（52（525二、高考數學中涂色問題的常見解法及策略與涂色問題有關的試題新穎有趣,近年已經在高考題中出現，其中包含著豐富的數學思想。解決涂色問題方法技巧性強且靈活多變，因而這類問題有利于培養學生的創新思維能力、分析問題與觀察問題的能力，有利于開發學生的智力。本文擬總結涂色問題的常見類型及求解方法一.區域涂色問題1、根據分步計數原理，對各個區域分步涂色，這是處理染色問題的基本方法。例1、用5種不同的顏色給圖中標①、②、③、④的各部分涂色，每部分只涂一種顏色，相鄰部分涂不同顏色，則不同的涂色方法有多少種？現給地圖著色，要求相鄰區域不得使用同一顏色，現有4種顏色可供選擇，則不同的著方法共有多少種？分析：依題意至少要用3種顏色1）當先用三種顏色時，區域2與4必須同色，2）區域3與5必須同色，故有A4種；3）當用四種顏色時，若區域2與4同色，分析：先給①號區域涂③法，接著給③號涂再方法有涂色有,4由于④號④與①、②不相鄰，因此④號有4種涂法，根②據分步計數原理，不同的涂色方法有54342404）則區域3與5不同色，有A4種；若區域3與5同色，44貝嶇域2與4不同色，有人4種，故用四種顏色時共有442A+^a由加法原4=可知滿足題意的著色方法共有43443、根據某兩個不相鄰區域是否同色分類討論，從某兩個不相鄰區域同色與不同色入手，分別計算出兩種情形的種數，再用加法原理求出不同涂色方法總數。例4用紅、黃、藍、白、黑五種顏色涂在如圖所示的四個區域（1）（2）（3）（4）根據共用了多少種顏色討論，分別計算出各種情形的種2、數，再用加法原理求出不同的涂色方法種數。例2、四種不同的顏色涂在如圖所示的6個區域，且相鄰兩個區域不能同色。分析：依題意只能選用4種顏色，③與⑤同色、與⑤同色、④與⑥同色，與⑤同色、④與⑥同色，②與④同色、③與⑥同色，則有則有則有②與⑤同要分四類：⑤A4；44，a4；44，a4；44，④內，每個區域涂一種顏色，相鄰兩個區域涂不同的顏色，如果顏色可以反復使用，分為三類：1）2）3）共有多少種不同的涂色方法？分析：可把問題四格涂不同的顏色，方法種數為32②與④同色，則有所以根據加法原理得涂色方法有數為5a44A44；即只有一組對角小方格涂相同的顏色，涂法種數為2C51a42；5）兩組對角小方格分別涂相同的顏色，涂法種數為A5,52因此，所求的涂法種數為A522C51A42A522604、根據相間區使用顏色的種類分類152=12例3、如圖所示，一個地區分為5個行政區域例5如圖，6個扇形區域A、B、C、D、E、F，現給這6個區域著色，要求同一區域涂同一種顏色，相鄰的兩個決。如：如圖，把一個圓分成決。如：如圖，把一個圓分成n(n2)個扇形，每個扇形用紅、白、藍、黑四色之一染色，要求相鄰扇形不同色，有多少種染色方法？解：設分成n個扇形時染色方法為an種(2)當分成2n個扇形，人2如圖t弋種，2即A1A2a區域不得使用同一種顏色，現有4種不同的顏色可A1解當相間區域A、C、E著同一種顏色時，有4種著色方法，此時，BD、F各有3種著色方法，此時，BD、F各有3種著故有433.色方］」,3108種方法。當相間區域A、C、ifE著色兩不同的顏色時，有C32A42種著色方法，此時B、D、F有322種著色方法，故共有C3A4322432種著色方法。3242當相間區域A、C、E著三種不同的顏色時有宀種43著色方法，此時B、D、F各有2種著色方法。此時共有a43222192種方法。故總計有108+432+192=732種方法。說3明：關于扇形區域區域涂色問題還可以用數列中的遞推公來解不同色2A與⑤A3不同⑤色，L，An1與An不同色，共有43n1種染色方法，但由于An與A1鄰，所以應排除An與A1同色的情形；An與A1同色時，可把An、A1看成一個扇形，與前n2個扇形加在一起為n1個扇形，此時有an1種染色法，故有如下遞推關系：二.點的涂色問題方法有：(1)可根據共用了多少種顏色分類討論，(2)根據相對頂點是否同色分類討論，(3)將空間問題平面化，轉化成區域涂色問題。例6、將一個四棱錐SABCD的每個頂點染上一種顏色，并使同一條棱的兩端點異色，如果只有5種顏色可供使用，那么不同的染色方法的總數是多少？解法一：滿足題設條件的染色至少要用三種顏色。若恰用三種顏色，可先從五種顏色中任選一種染頂點S，再從余下的四種顏色中任選兩種涂A、B、C、D四點，此時只能A與C、B與D分別同色，故有C51A4260種方法。若恰用四種顏色染色，可以先從五種顏色中任選一種顏色染頂點S,再從余下的四種顏色中任選兩種染A與B,由于A、B顏色可以交換，故有A42種染法；再從余下的兩種顏色中任選一種染D或C,而D與C，而D與C中另一個只需染與其相對頂點同色即可，故有C15A42C12C12240種方法。若恰用五種顏色染色，有A5120種染色法綜上所知，滿55足題意的染色方法數為60+240+120=420種。解法二：設想染色按S—A—B—C—D的順序進行，對S、A、B染色，有54360種染色方法。由于c點的顏色可能與A同色或不同色，這影響到D點顏色的選取方法數，故分類討論：C與A同色時(此時C對顏色的選取方法唯一)，D應與A(C)、S不同色，有3種選擇；C與A不同色時，C有2種選擇的顏色，D也有2種顏色可供選擇，從而對C、D染色有13227種染色方法。由乘法原理，總的染色方法是607420AD解法三：可把這個問題轉化成相鄰區域不同色問題：如圖，S對這五個區域用5種顏色涂C色，有多少種不同的涂色方法B?C二.線段涂色問題對線段涂色問題，要注意對各條線段依次涂色，主要方法有：根據共用了多少顏色分類討論根據相對線段是否同色分類討論。例7、用紅、黃、藍、白四種顏色涂矩形ABCD的四條邊，每條邊只涂一種顏色，且使相鄰兩邊涂不同的顏色，如果顏色可以反復使用，共有多少種不同的涂色方法？解法一：(1)使用四顏色共有宀種；44使用三種顏色涂色，則必須將一組對邊染成同色故有C14C2A32種，鹿由二種顏色吋，則兩組對邊必須分別同色，有A42種因此，所求的染色方法數為A44C4C2A32A4284種解法二：涂色按AB—BC—CD—DA的順序進彳丁，對A氏BC涂色有4312種涂色方法。由于CD的顏色可能與AB同色或不同色，這影響到DA顏色的選取方法數，故分類討論：當CD與AB同色時，這時CD對顏色的選取方法唯一，則DA有3種顏色可供選擇CD與AB不同色時，CD有兩種可供選擇的顏色，DA也有兩種可供選擇的顏色，從而對CD、DA涂色有13227種涂色方法。由乘法原理，總的涂色方法數為12784種例8、用六種顏色給正四面體ABCD的每條棱染色，要求每條棱只染一種顏色且共頂點的棱涂不同的顏色，冋有多少種不同的涂色方法？解：(1)若恰用三種顏色涂色，則每組對棱必須涂同一顏色，而這三組間的顏色不同，故有代種方法。(2)若恰用四種顏色03涂色，則三組對棱中有二組對棱的組內對棱涂同色，但組與組之間不同色，故有。6鳥&種方法。若恰用五種顏色涂色，則三組對棱中有一組對棱涂同一種顏色，故有C3A&種方法。若恰用六種顏色涂色，則有Ar種不同的方法。綜上，滿足題意06的總的染色方法數為AfiC?AficAfiAfi4080種。D332D431D5D6三?面涂色冋題例9、從給定的六種不同顏色中選用若干種顏色，將一個正方體的6個面涂色，每兩個具有公共棱的面涂成不同的顏色，則不同的涂色方案共有多少種？分析：顯然，至少需要3三種顏色，由于有多種不同情況，仍應考慮利用加法原理分類、乘法原理分步進行討論解：根據共用多少種不同的顏色分類討論（1）用了六種顏色，確定某種顏色所涂面為下底面，則上底顏色可有5種選擇，在上、下底已涂好后，再確定其余4種顏色中的某一種所涂面為左側面，貝廩余3個面有3!種涂色方案，根據乘法原理m53!30（2）共用五種顏色，選定五種顏色有Q6種方法，必有兩面同□5色（必為相對面），確定為上.下底面，其顏色可有5種選擇，再確定一種顏色為左側面，此時的方法數取決于右側面的顏色，有3種選擇（前后面可通過翻轉交換）nC5390；（3）共用四ZD5種顏色，仿上分析可得n3CC490；（4）共用三種顏色5nC20例10、四棱錐pABCD,用4種不同的顏色涂在四棱錐的各個面上，要求相鄰不同色，有多少種涂法？解：這種面的涂色問題可轉化為區域涂色問題，如右圖，區域1、2、3、4相當于四個側面，區域5相當于底面「根據2共用顏色多少分類：少分類：遺漏。376A.367376A.367（1）最少要用3種顏色，即1與3同色、2與4同色，此時有A43種；（2）當用4種顏色時，1與3同色、2與4兩組中只能有一組同色，此時有C2A4；故滿足題意總的涂色方法總方法交總數為a42i4443C2A472用三種不同的顏色填涂如右圖33方格中的9個區域，要求每244行、每列的三個區域都不同色，則不同的填涂方法種數共有（D）A、48、B、24C、12D、6“立幾”中的計數問題求解策略在近幾年的高考試題和各地模擬試題中頻繁出現以“立幾”中的點、線、面的位置關系為背景的計數問題，這類問題題型新穎、解法靈活、多個知識點交織在一起，綜合性強，能力要求高，有一定的難度，它不僅考查相關的基礎知識，而且注重對數學思想方法和數學能力的考查。現結合具體例子談談這種問題的求解策略。直接求解例1:從平面上取6個點，從平面上取4個點，這10個點最多可以確定多少個三棱錐？解析:利用三棱錐的形成將問題分成平面上有1個點、2個點、3個點三類直接求解共有C6C4C6C4C6C4194個三棱錐例2:在四棱錐P-ABCD中，頂點為P,從其它的頂點和各棱的中點中取3個，使它們和點P在同一平面上，不同的取法有A.40B.48C.56D.62種解析：滿足題設的取法可以分成三類（1）在四棱錐的每一個側面上除P點外取三點有4C5340種不同取法；2）在兩個對角面上除點P外任取3點，共有2C48種不同取43法；（3）過點P的每一條棱上的3點和與這條棱異面的棱的中點也共面，共有4C128種不同取法，故共有40+8+8=56種評注：這類問題應根據立體圖形的幾何特點，選取恰當的分類標準，做到分類不重復、不結合“立幾”概念求解例3:空間10個點無三點共線，其中有6個點共面，此外沒有任何四個點共面，則這些點可以組成多少個四棱錐？解析：C64C1460結合“立幾”圖形求解如果把兩條異面直線看作“一對”，那么六棱錐的棱和底面所有的12條直線中，異面直線有：A.12B.24C.36D.48B用正五棱柱的10個頂點中的5個頂點作四棱錐的5個頂點，共可得多少個四棱錐？分類：以棱柱的底面為棱錐的底面2C54C15；以棱柱的側面為棱錐的底面C5C6以棱柱的對角面為棱錐的底面C5C615161516以圖中ADC1B1（梯形）為棱錐的底面2C51C61構造幾何模型求解在正方體的8個頂點的所有連線中，有多少對異面直線？與空間不共面的四點距離相等的平面有多少個？（05年湖北）以平面六面體ABCDA1B1C1D1的任意三個頂點為頂點作三角形，從中隨機取出兩個三角形，則這兩個三角形不共面的概率為385385385385小八在知識的網絡交匯點初設計命題是近幾年高考命題改革強調的重要觀念之一，在復習備考中，要把握好知識間的縱橫聯系和綜合，使所學知識真正融令貫通，運用自如，形成有序的網絡化知識體系。1?對于已知直線a,如果直線b同時滿足下列三個條件：①與直線a異面;②與直線a所成的角為定值：③與直線a的距離為定值d.那么這樣的直線b有A.1條B.2條C.3條D.無數條2.如果一條直線與一個平面垂直，那么稱此直線與平面構成一個“正交線面對”?在一個正方體中，由兩個頂點確定的直線與含有四個頂點的平面構成的“正交線面對”的個數是A