廣東省汕頭市金堡中學(xué)2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)文聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為.若則a8=（）A.12

B.14

C.16

D.18參考答案：C根據(jù)已知可得，所以，又因?yàn)椋裕?2.已知函數(shù)，若數(shù)列滿足，且是遞減數(shù)列，則實(shí)數(shù)的取值范圍是(

)（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：C3.已知兩個(gè)不同的平面和兩個(gè)不重合的直線m、n，有下列四個(gè)命題：①若； ②若；③若； ④若.其中正確命題的個(gè)數(shù)是（）A.0 B.1 C.2 D.3參考答案：D略4.已知集合則

(

)A．

B．

C．

D．參考答案：C5.已知等比數(shù)列{an}的公比q＝－，Sn為其前n項(xiàng)和，則＝________.參考答案：-5略6.若復(fù)數(shù)z滿足（z﹣3）（1﹣3i）=10（i為虛數(shù)單位），則z的模為（）A． B．5 C．2 D．25參考答案：B【分析】把已知的等式變形，利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)，代入模的公式得答案．【解答】解：∵（z﹣3）（1﹣3i）=10，∴z=+3=1+3i+3=4+3i，故|z|==5，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查了復(fù)數(shù)模的求法，是基礎(chǔ)的計(jì)算題．7.復(fù)數(shù)等于

A. B. C. D.參考答案：B略8.已知數(shù)列滿足，且，則的值是

(A)

(B)-5

(C)5

(D)(8)已知點(diǎn)落在角的終邊上，且，則的值為

(A)

(B)

(C)

(D)參考答案：C略9.一個(gè)三棱錐的三視圖是三個(gè)直角三角形，如圖所示，則該三棱錐的外接球表面積(

)（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：A把三棱錐補(bǔ)為長(zhǎng)方體，則對(duì)角線為外接球直徑，所以，所以外接球的表面積為，故選A．10.已知上三點(diǎn)，的延長(zhǎng)線與線段AB的延長(zhǎng)線交于外點(diǎn)。若的取值范圍為（

）

參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知f(n)＝1+(n∈N*)，經(jīng)計(jì)算得f(4)＞2,f(8)＞,f(16)＞3,f(32)＞,……，觀察上述結(jié)果，則可歸納出一般結(jié)論為

。參考答案：12.已知集合，，則_____________．參考答案：，，所以。13.在極坐標(biāo)系中，曲線和相交于點(diǎn)、，則

▲

．參考答案：略14.設(shè)為函數(shù)圖象上一動(dòng)點(diǎn)，記，則當(dāng)最小時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為

.參考答案：略15.已知實(shí)數(shù)、滿足，則－3的最大值是____．參考答案：-116..給出下列命題,其中正確的命題是（寫(xiě)出所有正確命題的編號(hào)）．①在中，若,則是銳角三角形；②在中,是的充要條件；③已知非零向量，則“”是“的夾角為銳角”的充要條件；④命題“在三棱錐中，已知，若點(diǎn)在所在的平面內(nèi)，則”的否命題為真命題；⑤函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若對(duì)于定義域內(nèi)任意，，有恒成立，則稱為恒均變函數(shù)，

那么為恒均變函數(shù)參考答案：

①②④⑤17.已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，則它與軸所圍圖形的面積為

參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，關(guān)于x的不等式恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）求證：對(duì)于任意的正整數(shù)n，不等式恒成立．參考答案：(1)(2)見(jiàn)證明【分析】（1）求出的導(dǎo)數(shù)，兩次求導(dǎo)，分三種情況討論，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，分別求出單調(diào)區(qū)間，求得最小值，即可得到的范圍；（2）對(duì)要證的不等式等價(jià)變形，可得①，且②，運(yùn)用（1）中的結(jié)論，對(duì)①相當(dāng)于（1）中，對(duì)②相當(dāng)于（1）中，利用單調(diào)性即可得證．【詳解】（1）由，得，則，①當(dāng)時(shí)，，則在上遞增，∴，∴在上遞增，∴，∴②當(dāng)時(shí)，，則在上遞減，∴，∴在上遞減，∴，且僅有，∴時(shí)，不等式不恒成立，③當(dāng)時(shí)，令，當(dāng)時(shí)，，∴在上遞減，從而，∴在上遞增，即，且僅有，∴時(shí)，不等式不恒成立，綜上，的取值范圍為：．（2）要證對(duì)，不等式恒成立，即證，即證，即證①，且②，對(duì)①相當(dāng)于（1）中，有在上遞減，即而且僅有，取，有成立，對(duì)②相當(dāng)于（1）中，有，而且僅有，取，有成立，∴對(duì)，不等式恒成立．【點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問(wèn)題以及不等式的證明，屬于難題.不等式證明問(wèn)題是近年高考命題的熱點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)證明不等主要方法有兩個(gè)，一是比較簡(jiǎn)單的不等式證明，不等式兩邊作差構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最值即可；二是較為綜合的不等式證明，要觀察不等式特點(diǎn)，結(jié)合已解答的問(wèn)題把要證的不等式變形，并運(yùn)用已證結(jié)論先行放縮，然后再化簡(jiǎn)或者進(jìn)一步利用導(dǎo)數(shù)證明.19.已知函數(shù)f（x）＝|x+2|﹣2|x﹣1|．（1）解不等式f（x）≤1；（2）若關(guān)于x的不等式f（x）＞ax只有一個(gè)正整數(shù)解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．參考答案：(1)不等式的解集為{或};(2).試題分析：（1）對(duì)分三種情況討論，分別去掉絕對(duì)值符號(hào)，然后求解不等式組，再求并集即可得結(jié)果；（2）作出函數(shù)與的圖象，由圖象可知當(dāng)時(shí)，不等式只有一個(gè)正整數(shù)解.試題解析：（1）當(dāng)時(shí)，，解得，∴；當(dāng)時(shí)，，解得，∴；當(dāng)時(shí)，，解得，∴.綜上，不等式的解集為或.（2）作出函數(shù)與的圖象，由圖象可知當(dāng)時(shí)，不等式只有一個(gè)正整數(shù)解，∴.20.設(shè)數(shù)列{an}是前n項(xiàng)和Sn=an﹣1（n∈N*）．（Ⅰ）求a1?a2；（Ⅱ）求證：數(shù)列{an}為等比數(shù)列．參考答案：【考點(diǎn)】數(shù)列遞推式．【專題】轉(zhuǎn)化思想；定義法；等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】（Ⅰ）根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系即可求a1?a2；（Ⅱ）根據(jù)等比數(shù)列的定義即可證明數(shù)列{an}為等比數(shù)列．【解答】解：（Ⅰ）∵Sn=an﹣1，∴當(dāng)n=1時(shí)，a1=a1﹣1，得a1=﹣2，當(dāng)n=2時(shí)，S2=a2﹣1，即a1+a2=a2﹣1，即a2=﹣1﹣a1=﹣1﹣（﹣2）=1，則a2=2，則a1?a2=﹣2×2=﹣4．（Ⅱ）證明：當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn﹣Sn﹣1=an﹣1﹣（an﹣1﹣1）=an﹣an﹣1，即an=﹣an﹣1，則an=﹣an﹣1，即=﹣1，即數(shù)列{an}為公比q=﹣1的等比數(shù)列．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查等比數(shù)列的證明，利用數(shù)列的遞推關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．21.在邊長(zhǎng)為a的正三角形鐵皮的三個(gè)角切去三個(gè)全等的四邊形，再把它的邊沿虛線折起（如圖），做成一個(gè)無(wú)蓋的正三角形底鐵皮箱，當(dāng)箱底邊長(zhǎng)為多少時(shí)，箱子容積最大？最大容積是多少？參考答案：【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積．【分析】設(shè)箱底邊長(zhǎng)為x，根據(jù)已知中箱子的制作方法，我們可求出容積V（x）的解析式，求出其導(dǎo)函數(shù)，分析其單調(diào)性，可得到函數(shù)的最值點(diǎn)，代入可得答案．【解答】解：設(shè)箱底邊長(zhǎng)為x，則箱高為h=×（0＜x＜a），…箱子的容積為V（x）==（0＜x＜a），．

…由V′（x）==0解得x=0（舍），x=，…且當(dāng)x∈（0，）時(shí)，V′（x）＞0；當(dāng)x∈（，a）時(shí)，V′（x）＜0，所以函數(shù)V（x）在x=處取得極大值，…這個(gè)極大值就是函數(shù)V（x）的最大值：V（）==．…答：當(dāng)箱子底邊長(zhǎng)為時(shí)，箱子容積最大，最大值為．

…22.一個(gè)多面體的直觀圖及三視圖如圖所示，M、N分別是AB1、A1C1的中點(diǎn)．（1）求證：MN⊥AB1，MN∥平面BCC1B1；（2）求二面角A﹣BC1﹣C的余弦值．參考答案：【考點(diǎn)】與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題；空間向量的數(shù)乘運(yùn)算．【分析】（1）要證直線與直線垂直，利用空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)坐標(biāo)求數(shù)量積為0即可；證線與平面平行，證明向量共線即可．（2）二面角的余弦值，利用三垂線定理，作出二面角的平面角，求解即可．【解答】（1）證明：由三視圖可知，在這個(gè)多面體的直觀圖中，AA1⊥平面ABC，且AC⊥BC，AC=3，BC=BB1=4∴CA，CB，CC1兩兩垂直以C為原點(diǎn)，CA，CB．CC1所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則由已知可得：C（0，0，0），A（3，0，0），B（0，4，0），C1（0，0，4），A1（3，0，4），B1（0，4，4），故M，2，2），N，0，4）∴，∴∴MN⊥AB1，∵，∴∴MN∥BC1，∵M(jìn)N?平面BCC1B1，BC1?平面BCC1B1；∴MN∥平面BCC1B1；（2）解：