【原創】【試題研究】以數學史為背景的數學試題賞析

1.引言

翻開近些年的高考數學試題和全國各地的高考模擬試題，其中有很多以數學

史為背景的數學試題.細細品讀這些試題可以發現其獨具匠心、立意深遠、韻味

無窮，它們既滲透了數學文化和數學思想，又兼顧考查學生的認知、理解、遷

移能力，蘊含著命題人的人文情懷.它們真正體現著以數學史為載體，以考查能力

和學生的綜合素質為目的的命題趨勢.

2.引例

2.1源于數學史料，兼顧現代數學分支——估算與算法

例1（2015年全國新課標I理）《九章算術》是我國古代內

容極為豐富的數學名著，書中有如下問題:“今有委米依垣內

角，下周八尺，高五尺。問:積及為米幾何?''其意思為:“在屋

內墻角處堆放米（如圖，米堆為一個圓錐的四分之一），米堆

為一個圓錐的四分之一），米堆底部的弧度為8尺，米堆的

高為5尺，問米堆的體積和堆放的米各為多少?”已知1斛米的體積約為1.62立

方尺，圓周率約為3,估算出堆放斛的米約有

A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛

解：由/」x2?r=8得圓錐底面的半徑/-3,嶼，所以米堆的體積

47C3

V=_lx_L乃空、5=型，所以堆放的米有些+1.62°22斛，故選B

434999

賞析：這是一道融入數學史和現代數學估算為一體的新穎試題，將圓錐的體積

公式和單位換算結合，既考查學生的基礎知識又考查學生的運算能力，同時兼

顧考查了學生的理解能力、分析問題能力，屬于中等難度試題.

變式1（2016年湖北七市聯考理）《九章算術》商功章有題：一圓柱形谷倉，

高1丈3尺3；寸，容納米2000斛（1丈=10尺，1尺=10寸，斛為容積單位，1

斛力.62立方尺，萬之3）,則圓柱底圓周長約為

A.1丈3尺B.5丈4尺C.9丈2尺

D.48丈6尺

解：設圓柱底圓半徑為r,高為〃，圓柱體積為/=乃=2000x1.62*3x/x（13.33）,

所以/。81,即r°3尺，所以圓柱底面圓周長為2%f54尺，即圓柱底面圓周長

約為5丈4尺，故選B.

例2（2014年湖北理）《算數書》竹簡于上世紀八十年代在湖北省江陵縣張家

山出土，這是我國現存最早的有系統的數學典籍，其中記載有求“困蓋”的術：“置

如其周，令相乘也.又以高乘之，三十六成一.”該術相當于給出了由圓錐的底

面周長L與高〃，計算其體積V的近似公式它實際上是將圓錐體積公式

36

中的圓周率》近似取為3.那么，近似公式相當于將圓錐體積公式中的不

75

近似取為（）

A22o25「157「157

7850113

解：由題意知義辦」/，所以2乙2=_1?/,因為L=27ZT,代入得萬="，故

7537538

選B.

賞析：《算數書》是中國現已發現的最古的一部算書，大約比現有傳本的《九

章算術》還要早近二百年.本題以信息題的形式，考查學生閱讀理解能力，屬于

中等難度題.

變式2（2012年湖北理）我國古代數學名著《九章算術》中“開立圓術”曰：置

積尺數，以十六乘之，九而一，所得開立方除之，即立圓徑，“開立圓術”相當于

給出了已知球的體積V,求其直徑d的一個近似公式4。呼。人們還用過一些

類似的近似公式。根據乃=3.14159.....判斷，下列近似公式中最精確的一個是

B.八行

解：/義爐2』=佇,設選項中常數為巴,則片叱A中代入得

3V7iba

乃=6x9=3.375，B選項中代入方=9衛=3,C選項代入得乃=3.14,D中代入

162300

得乃=處以=3.142857,故最接近的是D,故選D.

21

例3（2015年全國新課標II理）右邊程序框圖的算法思路源于我開始

國古代數學名著《九章算術》中的“更相減損術”。執行該程序框1J1

圖，若輸入的a,8分別為14,18,則輸出的。=/輸入。，/

A.OB.2C.4

D.14

解：輸入。=14,6=18,?.?。。人且a<b,

；2=18-14=4

a=14,/?=4進入下一個循序；力且

a＞仇a=14—4=10,a=10,。=4進入下一個循環；力且

a＞。,，。=10—4=6,。=6,》=4進入卜一個循環；匕且a＞b,，a=6-4=2,a=2,b=4

進入下一個循環；且。＜瓦二。=4-2=2,。=2,。=2進入下一個循環；

:a=。，.?.輸出的a=2,故選B.

賞析：《九章算術》是中國古代的數學專著，其中的“更相減損術”可以用來

求兩個數的最大公約數。數學家劉徽對此法進行了明確的注解和說明，是一個實

用的數學方法。它奠定了我國漸近分數，不定分析，同余式論和大衍求一術的理論

基礎。

2.2基于數學史實，兼顧現代數學分支——數列與推理

例4洛薩?科拉茨是德國數學家，他在1937年提出了一個著名的猜想：任給一

個正整數“，如果〃是偶數，就將它減半（即2）；如果”是奇數，則將它乘以3

2

加1（即3〃+1）,不斷重復這樣的運算，經過有限步后，一定可以得到1.如初始正

整數為6,按照上述變換規則，我們得到一個數列：6,3,10,5,16,8,4,2,1.對科拉

茨猜想，目前誰也不能證明，更不能否定.現在請你研究：

（1）如果〃=2,則按照上述規則施行變換（注：1可以多次出現）后的第8項

為?

（2）如果對正整數〃（首項）按照上述規則施行變換（注：1可以多次出現）后

的第8項為1,貝IJ〃的所有可能的取值

為.

解：（1）如果〃=2,按照題中變換規則，得到數列：q=2,4=1，%=4,%=2，

=1,=4,Clj=2,=1

（2）用樹形圖反推項數八、七、六、五、四、三、二、一

值

1=128

。=32=>。2=64=>v

jq=21

a=8=>%=16=><

56二20

a=1=>%=2=4=4nv生=5=。=10=v

s2《=3

所以〃可能的值為2,3,16,20,21,128.共6個

賞析：本題涉及“谷角猜想”，它的證明已經有無數數學家和數學愛好者嘗試

過，其中不乏天才和世界上第一流的數學家，他們都沒有成功.有人向數論學家保

爾?厄爾多斯（PaulErdos）介紹了這個問題,并且問他怎么看待現代數學對這個

問題無能為力的現象，他回答說：數學還沒有準備好回答這樣的問題.這個猜想至

今無人證明,也無人推翻.

變式3（湖北高考）已知數列｛風｝滿足：%=m（陽為正整數），

當，當％為偶數時，，若4=1,則加所有可能的取值

3a“+1,當凡為奇數時，

是,

解法1：①若應為奇數，依遞推式1=4=3%+1，則%=0,與假設矛盾，故生為偶

數，即。$=2

②若為為奇數，依遞推式2=3g+1得矛盾，故牝為偶數，即&=4

③若生為奇數，依4=34+1得%=1，則與不可能是奇數，得g=2,4=4

又若生為偶數，得q=8

如果的為奇數，由8=3々+1得。2無正整數解，故外=16

④當々=16時,若％為奇數,由16=3q+l得q=5;若生為偶數,則q=32

答案：4,5,32

解法2：樹形圖，在此不再贅述.

例5（2016年黃岡元月調研）圓周率》和自然對數的底e是數學中非常重要的兩

個常數.對萬和e的研究，在數學史上具有突出的地位.下面是有關〃和e的兩個優

美表達式：

萬2244668

——X—X-XX—X—X~~???

21335577

e（24y<4668?

2⑴U3J15577；

根據等式上述等式，5可以看作是無窮多項的連乘之積，其中第1項乃尸:，第2

項町=g，第3項/=9???；此外，|■也可以看作是無窮多項的連乘之積，其中第

JLJLJ.

1項4=｛yj，第2項e?=（|j,第3項03=審，…，如果按此規律推出巧00和%。，

那么巧也=.

e】oo

解:觀察分號抬苧河…的偶次項,即第方項為篇,而且…的

1127

底數都相等，艮喘,其中“需％。嚼『所以日慌廠

122患

答案:

101

例6公元前3世紀，古希臘歐幾里得在《幾何原本》里提出：“球的體積（V）

與它的直徑（。）的立方成正比“，此即V=歐幾里得未給出攵的值.17世

紀日本數學家們對求球的體積的方法還不了解，他們將體積公式V=中的常

數Z稱為“立圓率”或“玉積率”.類似地，對于等邊圓柱（軸截面是正方形的圓柱）、

正方體也可利用公式丫=也3求體積（在等邊圓柱中，。表示底面圓的直徑；在正

方體中，。表示棱長）.假設運用此體積公式求得球（直徑為〃）、等邊圓柱（底

面圓的直徑為a）、正方體（棱長為。）的“玉積率”分別為左、&、%，那么用：《：&

（）

A.LL_LB.71.71C.2:3:2〃口。親口

46乃

/八、2

解：..”=飆小⑶干”71T7修CL]713/冗

—9/￥,=7vR~a=7i—a=—a,:.h=一

624'4

,/匕=々3=1?匕=".?.左3=1,即仁：攵2：&=*：（：1，故選D.

賞析：《幾何原本》是古希臘數學家歐幾里得的一部不朽之作，是一部劃時代

的著作，是最早用公理法建立起演繹數學體系的典范。是當時整個希臘數學成

果、方法、思想和精神的結晶，其內容和形式對幾何學本身和數學邏輯的發展

有著巨大的影響.本題通過信息題的給出“玉積率”的概念，需要學生理解、遷

移并應用，屬于簡單題.

例7（2006年湖北理）將楊輝三角中的每一個數C；都

1

換成分數，就得到一個如右圖所示的分數三角1-1

(〃+1匕--

111

-2-2

363

形，稱為萊布尼茨三角形.從萊布尼茨三角形可以看1111

出44

1212

52°5

11!3012011

-

心至+西其中”=-------66

30606030

42

05400542

人111111

令=q+G■+右+布+…+-71+?_二7可，n則iir11m%

3123060nCn,(n+1)C?

解：第一問對比楊輝三角的性質通過觀察、類比、歸納可知萊布尼茨三角形中

每一行中的任一數都等于其“腳下”兩數的和，故此時x=r+l,第二問實質上是求

萊布尼茨三角形中從第三行起每一行的倒數第三項的和，即

風=』+3+』+…=+7—，根據第一問所推出的結論只需在原式基

3C；4G5C：nC；；；3(?+l)C；；-2

礎上增加一項；一則由每一行中的任一數都等于其“腳下”兩數的和，結

合給出的數表可逐次向上求和為故7—1—-，從而

rFii1i

lima.=lim---------------二一。

xf8t"…陞(n+l)C；-IJ2

賞析：本題取材于數學史中著名的萊布尼茲三角形，與中國古代的楊輝三角形

遙相呼應，本題主要考查學生的信息處理能力和類比歸納及推理能力.

變式4如右圖所示的三角形數陣叫“萊布尼茲調和三角1

形”，它們是由整數的倒數組成的，第〃行有〃個數且兩端[11

的數均為](〃22),每個數是它下一行左右相鄰兩數的和，如J]

363

1,111311_11mil.111

1222363412412121

-

(1)第6行第2個數(從左往右數)為。?疝而20

(2)第〃行第3個數(從左往右數)為

解：(1)第六行第一個數是，第二個數設為%.2)，那么，+%.2)=(，所以

111

a_———__—?

(6)5630

(2)觀察發現：將楊輝三角形中的每一個C：都換成/I,,就得到萊布尼茲

調和三角形，由于楊輝三角形中的第〃(〃23)行第3個數字是C3,那么萊布尼茲

調和三角形的第〃(〃23)行第3個數字是」-=/、q

例8(2013年湖北理)古希臘畢達哥拉斯學派的數學家研究過各種多邊形數，

如三角形數1,3,6,10,-.,第〃個三角形數為四型=!〃2+!〃記第〃個左邊形數為

222

N(，團(左23),以下列出了部分左邊形中的第〃個數的表達式：

三角形數N(〃,3)=L〃2+1“，

22

正方形數N(〃,4)=〃2,

五邊形數N(〃,5)=3〃2—1〃,

22

六邊形數N(〃,6)=2〃2一〃，

可以推測N（n,k）的表達式，由此計算N（10,24）=

解：結合以上的公式發現如下規律：

23）

⑴第〃個攵邊形數”I,'“M,）（左的表達式是關于〃的二次函數（不含常數項），且

二次項系數為

2

（2）每一個攵邊形數的第一個數都是1；

故有N(*所以為。刑=￡X102_1()2=1000

賞析：畢達哥拉斯學派是由古希臘哲學家畢達哥拉斯所創立，認為數是萬物的

本原，事物的性質是由某種數量關系決定的，萬物按照一定的數量比例而構成

和諧的秩序；由此他們提出了“美是和諧”的觀點，認為音樂的和諧是由高低

長短輕重不同的音調按照一定的數量上的比例組成，”音樂是對立因素的和諧

的統一，把雜多導致統一，把不協調導致協調。”這是古希臘藝術辯證法思想

的萌芽，也包含著藝術中“寓整齊于變化”的普遍原則。這是一道富有數學文

化底蘊的試題，將古代數學文明與現代數學的合情推理的交匯融合，考查學生

觀察、類比、猜想和推理能力，具有較好的區分度，屬中等難度題.

變式5我國的《洛書》中記載著世界上最古老的一個幻方：將1,2,…，9填

入3x3的方格內，使三行、三列、二對角線的三個數之和都等于15.如圖所示

□3

N

LIJ□

一般地，將連續的正整數1,2,3,…，/填入〃x〃個方格中，使得每行、每列、

每條對角線上的數的和相等，這個正方形叫做〃階幻方.記〃階幻方的對角線上數

的和為M，如圖三階幻方記為M=15,那么Np的值為

A.869B.870

C.871D.875

解：由幻方的定義可知，每行、每列、每條對角線上的數的和相等.

(1+144)x144

1+2+3H—,+945r-riI\I1+2+■?,+1442+后注n

V=15=--------------=—，所以Ng=------------=------------=870，故選B.

333121212

2.3取材數學史，結合現代數學分支一一復數、三角與統計

例9(2016年湖北八校聯考)歐拉公式*=cosx+isinx(i為虛數單位)是由瑞士

著名數學家歐拉發明的，它將指數函數的定義域擴大到復數，建立了三角函數

和指數函數的關系，它在復變函數論里占有非常重要的地位，被譽為“數學中的

天橋”，根據歐拉公式可知，表示的復數在復平面中位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三

象限D.第四象限

解：因為e"=cos2+isin2，對應點為(cos2,sin2),由于三<2牛萬，因此cos2<0,sin2>0,

2

點(cos2,sin2)在第二象限，故選B.

賞析：歐拉公式e*=cosx+isinx把三角函數，指數函數聯系在一起，是復變函數

中最重要的公式，并且如果令8=),得到/+1=0,這個公式把數學中最重要的

五個數e,萬工1,0聯系在一起，可以說是數學中最“美”的公式之一。

變式6現定義*=cos6+isine,其中i為虛數單位，e為自然對數的底數，6cR,

且實