課題§24.1.2垂徑定理備課人課型示范課教學目標知識技能目標.通過觀察實驗，使學生理解圓的軸對稱性..掌握垂徑定理及其推論.理解其證明，并會用它解決有關的證明與計算問題.過程與方法目標通過探索垂徑定理及其推論的過程，進一步體會和理解研究幾何圖形的各種方法.情感態度價值觀目標.結合本課特點，向學生進行勵志教育和美育滲透..激發學生探究、發現數學問題的興趣和欲望.教學重、難點垂徑定理及其運用.探索并證明垂徑定理及利用垂徑定理解決一些實際問題.教法、學法啟發式教學1.動手實驗2.思考探索教學準備圓形紙片、等腰三角形、圓規、三角板、多媒體教學時數1金字塔頂上的雄鷹和蝸牛滲透德育（課前三分鐘）一支考古隊，到胡夫金字塔考察，他們憑借直升機的力量，用吊繩攀上了金字塔的頂部，不遠處，幾只雄鷹受了驚嚇，落荒而逃.在人們的意識中，似乎只有雄鷹才能登上巍峨的金字塔.但接下來，考古隊員發現了一個不可思議的現象，那就是，在胡夫金字塔的頂部居然有不少蝸牛的軀殼.究竟，這些蝸牛是如何從地面來到海拔136.5米，相當于滲透德育（課前三分鐘）蝸牛，向來是爬行緩慢、效率低下的反面教材.但正是這種看似懶散的小蟲子，做出了連人類不依靠外力都無法達到的壯舉.那一刻，幾乎所有的考古隊員都有了一種深深的感觸與震撼!這個世界上，每個人都期待做一只凌空飛翔的雄鷹.我們沒有雄鷹的天賦，就必須具有蝸牛般的毅力.不要問自己從哪里來，到哪里去.只要拼搏奮斗、永不停息，終究可以留下一絲令自己感動的痕跡.不能像雄鷹那樣振翅高飛，那么，就做一只蝸牛吧.但，即使是做一只蝸牛，也要背著沉重的殼，一步一個積累，在生命的長河，留下奮斗的足跡，爬向成功的彼岸.教學過程一、情境導入，初步認識由金字塔側面的形狀切入復習等腰三角形的三線合一性質.問題：你知道趙州橋嗎？它是1300多年前我國隋代建造的石拱橋，是我國古代人民勤勞與智慧的結晶.它的主橋拱是圓弧形，它的跨度（弧所對的弦的長）為37.4m，拱高（弧的中心點到弦的距離）為7.2m.你能求出主橋拱的半徑嗎？教學說明：趙州橋問題充分體現了數學與應用數學的關系，了解我國古代人民的勤勞與智慧，要解決此問題需要用到這節課的知識，這樣較好地調動了學生的積極性，開啟了學生的思維，等腰三角形的三線合一性質擴展到圓中，就是垂徑定理，成功地引入新課.二、思考探究，獲取新知活動一:把一個圓沿著它的任意一條直徑所在的直線對折，兩側半圓會有什么關系？重復做幾次，你發現了什么？由此你能得到什么結論？1.圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在直線（或者任何經過圓心的直線）都是它的對稱軸，所以兩側半圓折疊后完全重合.教學說明:學生通過自己動手操作，歸納出圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在直線都是它的對稱軸.活動二如圖，AB是。O的一條弦，作直徑CD，使CDXAB，垂足為E.（1）此圓是軸對稱圖形嗎？如果是，它的對稱軸是什么？（2）圖中有哪些相等的線段和弧？為什么？教學說明:問題（1）是對圓的軸對稱性這一結論的復習與應用，也是為問題（2）作下鋪墊，垂徑定理是根據圓的軸對稱性得出來的.問題（2）可由問題（1）得到，問題（2）由學生合作交流完成，培養他們合作交流和主動參與的意識.歸納結論：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧（優弧、劣弧）.2.垂徑定理中文語言：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧．幾何語言：:CD過圓心O,CDXAB，AP=BPA.C=Bc.Ad=Bd或者：在。0中，AB是弦，直徑CD垂直于弦AB./.AE=BE.?AC=BC.Ad=BD.問（1）一條直線滿足：①過圓心.②垂直于弦，則可得到什么結論？教學說明：本問題是幫助學生進一步分析定理的題設和結論，這樣可以加深學生對定理的理解.活動三已知直徑CD，弦AB且AE=BE（點E在AB上），那么可得到結論有哪些？提示：分E點為“圓心”和“不是圓心”來討論.即：AB是直徑或AB是除直徑外的弦來討論.歸納結論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧.3.垂徑定理的推論（類比垂徑定理）中文語言：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧.幾何語言：:CD過圓心O,AE二BE.\CD±AB,A.C=Bc.Ad=BD或者：在。0中，AB是弦，AE=BE.\CD±AB,.AiC=Bc.Ad=BD.問題:平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦并且平分弦所對的兩條弧，為什么不是直徑的弦？教學說明：問題是對推論進行強調，使學生抓住實質，注意條件，加深印象.活動四歸納方法、技巧常見輔助線：連接半徑、作弦心距；技巧：構造直角三角形，設未知數，由勾股定理列方程.四個量：半徑r、弦長a、弦心距~、弓形的高h兩式子：h+d=ra、r2=d2+()223.利用垂徑定理及推論解決實際問題情景問題解決如圖，用Ab表示主橋拱，設Ab所在圓的圓心為O,半徑為R,經過圓心O作弦AB的垂線OC,D為垂足，OC與Ab相交于點C,根據垂徑定理，D是人8的中點，C是AB的中點，CD就是拱高，AB=37.4,CD=7.2,貝IAD=1/2AB=1/2X37.4=18.7,OD=OC-CD=R-7.2.在Rt△OAD中，由勾股定理，得OA2=AD2+OD2.即：R2=18.72+(R-7.2)2解得區=27.9皿).??趙州橋主橋拱半徑約為27.9m.教學說明：教師引導學生分析題意，先把實際問題轉化為數學問題，然后畫出圖形進行解答.并且在解答過程中，讓學生意識到勾股定理在這節課中的充分運用，以及圓的半徑、弦、圓心到弦的距離和拱形高之間存在一定的聯系.三、運用新知，深化理解口算，并說說理由.在。。中，OC,弦AB,AB=8,OA=5,則AC=4,OC=3..在OO中，C是AB的中點，AB=16,OA=10,則/OCA=90°,OC=經典例題：如圖，在。O中,CDXAB,CD經典例題：如圖，在。O中,CDXAB,CD=20,CM=4,<AB.解：連接OA,;直徑CD=20,AO=CO=10,.?.OM=OC-CM=10-4=6,在。O中，直徑CD,弦AB,.AB=2AM,AOMA是直角三角形，在Rt△OMA中，由勾股定理得：AO2=OM2+AM2,AM=AO2—OM2=102—62=8,「.AB=2AM=16.四、師生互動，課堂小結回顧這節課的學習過程，你有哪些收獲和體會？.圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在直線（或者任何經過圓心的直線）都是它的對稱軸，所以兩側半圓折疊后完全重合..垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧..推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧..有關弦的問題，常常連接半徑、作弦心距，這是兩條非常重要的輔助線.圓心到弦的距離、半徑、弦長的一半構成直角三角形，便將問題轉化為直角三角形的勾股定理問題.教學說明：教師應讓學生交流總結，然后補充說明，強調定理及其推論的應用,可以類比等腰三角形或中垂線的性質記憶.§24.1.2垂徑定理例題講解.圓的對稱性例題講解對稱軸：任何一條直徑所在直線（或者任何經過圓心的直線）