考點二十：簡單事件的概率聚焦考點☆溫習理解一、確定事件和隨機事件1、確定事件必然發生的事件：在一定的條件下重復進行試驗時，在每次試驗中必然會發生的事件。不可能發生的事件：有的事件在每次試驗中都不會發生，這樣的事件叫做不可能的事件。2、隨機事件：在一定條件下，可能發生也可能不放聲的事件，稱為隨機事件。二、頻率與概率1.概率的概念一般地，對于一個隨機事件A，我們把刻畫其發生可能性大小的數值，稱為隨機事件A發生的概率，記為P(A).2.頻率與概率的關系當我們大量重復進行試驗時，某事件出現的頻率逐漸穩定到某一個數值，把這一頻率的穩定值作為該事件發生的概率的估計值.三、概率的計算1.公式法一般地，如果在一次試驗中，有n種可能的結果,并且它們發生的可能性都相等，事件A包含其中的m種結果,那么事件A發生的概率為P(A)＝2.列表法當一次試驗要涉及兩個因素(例如擲兩個骰子)并且可能出現的結果數目較多時，為了不重不漏地列出所有可能的結果，通常采用列表法.3.畫樹狀圖當一次試驗要涉及3個或更多的因素(例如從3個口袋中取球)時，列表就不方便了，為了不重不漏地列出所有可能的結果，通常采用樹狀圖.4.幾何概型一般是用幾何圖形的面積比來求概率，計算公式為：P(A)＝,解這類題除了掌握概率的計算方法外，還應熟練掌握幾何圖形的面積計算.5.游戲公平性判斷游戲的公平性是通過概率來判斷的，在條件相等的前提下，如果對于參加游戲的每一個人獲勝的概率都相等，那么游戲公平，否那么不公平.名師點睛☆典例分類考點典例一、事件的分類【例1】〔2023四川自貢第2題〕以下成語描述的事件為隨機事件的是〔〕A．水漲船高 B．守株待兔 C．水中撈月 D．緣木求魚【答案】B考點：隨機事件.【點睛】該題考查的是對必然事件，隨機事件，不可能事件的概念的理解．用到的知識點為：必然事件指在一定條件下一定發生的事件；不可能事件是指在一定條件下，一定不發生的事件；不確定事件即隨機事件是指在一定條件下，可能發生也可能不發生的事件．【舉一反三】1.〔2023新疆建設兵團第4題〕以下事件中，是必然事件的是〔〕A．購置一張彩票，中獎B．通常溫度降到0℃以下，純潔的水結冰C．明天一定是晴天D．經過有交通信號燈的路口，遇到紅燈【答案】B.【解析】試題解析：A購置一張彩票中獎是隨機事件；B根據物理學可知0℃以下，純潔的水結冰是必然事件；C明天是晴天是隨機事件；D經過路口遇到紅燈是隨機事件；應選B考點：隨機事件．2.〔聊城〕以下說法中不正確的選項是〔〕A． 拋擲一枚硬幣，硬幣落地時正面朝上是隨機事件B． 把4個球放入三個抽屜中，其中一個抽屜中至少有2個球是必然事件C． 任意翻開七年級下冊數學教科書，正好是97頁是確定事件D． 一個盒子中有白球m個，紅球6個，黑球n個〔每個除了顏色外都相同〕．如果從中任取一個球，取得的是紅球的概率與不是紅球的概率相同，那么m與n的和是6【答案】C．考點：1.隨機事件；2.概率公式.考點典例二、利用列表法或畫樹狀圖求概率【例2】〔2023貴州六盤水第23題〕端午節當天，小明帶了四個粽子(除味道不同外，其它均相同)，其中兩個是大棗味的，另外兩個是火腿味的，準備按數量平均分給小紅和小剛兩個好朋友.(1)請你用樹狀圖或列表的方法表示小紅拿到的兩個粽子的所有可能性；(2)請你計算小紅拿到的兩個粽子剛好是同一味道的概率.【答案】(1)詳見解析；〔2〕.試題分析：(1)畫樹狀圖或列表時注意：所有情況不可能是；(2)12種情況中，同一味道4種情況．試題解析：(1)設大棗味的兩個粽子分別為、，火腿味的兩個粽子分別為、，那么：或〔2〕由〔1〕可知，在上述12種等可能的情況中，小紅拿到的兩個粽子是同一味道的共有4種情況，所以P=.考點：畫樹狀圖或列表求概率．【點睛】此題考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率．列表法或畫樹狀圖法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果，列表法適合于兩步完成的事件，樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件．用到的知識點為：概率=所求情況數與總情況數之比．【舉一反三】1.〔2023湖南常德第17題〕甲、乙、丙三個同學站成一排進行畢業合影留念，請用列表法或樹狀圖列出所有可能的情形，并求出甲、乙兩人相鄰的概率是多少？【答案】．【解析】試題分析：用樹狀圖表示出所有情況，再根據概率公式求解可得．試題解析：用樹狀圖分析如下：∴一共有6種情況，甲、乙兩人恰好相鄰有4種情況，∴甲、乙兩人相鄰的概率是=．考點：列表法與樹狀圖法．2.〔2023內蒙古通遼第21題〕小蘭和小穎用下面兩個可以轉動的轉盤做游戲，每個轉盤被分成面積相等的幾個扇形.轉動兩個轉盤各一次，假設兩次指針所指數字之和為4，那么小蘭勝，否那么小穎勝〔指針指在分界線時重轉〕.這個游戲對雙方公平嗎？請用樹狀圖或列表法說明理由.【答案】這個游戲對雙方是公平的【解析】試題分析：首先依據題先用樹狀圖法分析所有等可能的出現結果，然后根據概率公式求出該事件的概率，游戲是否公平，求出游戲雙方獲勝的概率，比擬是否相等即可．試題解析：這個游戲對雙方是公平的．如圖，∴一共有6種情況，和大于4的有3種，∴P〔和大于4〕==，∴這個游戲對雙方是公平的．考點：1、游戲公平性；2、列表法與樹狀圖法考點典例三、計算簡單事件的概率【例3】〔2023貴州遵義第21題〕學校召集留守兒童過端午節，桌上擺有甲、乙兩盤粽子，每盤中盛有白粽2個，豆沙粽1個，肉粽1個〔粽子外觀完全一樣〕．〔1〕小明從甲盤中任取一個粽子，取到豆沙粽的概率是；〔2〕小明在甲盤和乙盤中先后各取了一個粽子，請用樹狀圖或列表法求小明恰好取到兩個白粽子的概率．【答案】(1).；(2).小明恰好取到兩個白粽子的概率為．【解析】〔2〕畫樹狀圖如下：由樹狀圖可知，一共有16種等可能結果，其中恰好取到兩個白粽子有4種結果，∴小明恰好取到兩個白粽子的概率為=．考點：列表法與樹狀圖法；概率公式．【點睛】此題考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率．列表法或畫樹狀圖法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果，列表法適合于兩步完成的事件，樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件．用到的知識點為：概率=所求情況數與總情況數之比．【舉一反三】1.〔2023浙江寧波第6題〕一個不透明的布袋里裝有5個紅球，2個白球，3個黃球，它們除顏色外其余都相同，從袋中任意摸出1個球，是黃球的概率為()A. B. C. D.【答案】C．【解析】試題解析：∵布袋里裝有5個紅球，2個白球，3個黃球，∴從袋中摸出一個球是黃球的概率是：.應選C.考點：概率.2.〔2023廣西貴港第8題〕從長為的四條線段中任意選取三條作為邊，能構成三角形的概率是〔〕A．B．C.D．【答案】B【解析】試題解析：從長為3，5，7，10的四條線段中任意選取三條作為邊，所有等可能情況有：3，5，7；3，5，10；3，7，10；5，7，10，共4種，其中能構成三角形的情況有：3，5，7；5，7，10，共2種，那么P〔能構成三角形〕=，應選B考點：列表法與樹狀圖法；三角形三邊關系．考點典例四、計算等可能事件的概率【例4】〔漳州〕如圖，有以下3個條件：①AC=AB，②AB∥CD，③∠1=∠2，從這3個條件中任選2個作為題設，另1個作為結論，那么組成的命題是真命題的概率是〔〕A．0 B．C．D．1【答案】D.【解析】考點：列表法與樹狀圖法；平行線的判定與性質；等腰三角形的判定與性質；命題與定理．【點睛】此題考查了列表法與樹狀圖法，平行線的性質與判定，等腰三角形的判定與性質，以及命題與定理，弄清題意是解此題的關鍵．【舉一反三】〔2023浙江嘉興第5題〕紅紅和娜娜按如下圖的規那么玩一次“錘子、剪刀、布〞游戲，以下命題中錯誤的選項是〔〕A．紅紅不是勝就是輸，所以紅紅勝的概率為B．紅紅勝或娜娜勝的概率相等C．兩人出相同手勢的概率為D．娜娜勝的概率和兩人出相同手勢的概率一樣【答案】A．【解析】試題解析：紅紅和娜娜玩“石頭、剪刀、布〞游戲，所有可能出現的結果列表如下：

紅紅娜娜石頭剪刀布石頭〔石頭，石頭〕〔石頭，剪刀〕〔石頭，布〕剪刀〔剪刀，石頭〕〔剪刀，剪刀〕〔剪刀，布〕布〔布，石頭〕〔布，剪刀〕〔布，布〕由表格可知，共有9種等可能情況．其中平局的有3種：〔石頭，石頭〕、〔剪刀，剪刀〕、〔布，布〕．因此，紅紅和娜娜兩人出相同手勢的概率為，兩人獲勝的概率都為，紅紅不是勝就是輸，所以紅紅勝的概率為，錯誤，應選項A符合題意，應選項B，C，D不合題意；應選A．考點：1.列表法與樹狀圖法；2.命題與定理．考點典例五、概率與統計綜合題【例5】〔2023湖北孝感第19題〕今年四月份，某校在孝感市爭創“全國文明城市〞活動中，組織全體學生參加了“弘揚孝感文化，爭做文明學生〞知識競賽，賽后隨機抽取了局部參賽學生的成績，按得分劃分成六個等級，并繪制成如下兩幅不完整的統計圖表.請根據圖表提供的信息，解答以下問題：〔1〕本次抽樣調查樣本容量為，表中：，；扇形統計圖中，等級對應的圓心角等于度；〔4分=1分+1分+1分〕〔2〕該校決定從本次抽取的等級學生〔記為甲、乙、丙、丁〕中，隨機選擇名成為學校文明宣講志愿者，請你用列表法或畫樹狀圖的方法，求恰好抽到甲和乙的概率.【答案】〔1〕80，12，8，36；〔2〕抽取兩人恰好是甲和乙的概率是．【解析】試題分析：〔1〕由D等級人數及其百分比求得總人數，總人數乘以B等級百分比求得其人數，根據各等級人數之和等于總人數求得n的值，360度乘以E等級人數所占比例可得；〔2〕畫出樹狀圖即可解決問題．試題解析：〔1〕本次抽樣調查樣本容量為24÷30%=80，那么m=80×15%=12，n=80﹣〔4+12+24+8+4〕=28，扇形統計圖中，E等級對應扇形的圓心角α=360°×=36°，故答案為：80，12，8，36；〔2〕樹狀圖如下圖，∵從四人中隨機抽取兩人有12種可能，恰好是甲和乙的有2種可能，∴抽取兩人恰好是甲和乙的概率是．考點：1.列表法；2.樹狀圖法；3.扇形統計圖；4.頻數分布表.【點睛】此題考查了折線統計圖、扇形統計圖和列表法與樹狀圖法，解決此題的關鍵是從兩種統計圖中整理出解題的有關信息，在扇形統計圖中，每局部占總局部的百分比等于該局部所對應的扇形圓心角的度數與360°的比．用到的知識點為：概率=所求情況數與總情況數之比．【舉一反三】〔2023內蒙古呼和浩特第19題〕為了解某個某個季度的氣溫情況，用適當的抽樣方法從該地這個季度中抽取30天，對每天的最高氣溫〔單位：〕進行調查，并將所得的數據按照，，，，分成五組，得到如圖頻率分布直方圖．〔1〕求這30天最高氣溫的平均數和中位數〔各組的實際數據用該組的組中值代表〕；〔2〕每月按30天計算，各組的實際數據用該組的組中值代表，估計該地這個季度中最高氣溫超過〔1〕中平均數的天數；〔3〕如果從最高氣溫不低于的兩組內隨機選取兩天，請你直接寫出這兩天都在氣溫最高一組內的概率．【答案】〔1〕這30天最高氣溫的平均數為20.4℃；中位數為22℃；〔2〕該地這個季度中最高氣溫超過〔1〕中平均數的天數為48天；〔3〕這兩天都在氣溫最高一組內的概率為．【解析】試題分析：〔1〕根據30天的最高氣溫總和除以總天數，即可得到這30天最高氣溫的平均數，再根據第15和16個數據的位置，判斷中位數；〔2〕根據30天中，最高氣溫超過〔1〕中平均數的天數，即可估計這個季度中最高氣溫超過〔1〕中平均數的天數；〔3〕從6天中任選2天，共有15種等可能的結果，其中兩天都在氣溫最高一組內的情況有6種，據此可得這兩天都在氣溫最高一組內的概率．考點：1.列表法與樹狀圖法；2.用樣本估計總體；3.頻數〔率〕分布直方圖；4.加權平均數；5.中位數．課時作業☆能力提升1.〔梅州〕以下事件中是必然事件是()A、明天太陽從西邊升起 B、籃球隊員在罰球線投籃一次，未投中C、實心鐵球投入水中會沉入水底 D、拋出一枚硬幣，落地后正面向上【答案】C.【解析】試題分析：根據必然事件、隨機事件和不可能事件和意義作出判斷：A、明天太陽從西邊升起，是不可能事件；B、籃球隊員在罰球線投籃一次，未投中，是隨機事件；C、實心鐵球投入水中會沉入水底，是必然事件；D、拋出一枚硬幣，落地后正面向上，是隨機事件.應選C.考點：必然事件.2.〔2023甘肅蘭州第7題〕一個不透明的盒子里有個除顏色外其他完全相同的小球，其中有9個黃球，每次摸球前先將盒子里的球搖勻，任意摸出一個球記下顏色后再放回盒子，通過大量重復摸球實驗后發現，摸到黃球的頻率穩定在，那么估計盒子中小球的個數為()A.20 B.24 C.28 D.30【答案】D【解析】試題解析：根據題意得=30%，解得n=30，所以這個不透明的盒子里大約有30個除顏色外其他完全相同的小球．應選D．考點：利用頻率估計概率．3.〔2023湖南株洲第8題〕三名初三學生坐在僅有的三個座位上，起身后重新就坐，恰好有兩名同學沒有坐回原座位的概率為〔〕A． B． C．〕 D．〕【答案】D.【解析】試題分析：畫樹狀圖為：〔用A、B、C表示三位同學，用a、b、c表示他們原來的座位〕共有6種等可能的結果數，其中恰好有兩名同學沒有坐回原座位的結果數為3，所以恰好有兩名同學沒有坐回原座位的概率=．應選D．考點：列表法與樹狀圖法．4.〔2023黑龍江綏化第7題〕從一副洗勻的普通撲克牌中隨機抽取一張，那么抽出紅桃的概率是〔〕A．B．C．D．【答案】B【解析】試題分析：∵一副撲克牌共54張，其中紅桃13張，∴隨機抽出一張牌得到紅桃的概率是．應選B．考點：概率公式．5.〔2023湖北孝感第7題〕以下說法正確的選項是〔〕A．調查孝感區域居民對創立“全國衛生城市〞的知曉度，宜采用抽樣調查B．一組數據的眾數為C.“翻開電視，正在播放乒乓球比賽〞是必然事件D．同時拋擲兩枚質地均勻的硬幣一次，出現兩個正面朝上的概率為【答案】A【解析】試題分析：A、調查孝感區居民對創立“全國衛生城市〞的知曉度，宜采用抽樣調查，正確；B、一組數據85，95，90，95，95，90，90，80，95，90的眾數為95和90，故錯誤；C、“翻開電視，正在播放乒乓球比賽〞是隨機事件，故錯誤；D、同時拋擲兩枚質地均勻的硬幣一次，出現兩個正面朝上的概率為，應選A．考點：1.抽樣調查；2.眾數；3.隨機事件；4.概率.6.〔2023湖南張家界第7題〕某校高一年級今年方案招四個班的新生，并采取隨機搖號的方法分班，小明和小紅既是該校的高一新生，又是好朋友，那么小明和小紅分在同一個班的時機是〔〕A．B．C．D．【答案】A．【解析】試題分析：如圖：共有16種結果，小明和小紅分在同一個班的結果有4種，故小明和小紅分在同一個班的時機==．應選A．考點：列表法與樹狀圖法．7.〔2023遼寧大連第6題〕同時拋擲兩枚質地均勻的硬幣，兩枚硬幣全部正面向上的概率為〔〕A．B．C.D．【答案】.【解析】試題分析：畫樹狀圖展示所有4種等可能的結果數，再找出兩枚硬幣全部正面向上的結果數，然后根據概率公式求解．畫樹狀圖為：共有4種等可能的結果數，其中兩枚硬幣全部正面向上的結果數為1，所以兩枚硬幣全部正面向上的概率=．故答案為A．考點：列表法與樹狀圖法.8.〔2023海南第10題〕如圖，兩個轉盤分別自由轉動一次，當停止轉動時，兩個轉盤的指針都指向2的概率為〔〕A． B． C． D．【答案】D.【解析】試題分析：首先根據題意列出表格，然后由表格即可求得所有等可能的結果與都指向2的情況數，繼而求得答案．列表如下：

12341〔1，1〕〔2，1〕〔3，1〕〔4，1〕2〔1，2〕〔2，2〕〔3，2〕〔4，2〕3〔1，3〕〔2，3〕〔3，3〕〔4，3〕4〔1，4〕〔2，4〕〔3，4〕〔4，4〕∵共有16種等可能的結果，兩個轉盤的指針都指向2的只有1種結果，∴兩個轉盤的指針都指向2的概率為，應選：D．考點：用列表法求概率.9.〔2023湖南懷化第4題〕以下說法中，正確的選項是()A.要了解某大洋的海水污染質量情況，宜采用全面調查方式；B.如果有一組數據為5，3，6，4，2，那么它的中位數是6；C.為了解懷化市6月15日到19日的氣溫變化情況，應制作折線統計圖；D.“翻開電視，正在播放懷化新聞節目〞是必然事件.【答案】C.考點：隨機事件；全面調查與抽樣調查；折線統計圖；中位數．10.〔2023郴州第15題〕從三個數中任取兩個不同的數作為點的坐標，那么該點在坐標軸上的概率是．【答案】.【解析】試題分析：列表得：﹣110﹣1﹣﹣﹣〔1，﹣1〕〔0，﹣1〕1〔﹣1，1〕﹣﹣﹣〔0，1〕0〔﹣1，0〕〔1，0〕﹣﹣﹣所有等可能的情況有6種，其中該點剛好在坐標軸上的情況有4種，所以該點在坐標軸上的概率=.考點：用列表法求概率.11．〔2023湖北14題〕一個不透明的袋中共有5個小球，分別為2個紅球和3個黃球，它們除顏色外完全相同．隨機摸出兩個小球，摸出兩個顏色相同的小球的概率為．【答案】．【解析】試題解析：根據題意可得：列表如下紅1紅2黃1黃2黃3紅1紅1，紅2紅1，黃1紅1，黃2紅1，黃3紅2紅2，紅1紅2，黃1紅2，黃2紅2，黃3黃1黃1，紅1黃1，紅2黃1，黃2黃1，黃3黃2黃2，紅1黃2，紅2黃2，黃1黃2，黃3黃3黃3，紅1黃3，紅2黃3，黃1黃3，黃2共有20種所有等可能的結果，其中兩個顏色相同的有8種情況，故摸出兩個顏色相同的小球的概率為．考點：列表法和樹狀圖法.11.〔2023內蒙古通遼第13題〕毛澤東在?沁園春·雪?中提到五位歷史名人：秦始皇、漢武帝、唐太宗、宋太祖、成吉思汗.小紅將這五位名人簡介分別寫在五張完全相同的知識卡片上.小哲從中隨機抽取一張，卡片上介紹的人物是唐朝以后出生的概率是．【答案】【解析】試題分析：在秦始皇、漢武帝、唐太宗、宋太祖、成吉思汗5五人中，唐朝以后出生的有2人．因此在上述5人中隨機抽取一張，所有抽到的人物為唐朝以后出生的概率=．故答案為：．考點：概率公式12.〔2023山東德州第16題〕淘淘和麗麗是非常要好的九年級學生，在月份進行的物埋、化學、生物實驗技能考試中，考試科目要求三選一，并且采取抽簽方式取得，那么他們兩人都抽到物理實驗的概率是．【答案】【解析】列表如下物理化學生物物理〔物理，物理〕〔物理，化學〕〔物理，生物〕化學〔化學，物理〕〔化學，化學〕〔化學，生物〕生物〔生物，物理〕〔生物，化學〕〔生物，生物〕∴兩人都抽到物理實驗的概率是考點：列表法或樹狀圖法求概率13.〔2023浙江衢州第13題〕在一個箱子里放有1個白球和2個紅球，它們除顏色外其余都相同，從箱子里摸出1個球，那么摸到紅球的概率是．【答案】.【解析】試題解析：∵一個不透明的箱子里有1個白球，2個紅球，共有3個球，∴從箱子中隨機摸出一個球是紅球的概率是.考點：概率.14.〔2023內蒙古呼和浩特第16題〕我國魏晉時期數學家劉徽首創“割圓術〞計算圓周率．隨著時代開展，現在人們依據頻率估計概率這一原理，常用隨機模擬的方法對圓周率進行估計．用計算機隨機產生個有序對〔，是實數，且，〕，它們對應的點在平面直角坐標系中全部在某一個正方形的邊界及其內部，如果統計出這些點中到原點的距離小于或等于1的點有個，那么據此可估計的值為．〔用含，的式子表示〕【答案】【解析】試題分析：根據題意，點的分布如下圖：那么有，∴π=.考點：1.利用頻率估計概率；2.規律型：點的坐標．15.〔2023甘肅慶陽第23題〕在一次數學興趣小組活動中，李燕和劉凱兩位同學設計了如下圖的兩個轉盤做游戲〔每個轉盤被分成面積相等的幾個扇形，并在每個扇形區域內標上數字〕．游戲規那么如下：兩人分別同時轉運甲、乙轉盤，轉盤停止后，假設指針所指區域內兩數和小于12，那么李燕獲勝；假設指針所指區域內兩數和等于12，那么為平局；假設指針所指區域內兩數和大于12，那么劉凱獲勝〔假設指針停在等分線上，重轉一次，直到指針指向某一份內為止〕．〔1〕請用列表或畫樹狀圖的方法表示出上述游戲中兩數和的所有可能的結果；〔2〕分別求出李燕和劉凱獲勝的概率．【答案】〔1〕共有12種等可能性；〔2〕；【解析】試題分析：〔1〕根據題意列出表格，得出游戲中兩數和的所有可能的結果數；〔2〕根據〔1〕得出兩數和共有的情況數和其中和小于12的情況、和大于12的情況數，再根據概率公式即可得出答案．試題解析：〔1〕根據題意列表如下：甲乙678939101112410111213511121314可見，兩數和共有12種等可能性；考點：列表法與樹狀圖法．16.〔2023湖南株洲第21題〕某次世界魔方大賽吸引世界各地共600名魔方愛好者參加，本次大賽首輪進行3×3階魔方賽，組委會隨機將愛好者平均分到20個區域，每個區域30名同時進行比賽，完成時間小于8秒的愛好者進入下一輪角逐；如圖是3×3階魔方賽A區域30名愛好者完成時間統計圖，求：①A區域3×3階魔方愛好者進入下一輪角逐的人數的比例〔結果用最簡分數表示〕．②假設3×3階魔方賽各個區域的情況大體一致，那么根據A區域的統計結果估計在3×3階魔方賽后進入下一輪角逐的人數．③假設3×3階魔方賽A區域愛好者完成時間的平均值為8.8秒，求該工程賽該區域完成時間為8秒的愛好者的概率〔結果用最簡分數表示〕．【答案】①A區進入下一輪角逐的人數比例為：；②估計進