16/162021北京高三二模數(shù)學匯編：立體幾何一．選擇題（共7小題）1．（2021?海淀區(qū)二模）已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1（如圖1），點P在側(cè)面CDD1C1內(nèi)（包括邊界）．若三棱錐B1﹣ABP的俯視圖為等腰直角三角形（如圖2），則此三棱錐的左視圖不可能是（）A． B． C． D．2．（2021?西城區(qū)二模）某三棱柱的三視圖如圖所示，該三棱柱的體積為（）A． B． C．8 D．43．（2021?昌平區(qū)二模）某四棱錐的三視圖如圖所示，該四棱錐的體積是（）A．24 B．36 C．54 D．1084．（2021?朝陽區(qū)二模）某四棱錐的三視圖如圖所示，已知網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，則該四棱錐的5個面的面積中，最大的是（）A．2 B． C． D．35．（2021?東城區(qū)二模）某三棱柱的三視圖如圖所示，該三棱柱的表面積為（）A．8+3 B．18+2 C．22 D．10+66．（2021?順義區(qū)二模）某四面體的三視圖如圖所示，該四面體四個面的面積中最大的是（）A． B．1 C． D．27．（2021?房山區(qū)二模）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積是（）A．6 B．10+2 C．10+2 D．16+2二．填空題（共1小題）8．（2021?東城區(qū)二模）已知直線l不在平面α，β內(nèi)，給出下列三個論斷：①l⊥α；②l∥β；③α⊥β．以其中的兩個論斷作為條件，余下的一個論斷作為結(jié)論，寫出一個正確的命題：．三．解答題（共5小題）9．（2021?昌平區(qū)二模）如圖，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是平行四邊形，AD⊥DB，．（Ⅰ）求證：AD⊥BD1；（Ⅱ）求二面角A1﹣BC﹣A的大??；（Ⅲ）在線段BD1上是否存在點M，使得DM⊥平面A1BC？若存在，求的值；若不存在，說明理由．10．（2021?西城區(qū)二模）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝4，PA＝AD＝CD＝2，點E為PB的中點．（Ⅰ）求證：平面PBC⊥平面PAC；（Ⅱ）求二面角E﹣CD﹣A的余弦值．11．（2021?門頭溝區(qū)二模）如圖：PD⊥平面ABCD，四邊形ABCD為直角梯形，AB∥CD，∠ADC＝90°，PD＝CD＝2AD＝2AB＝2，EC＝2PE．（Ⅰ）求證：平面BDP⊥平面PBC；（Ⅱ）求二面角B﹣PC﹣D的余弦值；（Ⅲ）在棱PA上是否存在點Q，使得DQ∥平面PBC？若存在，求的值，若不存在，請說明理由．12．（2021?豐臺區(qū)二模）如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD和CDEF都是直角梯形，AB∥CD，CD∥EF，AB＝EF＝1，DA＝DC＝DE＝2，∠ADE＝∠ADC＝∠EDC＝，點M為棱CF上一點，平面AEM與棱BC交于點N．（Ⅰ）求證：ED⊥平面ABCD；（Ⅱ）求證：AE∥MN；（Ⅲ）若平面AEM與平面CDEF所成銳二面角的余弦值為，求的值．13．（2021?順義區(qū)二模）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為正方形．且PA⊥平面ABCD，M，N分別為PB，PD的中點．（Ⅰ）求證：MN∥平面ABCD；（Ⅱ）若PA＝AB＝2，求CN與平面PBD所成角的正弦值．

2021北京高三二模數(shù)學匯編：立體幾何參考答案一．選擇題（共7小題）1．【分析】利用俯視圖判斷P的位置，然后判斷左視圖的情況，推出結(jié)果．【解答】解：由題意可知P在側(cè)棱DD1上，如果P與D重合，左視圖為A；如果P與D1重合，左視圖為：B；如果P在DD1的中點時，左視圖為C；所以左視圖不可能為D；故選：D．【點評】本題考查簡單幾何體的三視圖的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．2．【分析】首先把三視圖轉(zhuǎn)換為幾何體的直觀圖，進一步求出幾何體的體積．【解答】解：根據(jù)幾何體的三視圖轉(zhuǎn)換為直觀圖為：該幾何體為底面為等腰直角三角形，高為2的直三棱柱；如圖所示：故，故選：D．【點評】本題考查的知識要點：三視圖和幾何體的直觀圖之間的轉(zhuǎn)換，幾何體的體積公式的應(yīng)用，主要考查學生的運算能力和數(shù)學思維能力，屬于基礎(chǔ)題．3．【分析】首先把三視圖轉(zhuǎn)換為幾何體的直觀圖，進一步利用體積公式的應(yīng)用求出結(jié)果．【解答】解：根據(jù)三視圖和直觀圖之間的轉(zhuǎn)換：該幾何體為底面邊長為6，高為3的正四棱錐；如圖所示：所以．故選：B．【點評】本題考查的知識要點：三視圖和幾何體的直觀圖之間的轉(zhuǎn)換，幾何體的體積公式，主要考查學生的運算能力和數(shù)學思維能力，屬于基礎(chǔ)題．4．【分析】首先把三視圖和幾何體的直觀圖之間進行轉(zhuǎn)換，進一步利用幾何體的表面積公式的應(yīng)用求出結(jié)果．【解答】解：根據(jù)幾何體的三視圖轉(zhuǎn)換為直觀圖為：該幾何體為四棱錐體；如圖所示：求出：BC＝1，CD＝2，AD＝2，AB＝，PC＝2，PD＝2，AP＝2，PB＝3，在△ABP中，利用余弦定理：，故，，，，故最大面積為3．故選：D．【點評】本題考查的知識要點：三視圖和幾何體的直觀圖之間的轉(zhuǎn)換，幾何體的表面積公式的應(yīng)用，主要考查學生的運算能力和數(shù)學思維能力，屬于基礎(chǔ)題．5．【分析】首先把三視圖轉(zhuǎn)換為幾何體的直觀圖，進一步求出幾何體的表面積．【解答】解：根據(jù)幾何體的三視圖轉(zhuǎn)換為直觀圖為：該幾何體為底面為等腰三角形，高為3的三棱柱；如圖所示：所以：＝10+6．故選：D．【點評】本題考查的知識要點：三視圖和幾何體的直觀圖之間的轉(zhuǎn)換，幾何體的表面積公式，主要考查學生的運算能力和數(shù)學思維能力，屬于基礎(chǔ)題．6．【分析】由三視圖還原原幾何體，分別求出各面面積得答案．【解答】解：由三視圖還原原幾何體如圖，底面三角形BCD為直角三角形，BC⊥CD，BC＝1，CD＝2，側(cè)面ABC⊥底面BCD，AB⊥BC，AB＝BC＝1，，，，，∴該四面體四個面的面積中最大的是．故選：C．【點評】本題考查由三視圖求面積、體積，關(guān)鍵是由三視圖還原原幾何體，是中檔題．7．【分析】先確定該幾何體為直四棱柱，計算出底面周長，然后在底面周長上乘以高，可得出該幾何體的側(cè)面積，并計算出底面積，再將側(cè)面積與兩個底面積相加可得出表面積．【解答】解：該幾何體是一個直四棱柱，底面為直角梯形，斜腰長為，底面周長為，該直四棱柱的側(cè)面積為，底面積為，因此，該幾何體的表面積為．故選：D．【點評】本題考查幾何體表面積的計算，解決本題的關(guān)鍵在于由三視圖還原為實物體，考查計算能力，屬于中等題．二．填空題（共1小題）8．【分析】由空間中直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系可知，在直線l不在平面α，β內(nèi)的前提下，由①②可得③；由①③可得②．【解答】解：若l⊥α，l∥β，則α⊥β；或若l⊥α，α⊥β，則l∥β．故答案為：若l⊥α，l∥β，則α⊥β（或若l⊥α，α⊥β，則l∥β）．【點評】本題考查空間中直線與直線、直線與平面位置關(guān)系的判定，考查空間想象能力與思維能力，是基礎(chǔ)題．三．解答題（共5小題）9．【分析】（I）證明DD1⊥AD，結(jié)合AD⊥BD，推出AD⊥平面BDD1．然后證明AD⊥BD1．（Ⅱ）DA，DB，DD1兩兩垂直．建立空間直角坐標系D﹣xyz，求出平面A1BC的法向量，面ABCD的一個法向量利用空間向量的數(shù)量積求解二面角A1﹣BC﹣A的大小即可．（Ⅲ）由（II）知平面A1BC的一個法向量利用向量共線，轉(zhuǎn)化求解因為DM⊥平面A1BC，的值即可．【解答】（I）證明：在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，DD1⊥底面ABCD，因為AD?底面ABCD，所以DD1⊥AD．因為AD⊥BD，BD∩DD1＝D，所以AD⊥平面BDD1．因為BD1?平面BDD1，所以AD⊥BD1．（Ⅱ）解：因為DD1⊥平面ABCD，且AD⊥DB，所以DA，DB，DD1兩兩垂直．如圖建立空間直角坐標系D﹣xyz，則D（0，0，0），A（1，0，0），，，A1（1，0，1），D1（0，0，1）．設(shè)平面A1BC的法向量為＝（x，y，z）.，，由可得令y＝1，解得，所以．因為DD1⊥平面ABCD，所以平面ABCD的一個法向量為＝（0，0，1）．所以．由題可知二面角A1﹣BC﹣A為銳角，所以二面角A1﹣BC﹣A的大小為30°．（Ⅲ）解：設(shè)．因為，由（II）知平面A1BC的一個法向量為，因為DM⊥平面A1BC，可得．所以．解得．所以，在線段BD1上存在點M使得DM⊥平面A1BC，的值是．【點評】本題考查直線與平面垂直的判斷定理的應(yīng)用，二面角的平面角的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力，是中檔題．10．【分析】（Ⅰ）取AB的中點F，連接CF，由已知證明四邊形AFCD是正方形，可得AB⊥CF，再由已知求解三角形得BC⊥AC，由PA⊥平面ABCD，得PA⊥BC，利用直線與平面垂直的判定可得BC⊥平面PAC，進一步得到平面PBC⊥平面PAC；（Ⅱ）由PA⊥平面ABCD，得PA⊥AD，PA⊥AB，以A為坐標原點，分別以AD、AB、AP所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標系，分別求出平面CDE的一個法向量與平面ACD的一個法向量，由兩法向量所成角的余弦值可得二面角E﹣CD﹣A的余弦值．【解答】（Ⅰ）證明：取AB的中點F，連接CF，∴AF＝CD，又∵AF∥CD，∴四邊形AFCD為平行四邊形，∵AB⊥AD，AD＝CD，∴四邊形AFCD是正方形，則AB⊥CF，CF＝AD＝2，得AC＝BC＝2，∴AC2+BC2＝AB2，得BC⊥AC，∵PA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，∴PA⊥BC，又AC∩PA＝A，∴BC⊥平面PAC，∵BC?平面PBC，∴平面PBC⊥平面PAC；（Ⅱ）解：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AD，PA⊥AB，則PA、AD、AB兩兩相互垂直，以A為坐標原點，分別以AD、AB、AP所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標系，則A（0，0，0），P（0，0，2），B（0，4，0），C（2，2，0），D（2，0，0），E（0，2，1），∴，，設(shè)平面CDE的一個法向量為，由，取x＝1，得；又平面ACD的一個法向量．∴cos＜＞＝＝，由圖可知，二面角E﹣CD﹣A為銳角，∴二面角E﹣CD﹣A的余弦值為．【點評】本題考查平面與平面垂直的判定，考查空間想象能力與思維能力，訓練了利用空間向量求解空間角，是中檔題．11．【分析】（Ⅰ）只須證明平面PBC內(nèi)直線BC垂直于平面PBD即可；（Ⅱ）用向量數(shù)量積計算二面角的余弦值；（Ⅲ）用反證法說明不存在．【解答】（Ⅰ）證明：取CD中點M，連接BM，因為四邊形ABCD為直角梯形，AB∥CD，∠ADC＝90°，CD＝2AD＝2AB＝2，所以四邊形ABMD為正方形，BC⊥BD，因為PD⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，所以PD⊥BC，又因為PD∩BD＝D，PD、BD?平面PBD，所以BC⊥平面PBD，又因為BC?平面PBC，所以平面PBC⊥平面PBD，于是平面PBD⊥平面ABC．（Ⅱ）解：因為PD⊥平面ABCD，所以PD⊥AD、PD⊥DC，又因為∠ADC＝90°，所以DA、DC、DP兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標系，＝（﹣1，1，0），＝（﹣1，﹣1，2），設(shè)平面PBC的法向量為＝（x，y，z），，令x＝1，＝（1，1，1），平面PCD的法向量為＝（1，0，0），所以二面角B﹣PC﹣D的余弦值為＝＝．（Ⅲ）解：不存在，理由如下：假設(shè)在棱PA上存在點Q，使得DQ∥平面PBC，令＝t（t∈[0，1]），則Q（t，0，2（1﹣t）），＝（t，0，2（1﹣t）），由（Ⅱ）知平面PBC的法向量為＝（1，1，1），因為DQ∥平面PBC，所以?＝2﹣t＝0，解得t＝2，與t∈[0，1]矛盾，所以在棱PA上不存在點Q，使得DQ∥平面PBC．【點評】本題考查了直線與平面的位置關(guān)系，考查了二面角的計算問題，屬于中檔題．12．【分析】（Ⅰ）證明ED⊥AD，ED⊥DC．然后推出ED⊥平面ABCD．（Ⅱ）證明四邊形ABFE是平行四邊形．得到AE∥BF．推出AE∥平面BCF．然后證明AE∥MN．（Ⅲ）建立空間直角坐標系D﹣xyz，求出平面AEM的法向量，平面CDEF的法向量，利用空間向量的數(shù)列；就求解二面角的平面角的余弦函數(shù)值，即可推出結(jié)果．【解答】（Ⅰ）證明：因為，所以ED⊥AD，ED⊥DC．因為AD∩DC＝D，AD，DC?平面ABCD，所以ED⊥平面ABCD．…（4分）（Ⅱ）證明：因為AB∥CD，CD∥EF，所以AB∥EF．因為AB＝EF，所以四邊形ABFE是平行四邊形．所以AE∥BF．因為AE?平面BCF，BF?平面BCF，所以AE∥平面BCF．因為AE?平面AEM，平面AEM∩平面BCF＝MN，所以AE∥MN．…（8分）（Ⅲ）解：因為ED⊥AD，ED⊥DC，AD⊥DC，所以如圖建立空間直角坐標系D﹣xyz，由AB＝EF＝1，DA＝DC＝DE＝2，可知D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，1，0），C（0，2，0），E（0，0，2），F(xiàn)（0，1，2），，，設(shè)，則＝（0，1，0）+λ（0，1，﹣2）＝（0，1+λ，﹣2λ），設(shè)＝（x，y，z）是平面AEM的法向量，則，即，所以＝（1+λ，2λ，1+λ）．因為＝（1，0，0）是平面CDEF的法向量，所以．因為0≤λ≤1，解得．所以平面AEM與平面CDEF所成銳二面角的余弦值為時，．…（14分）【