流體動力學單流體第一頁，共四十五頁，2022年，8月28日流體動力學研究的是在外力的作用下流體的運動規律以及流體與固體壁面之間的相互作用關系。兩種研究方法拉格朗日方法拉格朗日方法是從分析流體各個質點的運動著手，來研究整個流體的運動。歐拉方法歐拉方法是從分析空間某點上流體運動的物理量隨時間的變化，以及由一點到另一點時這些量的變化來研究整個流體的運動。第二頁，共四十五頁，2022年，8月28日(1)流場：對于任一空間區域，其中每一空間點都對應著一個確定的標量或矢量的值，這些標量或矢量的集合就組成了標量場或矢量場。(2)穩定場和非穩定場1)穩定場：當流體內一切物理量都不隨時間變化時，也即所有的物理量對時間的偏導數為零，這樣的流場為穩定場。2)非穩定場：對于非穩定流場，其中至少有一個物理量對時間的偏導數不等于零，那么這樣的流場稱為非穩定場。第三頁，共四十五頁，2022年，8月28日

流體的運動參數應當是空間坐標（x,y,z）和時間t的函數。速度表示為：

第四頁，共四十五頁，2022年，8月28日加速度為：式中：等式右邊第一項偏導數稱流體運動時變加速度；等式右邊其余三項之和稱流體運動位變加速度。第五頁，共四十五頁，2022年，8月28日同理對于流體的密度也有方程：那么可以用通式表示為：式中：左邊一項稱隨體導數，右邊第一項稱局部導數，其余稱遷移導數。第六頁，共四十五頁，2022年，8月28日

基本概念

跡線和流線（1）跡線1)定義：流體中某一質點經過一段時間所運動的軌跡線稱為跡線。2）跡線方程由則稱跡線方程，dt稱獨立變數。第七頁，共四十五頁，2022年，8月28日

(2)

流線

1)流線定義：在流場中某一瞬時存在的一條空間曲線，在曲線上每一個流體質點的速度方向均與該點的切線方向重合，則稱該曲線為流線。

2）流線的性質：①通過流場內的任何空間點，都有一條流線。在整個空間中就有一組曲線族，亦稱流線族。②流線不能相交。③在不穩定流動的情況下，流線與跡線不重合，在穩定的情況下，流線與跡線重合。第八頁，共四十五頁，2022年，8月28日

3）流線方程根據速度與各坐標軸的夾角：而切線與坐標軸的夾角為：由于這兩個夾角相等，所以：

因此稱流線微分方程，t是給定值第九頁，共四十五頁，2022年，8月28日

(3)流線與跡線的區別1）跡線是對某一質點而言的，它表示某一段時間內某一特定的流體質點在空間所經過的路線；而流線則是對接連分布的許多質點而言的，它表示某一特定時刻這些質點的運動方向。2）在穩定流動中，各點上流體的速度不隨時間而變化，因而在不同的時刻，流體質點是沿著不變的流線前進的，所以流線與跡線重合；在不穩定流動中，流線和跡線一般是不重合的。第十頁，共四十五頁，2022年，8月28日1.3.2.2流管、流束及流量（1）流管：在流場中取一封閉曲線，過曲線上的各點做流線，所圍成的空間區域稱為流管。（2）流束（微細流）：圍在微小流管內的流體稱為流束。

流管微小流束、總流第十一頁，共四十五頁，2022年，8月28日（3）流量：單位時間內通過截面流體的數量稱為流量。

數量用體積來表示——稱為體積流量

數量用質量來表示——稱為質量流量

數量用重量來表示——稱為重量流量對于微細流管有：通過整個管道的流量：平均流速：第十二頁，共四十五頁，2022年，8月28日連續性方程三維空間的連續性方程

連續性方程是質量守恒定律在流體運動中的數學表達式。在空間任意一點m作一正微元六面空間體，如圖。邊長分別為dx，dy，dz。通過m點的速度分量為ux，uy，uz，密度為ρ。微元六面空間體上質量守恒的文字描述為：

單位時間流入的質量減去單位時間流出的質量

等于單位時間質量的增量第十三頁，共四十五頁，2022年，8月28日

在x軸方向，單位時間內流入ABCD面的質量是ρuxdydz，而流出EFGH面的質量是：

從x軸方向凈流入的質量為：第十四頁，共四十五頁，2022年，8月28日同理，從y軸，z軸方向凈流入的質量為：和單位時間內凈流入微元六面空間體的總質量為：

另一方面，由于dt時間內流體質量的凈流入使得微元六面空間體內流體的密度由變為，所以其在單位時間內質量的增量為：第十五頁，共四十五頁，2022年，8月28日根據質量守恒定律有：對于穩定流動：則上式變為：得(1)(2)第十六頁，共四十五頁，2022年，8月28日1.3.3.2一元穩定流動的連續性方程

在流動的管道中取1-1，2-2截面，由管壁和兩截面組成了容積，截面上有微元面積；由質量守恒：若用平均流速v1，v2

分別表示1-1，2-2截面的平均流速，則有：對于不可壓縮流體，則有：或對于圓管有：

即第十七頁，共四十五頁，2022年，8月28日第十八頁，共四十五頁，2022年，8月28日1.3.4理想流體的運動微分方程(歐拉方程)理想流體運動微分方程推導原理：牛頓第二定律：

在微元六面體的中心有一點，該點流體的密度為，壓力為，微元六面體的邊長為對微元六面體進行受力分析。面上中心點的壓強為；面上中心點的壓強為；

第十九頁，共四十五頁，2022年，8月28日

在x軸方向上進行受力分析：（1）表面力：則x方向的凈表面力第二十頁，共四十五頁，2022年，8月28日(2)在x軸方向上的質量力為：式中X為單位質量力在x軸方向上的分量。(3)在x方向的合外力代數和應為質量與分加速度乘積：同理在y，z軸方向上也有：得或即和所以有：第二十一頁，共四十五頁，2022年，8月28日

這就是理想流體運動微分方程，即歐拉運動微分方程。因此，得到：第二十二頁，共四十五頁，2022年，8月28日歐拉運動微分方程寫成：第二十三頁，共四十五頁，2022年，8月28日1.3.4.2歐拉運動微分方程的求解歐拉運動微分方程建立了作用在理想流體上的力與流體運動加速度之間的關系，它是研究理想流體各種運動規律的基礎，對可壓縮及不可壓縮理想流體的穩定流動都是適用的。一般情況下，作用在流體上的單位質量力X、Y、Z是已知的，對理想不可壓縮流體密度為常數，三個微分方程中未知數有四個，即ux、uy、uz和p，因此需要加上連續性方程，方程是可解的。對于可壓縮流體，密度是變量，需要再加上氣體狀態方程式，方程組理論上也是可以求解的。

然而，要具體確定方程組的解，還要給出起始條件和邊界條件。第二十四頁，共四十五頁，2022年，8月28日1.3.5理想流體的柏努利方程式（導出條件1）（導出條件2）1.3.5.1理想流體穩定流動沿流線（微細流）的積分條件：穩定流動：理想流體：將歐拉運動微分方程寫成：第二十五頁，共四十五頁，2022年，8月28日

因為只考慮穩定流動，所以上式中的p，ux，uy，uz都只是坐標x，y，z的函數，而與時間無關。將上面的三式分別乘以，累次相加。首先分析x方向的動能：由流線方程：

有：第二十六頁，共四十五頁，2022年，8月28日同理：設存在這樣一個函數（力函數），滿足：那么：

……柏努利積分式則積分：和第二十七頁，共四十五頁，2022年，8月28日

不可壓縮：只有重力的作用：

由柏努利積分式：得或對于流線上任意兩個質點1和2來說，有：式中各項分別為單位質量的流體具有的位能，靜壓能及動能，()。（導出條件3）（導出條件4）第二十八頁，共四十五頁，2022年，8月28日1.3.5.2理想流體穩定流動總流的柏努利方程任何穩定流動的總流，都可以看成是無窮多微小流束的總和。在總流中某一微小流束的不同有效截面上的物理參數不一定相同。（1）均勻流與緩變流均勻流：如果有效斷面或平均流速沿程不變，且流線為平行直線這樣的穩定流稱為均勻流。非均勻流：如果有效斷面沿程變化，或者有效斷面不變，但各斷面上速度分布改變，這種流動稱為非均勻流。緩變流：凡有效斷面上流線間夾角很小，流線曲率半經無限大，即流線趨近于平行線的流動稱緩變流。急變流：不符合緩變流條件的流動為急變流。第二十九頁，共四十五頁，2022年，8月28日

對于管道流動，取如圖基準面，列出1－1和2－2截面的總流柏努利方程：式中：為截面的平均流速；為動能的修正系數。在層流時；在紊流時。通常工程上取（2）理想流體穩定流動總流的柏努利方程第三十頁，共四十五頁，2022年，8月28日

—單位重量流體具有的位能，m流體柱；

—單位重量流體具有的靜壓能，m流體柱；

—單位重量流體具有的動能，m流體柱。（1）（2）（3）對于式（3）：第三十一頁，共四十五頁，2022年，8月28日1.3.5.3柏努利方程式的解釋

柏努利方程式中各項分別表示微細流中某一截面上單位重量流體所具有的的靜壓能、位能、動能。

它們的和是一常數。柏努利方程是機械能守恒定律在流體力學中的具體體現。(1)物理意義第三十二頁，共四十五頁，2022年，8月28日

(2)幾何意義圖示能量分布圖：

為單位重量流體所具有的動能，又稱速度壓頭或動壓頭，是單位重量流體的動能所產生的流體柱的高度。其中：z為單位重量流體所具有的位能，又稱幾何壓頭或位壓頭；為單位重量流體所具有的靜壓能，又稱靜壓頭，是單位重量流體的壓力能產生的流體柱的高度；第三十三頁，共四十五頁，2022年，8月28日

(3)柏努利方程還說明機械能是可以相互轉化的。1-1截面→2-2截面z2<z1則第三十四頁，共四十五頁，2022年，8月28日柏努利方程的應用條件：1）單流體，z軸的方向向上為正；2）截面選擇在緩變截面上；3）流體為理想流體；4）流體為穩定流動；5）流體為不壓縮性流體；6）流體只受到重力作用。第三十五頁，共四十五頁，2022年，8月28日實際流體（粘性流體）的柏努利方程式

實際流體都具有粘性，使得流體流動時需要消耗一部分機械能，以克服由于粘性而產生的切向阻力。因而在各截面上單位重量流體的能量便不能保持一定，所以對于粘性流體的微細流：第三十六頁，共四十五頁，2022年，8月28日

式中的hw是為克服截面1－1與2－2之間的阻力，單位重量的流體所消耗的機械能，稱為壓頭損失。

對于不可壓縮的粘性流體的微細流，作穩定流動時其柏努利方程式應改寫成為：1.3.6.1微細流第三十七頁，共四十五頁，2022年，8月28日

對于粘性流體的總流，作穩定流動時的柏努利方程式為：1.3.6.2總流

對于圓形管道中的穩定緩變流：

層流時＝2；湍流時＝1.05～1.10；通常工程上取=1為截面的平均流速；為動能修正系數，通常由實驗確定。

式中：所以：第三十八頁，共四十五頁，2022年，8月28日

如果管道中裝設有對流體作功的機械，能夠使管道中的流體的機械能增加。如果單位重量的流體所獲得的外加有效機械能為HeJ/m或m，則柏努利方程式可寫為：第三十九頁，共四十五頁，2022年，8月28日柏努利方程的三種形式：——以單位重量流體為基準，單位為m流體柱或J/N。——以單位質量流體為基準，單位為m2/s2或J/kg。——以單位體積流體為基準，單位為Pa或J/m3。第四十頁，共四十五頁，2022年，8月28