復變函數與積變換試本試題分兩部分，第一部分為選擇題頁，第二部分為非選擇題4頁，共；選擇題40分非選擇題60分，滿分分考試時間150分。第一部分選題一單選題(本大題20小題，小2，分每題出四選中只一選是合目求，將確項的母在后括號。．復

168-i25

的輻角為（）A

1

B．-arctan

1

C．π-arctan

1

．π+

122．方程Rez所表示的平面曲線為（）A圓B．直線

C．圓

D．曲．復數,-isin)的角表示式為（）5A

4＋B．isin

C．3(cos

44＋isinD-isin55

．設，（）AImz=0．Rez=

．Dπ．復數

e

3

對應的點在（）A第一象限B．第二象限．設w=Ln(1-I),等（）

C．三象限

D．第四象限A

B2k,kC．

把Z面上的扇形區域argz

3

kD．2k,0映成W面上的區

）A＜

2,0B．0＜argz33C．

0＜

,0wD．＜3

,0若數f(z)在正向簡單閉曲線所圍的區域D內析在上續且z=a為內一點，n正整數，則積分

(z)(z)n

等于（）A

(n

f

(

(a

B

2n!

f(a)

．2

()

a

D．

2n!

f

(n)

()．設為向圓周｜z+1|=2,n為整數，則積分

()

等于（）A1B2iC．0D．

BC．D．10設C為向|z|=1，則積分BC．D．

|z

等于（）A0B．2πi．2

D．2．設函數f(z)=

z

，則f（z）等于（）A

B

C．

D．

12設積分路線C是為z=-1到z=1的半單位圓周，則

c

等于（）A

B

C．

-2-

．

-13冪級數

n

zn!

的收斂區域為（）A

0

B

z

C．

0

D．

z14

z

3

是函數f(z)=

sin(z-3

)

的（）A一階極點15是數A3階點

B可去奇點的（）B．階點

．一階零點C．階點

D本性奇點D．極點16冪極數

n(2n)!n

n

的收斂半徑為（）A0BC2D．

f(z)17設（z）在點處析，A）B．－）

Q(z)-1)

則Res[f(z),0]于（）C．′（）

D．－Q（018下列積分中，積分值不為零的是（）A其為向圓周z2B

其C正圓周｜|C．

sinz

其為向周zD．

cosz-1

其C為正向周219映射

wz

2

下列區域中每一點的伸縮率都大于的（）A

|

11z2220下列映射中，把角形域

0

4

保角映射成單位圓內|w|<1的（）A

4z1z4－iz4BwwDw41z4＋iz4i

第二部分非擇題（共分）二填題本題10空，空2分，共分不寫解答過程，將正確的答案寫在每小題的空格內。錯填或不填均無分。21．數

z4

48

i的|z|＝_____________________。22設

zi)

100

，則Imz＝。23設

e

2

，則argz＝。24f）的可導處。25方程Inz=

3

i

的解為_________________________。26設C為向|z|=1，則

1(

=___________________________。27設C為向|z－i|=

12

e則分dz。c-i)28C為正向圓周ζ|=2f(z)

sinz

中z|<2f′(1)=___________________29冪極數

n

n

n

的收斂半徑為_。130函數f(z)=[1

11(z

]在點z=0處留數為。三計題本題4小題每題5分共20分）31求

ux

的共軛調和函數v(x,y)，并使v(0,0)＝。32計算積分

I

z|

dz

的值，其中C為向圓周z|=2。

1113233試求函數f(z)=11132

z

在點z=0處的泰勒級數，并指出其收斂區域。34計算積分

I

c

e(z-i)(z

dz

的值，其中C為向圓|。四綜題下3個題，35題做、題只做題需《分變》做題其考生36題，兩都者題給。題分共20分）35利用留數求積分

I＝

x

10x2

的值。36設平上的區域為

z

2,|i

，試求下列保角映射（1

wf(z)1

把映成平上的角形域D：＜argw

；（2

w(w)1

把映射成平上的第一象限D22

;（3w=f(w)把D映成W平的上半平面（4w=f(z)把D映射成。

37積分變換（1設

,a是個實數，證明

y''-2y;（2利用拉氏變換解常微分方程初值問題：0,y'(0)

|z||c20復函與分換題考案評標一、單項選擇題(本大題共20小題，小題分共分)|z||c20B2D3A5A6BAD9C10A．12C13．．B．16D．18D．A20．二、填空題（本大題共空每空分共20分）．023．24z=0．

(13),

或

e

i

3264πi27．－2π(28

33

i,

或2cos

．．6三、計算題（本大題共4小，每小題分，共分31解：

2x2y-2y

，由C－條，有

，v

(2x

。（分）再由

-2x

，得

'(x)

，于是

2C

，y

2-

。（4分由

得

C1

。故

v2xyy2-

（分解2：

v(xy)

(x,y)

(2y-2x)dx

（2分(0,0)-x2xy2以下同解1

分)32解：

dzz|2

isin

分)(1

。（）解：

2-ii

2iei

分2i(2

。（分

z12111-i122z12111-i12233解：因為

f

-z

2)n(-1)n(|zn

分）所以由冪級數在收斂圓內逐項求積性質，得f

0

f'(

nn!2nn

(|

分34解：因在C內f(z)

e(z-i)

2

有二階級點z=I，所以

f(z)dz

lim(z-i)i

2

（2分limzi

3i)

-

2e

16

(-1

。（5分四、綜合題（下列題中題做36中只選做一題，需考《積分變換》者做題其他考生做題兩題都做者按題給分。每10，共分35解：在上半平面內，

(z

eiz

9)

有一階極點z=i和。（2分

12

-

cosx(x22

-

eix21)(x29)

dx

（4分）

12

Re（6分Res

116ei

，

1i

，（9分I

-1)

。（分）36解）

|z2－i|2

解得交點z=-1（2分設

-1

3，則它把D映成平面上的D：argw

（4分（2設

2w

1

，則它把D映射成W平面上的第一象限D2

。（分（3設

w

22

，則它把D映射成W平的上半平面Imw>0。（）（4

w(e

-i

4

z－)

。（分

12-p-1t12-p-1t

(Z)i-i

(W)(W)

(W)w2

2

37解）

-a)g(t-

)d

a)*g(t)

（2分

a)

（3分

)G(

。（分）（2設(p)=[(y(t))，方程兩邊取拉氏變換，有

1p

，（7分）從中解得

-p1(p-1)2p(p-1)

。（8分）再求拉氏逆變換，得

1

1

（9分=1-e或利用卷積定理得到

分

*

＝－1*e

（9分=1

-t

分

年~年二學期課程名稱：復變函數與積分變換考生學號：試卷類型：A卷√B卷

專業年級：考生姓名：考試方式開□閉√……………………一單選題每題3分，分．

(1i)(2ii(3i)(2i)

，

（）．2B．

．4．5．函

f(z)

在域內可是數

f(z)

在域內解的)．充不要件B必不分條．充必條．非分非要件．設為正向周|z，則zC．0B．1C．

（）

．

2i．0是數z)

e

1

的）．本奇B．階點C二極D．去點．下變中正的（）．

()]

B

2()

．

[()]2

．

i

1

()二填題每題3分共15分．

z

2

2

4

)

．

Lni)

．冪數

(2i)

n

n

的斂徑．n．設

[(t)]()

，

[f(t)e

it

]

．函

f(z)

6

在z=0處的留為．三計題本題4小題每題8分共32分）．計積

3i

z

2

．0．設C為正圓

z

，算分

C

1(z

dz

．．設C為正圓z，算分

ez

z5

．xsin1x2

．四解題本題8分設

uy)x

2

y

2

，求以

u(xy)

為部解函

f()(x,),

，

且足

f0.五(大16分)．1）函

f(z)

1z

在

處開泰級，指它收半；將

(z

12)(

3)

在

3|z|

內開洛級．六本題2小題每題7分共分．求數

F(s

1(s1)

的Laplace逆變換

tt．利Laplace變換求方

y)

sinsin(()d.

．

55一二

年－2013年第換A卷答案單選題本題小，小分共15分）填題本題5小題每題分共分）7.

ik

2

),k

;;5

F(

0

;

15!三計題本題小，小分共32分）11.解：原式

3

3i

(6

'

0266i3

（

8

）112.解

dz

(3

'

iz

i

（

8

）13.解式

i4!

()

(6

'

=

i12

（8'）14.

(z)

ze2

iz

1

,R(z)上半個一階極z=i,)s[(zi]lim(z1

i)(z

e2

1

'

)

2iRe[R(),i]/i

e

（

8

）四解題本題8分）.

u

x

2u

y

2y

(2

'

)f'()

iu

xyi)

'

f(z)2zdzz

c

（

7

）

f0,c0

f()

z

2

（

'

）五本題16分）16.解

f(z

1

11(