A>—1B.O</i<1C.2>1D.2>1

三、計算題.

baa

ba

1.計算〃階行列式。ab的值.

aa?h

’300、

2.求解矩陣方程4X=A+2X,其中A=0—10

、00—2,

3.設向量組名

（1）求向量組的一個最大無關組；

（2）將其余向量用最大無關組線性表示.

2%1—%+七+九4-3

4.求2為何值時，方程組《玉—*2+*3+2*4=—2有解，并求通解.

3玉-2x,+2X3+3X4=A.

5.求正交變換，將二次型/（須,々,與）=2%：+34+3后+4々毛化為標準型.

四、證明題

設A為正交陣且=證明E+A不可逆.

模擬試題（四）答案

'1000、

I0-210

一、1.8；2.0；3.9；4.2；5.4；6.A(A)=R(Ab)；7.-；8.

30130

、000—4,

1.D；2.D：3.C；4.C；5.C；6.B.

1解

aaa

〃+baa

D=h+(n-l)aaba

〃+(〃一l)aaa???b

\aa?--a1aa---a

\ha?--a0b-a0…0

=[b+(n-\)a]\ab?-?a=[h+(n-l)a]00b-a???0

\aa??-b000b-a

=[b+(n-1)a](b-a)n-'.

2.解由已知(A—2E)X=A,|A-2￡|=12HO,則A—2E可逆，所以

100'300、

(4-2E)T=0--0X=(A-2EY'A=0-0

33

1002)

00

12nI0

3.解A=314011貝ijR(A)=2<3故此向量組線性相關.

,10u00

其中為向量組的一個最大無關組且%=%+?,.

(1-111—3、(\12-2

4解A1-112-201-31

3-2232)00002+5

當；1=一5時,方程組有解.此時

00

01-31

0000

即I從而通解為

[x2=x3+3X4+1,

’1、’-1、

131

X=c+C)+

]100

O

其中q,C2取任意實數.

‘200、

5.解4=032,則

、023,

2-A00

4-淚=03-22=(1-2)(2-2)(5-A),

023-A

即得特征值為4=1,4=2,4=5.屬于特征值4=1,4=2,4=5的特征向量分別為

這三個特征向量互相正交，再單位化得

o

0

V2

小-

二

也，小=02

~T5/

2一

L

故所用的正交變換矩陣為

/、

O

01

a

p=也

一

一

o2?

2

也

_V2

02/

四、證明由A為正交陣得=E,貝

|E+A|=|AAT+Ak|A||AT+^k-|E+A|

即忸+A|=0,故￡+A不可逆.

模擬試題（五）

一、填空題

1.四階行列式中含有因子4得2462的項為.

111

2.行列式ahc的值為_________

a2b2c7

(\000]

0100

3.設矩陣A=,則1=

0021

to

022,

4.設四元齊次線性方程組的系數矩陣的秩為1,則其解空間的維數為.

a=a

5.設矩陣A=（?,%，。3，。4），其中%，%，線性無關，\2+2a4,向量

4

p=Z/，則方程AX=B的通解為.

/=1

6.已知三階矩陣A的特征值為1,2,3,則①一24—司=.

二、選擇題

1.若兩個三階行列式D,與D,有兩列元素對應相同，且。=3,2=-2,則D,+D2的

值為（）.

A.lB.-6C.5D.0

2.對任意的〃階方陣A,3總有（）.

\.AB=BAB.\AB\=\BA\

C.（ABy'=B'A'1D.（Afi）2=A2B2

3.若矩陣X滿足方程AX3=C,則矩陣X為（).

A.A'B'CB.A'CB'C.CA'B'D.條件不足，無法求解

4.設矩陣4為四階方陣，且R(A)=3,則R(A*)=().

A.4B.3C.2D.1

5.下列說法與非齊次線性方程組AX=〃有解不等價的命題是().

A.向量￡可由A的列向量組線性表示

B.矩陣A的列向量組與(A,J3)的列向量組等價

C.矩陣A的行向量組與(A,0)的行向量組等價

D.(A夕)的列向量組可由A的列向量組線性表示

6.設〃階矩陣A和8相似，則下列說法錯誤的是().

A.|A|=|fi|B.R(A)=R(5)

C.4與5等價D.A與5具有相同的特征向量

22

7.設/(%)=X：+x2+x3+2ax[x2-2xyxi+4々七為正定二次型，則a滿足().

A.a>c—1B.l<a<2C.—1<<1D.-2<a<-1

三、計算題

1+q1…1

|1+Q,?.|

1.已知a=..2.，其中。化…產°，求A”+怎+…+A,,“.

11…1+a“

r022、

2.設矩陣4=110，且？LV=A+2X,求X.

「123,

’1122

0215

3.求矩陣A==的列向量組的一個最大無關

203-13

J104

組，并把其余列向量用最大無關組線性表示.

玉+%-3X3-x4=1,

4.求非齊次線性方程組卜玉—/一3七+45=4,的通解.

3+5X2-9X3-8X4=0

5.求一個正交變換X=Py,將二次型/（%,工2，%3）=2%%2-2%%3-2%2工3化成標準

形.

四、證明題

已知"階方陣4和5滿足2475=3—4E,證明2不是4的特征值。

模擬試題（五）答案

’1000

0100

—■、1.4］。24”32a432.(Jb-tz)(c—a)(c—b)；3.14.3；

001—

2

、00T1

5.k(\,-1,1,-2)T+(1,1,1,1)T(Z:eR)；6.-120.

—1.A；2.B；3.D；4.D；5.C；6.D；7.C.

1+61…1

11+。2,,,1

三、i.解4,,+4"+…+4=

::

111

qo...1

〃一1

()出.一1=立《

=

*??/=1

00...1

2.解由4X=A+2X得(A—2E)X=A,又由于

-222

|A-2E|=1-10=2w0,

-121

即A-2E可逆，故X=(A-2E)Ta.而

22、

2

(A-2E)T02

2

20,

從而

"-122Y022W022、

X=(A-2Ey'A=^-102110=-112

2。八T23乂1

,12L

11221X'1000、

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